Eckhard Rebhan. Theoretische Physik. Band 2

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1 Eckhard Rebhan Theoretische Physik Band 2 Quantenmechanik, Relativistische Quantenmechanik, Quantenfeldtheorie, Elementarteilchentheorie, Thermodynamik und Statistik ELSEVIER SPEKTRUM AKADEMISCHER VERLAG

2 Inhaltsverzeichnis I Quantenmechanik 1 1 Einleitung zur Quantenmechanik 3 2 Empirische Grundlagen der Quantentheorie Konzepte der klassischen Physik: Teilchen und Wellen Quanteneffekte und Teilcheneigenschaften bei Wellen Hohlraumstrahlung Photoelektrischer Effekt Compton-Effekt Weitere Beispiele Welle-Teilchen-Dualismus Quanteneffekte und Welleneigenschaften bei Teilchen Atomismus der Materie Einsteinsche Theorie der Wärmekapazität Stern-Gerlach-Experiment und Drehimpulsquantisierung Materiewellen und Beugung von Elektronenstrahlen Deutung des Atombaus aus Quantenerscheinungen Bohrsches Atommodell Franck-Hertz-Versuch Ältere Quantentheorie Quantisierungsregeln und Korrespondenzprinzip Versagen der älteren Quantentheorie 31 Aufgaben 31 3 Wellenmechanik Welle-Teilchen-Relationen bei Materiewellen Schrödinger-Gleichung für Einzelteilchen Einfacher Zugang zur Schrödinger-Gleichung Wirkungsfunktion der klassischen Mechanik Vertiefter Zugang zur Schrödinger-Gleichung Geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld Schrödinger-Gleichung in krummlinigen Koordinaten Eigenschaften der Schrödinger-Gleichung Rechnen mit linearen Operatoren Physikalische Bedeutung der Wellenfunktion und Erhaltungssätze Zeitverhalten der Größe Statistische Interpretation der Quantenmechanik und induktive Feldquantisierung 61

3 3.4.3 Quantenwahrscheinlichkeiten Energieerhaltung Quantenmechanischen Sätze für den mittleren Ort, Impuls und Drehimpuls eines Teilchens Schrödinger-Gleichung für Systeme Wechsel wirkender Teilchen Interpretation und Normierung von Zeitverhalten von Mittelwerten Formale Korrespondenz mit der klassischen Mechanik Kanonische Form der quantenmechanischen Gleichungen Vergleich mit den Poisson-Klammer-Formulierung der Mechanik Symmetrie und Erhaltungssätze Mathematischer Formalismus der Wellenmechanik Darstellung physikalischer Größen durch hermitesche Operatoren Heisenbergsche Unbestimmtheitsrelationen Fehlende Streuung, Eigenzustände hermitescher Operatoren und stationäre Lösungen der Schrödinger-Gleichung Energie-Zeit-Unschärferelation Eigenfunktionen und Spektrum hermitescher Operatoren Vollständigkeitsrelationen und Entwicklung nach Eigenfunktionen Gemeinsame Eigenfunktionen kommutierender Operatoren und Festlegung der Zustände bei Entartung Zur Hermitezität Observablen repräsentierender Operatoren Amplitudendarstellung der Schrödinger-Gleichung Anhang 116 Aufgaben Einfache Anwendungen der Wellenmechanik Systeme mit einem Freiheitsgrad Brechung monochromatischer Materiewellen Tunneleffekt Eigenlösungen von H für eine Potentialmulde Eindimensionaler harmonischer Oszillator 141 Exkurs 4.1: Erzeugungs-und Vernichtungsoperatoren Anharmonischer Oszillator Systeme mit mehreren Freiheitsgraden Variablentrennung beim Zwei-Körper-Problem Eigenwertspektrum der Operatoren L 2 und L z Kugelfunktionen als Eigenfunktionen von L 2 und L z Wasserstoffatom Coulomb-Streuung Normaler Zeeman-Effekt des H- Atoms Zweiatomige Moleküle 179 Aufgaben Meßgrößen und Meßprozeß Klassische Messungen 194

4 5.2 Definition quantenmechanischer Meßgrößen Nicht-klassische Observablen Paritätsoperator Bohm-Aharonov-Effekt Deutung von Mittelwert und Streuung Erste und zweite Reduktion der Wellenfunktion Unschärferelationen und prinzipielle Meßgenauigkeit Orts-Impuls-Unschärferelation Unschärferelationen und Energieerhaltung Zur Messung mit Licht 224 Aufgaben Quantenmechanik in Hilbert-Räumen Darstellungen der Quantenmechanik Mathematische Grundlagen Hilbert-Räume Uneigentliche Hilbert-Raum- Vektoren Hilbert-Raum-Operatoren Komponenten von Vektoren und Operatoren Unitäre Operatoren und unitäre Transformationen Formulierung der Quantenmechanik in Hilbert-Räumen Grundpostulate 247 Exkurs 6.1: Klassische und Quanten-Wahrscheinlichkeiten Quantenmechanische Bewegungsgleichung im Schrödinger-Bild Quantenmechanische Bewegungsgleichung im Heisenberg-Bild Operatoren für Ort, Impuls und Energie Ortsdarstellung und Übergang zur Wellenmechanik Feynmansche Pfadintegralmethode Meßprozeß und Hilbert-Raum-Operatoren Allgemeine Operatoren als Meßgrößen Dichteoperatoren 275 Aufgaben Spin 1/ Experimente zum Elektronenspin Stern-Gerlach-Versuch Anomaler Zeeman-Effekt Dublett-Aufspaltung Einstein-de Haas-Effekt Zur Deutung des Elektronenspins Theoretische Beschreibung des Spins Direkter Produktraum Postulate für den Spin 1/ Spinoren, Pauli-Matrizen und Pauli-Gleichung Wahrscheinlichkeiten, Kontinuitätsgleichung und Erwartungswerte Einfache Anwendungen 299

5 7.4.1 Präzession des Spins im Magnetfeld Anomaler Zeeman-Effekt des H-Atoms Spinresonanz und Rabi-Versuch Addition von Drehimpulsen Vertauschungsrelationenvon J1, J2und J=J1+J Spektrum von J 2 und J z Eigenzustände von J 2 und J z Spin-Bahn-Kopplung 313 Aufgaben Störungsrechnung und Näherungsverfahren Stationäre Störung nicht-entarteter Eigenzustände Formale Lösung des Problems Explizite Näherungslösungen Zur Anwendbarkeit der Störungsrechnung Stationäre Störung entarteter Eigenzustände Störenergie erster Ordnung und neue Basisvektoren Transformation des Eigenwertproblems Störungstheorie für das transformierte Problem Ausnutzung von Symmetrieeigenschaften Rayleigh-Ritzsches Näherungsverfahren Variationsform des Eigenwertproblems Rayleigh-Ritz-Methode Zeitabhängige Störungsrechnung Problemstellungen Wechselwirkungsbild Störungsrechnung Übergänge erster Ordnung WKB-Näherung 354 Aufgaben Systeme identischer Teilchen Modellsystem zweier identischer Teilchen ohne Spin System vieler identischer Teilchen mit Spin Symmetrische Darstellung der Teilchenzustände Permutationsoperatoren Übergang zu neuen Basiszuständen Symmetriezerlegung und Separation der Bewegungsgleichung Vollständigkeitsrelation und Orthonormierung Symmetrisierungspostulat und Spin-Statistik-Theorem Ausschließungsprinzip von Pauli Nicht-Berücksichtigung ferner Teilchen Heliumatom Zustandsraum der Spinzustände Kombinierte Spin-Bahn-Zustände Eigenwertproblem der Bahnzustände 392

6 9.3.4 Berechnung der Eigenwerte und Eigenfunktionen Atombau und Periodensystem der Elemente Schalenmodell Hartree-Fock-Näherung Periodensystem der Elemente Moleküle Born-Oppenheimer-Näherung Wasserstoffmolekül Klassifizierung der Molekülspektren 419 Aufgaben Interpretation und Probleme der Quantenmechanik Vollständigkeit der Quantentheorie De Broglies Schachtel-Paradoxon 429 Exkurs 10.1: Modifikation des Doppelspaltexperiments* Von-Neumann-Theorem Gesamtheit der Messungen an einem Spin- 1/2-System Konsequenzen der Existenz verborgener Variablen Von-Neumann-Theorem Gegenbeispiel Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon Vorbetrachtung Ursprüngliches EPR-Paradoxon Bohmsche Variante des EPR-Paradoxons Bellsche Ungleichung Experimentell überprüfbare Ungleichungen Versuche zur Auflösung des EPR-Paradoxons Bohmsche Mechanik Ein-Teilchen-System Mehr-Teilchen-Systeme Schrödingers Katze, Meßproblem und Dekohärenz 473 Aufgaben 478 II Relativistische Quantenmechanik Einleitung zur Relativistischen Quantenmechanik Dirac-Theorie des Elektrons und des Neutrinos Ergebnisse der klassischen relativistischen Mechanik Aufstellung der Dirac-Gleichung Dirac-Gleichung im kräftefreien Fall Bestimmung der Dirac-Matrizen a1 und ß Dirac-Gleichung mit elektromagnetischem Feld Operatoren, Mittelwerte und Ehrenfestsches Theorem Ebene-Welle-Lösungen für freie Teilchen 498

7 12.5 Wellenpakete und Gruppengeschwindigkeit Frontgeschwindigkeit von Wellenpaketen Mischung positiver und negativer Energien Nicht-relativistischer Grenzfall der Dirac-Gleichung Zeitunabhängige Felder A und Zeitabhängige Felder A und 517 Exkurs 12.1: Ableitungs-Linearisierung der Schrödinger-Gleichung Spinoperator Kovarianz der Dirac-Gleichung 523 Exkurs 12.2: Allgemeines Transformationsgesetz für Dirac-Spinoren Eigenschaften der Dirac-Matrizen Kovariante Kontinuitätsgleichung Diracs Löchertheorie und Theorie des Positrons Lösungen negativer Energie und Löchertheorie Positronlösungen durch Ladungskonjugation P-Invarianz, T-Invarianz und CPT-Symmetrie Dirac-Gleichung für Neutrinos Viel-Teilchen-Phänomene in der Dirac-Theorie Kleinsches Paradoxon Polarisation des Vakuums Orts-Impuls-Unschärferelation und Paarerzeugung. 558 Aufgaben Anwendungen der Dirac-Theorie Zitterbewegung des Elektrons Zerlegung der Dirac-Gleichung in zwei zweikomponentige Gleichungen Freie Teilchen Teilchen mit elektromagnetischer Wechselwirkung Zur Feinstruktur des Wasserstoffatoms Relativistisches Wasserstoffatom bei ruhendem Kern Einführen von Polarkoordinaten und Variablenseparation Lösung für die winkelabhängigen Funktionen Lösung der Radialgleichungen, Energieeigenwerte und Eigenzustände Diskussion der Energieniveaus Zur Hyperfeinstruktur des Wasserstoffatoms 590 Aufgaben Klein-Gordon-Theorie Klein-Gordon-Schrödinger-Gleichung Nicht-relativistischer Grenzfall Schrödinger-Form der Klein-Gordon-Schrödinger-Gleichung Geschwindigkeitsoperator Ebene-Welle-Lösungen für freie Teilchen Ladungskonjugation Reinterpretation der Klein-Gordon-Theorie 603

8 Kontinuitätsgleichung, Teilchendichte und Teilchenstrom Physikalische Interpretation Ladungskonjugation und CPT-Symmetrie 607 Aufgaben 608 III Quantenfeldtheorie Einleitung zur Quantenfeldtheorie Fock-Darstellung von Viel-Teilchen-Zuständen Darstellung von N-Teilchen-Zuständen Erzeugungs-und Vernichtungsoperatoren für Bosonen Erzeugungs-und Vernichtungsoperatoren für Fermionen Besetzungszahl- und Teilchenzahloperatoren Darstellung physikalischer Observablen durch Erzeuger und Vernichter Feldoperatoren Unitäre Transformation zu Feldoperatoren Darstellung physikalischer Observablen durch Feldoperatoren. 629 Aufgaben Klassische relativistische Feldtheorie Mechanisches Beispiel einer Feldtheorie Hamiltonsches Prinzip für Feldtheorien Hamiltonsche Bewegungsgleichungen für Feldtheorien Anwendung auf spezielle Felder Schrödinger-Feld Klein-Gordon-Schrödinger-Feld Maxwell-Feld Dirac-Feld Noether-Theorem und Erhaltungssätze Ableitung des allgemeinen Noether-Theorems Translationsinvarianz und Energie-Impuls-Erhaltung Rotationsinvarianz und Drehimpulserhaltung Eichinvarianz und Ladungserhaltung 662 Aufgaben Kanonische Feldquantisierung Quantisierung des Schrödinger-Feldes Quantisierung für Bosonen Jordan-Wigner-Quantisierung für Fermionen Zur physikalischen Bedeutung der Feldquantisierung Quantisierung des Klein-Gordon-Schrödinger-Feldes Bosonische Feldquantisierung Lorentz-invarianteVertauschungsrelationen Mikrokausalität 694

9 18.3 Quantisierung des Maxwellschen Vakuumfeldes Zahl der Freiheitsgrade des freien Feldes Vertauschungsrelationen und Bewegungsgleichung Entwicklung nach Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren Energie und Impuls der Photonen Teilchenzahloperatoren und Metrik des Photonen-Hilbert-Raums Berücksichtigung der Lorentz-Eichung Photonenspin Vakuumfluktuationen Quantisierung des freien Dirac-Feldes Bewegungsgleichung für den Feldoperator Entwicklung nach ebenen Wellen Eigenschaften der Spinoren u(l,p) und v(l,p) 723 Aufgaben Wechselwirkende Felder 728 Exkurs 19.1: Erinnerung an das Wechselwirkungsbild Zeitgeordnete Produkte Wicksches Theorem Propagatoren Feynman-Propagator des Klein-Gordon-Schrödinger-Feldes Exkurs 19.2: Hilfsmittel aus der Funktionentheorie Feynman-Propagator des Dirac-Feldes Feynman-Propagator des Maxwell-Feldes Anwendung der Störungstheorie auf Streuprozesse 751 Aufgaben Quantenelektrodynamik Alphabet der Feynman-Diagramme Streuprozesse erster Ordnung Streuprozesse freier Teilchen Elektronenstreuung an festem Kern Streuprozesse zweiter Ordnung Übergangsamplituden Wirkungsquerschnitt von Zwei-Teilchen-Stößen Teilchenzerfälle Feynman-Regeln Feynman-Regeln der QED im Impulsraum Korrekturen vierter Ordnung Strahlungskorrekturen Primitiv divergente Feynman-Graphen Vakuumgraphen und Fermionenringe Photon-Photon-Streuung Selbstenergien, Vertexkorrektur und Ward-Identität Dimensionsmäßige Regularisierung 807 Exkurs 20.1: Mathematische Hilfsmittel zur Regularisierung 808

10 20.10 Renormierung Vorbereitung Renormierung in niedrigster Ordnung Auswirkungen regulärer Strahlungskorrekturen Uehling-Potential Anomales magnetisches Moment des Elektrons Strahlungskorrekturen höherer Ordnung und Renormierbarkeit Quantentheorie versus Quantenfeldtheorie 842 Aufgaben 846 IV Einführung in die Elementarteilchentheorie Einleitung zur Elementarteilchentheorie Historischer Rückblick auf die Entdeckung der Elementarteilchen Erster Überblick 863 Aufgaben Elemente der Gruppentheorie Definitionen Morphismen, Wirkung und Darstellung von Gruppen Matrixgruppen Lie-Gruppen und Generatoren Lineare Lie-Gruppen Lie-Algebra der Generatoren Erzeuger der Gruppe SU(2) Gruppe SO(3) Lokale Äquivalenz der Gruppen SU(2) und SO(3) Gruppe SU(3) Höherdimensionale Darstellungen der Gruppe SU(2) Gruppen und Symmetrien Anhang: Ergebnisse aus der Matrizentheorie Invarianten äquivalenter Matrizen Determinante der Matrix e J Determinante unitärer Matrizen Eigenschaften der Pauli-Matrizen 898 Aufgaben Gruppierung von Teilchenzuständen Spin 1/2 und Gruppe SU(2) Isospin Farbladung und Gruppe SU (3) Baryonen aus u, d und s Mesonen aus u, d und s 916 Aufgaben 918

11 24 Teilchen, Felder und Lagrange-Funktion Lagrange-Funktion und Hamiltonsches Variationsprinzip für Felder Klein-Gordon-Schrödinger-Gleichung Maxwell-und Proca-Gleichungen Lorentz-Invarianz und Dirac-Gleichung 922 Aufgaben Eichinvarianz und Eichfelder U(l)-Invarianz von Klein-Gordon-Schrödinger-und Dirac-Feld SU(2)-Invarianz und Yang-Mills-Feld Feldgleichungen für das Yang-Mills-Feld SU(3)-Invarianz und Gluonenfeld 942 Exkurs 25.1: Geometrische Interpretation der kovarianten Ableitung Gebrochene Eichsymmetrie und Ruhemassen Brechung einer globalen U(l)-Symmetrie Brechung einer lokalen U(l)-Symmetrie und Higgs-Mechanismus 951 Aufgaben Standardmodell Voraussetzungen des Standardmodells Weinberg-Salam-Theorie der elektroschwachen Wechselwirkung Leptonenanteil L 957 Exkurs 26.1: Fall unterschiedlicher U(l)-Kopplungsfelder Lagrange-Dichte. B für freie Bosonenfelder Modifizierte Maxwell-Gleichungen Einbeziehung der Quarks U(l)- und SU(2)-invarianter -Anteil der Quarks SU(3)-invarianter -Anteil der Quarks: Quantenchromodynamik Erklärung der Teilchenmassen mit Hilfe eines Higgs-Feldes Bosonenmassen Leptonenmassen Ruhemassen freier Quarks 980 Exkurs 26.2: Quarkeinschluß und Gluonen Quarkmischung Gesamt-Lagrange-Dichte Kosmologische Implikationen des Higgs-Feldes Experimentelle Tests des Standardmodells Nachweis der Eichbosonen Zahl der Familien Weitere Tests Zum Nachweis des Higgs-Bosons Anhang zur Diagonalisierung von Matrizen 998 Aufgaben Über das Standardmodell hinausführende Entwicklungen Neutrinomassen und Neutrinooszillationen 1001

12 Neutrinos als massive Majorana-Teilchen Neutrinooszillationen Große Vereinheitlichungstheorien Supersymmetrie, Einbindung der Gravitation und Superstringtheorien Aufgaben 1016 V Thermodynamik und Statistik Einleitung zur Thermodynamik und Statistik Grundlagen aus Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Wahrscheinlichkeitsbegriff Bedingte Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeiten bei Experimentfolgen Zufallsvariablen 1030 Aufgaben Klassische statistische Mechanik idealer Gase im -Raum Elementare Kinetik idealer Gase im Gleichgewicht Vorbetrachtung und Definitionen Verteilungsfunktion und Maxwell-Verteilung Innere Energie, Temperatur, Druck und ideales Gasgesetz Typische mittlere Geschwindigkeiten und mittlere Stoßzeit Elementare kinetische Theorie von Transportvorgängen Wärmeleitung Viskosität Systematische Theorie von Nicht-Gleichgewichtsvorgängen Liouville-Satz im -Raum und stoßfreie Boltzmann-Gleichung Definition und Berechnung des Stoßterms Transportgleichung, H-Theorem und Entropie Lokale Maxwell-Verteilungen und thermisches Gleichgewicht Reversibilitätseinwände und Schwankungserscheinungen Entropie und a-priori-wahrscheinlichkeit Makroskopische Behandlung von Ausgleichsvorgängen Relaxationszeitnäherung Erster und zweiter Hauptsatz für ideale Gase Entropie-Bilanzgleichung und Entropieproduktion 1108 Aufgaben Makroskopische Gleichgewichts-Thermodynamik Gleichgewichtszustände und Zustandsänderungen Zustandsvariablen und Nullter Hauptsatz der Thermodynamik Zustandsgieichungen Zustandsänderungen Materialkoeffizienten einfacher Substanzen 1122

13 31.2 Erster Hauptsatz der Thermodynamik Arbeit, Wärmemenge und Wärmekapazität Erster Hauptsatz Einfache Folgerungen für Systeme mit zwei Freiheitsgraden Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik Entropie idealer Gase Carnotscher Kreisprozeß Zweiter Hauptsatz Irreversible Vorgänge in nicht abgeschlossenen Systemen Energiequalität: Exergie und Anergie Energiewandlung und Wirkungsgrade Wirkungsgrad nicht-idealer Carnot-Maschinen Entropieproduktion nicht-idealer Carnot-Maschinen Thermodynamische Temperaturskala Negative Temperaturen Einfache Folgerungen für Systeme mit zwei Freiheitsgraden Dritter Hauptsatz der Thermodynamik Dritter Hauptsatz Folgerungen aus dem dritten Hauptsatz Formale Struktur und systematische Methoden der Thermodynamik Fundamentalgleichung Intensive Zustandsvariablen und Zustandsgieichungen Euler-Gleichung und Gibbs-Duhem-Relation Anwendung auf Systeme mit zwei Freiheitsgraden Maxwell-Relationen Gleichgewichtsbedingungen für abgeschlossene Systeme Stabilitätsbedingungen für Systeme mit zwei Freiheitsgraden ThermodynamischePotentiale U,F, H und G Gleichgewichtsbedingungen in nicht-abgeschlossenen Systemen Spezielle Anwendungen Chemische Reaktionen Thermodynamik mehrphasiger Systeme Phasenübergänge zweiter Art und kritische Phänomene Aufgaben Raum-Statistik klassischer Systeme Mechanische und statistische Grundlagen Systembeschreibung im -Raum Liouville-Satz und Poincaresches Rekurrenztheorem Ensembles und Wahrscheinlichkeitsdichte Liouvillesche Evolutionsgleichung Gleichgewicht und Einstellung des Gleichgewichts Stationäre Ensembledichten Entropiesatz und Einstellung des Gleichgewichts Statistische Gleichgewichtsensembles Abgeschlossene Systeme und mikrokanonische Gesamtheit

14 System im Wärmebad und kanonische Gesamtheit Äquivalenz der mikrokanonischen und kanonischen Verteilung System mit Teilchenaustausch und großkanonische Gesamtheit Zusammenhang mit dem ersten und zweiten Hauptsatz Arbeitszufuhr bei quasistatischen Prozessen Erster Hauptsatz und quasistatische Wärmezufuhr Zweiter Hauptsatz Anwendungen der klassischen Statistik Maxwell-Boltzmann-Verteilung idealer Gase Äquipartitionstheorem und Virialsatz Schwankungserscheinungen Gibbssches Paradoxon Mischungen idealer Gase Reale Gase Entropie und Ordnung Dritter Hauptsatz und Notwendigkeit einer Quantenstatistik 1278 Aufgaben Konfigurationsraum-Statistik von Quantensystemen Quantenmechanische und statistische Grundlagen Dichtematrix Liouvillesche Evolutionsgleichung der Quantenmechanik Rekurrenztheorem der Quantenmechanik Äquivalenz von Zeit-und Ensemblemittelwerten Gleichgewicht und Einstellung des Gleichgewichts Stationäre Ensembledichten Eigenschaften reiner und gemischter Gesamtheiten Kleinsche Ungleichung Vergröberte Dichte und -Theorem Statistische Gleichgewichtsensembles Mikrokanonische Gesamtheit Kanonische Gesamtheit Großkanonische Gesamtheit Zusammenhang mit den Hauptsätzen Anwendungen der Quantenstatistik Harmonischer Oszillator und spezifische Wärme von Festkörpern Großkanonische Parameter ß und beim harmonischen Oszillator Ideale Gase Paramagnetismus und Ferromagnetismus 1330 Aufgaben 1333 Literaturverzeichnis 1337 Sachregister 1339