Fahrradfelge ) 77. Fahrradfelge )

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1 Fahrradfelge ) Kreisel (Modell Fahrradfelge ) Ziel Bestimmung des Trägheitsmomentes eines Rades nach zwei Methoden: aus der Schwingungsdauer eines physikalischen Pendels und aus der Präzessionsfrequenz eines Kreisels unter Einwirkung eines Drehmomentes senkrecht zur Kreiselachse. Hinweise zur Vorbereitung Die Antworten auf diese Fragen sollten Sie vor der Versuchdurchführung wissen. Sie sind die Grundlage für das Gespräch mit Ihrer Tutorin/Ihrem Tutor vor dem Versuch. Informationen zu diesen Themen erhalten Sie in der unten angegebenen Literatur. 1. Wie ist das Trägheitsmoment definiert und was bedeutet es anschaulich? Wie ändert sich das Gesamtträgheitsmoment des Systems, wenn das Zusatzgewicht von innen nach außen verschoben wird? Wie ändert sich die Periodendauer? Was ist ein Drehmoment? Was versteht man unter einer Winkelrichtgröße? 2. Wie ist der Drehimpuls definiert? Wieso erhöht sich die Winkelgeschwindigkeit eines Eiskunstläufers, wenn er bei einer Pirouette die ausgestreckten Arme/das ausgestreckte Bein zum Körper zieht? 3. Was bedeutet Präzession, was Nutation? Wie verändert sich die Präzessionswinkelgeschwindigkeit, wenn das Gewicht am Haken erhöht wird? Was ist die Ursache für Nutation und wie kann sie in diesem Versuch vermieden werden? Zubehör Kreiselaufbau aus einem Fahrrad-Rad mit verschiebbarem Ausgleichsgewicht (siehe Abbildung 2.5.1). Die Felge ist zur Erhöhung des Trägheitsmoments mit Kupferdraht umwickelt. Zusatzgewicht zum Festklemmen an einer Speiche des Rades Gewichtsstücke der Massen 100 g und 200 g zwei Stoppuhren Handkurbel

2 78 2. Versuche zur Mechanik nur bei einem der Aufbauten zusätzlich: Netzgerät und Elektromotor zum vereinfachten Andrehen des Kreisels Abbildung : Aufbau des verwendeten Kreisels. Grundlagen Da Kreiselphänomene von grundlegender Bedeutung in der Physik sind, findet man in jedem Lehrbuch ein entsprechendes Kapitel (siehe z. B. [Gob74, Vog95, LP04]). Dabei bietet [LP04] neben vielen Beispielen im Text auch eine ganze Reihe von Videofilmen auf CD-ROM, allerdings erst in der 19. Auflage. Lesen Sie ruhig mehrere Beschreibungen, da jeder Autor etwas andere Formulierungen verwendet und das sicherlich zum Verständnis beitragen kann. Physikalisches Pendel Die Schwingungsdauer des verwendeten physikalischen Pendels beträgt bei kleinen Winkelamplituden in guter Näherung Θ ges T =2π (2.5.1) D

3 Fahrradfelge ) 79 mit Θ ges = Gesamtträgheitsmoment = Θ + m Z rz 2, (2.5.2) Θ =Trägheitsmoment des Rades allein, m Z = Masse des an der Speiche befestigten Zusatzgewichtes, r Z = Abstand von der Drehachse bis zum Schwerpunkt des Zusatzgewichtes, D = Winkelrichtgröße = m Z g r Z, (2.5.3) g = Erdbeschleunigung. Präzession des Kreisels Die Präzessionswinkelgeschwindigkeit des verwendeten Kreisels beträgt ω P = m g r Θ ω (2.5.4) mit m = Masse des am Haken angehängten Gewichtsstückes, g = Erdbeschleunigung, r = Abstand vom Drehgelenk auf der festen Kreiselstütze bis zum Haken, an dem das Gewichtsstück hängt, Θ =Trägheitsmoment des Rades allein, ω = Winkelgeschwindigkeit des Kreisels. Versuchsdurchführung Physikalisches Pendel: 1. Verschieben Sie das Ausgleichsgewicht so weit in Richtung auf das Rad, dass die Kreiselachse nach vorne kippt und sicher auf der verstellbaren Kreiselstütze aufgelegt werden kann. 2. Stellen Sie die Höhe der Kreiselstütze so ein, dass die Kreiselachse horizontal liegt. 3. Wiegen Sie das Zusatzgewicht und klemmen Sie es anschließend mit Hilfe der Rändelschraube an einer Speiche fest. 4. Messen Sie den Abstand von der Drehachse bis zur Mitte des Zusatzgewichtes. 5. Lassen Sie das so aufgebaute physikalische Pendel mit kleiner Winkelamplitude (ca. 5 ) um die Ruhelage schwingen und bestimmen Sie die Schwingungsdauer.

4 80 2. Versuche zur Mechanik Hinweis: Überlegen Sie sich, warum die Winkelamplituden klein sein sollen. Lassen Sie das Pendel zu diesem Zweck auch einmal mit sehr großer Winkelamplitude (bis hinzu180 ) schwingen und beobachten Sie den Unterschied. Präzession des Kreisels: 6. Entfernen Sie das Zusatzgewicht und verschieben Sie das Ausgleichsgewicht so, dass der Kreisel auch ohne Stütze im Gleichgewicht ist (seine Achse also z. B. horizontal stehen bleibt, wenn man sie loslässt). 7. Hängen Sie ein Gewichtsstück an den Haken am Ende der Drehachse und bestimmen Sie mehrfach die Drehfrequenz f des Kreisels 1 und seine Präzessionswinkelgeschwindigkeit ω P. Bestimmen Sie zuvor die Länge des Hebelarms (Abstand der vertikalen Drehachse vom Haken). Hinweise: Drücken Sie zum Andrehen des Kreisels die Kreiselachse mit Ihrer schwächeren Hand fest auf die Stütze und kurbeln ihn mit Ihrer stärkeren Hand kräftig an. Bei einem der Aufbauten können Sie dies auch mit Hilfe des Elektromotors durchführen. Danach versenken Sie schnell die Stütze, damit Sie bei der Präzessionsbewegung nicht im Weg ist. Nutationen lassen sich vermeiden, wenn der Kreisel zu Beginn der Präzessionsbewegung parallel zur Tischfläche mitgeführt wird. 8. Wiederholen Sie Punkt 7 für insgesamt mindestens drei verschiedene Gewichtsstücke. Auswertung 1. Berechnen Sie nach Gleichung (2.5.1) das Trägheitsmoment des Rades aus der Periodendauer des physikalischen Pendels. Beachten Sie dabei die notwendige Korrektur für das Zusatzgewicht. 2. Berechen Sie nach Gleichung (2.5.4) das Trägheitsmoment des Rades aus der Präzessionsfrequenz des Kreisels. 3. Vergleichen Sie die unter den Punken 1 und 2 erhaltenen Ergebnisse miteinander. 1 Da der Kreisel nach und nach langsamer wird, messen Sie zu Beginn und zu Ende des Präzessionsumlaufs und bilden bei der Auswertung den Mittelwert.

5 Fahrradfelge ) 81 Fragen und Aufgaben 1. Erläutern Sie die Zusammenhänge zwischen den Grundgrößen einer Drehbewegung und vergleichen Sie mit den entsprechenden Zusammenhängen bei linearen Bewegungen. 2. Wie steuert man ein Fahrrad beim Freihändigfahren? Ergänzende Informationen Kommentar zur Erklärung der Präzessionsbewegung Im Zusammenhang mit der Präzession eines Kreisels trifft man häufig auf Formulierungen, die das anschauliche Verständnis möglicherweise mehr behindern als fördern. So liest man gelegentlich, dass ein Kreisel einer auf ihn wirkenden Kraft senkrecht ausweicht. 2 Problematisch an diesen Formulierungen ist, dass suggeriert wird, ein Kreisel würde sich prinzipiell anders verhalten als ein Nicht-Kreisel, der ja nach dem newtonschen Aktionsprinzip ( Kraft = Masse Beschleunigung ) in Richtung der auf ihn wirkenden Kraft beschleunigt wird. Auch wenn die weiteren Erklärungen im Text von Lehrbüchern üblicherweise eine korrekte Beschreibung der Kreiselbewegung liefern, ist diese an den Anfang gestellte Unterscheidung doch unnötig verwirrend. Selbstverständlichgeltenauchfür einen Kreisel die Grundgleichungen der Mechanik! Man muss den Vorgang ein wenig genauer betrachten, um ihn besser zu verstehen. Insbesondere der Beginn der Präzessionsbewegung im durchgeführten Praktikumsversuch hat es in sich. Wie bei der Versuchsdurchführung beschrieben, darf man den Kreisel nicht einfach loslassen, nachdem man ein Zusatzgewicht an das Ende der Stange angehängt hat, wenn man eine reine Präzession beobachten will. Man muss ihn vielmehr horizontal ein Stückchen mitführen. 3 Warum eigentlich? 2 Hier z. B. zwei derartige Formulierungen aus [Vog95] S (Rechtschreibung und Hervorhebungen übernommen, Unterstreichungen hinzugefügt): Der Kreisel Kreisel wie rotierende Himmelskörper oder technische rotierende Teile verhalten sich ziemlich paradox: Wenn man sie z. B. zu kippen versucht, weichen sie seitlich aus. Hat man den Vektorcharakter von Drehmoment und Drehimpuls durchschaut, wird das alles klar. Präzession des Kreisels Man halte einen symmetrischen Kreisel, z. B. das Rad eines Fahrrades, an den Enden der Achse und versetze ihn in kräftige Rotation. Es ist klar, daß die Achse ihre Richtung beizubehalten versucht. Wei verhält sie sich aber, wenn man diese Richtung mit Gewalt schwenken will? Ganz überraschend: Die Achse drängt senkrecht zur beabsichtigten Schwenkrichtung davon. Man unterstütze z. B. nur ein Achsende und halte die Achse schräg. Dann übt die Schwerkraft ein konstantes kippendes Drehmoment auf den Kreisel aus. Die Achse weicht senkrecht zu dieser Kraft, also horizontal aus, falls man mit dem unterstützenden Finger entsprechend mitgeht. Durch dieses Ausweichen wird die Größe des Drehmoments der Schwerkraft natürlich nicht beeinflußt. So muß die Achse auf einem Kegelmantel rotieren, eine Präzessionsbewegung ausführen. 3 Übrigens wirklich zur Seite mitführen und nicht nach oben schubsen, wie das z. B. in [TM04] auf S. 297 (auch in anderen Auflagen) zu lesen ist. Die Erklärung in diesem Buch ist sonst aber sehr

6 82 2. Versuche zur Mechanik Verlässt man das Bezugssystem Labor, das in guter Näherung ein Inertialsystem darstellt, und begibt man sich stattdessen in ein beschleunigtes Bezugssystem, das mit dem Kreisel umläuft, so muss man in die Beschreibung zusätzliche Kräfte mit einbeziehen: die Zentrifugalkraft und die Coriolis-Kraft. Die quantitative Beschreibung ist nicht trivial,abersehrschön nachzulesen z. B. in [Fre71] S Dort wird gezeigt, dass die Beschreibung der Präzessionsbewegung durchaus ohne Zuhilfenahme der Größen Drehimpuls und Trägheitsmoment möglich ist. Allerdings wird sie auch dadurch nicht gerade selbstverständlich. Literaturhinweise Allgemein: Standardlehrbücher, z. B. [Gob74, Vog95, LP04]. Eine recht anschauliche Darstellung der Vorgänge beim Kreisel findet sich auch in der Staatsexamensarbeit von David Himmel [Him98]. 4 Die Arbeit enthält leider einige Tippfehler, ist aber sonst sehr schön geschrieben und gut verständlich. Es kann sehr instruktiv sein, die Kreiselbewegung einmal ohne Zuhilfenahme des Drehimpulsbegriffes zu beschreiben. Man kommt auch mit der newtonschen Bewegungsgleichung F = m a, sowiedercoriolis- und Zentrifugalkraft aus. Es gibt in der Literatur einige Artikel zu diesem Thema. Besonders empfehlenswert ist [Fre71] S und die dort zitierten älteren Arbeiten [Sea39, Bar60, Sni65]. 5 Auch [Vog95] enthält einen Abschnitt zur anschaulichen Erklärung der Präzessionsbewegung. Zur Präzession magnetischer Dipolmomente von Elektronen in Magnetfeldern finden sich ausführliche Darstellungen in Büchern über Atomphysik wie z. B. [HW87]. Literaturverzeichnis [Bar60] Barker, Ernest F.: Elementary analysis of the gyroscope. American Journal of Physics, 28: , [Fre71] French, Anthony P.: Newtonian Mechanics. The M.I.T. Introductory Physics Series. Thomas Nelson and Sons ltd., London, [Fre96] French, Anthony P.: Newtonsche Mechanik Eine Einführung in die klassische Mechanik. Walter de Gruyter, Berlin, [Gob74] Gobrecht, Heinrich: Bergmann-Schaefer Lehrbuch der Experimentalphysik, Band I: Mechanik, Akustik, Wärme. Walter de Gruyter, Berlin, 9. Auflage, gut. Gemeint ist vermutlich Drehimpuls bzw. Drehmoment nach oben, was ja einem Stoß zur Seite entspricht. 4 Diese Arbeit ist für den internen Gebrauch auch auf dem AP-Server abrufbar. 5 Es gibt auch eine deutsche Übersetzung: [Fre96] S Leider sind bei der Übersetzung ein paar Tippfehler hineingeraten. Auf dem AP-Server liegt deshalb eine korrigierte Version. In [Him98] ist ebenfalls eine verkürzte Darstellung enthalten, die auf [Fre96] basiert. Allerdings enthält sie noch mehr Tippfehler.

7 Fahrradfelge ) 83 [Him98] Himmel, David: Theorie und Experimente zum mechanischen Kreisel als Grundlage eines Experimentes im Anfängerpraktikum. Diplomarbeit, Universität Köln, Staatsexamensarbeit. [HW87] Haken, Hermann und Hans Christoph Wolf: Atom- und Quantenphysik. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 3. Auflage, [LP04] [Sea39] Lüders, Klaus und Robert Otto Pohl: Pohls Einführung in die Physik Mechanik, Akustik und Wärmelehre. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 19. Auflage, ursprünglich erschienen als erster von drei Bänden unter demtitel:r.w.pohl: Einführung in die Physik. Sears, Francis W.: A three-dimensional diagram of gyroscopic precession. The American Physics Teacher, 7: , [Sni65] Snider, J. L.: Gyroscopic precession. American Journal of Physics, 33(10):847, [TM04] Tipler, Paul A. und Gene Mosca: Physik für Wissenschaftler und Ingenieure. Elsevier GmbH, München, 2. Auflage, (2. Auflage der deutschen Übersetzung 2004 basierend auf 5. Auflage der amerikanischen Originalausgabe 2003). [Vog95] Vogel, Helmut: Gerthsen - Physik. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 18. Auflage, 1995.