Grundlagen der Stochastik

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1 stoch_09.nb Grundlagen der Stochastik Das vorliegende Skript wurde im Original mit dem Programmsstem MATHEMATICA von WOLFRAM-Research [ geschrieben und erstmals auf den Webseiten der Hochschule für Technik und Wirtschaft in Dresden (Universit of Applied Sciences) [ veröffentlicht. Die Schrift trägt den Charakter eines Arbeitskonzepts, so dass ich für Hinweise und Anregungen aller Art, einschließlich zu Rechtschreibung, Grammatik und Druckbild sehr dankbar bin. Mit meinem Beitrag erhebe ich keinen Anspruch auf irgendeine Vollständigkeit bzw. Allgemeingültigkeit. Ich möchte einzig und allein an exemplarischen Problemstellungen der Baumechanik logisch einfache mathematisch-phsikalische Lösungsmethoden zur Diskussion stellen. Mirko Slavik, Dresden 9 Funktionen von Zufallsvariablen 9. Das Vorliegen einer eindeutigen funktionellen Zuordnung Y = g(x) ermöglicht es uns, die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen Y aus der Verteilungsfunktion der Zufallsgrößen X zu ermitteln. Hierbei muss die Funktion g(x) selbst nicht notwendig stetig sein []. Anmerkung: Um keine Verwechselungen mit der Dichtefunktion f(x) aufkommen zu lassen, verwenden wir für eine funktionelle Zuordnung die Schreibweise g(x). 9.2 Es wird eine Transformation der stetig differenzierbaren Funktion Y = g(x) vorgenommen. Im Intervall [ x, x 2 [ gelten die Beziehungen x ghxl T 0 und = g( x ) bzw. 2 = g( x 2 ). Mit der zu Y = g(x) gehörenden Umkehrfunktion X = h(y) erhält man, wenn die Funktion g(x) eindeutig und ihre Ableitung im Intervall [, 2 [ endlich und stetig ist, gemäß der Variablensubstitution in uneigentlichen Integralen [2] die Beziehungen P ( x < X b x 2 ) = Ÿ x x 2 f X HxL x P Ÿ 2 f X HhHLL À hhlà = P ( < Y b 2 ) für hhl > 0 P Ÿ 2 f X HhHLL À hhlà = P ( 2 < Y b ) für hhl < Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Zufallsvariablen Y = g(x) lautet folglich f Y () ª f X HhHLL hhl. 9.4 Als Beispiel betrachten wir die lineare Funktion Y = m X + b. Für deren Umkehrfunktion nebst Ableitung schreiben wir h() = - b m bzw. hhl = m, womit für die Verteilungsdichte f Y() ª f X ( - b m ) À m À folgt. 9.5 Wir testen die Richtigkeit der obigen Ableitung an einem Beispiel. Die Zufallsgröße X sei normalverteilt. Es wird untersucht, ob die Integrationen über die beiden Verteilungsdichten identisch Eins werden. Zusätzlich werden die zugehörigen Mittelwerte, Standardabweichungen und Varianzen verifiziert bzw. neu berechnet. ewx =.234; sx = 2.345; m = 3.456; b = 2.345; fx@xd = sx J x ewx sx N2 2 ; f@d = AbsB m F sx b m ewx 2 sx 2 ;

2 stoch_09.nb 2 Test auf positiv Eins des fx Dichteintegrals :.,... des f Dichteintegrals :. Mittelwert ewx =.234 Standardabweichung sx = Varianz sx 2 = Mittelwert ew =.997 Standardabweichung s = Varianz s 2 = Haben wir ein Sstem von Funktionen vorliegen, für das veky = vekg(vekx) gilt, dann werden mehrdimensionale Transformationsbeziehungen benötigt. Die Funktion vekg sei wieder eindeutig bestimmt und umkehrbar (vgl. Absatz 9.2), sodass man vekx = vekh(veky) bilden kann. Für den zweidimensionalen Fall erhält man folgende Beziehungen: veky = { Y, Y 2 } = { g HX, X 2 L, g 2 HX, X 2 L } also Y = g HX, X 2 L und Y 2 = g 2 HX, X 2 L mit den Umkehrfunktionen vekx = { X, X 2 } = { h HY, Y 2 L, h 2 HY, Y 2 L } also X = h HY,Y 2 L und X 2 = h 2 HY, Y 2 L. 9.7 Die weitere Lösungsstrategie erfolgt in Anlehnung an die bekannte Variablentransformation in Flächenintegralen (vgl. u. a. [3]): Ÿ x2 Ÿ x f X Hx,x 2 L x x 2 ª Ÿ 2 Ÿ f X Hx H, 2 L, x 2 H, 2 LL À JH, 2 LÀ 2 mit der nach Carl Gustav Jacob JACOBI(804-85)) benannten JACOBIdeterminante (Funktionaldeterminante)» J(, 2 )» = Det[ matj ], wobei matj = x x 2 2 x 2 x In Auswertung von Absatz 9.7 lautet die zweidimensionale Dichte der Vektorfunktion veky (vgl. hierzu Absatz 9.3): f Y,Y 2 (, 2 ) = f X,X 2 (x, x 2 ) J 2» bzw. im allgemeiner Form für den n-dimensionalen Fall f veky (veky) = f vekx (vekh(vekx)» J n». 9.9 In den bisherigen Überlegungen waren die Dimensionen von veky und vekx gleich. Wir betrachten jetzt den Fall, dass die Dimension von veky kleiner ist als die von vekx. Als erstes Beispiel diene uns die Gleichung Y = X + X 2. Um die obigen Ansätze zu nutzen, schreibt man: Y = Y = X + X 2 und Y 2 = X 2 = Y - X. Dann folgt X = h HY, Y 2 L = Y - X 2 = Y - Y 2 bzw. X 2 = h 2 HY,Y 2 L = Y 2 also

3 stoch_09.nb 3 x = 2; x2 = 2; :matj = x x2 2 x 2 x2, Det@matJD> 888, 0<, 8, <<, < Da» J 2» =, folgt f Y,Y 2 (, 2 ) = f X,X 2 (x, x 2 )» J 2» P f Y,Y-X (, - x ) = f X,X 2 ( - x 2, x 2 ). Mit Ÿ - f Y,Y-X H, - x L x 2 = Ÿ - f X,X 2 H - x 2, x 2 L x 2 erhält man die Randdichte f = Ÿ - f x,x 2 H - x 2, x 2 L x 2 (siehe Absatz 8.24) und schließlich die Verteilungsfunktion für die Zufallsvariable Y F Y = Ÿ - Ÿ- f X,X 2 H - x 2, x 2 L x 2. Wenn X und X 2 stochastisch unabhängig sind, gilt F Y = Ÿ - Ÿ- f X H - x 2 L f X2 Hx 2 L x 2 = Ÿ - Ÿ- f X Hx L f X2 H - x L x. Anmerkung zum Term " f Y = Ÿ - f Y,Y -X H, - x L x 2 ": Mit der Beziehung (8.32) für die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichte kann auch geschrieben werden Ÿ - f Y,Y -X H, - x L x 2 = Ÿ - f Y, X2 H, x 2 L x 2 P Ÿ - f X2,Y Hx 2 \ L f Y HL x 2 = f Y HL Ÿ - f X2,Y Hx 2 \ L x 2 = f HL. 9.0 Die Integrale Ÿ - f X Hx L f X2 H - x L x bzw. Ÿ - f X H - x 2 L f X2 Hx 2 L x 2 stellen übrigens Faltungsintegrale dar, die in der linearen Sstemanalse eine wichtige Rolle spielen. Man vergleiche hierzu z. B. ihre Anwendung in [4, Abschnitt 0]. 9. Gesucht werden die Wahrscheinlichkeitsdichte sowie die Verteilung für die Summe Y = X + X 2, wenn die beiden Zufallsgrößen X und X 2 in standardisierter Form normalverteilt sind. Es folgt: fx = x2 2 ; fx2 = x22 2 ;f == fx H xl2 2 x 2 f 4

4 stoch_09.nb 4 :F == u 2 4 u, F_Beispiel == u 2 4 u ê. 0 êê N> :F 2 K + ErfB FO, F_Beispiel 0.5> In [3] ist eine anschauliche Anwendung aus dem Gebiet der Hdraulik angeführt. An der Schwachstelle eines Flussdeiches sei ein ausreichender Widerstand nur bis zu einem Volumenstrom (Durchfluss) von Q = 500 m³/s sichergestellt. Unmittelbar vor diesem kritischen Querschnitt liegt der Zusammenfluss zweier Teilströme. Die statistischen Daten ihrer beiden Pegelstände belegen deren stochastische Unabhängigkeit. Die Jahresextrema ihrer Durchflüsse sind exponentiell verteilt und ihre Erwartungswerte betragen ewx P l - = 550 m³ und ewx 2 P l - 2 = 220 m³. s s 9.3 Gesucht ist die Versagenswahrscheinlichkeit P f (Y = X + X 2 > 500) P - F Y (Y = X + X 2 < 500) des Deiches (vgl. hierzu auch [ 8, Abschnitt 4 ]). Der Lösungsalgorithmus ist mit den obigen Überlegungen recht einfach nachvollziehbar, sodass wir uns weitgehend auf den mathematischen Formalismus beschränken. Einzig die Integration bereitet einige Schwierigkeiten. fx =λ λ x ; fx2 =λ2 λ2 x2 ; :ewx == x fx x, ewx2 == x2 fx2 x2> 8ewx 550., ewx2 220.< ClearAll@λ, λ2d f == 0 Iλ λ x λ2 λ2 H xl M x λ2 f λλ2ifbre@λ2d < Re@λD, λ λ2, IntegrateA x λ+x λ2 λ2, 8x, 0, <, Assumptions Re@ λ +λ2d 0EF P f λ λ2 IntegrateA x λ+x λ2 λ2, 8x,0,<, Assumptions Re@λ2D Re@λDE P f

5 stoch_09.nb Die Versagenswahrscheinlichkeit beträgt P f > % oder anders ausgedrückt, der Deich versagt im Mittel aller 9,24 Jahre. Um beim letzten, inneren Integral in (9.3) die Richtigkeit der Wahl der oberen Integrationsgrenze von statt + besser zu verstehen, berechnen wir die Versagenswahrscheinlichkeit P f mit der in [8, Abschnitt 4.3 ] dargestellten strengen Methode der Zuverlässigkeitstheorie. Die Grenzzustandsgleichung g(vekx) hat im vorliegenden Fall die Form g HvekxL 500 H x 2 + x L Zwecks Veranschaulichung wird zur 3D-Darstellung der zweidimensionalen Verteilungsdichte f X,X 2 H - x 2,x 2 L = f X Hx L f X2 H - x L = f X Hx L f X2 Hx 2 L zusätzlich der ContourPlot einschließlich der Grenzzustandsgleichung (dicke schwarze Linie) ausgewiesen. fx =λ λ x ; fx2 =λ2 λ2 x2 ; oben = 550; ggerade = Show@ Graphics@8AbsoluteThickness@2D, Line@Table@850 i, H il <, 8i, 0, 30<DD<DD; blick = 8.05,.95,.65<; Plot3DAfx fx2, 8x, 0, oben<, 8x2, 0, oben<, PlotRange All, AxesLabel " X " f X,X 2 "=, Mesh False, ColorFunction "CMYKColors", PlotPoints 00, PlotLabel > " ", ViewPoint blicke

6 stoch_09.nb 6 contour = ContourPlot@fx fx2, 8x, 0, oben<, 8x2, 0, oben<, PlotPoints 00, PlotRange All, ContourShading True, Contours 50, ColorFunction "CMYKColors", Frame True, Axes True, GridLines None, LabelStle Black, FrameLabel Black, FontFamil "Arial", Bold, 8DD, None, None, Text@Stle@ "X Black, FontFamil "Arial", Bold, 8DD<, PlotLabel Text@Stle@" Zweidimensionale Verteilungsdichte ", Black, FontFamil "Arial", Italic, Bold, 0DDD; Show@8contour, ggerade<d 9.6 Von entscheidender Bedeutung für das Überlebens- bzw. Versagensintegral sind nun die Integrationsgrenzen, die man aus dem obigen ContourPlot ablesen kann. Rechts von der Grenzzustandsgleichung g(vekx) ist der Versagensbereich Y > 500 m³/s, also g(vekx) < 0. Links folglich der Überlebensbereich Y b 500 m³/s, also g(vekx) r 0. P r f x Hx L f x2 Hx 2 L dx dx 2 P f f x Hx L f x2 Hx 2 L dx dx 2 8vekx» g HvekxL r 0< 8vekx» g HvekxL < 0<

7 stoch_09.nb 7 fx =λ λ x ; fx2 =λ2 λ2 x2 ; PrintB"Test der zweidimensionalen Dichte auf Eins : ", fx fx2 x x2f :P r x fx fx2 x2 x, Pf x2 fx fx2 x x2> Test der zweidimensionalen Dichte auf Eins :. 8P r , P f < Ã Versteckte Zelle zur Problematik der Integrationsgrenzen. 9.7 Ein weiteres wichtiges Problem stellt die Untersuchung des Produktes zweier Zufallsgrößen, also Y = X X 2, dar. Der Lösungsalgorithmus lautet Y = Y = X X 2 und Y 2 = X 2 = Y X dann folgt für X = h HY, Y 2 L = Y Y 2 und X 2 = h 2 HY, Y 2 L = Y 2 also x = 2 ;x2= 2; :matj = x x2 2 x 2 x2, Det@matJD> :::,0>, : 2,>>, > und schließlich f Y = Ÿ - x 2 f X, X 2 x 2, x 2 x 2.