Einführung in die Methoden der Empirischen Wirtschaftsforschung

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1 Einführung in die Methoden der Empirischen Wirtschaftsforschung Prof. Dr. Dieter Nautz Einführung in die Methoden der Emp. WF 1 / 37

2 Übersicht 1 Einführung in die Ökonometrie 1.1 Was ist Ökonometrie? 1.2 Ökonomisches und Ökonometrisches Modell 1.3 Datentypen aus der Ökonomie 2 Das einfache Regressionsmodell 2.1 Ein ökonomisches Modell 2.2 Schätzen der Regressionsparameter 3 Statistische Tests 3.1 Hypothesentests 3.2 p-werte Prof. Dr. Dieter Nautz Einführung in die Methoden der Emp. WF 2 / 37

3 Übersicht 1 Einführung in die Ökonometrie 1.1 Was ist Ökonometrie? 1.2 Ökonomisches und Ökonometrisches Modell 1.3 Datentypen aus der Ökonomie 2 Das einfache Regressionsmodell 2.1 Ein ökonomisches Modell 2.2 Schätzen der Regressionsparameter 3 Statistische Tests 3.1 Hypothesentests 3.2 p-werte Prof. Dr. Dieter Nautz Einführung in die Methoden der Emp. WF 2 / 37

4 Übersicht 1 Einführung in die Ökonometrie 1.1 Was ist Ökonometrie? 1.2 Ökonomisches und Ökonometrisches Modell 1.3 Datentypen aus der Ökonomie 2 Das einfache Regressionsmodell 2.1 Ein ökonomisches Modell 2.2 Schätzen der Regressionsparameter 3 Statistische Tests 3.1 Hypothesentests 3.2 p-werte Prof. Dr. Dieter Nautz Einführung in die Methoden der Emp. WF 2 / 37

5 Einführung in die Ökonometrie 1.1 Was ist Ökonometrie? 1.1 Was ist Ökonometrie? Econometrics aims to give empirical content to economic relations for testing economic theories, forecasting, decision making, and for ex post policy evaluation. It is the unification of statistics, economic theory and mathematics that constitutes econometrics. Each view point, by itself is necessary but not sufficient for a real understanding of quantitative relations in modern economic life. (Source: Badi H. Baltagi, Econometrics, Springer, 4th Ed) Prof. Dr. Dieter Nautz Einführung in die Methoden der Emp. WF 3 / 37

6 Einführung in die Ökonometrie 1.1 Was ist Ökonometrie? 1.1 Was ist Ökonometrie? Ökonometrie liefert Methoden der Empirischen Wirtschaftsforschung Die Methoden der Ökonometrie ermöglichen z.b: die Verkaufszahlen eines Produktes vorherzusagen Umsatzänderungen aufgrund von Preisänderungen zu bestimmen die Effektivität einer neuen Werbekampagne zu überprüfen den Einfluss von Steuererhöhungen auf das Wirtschaftswachstum zu untersuchen... Prof. Dr. Dieter Nautz Einführung in die Methoden der Emp. WF 4 / 37

7 Einführung in die Ökonometrie Das ökonomische Modell 1.2 Ökonomisches und Ökonometrisches Modell Grundlage einer empirischen Untersuchung ist ein ökonomisches Modell Beispiel 1: makroökonomische Konsumfunktion Konsum = f (Einkommen) Beispiel 2: mikroökonomische Nachfragefunktion Q d = f (P, P s, P c, INC) P: Preis der Ware P s : Preis eines Substituts P c : Preis eines Komplementärgutes institution-logo Prof. Dr. Dieter Nautz Einführung in die Methoden der Emp. WF 5 / 37

8 Einführung in die Ökonometrie 1.2 Das ökonometrische Modell 1.2 Ökonomisches und Ökonometrisches Modell Ein ökonometrisches Modell besteht aus einem systematischen Teil und einem zufälligen Fehler e Der systematische Teil ist z.b. linear: Q d = f (P, P s, P c, INC) + e f (P, P s, P c, INC) = β 1 + β 2 P + β 3 P s + β 4 P c + β 5 INC so dass Q d = β 1 + β 2 P + β 3 P s + β 4 P c + β 5 INC + e Prof. Dr. Dieter Nautz Einführung in die Methoden der Emp. WF 6 / 37

9 Einführung in die Ökonometrie 1.3 Datentypen aus der Ökonomie 1.3 Datentypen aus der Ökonomie Zeitreihendaten: Daten, die über diskrete Zeitintervalle erhoben wurden Bsp: der jährliche Weizenpreis in den USA von 1880 bis 2007 Querschnittsdaten: Daten von bestimmten Stichprobeneinheiten, die über einen speziellen Zeitraum erhoben wurden Bsp: Einkommen pro Bezirk in einem Bundesland Paneldaten: Daten, die individuelle Untereinheiten über die Zeit abbilden Bsp: das Sozio-oekonomische Panel (SOEP) des DIW Prof. Dr. Dieter Nautz Einführung in die Methoden der Emp. WF 7 / 37

10 Einführung in die Ökonometrie Verschiedene Aggregationsniveaus 1.3 Datentypen aus der Ökonomie Mikro Daten: Daten über einzelne ökonomische Akteure: Personen, Haushalte oder Unternehmen Makro Daten: aggregierte Daten: bspw. die Inflationsrate in Europa, die Arbeitslosenrate in Berlin Prof. Dr. Dieter Nautz Einführung in die Methoden der Emp. WF 8 / 37

11 Einführung in die Ökonometrie Quantitative und Qualitative Daten 1.3 Datentypen aus der Ökonomie Quantitative Daten: Daten, die in Zahlen gemessen werden Bsp: Preise, Zinssätze, Verkaufszahlen, Pro-Kopf-Einkommen etc. Qualitative Daten: Daten, die entweder-oder -Situationen entsprechen Bsp: eine Person ist entweder verheiratet oder nicht Prof. Dr. Dieter Nautz Einführung in die Methoden der Emp. WF 9 / 37

12 Das einfache Regressionsmodell 2.1 Ein ökonomisches Modell 2.1 Ein ökonomisches Modell E(y x) = β 1 + β 2 x (2.1) Figure: Lineare Beziehung zwischen den durchschnittlichen Lebensmittelausgaben (y) einer Person und deren Einkommen (x) institution-logo Prof. Dr. Dieter Nautz Einführung in die Methoden der Emp. WF 10 / 37

13 Das einfache Regressionsmodell 2.1 Ein ökonomisches Modell Annahmen des einfachen linearen Regressionsmodells y = β 1 + β 2 x + e (Linearität des Zusammenhangs) E(e) = 0 (Fehler sind im Mittel 0) var(e) = σ 2 (Varianz der Fehler ist konstant = homoskedastisch) cov(e i, e j ) = 0 (einzelne Fehler unabhängig voneinander) Der Fehler e darf nicht von x abhängen. e N(0, σ 2 ) (Fehler normalverteilt) Prof. Dr. Dieter Nautz Einführung in die Methoden der Emp. WF 11 / 37

14 Das einfache Regressionsmodell 2.1 Ein ökonomisches Modell y, e und die wahre Regressionsgerade Prof. Dr. Dieter Nautz Einführung in die Methoden der Emp. WF 12 / 37

15 Das einfache Regressionsmodell 2.2 Schätzen der Regressionsparameter Scatterplot von Lebensmittelausgaben und Einkommen Prof. Dr. Dieter Nautz Einführung in die Methoden der Emp. WF 13 / 37

16 Das einfache Regressionsmodell 2.2 Schätzen der Regressionsparameter Die Methode der Kleinsten Quadrate (KQ) Die KQ Schätzer für β 1 und β 2 erhält man durch Minimierung von: N S(β 1, β 2 ) = (y i β 1 β 2 x i ) 2 i=1 Die Lösungen dieser Minimierungsaufgabe sind die KQ-Schätzer: b 2 = (xi x)(y i ȳ) (xi x) 2 (2.2) b 1 = ȳ b 2 x (2.3) (2.3) zeigt, dass ( x, ȳ) immer auf der Regressionsgerade liegen. Prof. Dr. Dieter Nautz Einführung in die Methoden der Emp. WF 14 / 37

17 Das einfache Regressionsmodell Die geschätze Regressionsgerade 2.2 Schätzen der Regressionsparameter Die geschätzte Regressionsgerade ist damit ŷ i = b 1 + b 2 x i (2.4) Die KQ Fehler sind ê i = y i ŷ i = y i b 1 b 2 x i (2.5) Prof. Dr. Dieter Nautz Einführung in die Methoden der Emp. WF 15 / 37

18 Das einfache Regressionsmodell 2.2 Schätzen der Regressionsparameter y, ê und die geschätzte Regressionsgerade Prof. Dr. Dieter Nautz Einführung in die Methoden der Emp. WF 16 / 37

19 Das einfache Regressionsmodell 2.2 Schätzen der Regressionsparameter Schätzwerte für die Lebensmittelausgabenfunktion b 2 = (xi x)(y i ȳ) (xi x) 2 = b 1 = ȳ b 2 x = Eine gängige Methode die geschätzte Regressionsgerade zu notieren: ŷ i = x i Prof. Dr. Dieter Nautz Einführung in die Methoden der Emp. WF 17 / 37

20 Das einfache Regressionsmodell Die geschätzte Regressionsgerade 2.2 Schätzen der Regressionsparameter Prof. Dr. Dieter Nautz Einführung in die Methoden der Emp. WF 18 / 37

21 Das einfache Regressionsmodell Interpretation der Schätzergebnisse 2.2 Schätzen der Regressionsparameter b 2 = gibt an, um wieviel $ die geschätzten Ausgaben für Lebensmittel steigen, wenn das Einkommen um $100 ansteigt. Eine (naive) Interpretation von b 1 = 83.42: die Lebensmittelausgaben eines Haushalts ohne Einkommen. Prof. Dr. Dieter Nautz Einführung in die Methoden der Emp. WF 19 / 37

22 Vorhersage Das einfache Regressionsmodell 2.2 Schätzen der Regressionsparameter Wie kann man die wöchentlichen Lebensmittelausgaben eines Haushalts mit einem wöchentlichen Einkommen von bspw. $2000 vorhersagen? Ersetze x = 20 in unserer geschätzten Gleichung: ŷ i = x i = = Wir schätzen, dass ein Haushalt mit einem wöchentlichen Einkommen von $2000 für Lebenssmittel $ pro Woche ausgeben wird. Prof. Dr. Dieter Nautz Einführung in die Methoden der Emp. WF 20 / 37

23 Das einfache Regressionsmodell 2.2 Schätzen der Regressionsparameter Regressionsergebnisse im Programmoutput Prof. Dr. Dieter Nautz Einführung in die Methoden der Emp. WF 21 / 37

24 Das einfache Regressionsmodell 2.2 Schätzen der Regressionsparameter institution-logo Die Erwartungswerte und Varianz von b 1 und b 2 Wenn die Annahmen unseres Modells erfüllt sind, dann gilt E(b 2 ) = β 2 (2.6) E(b 1 ) = β 1 (2.7) Man sagt, die KQ-Schätzer sind unverzerrt, denn es gibt keinen systematischen Schätzfehler. Die Varianz beschreibt die Unsicherheit oder Präzision einer Schätzung: [ ] x var(b 1 ) = σ 2 2 i N (x i x) 2 (2.8) var(b 2 ) = σ 2 (xi x) 2 (2.9) Prof. Dr. Dieter Nautz Einführung in die Methoden der Emp. WF 22 / 37

25 Das einfache Regressionsmodell 2.2 Schätzen der Regressionsparameter Die Varianz von b 2 Die Varianz von b 2 ist definiert als var(b 2 ) = E[b 2 E(b 2 )] 2 Figure: Zwei mögliche Dichtefunktionen für b 2 institution-logo Prof. Dr. Dieter Nautz Einführung in die Methoden der Emp. WF 23 / 37

26 Das einfache Regressionsmodell 2.2 Schätzen der Regressionsparameter Was beeinflusst die Präzision einer Schätzung? [ ] x var(b 1 ) = σ 2 2 i N (x i x) 2 1 Je größer die Varianz des Termes σ 2 ist, desto größer wird die Unsicherheit im statistischen Modell und damit die Varianzen der KQ Schätzer. 2 Je größer die Summe der Quadrate (x i x) 2 ist, desto kleiner wird die Varianz der KQ schätzer und umso präziser können wir die Paramter schätzen. 3 Je größer der Stichprobenumfang N ist, umso kleiner werden die Varianzen der KQ Schätzer. Prof. Dr. Dieter Nautz Einführung in die Methoden der Emp. WF 24 / 37

27 Das einfache Regressionsmodell 2.2 Schätzen der Regressionsparameter Der Einfluss der Varianz der erklärenden Variable x auf die Präzision der Schätzung Figure: (a) geringe Varianz in x, geringe Präzision (b) große Varianz in x, hohe Präzision Prof. Dr. Dieter Nautz Einführung in die Methoden der Emp. WF 25 / 37

28 Statistische Tests 3.1 Hypothesentests Test einer ökonomischen Hypothese Auch wenn theoretisch β 2 = 0 gilt, wird man praktisch b 2 0 finden. Sind die geschätzten Koeffizienten aber tatsächlich von Null verschieden oder schwanken die Werte von b 2 nur zufällig um die Null? Dafür führen wir statistische Tests durch: 1 Bestimme die Null- und die Alternativhypothese. 2 Spezifiziere die Teststatistik und deren Verteilung unter der Nullhypothese. 3 Wähle α (Signifikanzniveau) und bestimme die Ablehnregion. 4 Berechne die Teststatistik anhand der Stichprobenwerte. 5 Ziehe die entsprechende Schlussfolgerung. Prof. Dr. Dieter Nautz Einführung in die Methoden der Emp. WF 26 / 37

29 Hypothesentest Statistische Tests 3.1 Hypothesentests Die Nullhypothese H 0 spezifiziert einen Wert für einen Regressionsparameter H 0 : β 2 = c Die Alternativhypothese H 1 wird angenommen, falls die Nullhypothese abgelehnt wird. Für H 0 : β k = c ist eine mögliche Alternativhypothese: H 1 : β 2 c α bestimmt den Bereich für die Werte der Teststatistik, die zur Ablehnung der Nullhypothese führen. (α = 1%, 5%, 10%) Ist die Nullhypothese wahr, dann ist - die Wahrscheinlichkeit, dass die Teststatistik Werte im Ablehnbereich annimmt, kleiner als α Prof. Dr. Dieter Nautz Einführung in die Methoden der Emp. WF 27 / 37

30 Statistische Tests Tests: Ein Anwendungsbeispiel 3.1 Hypothesentests Jeder Test basiert auf der Verteilung der Teststatistik. Für H 0 : β k = c ist t = b k c se(b 2 ) t (N 2) (3.10) t-verteilt mit N 2 Freiheitsgraden. Unsere Beispielschätzung lieferte b 2 = und se(b 2 ) = Damit folgt für H 0 : b 2 = 0 und H 1 : b 2 0: t = b 2 se(b 2 ) = = 4.88 (3.11) 2.09 Prof. Dr. Dieter Nautz Einführung in die Methoden der Emp. WF 28 / 37

31 Statistische Tests 3.1 Hypothesentests Ablehnbereiche einer Teststatistik H 0 : β k = c gegen H 1 : β k c Lehne H 0 : β k = c ab und nimm H 1 : β k c an, wenn t t (1 α/2,n 2) Bemerkung : H 0 wird in beiden Fällen, b k zu klein oder zu groß, abgelehnt. institution-logo Prof. Dr. Dieter Nautz Einführung in die Methoden der Emp. WF 29 / 37

32 Statistische Tests Interpretation der Teststatistik 3.1 Hypothesentests Weil t = 4.88 > können wir die Nullhypothese, dass β 2 = 0 ablehnen und schließen daraus, dass ein statistisch signifikanter Zusammenhang zwischen Einkommen und Lebensmittelausgaben existiert. t = b 2 se(b 2 ) wird oft als t-statistik oder t-wert von b 2 bezeichnet Prof. Dr. Dieter Nautz Einführung in die Methoden der Emp. WF 30 / 37

33 Statistische Tests Fehler bei Testentscheidungen 3.1 Hypothesentests Wir treffen eine korrekte Entscheidung, wenn: die Nullhypothese falsch ist und wir sie verwerfen. die Nullhypothese wahr ist und wir sie nicht verwerfen. Dementsprechend gibt es zwei Fehlertypen: Typ I (α) Fehler: Die Nullhypothese ist wahr, aber wir verwerfen sie Typ II Fehler: Die Nullhypothese ist falsch, aber wir verwerfen sie nicht Prof. Dr. Dieter Nautz Einführung in die Methoden der Emp. WF 31 / 37

34 Statistische Tests Verallgemeinerte Hypothesentests 3.1 Hypothesentests 1 Angenommen die ökonomische Theorie behauptet H 0 : β 2 = 7.5: Ist dieser Wert mit unseren Schätzergebnissen vereinbar oder gilt H 1 : β 2 7.5? 2 Lösung: t = (b 2 7.5)/se(b 2 ) t (N 2) 3 Mit α =.05 wird die H 0 abgelehnt, wenn t Schätzung liefert: b 2 = und se(b 2 ) = 2.09: t = b se(b 2 ) = = Weil t = 1.29 < können wir zum Signifikanzniveau 5% die Nullhypothese nicht ablehnen, dass β 2 = Obgleich wir b 2 = schätzen, ist unsere Schätzung doch so unsicher, dass wir nicht ausschließen können, dass Haushalte tatsächlich nur $7.50 mehr für Nahrungsmittel ausgeben werden bei einem Einkommenszuwachs von $100. institution-logo Prof. Dr. Dieter Nautz Einführung in die Methoden der Emp. WF 32 / 37

35 Statistische Tests 3.1 Hypothesentests Schätzergebnisse für Nahrungsmittelausgaben Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C INCOME Als nächstes erklären wir Prob, das heißt den p-wert einer Teststatistik. Prof. Dr. Dieter Nautz Einführung in die Methoden der Emp. WF 33 / 37

36 Der p-wert Statistische Tests 3.2 p-werte Statistiksoftware gibt Testergebnisse oft in Form von p-werten aus. H 1 : β k c: p = Prob( t ˆt) p-wert Regel:Lehne die Nullhypothese ab p α. Der p-wert ist das marginale Signifikanzniveau eines Tests. Prof. Dr. Dieter Nautz Einführung in die Methoden der Emp. WF 34 / 37

37 p-werte im Beispiel Statistische Tests 3.2 p-werte für H 0 : β 2 = 7.5 und H 1 : β 2 7.5, t = 1.29 mit p-wert 0.20 institution-logo Prof. Dr. Dieter Nautz Einführung in die Methoden der Emp. WF 35 / 37

38 Statistische Tests Interpretation von p-werten 3.2 p-werte Im Schätzoutput, Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C INCOME beziehen sich p-werte auf den Signifikanztest H 0 : β k = 0 and H 1 : β k 0 Die Konstante (β 1 ) ist signifikant zum 10% aber nicht zum 5% Niveau. Angenommen nur positive Werte der Konstante sind plausibel, dann führt ein einseitiger Signifikanztest H 1 : β 1 > 0 zu einem p-wert von ! Prof. Dr. Dieter Nautz Einführung in die Methoden der Emp. WF 36 / 37

39 Zusammenfassung Statistische Tests 3.2 p-werte Ökonometrie ist das Teilgebiet der Wirtschaftswissenschaften, das die Methoden der Empirischen Wirtschaftsforschung behandelt Sie bildet die Brücke zwischen theoretischen Überlegungen und Daten Empirische Schätzungen sind stets mit Unsicherheit behaftet Statistische Tests können verwendet werden, um die Signifikanz von empirischen Zusammenhängen zu diskutieren Prof. Dr. Dieter Nautz Einführung in die Methoden der Emp. WF 37 / 37