1.1 Zwei-Dimensionales Elektron Gas (2DEG)

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1 2DEG 1.1 Zwei-Dimensionales Elektron Gas (2DEG) Einführung Zwei-Dimensionales Elektronen Gas Quanten-Hall-Effekt Ballistischer Transport: Quanten-Draht / Quanten-Punkt-Kontakt Elektronen als gestreute Wellen : Landauer-Formel und Streu-Theorie Beispiele: Resonantes Tunneln, Edge-state Transmissions-Elektronenmikroskop-Aufnahme einer AlAs/GaAlAs-Heterojunction 12 2DEG Übersicht 2DEGs Zwei-dimensionale Elektronengase enstehen an Grenzflächen... zwischen einem Halbleiter und einem Isolator MOS-Struktur auf Si basierend... zwischen zwei verschiedenen Halbleitern mit unterschiedlicher Bandlücke Heterostrukturen (HEMT) standard Hetero-junction Quantum-Well Verbindungshalbleiter. III-V-Halbleiter (GaAs, AlAs, InAs, ) II-VI-Halbleiter (ZnS, CdTe, ) I-VII-Halbleiter (CuCl, ) 13

2 2DEG MOS-Struktur Struktur (1) MOS = Metal-Oxid- Semiconductor idealisiert: m = s kein Stromtransport Gate- Spannung p-dotierter Halbleiter: flat band: accumulation: depletion: (weak) inversion: V g = 0 V g < 0 V g > 0 V g >> 0 negative Raumladung Löcher 14 2DEG MOS-Struktur Struktur (2) strong inversion: Halbleiter ist n-leitend an der Oberfläche, p-leitend im bulk Confinement (Einschränkung) der Wellenfunktion in z-richtung in einem angenähert dreieckigen Potentialtopf: ~2 2m + V T (z) Z n (z) =E n Z n (z) (x, y, z) =(x, y)z n (z) Subbänder: E(k x,k y )=E n + µ ~ 2 kx 2 k 2 2m +(~2 x 2m Nur unterstes Subband besetzt: 2 DEG 15

3 2DEG Metal-Oxid Oxid-Semiconductor-FET MOS-Feld-Effekt-Transistor Strom zwischen Source und Drain wird duch die Gate Spannung (elektrisches Feld) gesteuert, welches einen n- leitenden Kanal zwischen Source- und Drain-Kontakt induziert. Transconductance: g = di sat dv G S ² oxidµ d oxid L G (V GS V P ) gewünscht: (~v Drift = µ ~ E) kleine Gate-Länge dünne Oxidschicht (hohe Permeabilität) hohe Mobilität 5nm MOSFET (2003) 16 2DEG Metal-Oxid Oxid-Semiconductor-FET: CMOS CMOS = complementary metal oxide semiconductor Inverter NOR NAND 17

4 2DEG Heterostrukturen (HEMT) HEMT = High electronmobility Transistor 2 DEG zwischen zwei verschiedenen Halbleitern mit identischer Gitterkonstante (kein Stress ) unterschiedlicher Bandlücke sehr viel höhere Mobilität, da quasi monokristallin die ionisierten Donatoren von den Elektronen im 2DEG räumlich getrennt sind ( modulation doping ) 2DEG E C E C E F E V E C E V E C E F E V E F E V Energielücke zwischen Valenz-und Leitungsband AlGaAs GaAs AlGaAs/GaAs x= DEG Heterostrukturen: Mobilitäten Mobilität als Funktion der Temperatur: (Rekord: 20 Millionen) Grenzflächenrauhigkeit Streuung aufgrund von Legierungsunordnung z.b. Al Atome sitzen statistisch verteilt auf Ga Plätzen Intersubbandübergänge 19

5 2DEG Heterostrukturen: Modulation Doping Modulation doping Spacer-Layer Parallel-Leitung 20 2DEG Heterostrukturen: III-V-Halbleiter verschiedene Heterostrukturen: Quantum Well Heterojunction GaAs: Zinkblende-Struktur (fcc mit 2-atomiger Basis) Bandlücke als Funktion der Gitterkonstante ( bandgap engineering ) (aufgenommen mit einem Transmissions-Elektronenmikroskop) direktes Band-Gap: Elektronen können direkt vom Leitungs- ins Valenzband Relaxieren unter Emission eines Photons (nich möglich in Si) Grosser Anwendungsbereich für Opto-Elektronische Devices (z.bsp. Laser-Diode) Wellenvektor k 21

6 2DEG Herstellung von Heterostrukturen: MBE MBE = Molecular-Beam- Epitaxy Uni Neuchâtel sehr hohe Reinheit der Schichten (UHV) atomare Interfaces Kontrolle über Zusammensetzung einer Schicht (während des Wachstums) Kontrolle über den Dotierungsrad 22 2DEG Herstellung von Heterostrukturen: MOCVD MOCVD = metal organic chemical vapour deposition Bei der MOCVD werden die Halbleiterkomponenten im Gasstrom auf dem geheizten Substrat abgeschieden: 650 o C Beispiel: (CH 3 ) 3 GA +AsH 3 GaAs + 3CH 4 23

7 2DEG 2DEG: Zusammenfassung Zusammengefasst: 2DEGs bilden sich in zwei verschiedenen Typen von Halbleiterstrukturen: HEMT S G D MOSFET S G D n + n AlGaAs n + i GaAs S.I. GaAs 2DEG E C n + n + p-type Si 2DEG E C E F E V E F E V basierend auf III-V Halbleitern sehr hohe Mobilität, d.h. schnell für Hochfrequenz-Anwendungen basierend auf Silizium kleinere Mobilität Quanten-Hall Hall-Effekt Einführung Zwei-Dimensionales Elektronen Gas Quanten-Hall-Effekt Ballistischer Transport: Quanten-Draht / Quanten-Punkt-Kontakt Elektronen als gestreute Wellen : Landauer-Formel und Streu-Theorie Beispiele: Resonantes Tunneln, Edge-state 2DEG in einem starken Senkrechten Magnetfeld 25

8 Klassischer Hall-Effekt klassisch L y E. H. Hall: On the New Action of Magnetism on a Permanent Electric Current, PhD-thesis, The Johns Hopkins University, 1880 L x R x = 1 L x enµ L y R H = U H I x = B en (1) 26 Entdeckung des Quanten-Hall Hall-Effekt Quanten-H.E. Original-Daten von Klitzing Klaus von Klitzing: 5.Februar 1980, Hochfeldlabor in Grenoble Si-MOSFET bein 19.8 Tesla und 4.2 Kelvin: Widerstand Elektronendichte K. v. Klitzing, G. Dorda and M. Pepper, Physical Review Letters 45, p494 (1980) 27

9 Phänomenologie des Quanten-Hall Hall-Effekt Quanten-H.E. Phänomenologisch: Plateaus im Hall-Widerstand R H = 1 h, =1, 2, 3... e2 Longitudinaler Widerstand wird Null: R x =0 für =1, 2, Ursache des Quanten-Hall Hall-Effekts Landau-Quantisierung Die 2-dimensionale Zustandsdichte geht von einer Stufenform im Nullfeld in eine Sequenz von Peaks über bei genügend starkem Magnetfeld: Magnetfeld Schrödinger-Gleichung für Teilchen in Magnetfeld und Confinement-Potential V(y) (ohne Spin): " (i~/x eby) 2 2m # + p2 y 2m + V (y) (x, y) =E(x, y) 29

10 Landau-Quantisierung Klassisch: Zyklotron-Bahnen mit Kreisfrequenz C = eb m Bohr-Sommerfeld-Quantisierung: µ h 2r C = n B = n rc 2 = ~ mv m C E(n, k) = mv2 2 = m2 C r2 C 2 = n ~ C 2 Quantenmechanisch exakt: E(n, k) =~ C (n 1/2), n =1, 2, 3... Harmonischer Oszillator mit Energie-Eigenwerten Landau-Niveaus (levels) (LL): (magnetische Sub-bänder) entartete Landau-Levels Energie hängt nicht von k ab, LLs sind stark entartet ~ C 30 Filling-factor und quantisierter Hall-Widerstand Entartung der Landau-Niveaus Genau p (ganze Zahl) LLs besetzt: E Fermi = p ~ C n = Z EFermi 0 2D (E)dE = m 2~ 2 E F Zustandsdichte eines LLs: n B = n p = eb h ~ C Filling-factor: (Füllfaktor) = n n B Hall-Widerstand alleine durch fundamentale Naturkonstanten (h,e) bestimmt. Hall-Widerstand: (siehe Gl.(1)) R H = B en = 1 p p =1, 2, 3... h e 2 31

11 Metall-Isolator Isolator-Übergänge im Fermie-Level als Funktion der Elektronen-Dichte n: Metall / N : E F = ~ C (p 1/2) (p N, <p<p+1) Isolator N : E F = ~ C Fermie-Level als Funktion des Magnetfeldes B: Metall Isolator / N : N : E F = ~e (p 1/2) B m E F = 2~2 m n Sequenz von Metall-Isolator-Übergängen als Funktion der Dichte n / des Magnetfeldes B. 32 Metall-Isolator Isolator-Übergänge im Fermie-Level als Funktion des Magnetfeldes B (Messung): Metall Isolator Messung des chemischen Potentials in einem 2DEG Als Funktion des Magnetfeldes mit Hilfe eines Single-Electron-Transistors (siehe Teil 2). S. Ilani, et al., Physical Review Letters 84, p3133 (2000) 33

12 Ursache der Plateaus: Disorder Unordnung (disorder): hebt die Entartung der LLs auf: Aufweitung der -Peaks in der Zustandsdichte lokalisierte und ausgedehnte Zustände Nur ausgedehnte (nicht-lokalisierte) Zustände tragen zum Stromtransport bei. Fermi-Niveau kann in einem Gebiet lokalisierter Zustände liegen, so dass sich die Anzahl ausgedehnter Zustände nicht ändert, wenn die Dichte / das Magnetfeld verändert wird. 34 Ursache der Plateaus (2) Die Plateaus im Hall-Widerstand sind Regionen, wo sich die Anzahl der ausgedehnten Zustände nicht nicht ändert. Das Fermi-Niveau liegt dabei in einem Bereich lokalisierter Zustände. Die Unordnung vergössert den Parameterbereich (Dichte oder Magnetfeld) der isolierenden Regionen: Isolator: Punkte werden stark aufgeweitet Metall: Linien sehr viel kürzer 35

13 Minima in R x in / Quantisierungsbedingungen Streurate 1/ hängt von der Postition des Fermi-Niveaus relativ zu den LLs ab: Bedingungen für Beobachtung der Quantisierung halb-gefüllte LL: ganz-gefüllte LL: grosse Streurate, Maxima in R x Streuung ungerdrückt R x = 0 (1) k B T ~ C (2) C 1 C d.h. µb À 1 36 und Metrologie Unabhängig von Probenparametern Mobilität Plateau Das metrologische Dreieck Probenbreite (i=1) Probenbreite (i=2) Versuch, Masseinheiten über Quanten-Effekte auf der Basis fundamentaler Naturkonstanten zu definieren Bundesamt für Metrologie und Akkreditierung (METAS), Bern 37

14 Fraktionaler (1) In sehr reinen Proben und bei hohen Magnetfeldern können Plateaus/Minima auch bei gebrochenen Füllfaktoren beobachtet werden: 1/3, 2/3,, 1/5, 2/5, etc. Entdeckung 1982 durch Störmer, Tsui und Gossard, Erklärung 1983 durch McLaughlin D. C. Tsui, H. L. Stormer, and A. C. Gossard., Physical Review Letters 48, p1559 (1982) 38 Fraktionaler (2) Der fraktionale verursacht durch Coulomb-Wechselwirkung der Elektronen Grundzustand ist Vielteilchen-Wellenfunktion Quasiteilchen-Anregungen (composite Particles) haben gebrochene Elektronenladung, die z.bsp. Mit Rauschmessungen bestimmt werden kann Composite-Fermion -Modell: Quasiteilchen aus Elektronen und Flussquanten. Der fraktionale kann beschrieben werden als integraler von solchen Quasiteilchen in einem effektiven Magnetfeld. 39

15 Fraktionaler (3) 40 Randzustände im 1-dimensionale Randkanäle: Landauniveaus werden am Rand der Probe hochgebogen (confinement) AnzahlZahl der 1D-Randkanäle = Zahl der besetzten Landauniveaus. Fermienergie zwischen zwei LLs: Transport nur durch Randkanäle möglich: räumliche Trennung zwischen hin- und rücklaufende Zustände, daher keine Rückstreuung: ballistischer Transport Beispiel für idealen Quanten-Draht FRAGEN: Wieviel Strom wird von solch einem Zustand getragen? Wie gross ist der Widerstand eines solchen 1d-Quanten-Drahts 41

16 1.3 Ballistischer Transport Einführung Zwei-Dimensionales Elektronen Gas Quanten-Hall-Effekt Ballistischer Transport: Quanten-Draht / Quanten-Punkt-Kontakt Elektronen als gestreute Wellen : Landauer-Formel und Streu-Theorie Beispiele: Resonantes Tunneln, Edge-state 42 Klassiche- und Quantenmechanische Beschreibung lokale, material-spezifische Leitfähigkeit : D = ne2 m Elektronendichte: Elementarladung: mittlere freie Flugzeit: Elektronemasse: n e m Klassische Beschreibung des Elektronentransport:? Übergang zu immer kleineren Strukturen (Nanostrukturen) L< F, `, ` charakteristische Längenskalen: Elastische freie Weglänge: Phasenhohärenzlänge: Fermi-Welllenlänge: Quantenmechanische Beschreibung des Elektronentransport: ` ` F experimentell zugängliche Grösse Leitwert G = IV: G = A L D Quantenmechanische Natur der Ladungsträger (Wellennatur,Kohärenz): Lokalität geht verloren Da QM-Systeme nur durch Observablen zugänglich sind, Macht es keinen Sinn, ein lokales definieren zu wollen. Physikalisch relevante Grösse ist der Leitwert G, da diese makroskopische Grösse gemessen werden kann. 43

17 Klassiche- und Quantenmechanische Beschreibung Klassischer Beschreibung des Elektronentransport: Zusammengefasst: Übergang zu immer kleineren Strukturen (Nanostrukturen) ~j = ~µ e lokal? L< F, `, ` charakteristische Längenskalen: Elastische freie Weglänge: Phasenhohärenzlänge: Fermi-Welllenlänge: ` ` F I = G µ e nicht-lokal Quantenmechanische Beschreibung des Elektronentransport: wie? 44 Quantenmechanische Beschreibung Elektrischer Transport durch Transmission: Reservoirs: Kontakte im thermodynamischen Gleichgewicht (inelastische Prozesse) Rolf Landauer ( ) Markus Büttiker Yosef Imry charakterisiert durch Temperatur T und chemisches Potential µ: 1 f(e) = 1+exp[(E µ)/k B T ] Elektronischer Wellenleiter: 1-dimensionaler Quantendraht, keine Streuung (ballistisch) Kohärente Streuregion: Beschrieben durch Streumatrix S, die einfallende und auslaufende Moden miteinander verknüpft 45

18 Elektronen-Wellenleiter Ballistischer Wellenleiter für Elektronen: keine Streuung L<` analog zu optischem Wellenleiter, wo sich Licht in 1-dimensionalen Moden ausbreitet. 46 Analogie zur Optik: Lichtwellenleiter Planarer Wellenleiter (Total-Reflektion): Superposition von zwei Planwellen: u 1 e in g (k 0 cos ) e i[n g (k 0 sin )zt] u 2 e in g (k 0 cos ) e i[n g (k 0 sin )zt] u 1 + u 2 cos[n g (k 0 cos )x] Selbstkonsistenz der stehenden Welle in x-richtung: 4an g (k 0 cos ) 2() =m 2 m =1, 2, 3... Modengleichung 47

19 Analogie zur Optik: Lichtwellenleiter = m Aus Modengleichung: gegebener Modenindex : Lösung mit Ausbreitungskonstante m (k z )= 1 ³ mc0 r(c 0 k z ) n 2 + g 2a Dispersionsrelation für verschiedene Moden eines optischen Wellenleiters 2 m (Phasenänderung bei Reflexion vernachlässigt) k z = k m = n g (k 0 sin m ) Moden mit verschiedenem haben unterschiedliche Phasengeschwindigkeit: v phase (m) = k m = effektiver Brechungsindex: m c 0 n g sin m c 0 n eff n ef f = n g sin m Transversales Modenprofil: Für jede Mode gibt es eine Cut-Off -Frequenz, d.h. für eine bestimmte Frequenz gibt es eine maximale Anzahl möglicher Moden 48 Elektronischer Wellenleiter keine Streuung (ballistisch) L<` Parabolisches Confinement -Potential: V (y) = 1 2 m2 0y 2 Schrödinger-Gleichung für Teilchen in Magnetfeld und Confinement-Potential V(y) (ohne Spin): " (i~/x eby) 2 2m + p2 y 2m + V (y) # (x, y) =E(x, y) (Gl. Seite 27) Ansatz: (B=0): (x, y) =e ikx (y) " # ~ 2 k 2 2m + p2 y 2m m2 0y 2 (y) =E(y) Lösungen: siehe QM 49

20 Elektronische-Subbänder (Moden) Lösungen: r n (y) =e q2 /2 m0 H n (q) mit q = ~ E n (k) = ~2 k 2 2m + ~ 0(n 1/2), n =1, 2, 3... ~ 0 Hermitsche Polynome: Energie Cut-off : H n (q) E n = ~ 0 (n 1/2) Energie- Cut-off Anzahl besetzter Moden (= elektrischer Subbänder): Gruppen-Geschwindingkeit einer Mode: grösste Integer-Zahl v n (k) = 1 ~ E n (k) k N, so dass E N <E F Abstand zwischen zwei Subbändern: ~ 0 Je enger das Confinement, desto grösser sind die Abstände zwischen den Sub-Bändern. (Subbänder werden oft auch als transversale Moden bezeichnet in Analogie zu elektromagnetischen Wellenleitern) 50 Analogie: Optik - Elektronik = ck E = ~2 k 2 2m 51

21 Magneto-Elektrische Subbänder Wieviel Strom fliesst in einem einzelnen Subband (Mode)? " (i~/x eby) 2 2m + p2 y 2m + V (y) # (x, y) =E(x, y) (Gl. Seite 27) + C = eb m Energie-Eigenwerte: E n (k) = ~2 k m C0 2 + ~ C0 (n 1/2), n =1, 2, 3... q mit C0 = C Elektrische Subbänder Magneto-Elektrische Subbänder Magnetische Subbänder ~ 0 ~ C Effekt des Magnetfelds: Erhöhung der Masse: µ m m 1+ 2 C Strom pro Subband (1) µ 1 µ 2 L<` Spannung V angelegt zwischen den beiden Kontakten: Unterschiedliche elektrochemische Potentiale in den beiden Reservoirs: Mode, die nach links läuft, ist besetzt bis µ 1 >µ 2 µ 1 = E F + ev Mode, die nach rechts läuft, ist besetzt bis nur 1 Mode im Wellenleiter kann besetzt werden µ 2 = E F Netto-Strom nach links 53

22 Strom pro Subband (2) Strom: in 3D: in 1D: ~j = en~v I = e Z EF +ev E F 1D (E)v(E)dE 1-Dimensionale- Zustandsdichte Gruppengeschwindigkeit: 1D (E) = 1 r 2m ~ E = 1 v(e) = 1 ~ E k µ 1 E k v(e) 1D (E) = 1 ~ I = 2e h (ev ) Das Produkt zwischen Zustandsdichte und Gruppengeschwindigkeit ist Energie-unabhängig und daher gleich für jedes Subband. Der Strom wird gleichmässig auf alle Subbänder verteilt. 2e Jedes Subband trät als Strom pro Energie-Intervall zum Gesamtstrom bei. h 54 Leitwertquantisierung I = 2e 2e2 (ev ), G = I/V G = h h 2e 2 Jedes Subband gibt einen Beitrag zum Gesamtleitwert. h Der Leitwert / Widerstand ist quantisiert! Für N besetzte Moden ist der Leitwert eines (ballistischen) Ellektronen-Wellenleiter gegeben durch: G N = 2e2 h N Ein paar Beispiele: Quanten-Punktkontakt definiert in einem zwei-dimensionalen Elektronengas Break-Junction Nanotube Randzustände im Quanten-Hall-Regime (chiral) 55

23 1. Bsp.: Quanten-Punkt Punkt-Kontakt (QPC) Verengung W in einem zwei-dimensionalen Elektronengas; definiert mit Hilfe von metallischen Split-Gates, an die eine negative Spannung angelegt wird, welche das Elektronengas darunter verdrängt. G N = 2e2 h N N = W F /2, F ' 50n nm B. J. van Wees et al., Physical Review Letters 60, p848 (1998) D. Wharam et al., Journal of Physics C 21, p209 (1998) 56 1.Bsp.: Optisches Analogon zur Leitwertquantisierung in einem ballistischen Punktkontakt Experiment nach der Entdeckung der quantisierten Leitfähigkeit, obwohl die Wellennatur des Lichtes relativ lange bekannt! E. A. Monthie et al., Nature 350, p594 (1991) 57

24 1. Bsp.: QPC im Magnetfeld / Temperaturabhängigkeit Magnetische Depopulation der Subbänder Thermische Verschmierung Tunnel-Resonanzen für nicht-adiabatische Punktkontakte Plateaus werden grösser mit stärkerem Feld: Das Confinement wird stärker im Magnetfeld (Übergang von elektrischen zu magnetischen Subbändern) Die Plateaus verschwinden, wenn k B T À ~ 0. Resonanzen treten auf für nicht-adiabatische Punktkontakte Bsp.: QPC und Thermospannung Thermopower zeigt wie die Leitfähigkeit Quantisierungseffekte: Leitfähigkeit Thermospannung : Temperatur Anstatt Stufen (Leitfähigkeit) sieht man in der thermischen Spannung Oszillationen als Funktion der Gatespannung, d.h. Der Anzahl Subbänder im Quantenpunktkontakt. 59

25 2. Bsp.: Break-junction J. van Ruitenbeek (Leiden University, Niederlande) Plateaus in verschiedenen Messkurven unterschiedlich (Statistik) Charakteristische Histogramme für verschiedene Elemente Bsp.: Carbon-Nanotube (CNT) entdeckt 1991 von S. Iijima. Stufe, wenn ein weiteres Nanotube Kontakt macht: Nanotube als idealer elektrischer Wellenleiter. G 0 = 2e2 h S. Frank, P. Poncharal, Z. L. Wang, and W. A. de Heer, Science 280, p1744 (1998) 61

26 4. Bsp.: Randzustände im Quanten-Hall Regime siehe Folie 41 Randzustände (edge-states) im QH-Regime sind ideale (chirale) elektronische Wellenleiter Aus Stromerhaltung folgt: µ 1 = µ 2 = µ 3 = ev I = i e h µ 1 µ 4 = µ 5 = µ 6 =0 Strom ist gleichverteilt unter i Moden: R H = (µ 2 µ 4 )/e I µ 1 /e = i(e/h)µ 1 = 1 h i e 2 62 Woher stammt der endliche Widerstand? Obwohl wir davon ausgegangen sind, dass keine Rückstreuung (gar keine Streuung) stattfindet, hat ein idealer Quantendraht mit einem Subband den endlichen Widerstand R C = 1 G C = h 2e 2 ' 12.9k Diesen Widerstand bezeichnet man als Kontaktwiderstand. Er rührt daher, dass innerhalb der Kontakte (Reservoirs) der Strom von unendlich vielen Moden getragen wird, während im Quanten-Draht der gesamte Strom nur von einer einzelnen Mode getragen wird. µ 1 µ 2 Die Umverteilung des Stromes von unendlich vielen auf 1 einzelne Mode ist der physikalische Grund für den endlichen (2-Punkts-) Widerstand eines idealen Quantendraht. L<` 63

27 Potentialverlauf in einem Quantendraht Im Draht sind die nach rechts laufenden Moden besetzt bis links laufenden Moden besetzt bis µ 1 = E F + ev µ 2 = E F Mittleres elektro-chemische Potential im Draht: hµi = 1 2 (E F + E F + ev )=E F + ev 2 FRAGE: Wie verändert sich der Widerstand, wenn man eine Barriere (Streuer) in den Draht einbaut? Siehe folgender Abschnitt Punkts-Widerstand eines ballistischen Quantendrahts Ballistischer 1-Moden-Leiter: 2-Punktswiderstand: endlich (12.9 k) 4-Punktswiderstand: 0 Cleaved-edge-over-growth R. de Picciotto et al., Nature 411, p51 (2001) Longitudinaler 4-Punkts-Widerstand im Quanten-Hall-Regime: µ 1 = µ 2 = µ 3 R L = µ 2 µ 3 I =0 65

28 Landauer-Formel 1.4 Landauer-Beschreibung: Streutheorie Einführung Zwei-Dimensionales Elektronen Gas Quanten-Hall-Effekt Ballistischer Transport: Quanten-Draht / Quanten-Punkt-Kontakt Elektronen als gestreute Wellen : Landauer-Formel und Streutheorie Beispiele: Resonantes Tunneln, Edge-state QPC 66 Landauer-Formel Landauer-Beschreibung: Streutheorie Widerstand Streuung outgoing wave incoming wave outgoing wave 67

29 Landauer-Formel Idealer Quantendraht mit Barriere (1) Unterbrechung des idealen Elektronenwellenleiters durch eine Potential-Barriere U(x) µ 1 µ 2 (x) =te ikx klassisch: T(E) = 1 oder = 0! (x) =e ikx + re ikx ~ 2 k 2 2m = E ~ 2 K 2 2m = E U 0 (x) =Ae ikx + Be ikx Kontinuität der Wellenfunktion und deren Ableitung an den 2 Grenzbereichen: 68 Landauer-Formel Idealer Quantendraht mit Barriere (2) Transmissionsamplitude der Wellenfunktion: Transmissionswahrscheinlichkeit: Strom injiziert von Reservoir 1: transmittierter Strom: t T = t 2 2e h (ev ) 2e h T(eV ) links der Barriere: 2e 2e (ev ) (1 T )(ev ) rechts der Barriere: h h {z } I links I = GV 2e h T (ev ) {z } I rechts G = 2e2 h T Landauer-Formel gilt allgemein für N (M) Moden links (rechts) der Barriere: G = 2e2 h X t mn 2 n,m 69

30 Landauer-Formel Verallgemeinerung / Streumatrix Das Konzept, den elektrischen Widerstand als Streuproblem zu behandeln, kann verallgemeinert werden für den Fall mit mehreren Reservoiren: b : Amplitude der auslaufenden Wellen a : Amplitude der einlaufenden Wellen µ µ µ bl r t 0 al = b R t r 0 a R Streumatrix s s m,n : Streuamplitude von der Mode n aus dem Kontakt in die Mode m in den Kontakt. s s =1: Unitarität (Stromerhaltung) s m,n (B) = s n,m (B) : Symmetrie in Bezug auf Zeit- Umkehr Landauer Büttiker Formel: I n = 2e h (M n R n )µ n X m(6=n) T mn µ m 70 Landauer-Formel Ohmsches Gesetz (1) Landauer-Formel: (M Moden mit Transmission T) G = 2e2 h MT Leiter der Breite W (2-dim.): M = W/( F /2) = (k F /) W = mv F /(~) W = ~v F 2D W ; =2/k FF ; k F = mv F /~ ; 2D = m/(~ 2 ) G = e 2 2D (v F /) W T Transmission von 2 Barrieren in Serie: T 12 = T 1 T 2 + T 1 R 2 R 1 T 2 + T 1 R 2 R 1 R 2 R 1 T = T 1 T 2 (1 + R 1 R 2 +(R 1 R 2 ) 2 +(R 1 R 2 ) ) = T 1 T 2 1 R 1 R 2 1 T 12 T 12 = 1 T 1 T T 2 T 2 T N = T N(1 T)+T 71

31 Landauer-Formel Ohmsches Gesetz (2) Anzahl Streuzentren: N = L ( = Dichte der Streuzentren pro Längeneinheit) T (L) = T L(1 T )+T = `0 `0 L + `0 G = e 2 2D (v F /) W L + `0, `0 = T (1 T) mittlere freie Weglänge Definiere Diffusionskonstante: Benutze Einsteinrelaton: D =(v F /)`0 = e 2 2D D R = G 1 = `0 + L W = `0 W + L W G = W `0 + L Ohmsches Gesetz Kontaktwiderstand Widerstand (4pt) R = G 1 = h 1 2e 2 T = h 2e 2 + h 1 T 2e 2 T 72 Beispiele 1.5 Beispiele Einführung Zwei-Dimensionales Elektronen Gas Quanten-Hall-Effekt Ballistischer Transport: Quanten-Draht / Quanten-Punkt-Kontakt Elektronen als gestreute Wellen : Landauer-Formel und Streu-Theorie Beispiele: Edge-states, Resonantes Tunneln (siehe Teil 3) 73

32 Beispiele Beispiel: Quanten-Hall Regime mit Barriere: Spannungskontakte 2 und 3: I 2 = I 3 =0 I 1 = I I 1 I 3 I 3 I 4 = 2e h µ 4 0 I 1 I 3 = 2e I h 3 µ 1 µ 2 = h µ 2e 3 1 (1 T) 0 T T 1 (1 T ) (1 T ) T 1 1/T (1 T )/T 0 1/T 1/T µ 1 µ 2 µ 3 I 0 0 µ 1 µ 2 µ 3 µ 4 Spannung gemessen zwischen 2 und 3; Spannung gemessen zwischen 1 und 4; R 23 = (µ 2 µ 3 )/e I R 14 = (µ 1 µ 4 )/e I = h 1 T 2e 2 T = h 1 2e 2 T für T =0 R 23 =0, R 14 = h 2e 2 74 Beispiele Beispiel: Quanten-Hall Regime mit Barriere (mehrere Moden): Spannungskontakte 2 und 3: I 2 = I 3 =0 I 1 = I M: T=1 N-M: T=0 I 1 I 3 I 3 I 4 = 2e h N (N M ) 0 M N N M N (N M ) 0 0 N N µ 1 µ 2 µ 3 µ 4 µ 4 0 I 1 I 3 = 2e N (M N) 0 N N 0 µ 1 µ 2 I h 3 0 M N µ 3 µ 1 µ 2 = h 1/M (N M)/MN 0 1/M 1/M 0 I 0 µ 2e 3 1/N 1/N 1/N 0 Spannung gemessen zwischen 2 und 3; R 23 = (µ 2 µ 3 )/e I = h µ 1 2e 2 M 1 N fraktionale Plateaus 75

33 Beispiele Beispiel: Quanten-Hall Regime mit Barriere (N Moden, M transmittiert): R 23 = (µ 2 µ 3 )/e I = h µ 1 2e 2 M 1 N M: T=1 N-M: T=0 beobachtete Plateaus im Experiment M \ N