Baudynamik und Zustandsanalyse

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1 Baudynamik und Zustandsanalyse Eine Einführung in die Baudynamik mit Mathematica Das vorliegende Skript wurde im Original mit dem Programmsystem MATHEMATICA von WOLFRAM-Research [ geschrieben und erstmals auf den Webseiten der Hochschule für Technik und Wirtschaft in Dresden (University of Applied Sciences) [ veröffentlicht. Die Schrift trägt den Charakter eines Arbeitskonzepts, so dass ich für Hinweise und Anregungen aller Art, einschließlich zu Rechtschreibung, Grammatik und Druckbild sehr dankbar bin. Mit meinem Beitrag erhebe ich keinen Anspruch auf irgendeine Vollständigkeit bzw. Allgemeingültigkeit. Ich möchte einzig und allein an exemplarischen Problemstellungen der Baumechanik logisch einfache mathematisch-physikalische Lösungsmethoden zur Diskussion stellen. Mirko Slavik, Dresden Inhaltsverzeichnis 12 Eigenwerte eines Dreimassenschwingers 12.1 Ausgangspunkt ist das zum Bild 12.1 gehörende System von Differenzialgleichungen eines Dreimassenschwingers, wobei aber die Dämpfungsanteile vorerst vernachlässigt worden sind: gleisys = { m 1 x 1 ''[t] + k 1 (x 1 [t] - x 2 [t]), m 2 x 2 ''[t] + k 2 (x 2 [t] - x 3 [t]) - k 1 (x 1 [t] - x 2 [t]), m 3 x 3 ''[t] + k 3 x 3 [t] - k 2 (x 2 [t] - x 3 [t]) }; Bild 12.1: Dreimassenschwinger 12.2 Mittels dem unten blau hervorgehoben stationären Lösungsansatz erhalten wir ein sehr einfaches homogenes System mit drei linearen Gleichungen:

2 2 baudyn_12_eigenwerte_3ma.nb {x 1 [t] = x 1,n Sin[ω n t], x 2 [t] = x 2,n Sin[ω n t], x 3 [t] = x 3,n Sin[ω n t]}; {x 1 ''[t] = D[x 1 [t], {t, 2}], x 2 ''[t] = D[x 2 [t], {t, 2}], x 3 ''[t] = D[x 3 [t], {t, 2}]}; Simplify[gleisys] Sin[t ω n ] m 1 ω 2 n x 1,n + k 1 (-x 1,n + x 2,n ), Sin[t ω n ] k 1 (x 1,n - x 2,n ) + m 2 ω 2 n x 2,n + k 2 (-x 2,n + x 3,n ), Sin[t ω n ] k 3 - m 3 ω 2 n x 3,n + k 2 (-x 2,n + x 3,n ) 12.3 Wie leicht zu sehen ist, bereitet es keine Schwierigkeiten, den Term sin(ω n t) zu eliminieren und die Amplituden x 1,n, x 2,n, x 3,n zielgerichtet zu separieren: (-1) m 1 ω 2 n x 1,n + k 1 (-x 1,n + x 2,n ), (-1) k 1 (x 1,n - x 2,n ) + m 2 ω 2 n x 2,n + k 2 (-x 2,n + x 3,n ), k 3 - m 3 ω 2 n x 3,n + k 2 (-x 2,n + x 3,n ) -m 1 ω 2 n x 1,n - k 1 (-x 1,n + x 2,n ), -k 1 (x 1,n - x 2,n ) - m 2 ω 2 n x 2,n - k 2 (-x 2,n + x 3,n ), k 3 - m 3 ω 2 n x 3,n + k 2 (-x 2,n + x 3,n ) 12.4 Zwecks einer besseren Übersichtlichkeit wechseln wir an dieser Stelle in die Matrizenschreibweise. Zur Kennzeichnung der Matrizen wird die Vorsilbe mat, für die Vektoren die Abkürzung vek verwendet (vgl. hierzu auch die Definitionen im Absatz ). mata = - m 1 ω n 2 + k 1 -k 1 -k 1 - m 2 ω n 2 + k 1 + k 2 -k 2 -k 2 - m 3 ω n 2 + k 2 + k 3 ; vekx[n] = x 1,n x 2,n x 3,n ; MatrixForm[matA.vekx[n]] MatrixForm (k 1 - m 1 ω 2 n ) x 1,n - k 1 x 2,n -k 1 x 1,n + (k 1 + k 2 - m 2 ω 2 n ) x 2,n - k 2 x 3,n -k 2 x 2,n + (k 2 + k 3 - m 3 ω 2 n ) x 3,n 12.5 Die Matrix mata wird sinnvollerweise in eine Massenmatrix matma und eine Steifigkeitsmatrix matka umgeformt, wobei man ω n 2 λ n setzt:

3 baudyn_12_eigenwerte_3ma.nb 3 matma = ; λ = ω m 1 m 2 2 ; MatrixForm[matKA = mata + λ n matma] m 3 n n k 1 -k 1 -k 1 k 1 + k 2 -k 2 -k 2 k 2 + k Damit erhalten wir schließlich ein so genanntes allgemeines Eigenwertproblem mit den ungedämpften Eigenkreisfrequenzen ω n 2 λ n und den zugehörigen Eigenvektoren vekx(n) ( vgl. u. a. [46, S.169 ff.]): MatrixForm[(matKA - λ n matma).vekx[n]] MatrixForm (k 1 - m 1 ω 2 n ) x 1,n - k 1 x 2,n -k 1 x 1,n + (k 1 + k 2 - m 2 ω 2 n ) x 2,n - k 2 x 3,n -k 2 x 2,n + (k 2 + k 3 - m 3 ω 2 n ) x 3,n 12.7 Zu jedem Eigenwert gehören genau eine Eigenkreisfrequenz und ein Eigenvektor. Innerhalb eines jeden Eigenvektors ist ein bestimmtes zeitunabhängiges Amplitudenverhältnis der Konstanten x 1,n, x 2,n und x 3,n festgelegt. Die absolute Größe der Amplituden bleibt vorerst unbestimmt. Diese Tatsache ermöglicht die Wahl geeigneter Normierungsvorschriften. Sind die Matrizen matka und matma symmetrisch und die Matrix matma zusätzlich positiv definit, dann sind alle Eigenwerte reell und die Eigenvektoren können in reeller Form dargestellt werden. Außerdem existiert ein vollständiges System linear unabhängiger Eigenvektoren, die der verallgemeinerten Orthogonalitätsbeziehung vekx[i] T matma vekx[j] = für i j genügen und die spezielle Normierungsvorschrift vekx[i] T matma vekx[j] = 1 für i j erfüllen (siehe Absatz 12.19). Anmerkung: Im Gegensatz zur gängigen Fachterminolgie verwende ich den Begriff des Eigenwertes als Oberbegriff für die Eigenvektoren und deren zugehörige Zahlen, die auch als charakteristische Zahlen oder charakteristische Wurzeln bekannt sind [46] und üblicherweise für sich allein als Eigenwerte bezeichnet werden Jeder Eigenvektor beschreibt eine modale Eigenform, also eine diskrete dynamische Verformungsfigur (Mode) des mechanischen Systems (vgl. Kapitel 11). Im vorliegenden Fall sind drei diskrete Schwingungsformen, sprich drei Eigenmode nachweisbar. Das homogene lineare Differenzialgleichungssystem (12.1) hat nur dann eine nichttriviale Lösung, wenn seine Determinante null ist. Det[(matKA - λ n matma)] k 2 -k 1 k 2 + k 2 m 1 ω n 2 + k 2 + k 3 - m 3 ω n 2 k 1 k 2 - k 1 m 1 ω n 2 - k 2 m 1 ω n 2 - k 1 m 2 ω n 2 + m 1 m 2 ω n Um den Rechengang übersichtlich zu halten, wird das weitere Vorgehen anhand eines Zahlenbeispiels aufgezeigt. Die Eingabe der drei Einzelmassen erfolgt dabei in der Dimension [kg] und die der Federsteifigkeiten in [N/m].

4 4 baudyn_12_eigenwerte_3ma.nb In[52]:= {m 1 = 38.7, m 2 = 7.65, m 3 = 98.9, k 1 = 175, k 2 = 19, k 3 = 97 }; matma = m 1 m 2, matka = m 3 k 1 -k 1 -k 1 k 1 + k 2 -k 2 ; -k 2 k 2 + k Zunächst bestimmen wir die ungedämpften Eigenkreisfrequenzen ω n=1, 2, 3 in [s -1 ] mittels der Determinante (12.8): In[54]:= lamda = Solve[Det[(matKA - λ n matma)], λ n ]; Table[λ n = lamda[[n, 1, 2]], {n, 1, 3}]; Table ω n λ n, {n, 1, 3} Out[55]= {ω , ω , ω } Durch Einsetzen der λ n - Werte in die Matrizengleichung (12.6) können die zugehörigen drei Eigenvektoren ermittelt werden. Wir nutzen dazu den built-in-befehl NullSpace von Mathematica, der uns die gesuchten Lösungsvektoren für eine Matrizengleichung vom Typ matm vekx[n] = liefert. In[56]:= Table[{λ n "λ" n " ", vekx[n] NullSpace[(matKA - lamda[[n, 1, 2]] matma)]}, {n, 1, 3}] Out[56]= {{ λ 1, vekx[1] {{ ,.11116, }}}, { λ 2, vekx[2] {{ ,.86755, }}}, { λ 3, vekx[3] {{.15321, ,.1573}}}} Um die obige Lösung mathematisch anschaulicher zu machen, wird ein veränderter Algorithmus angeboten, der die im Absatz 12.7 bereits erwähnte, stets vorhandene freie Wählbarkeit einer beliebigen Teilamplitude verdeutlicht: In[57]:= n = 3; vekx[n] = x 1 [n] x 2 [n] x 3 [n] ; matrix = MatrixForm[(matKA - λ n matma).vekx[n]] Solve[{matrix[[1, 1, 1]] ==, matrix[[1, 2, 1]], matrix[[1, 3, 1]], x 2 [n] }, {x 1 [n], x 2 [n], x 3 [n]}] Out[57]//MatrixForm= x 1 [3] x 2 [3] x 1 [3] x 2 [3] x 3 [3] x 2 [3] x 3 [3] Out[58]= {{x 1 [3].15321, x 2 [3] , x 3 [3].1573}} Das Programmsystem Mathematica bietet die Möglichkeit, die obige Vorgehensweise wesentlich eleganter als spezielles Eigenwertproblem zu behandeln. Dazu ist aber eine Umwandlung

5 12.15 Die bereits im Absatz 12.7 erwähnte fundamentale Eigenschaft der Orthogonalität der Eigenformen spielt bei der im Kapitel 14 ausführlich behandelten Modalanalyse linearer Schwingungssysbaudyn_12_eigenwerte_3ma.nb 5 der entsprechenden Matrizen erforderlich. Die Berechnung der Eigenkreisfrequenzen in [s -1 ] und der Eigenvektoren in [m] erfolgt dann unmittelbar: matka * = matma -1 matka, matka *.vekx[n] = λ n.vekx[n] In[59]:= ClearAll[vekx] lamda = Eigenvalues[Inverse[matMA].matKA]; om = Sqrt[lamda]; vek = Eigenvectors[Inverse[matMA].matKA]; Table[{ω 4-n om[[n]], vekx[4 - n] vek[[n]]}, {n, 3, 1, -1}] Out[62]= {{ω , vekx[1] { ,.11116, }}, {ω , vekx[2] { ,.86755, }}, {ω , vekx[3] {.15321, ,.1573}}} Zwecks visueller Darstellung der oben berechneten drei Eigenformen eines konkreten Dreimassenschwingers ist ein Animationsprogramm aufbereitet worden, bei dem wir die zeitliche Bewegung der Massepunkte gemäß Absatz 12.2 als harmonischen Schwingungsvorgang simulieren. Zu jedem der drei Eigenzustände existiert genau ein eindeutiges Verschiebungsmuster, das von der Relation der drei Schwingungsamplituden innerhalb eines Eigenvektors geprägt ist. Versteckte Zelle zur Sicherung des Ursprungsalgorithmus der Grafik. t n 8 n-ter Eigenformzustand Out[64]= Vertikalverschiebung in [m] Eigenkreisfrequenz ω [s -1 ]:

6 6 baudyn_12_eigenwerte_3ma.nb teme eine wichtige Rolle. Um sie aber zielgerichtet anwenden zu können, bedarf es einer geeigneten Normierung Wie leicht gezeigt werden kann, sind die Eigenvektoren gemäß Mathematica über die Beträge der Vektoren normiert. Dies lässt sich anhand der Skalarprodukte der Lösungsvektoren x i,j x[i] x[j] bestätigen: a = Table x i,j, {i, 1, 3}, {j, 1, 3} // MatrixForm; b = Table[vekx[i].vekx[j], {i, 1, 3}, {j, 1, 3}] // MatrixForm; a b x 1,1 x 1,2 x 1,3 x 2,1 x 2,2 x 2,3 x 3,1 x 3,2 x 3, Verknüpft man die Eigenvektoren gemäß Absatz 12.7 mit der Massen- bzw. der Steifigkeitsmatrix, erhält man die zwei Diagonalmatrizen matm G und matk G, deren Diagonalenelemente die generalisierten (modalen) Massen m G,n bzw. Federsteifigkeiten k G,n repräsentieren (siehe auch Kapitel 14). matm G = Table[vekx[i].matMA.vekx[j], {i, 1, 3}, {j, 1, 3}] // MatrixForm matk G = Table[vekx[i].matKA.vekx[j], {i, 1, 3}, {j, 1, 3}] // MatrixForm Die Bedeutung der generalisierten Massen bzw. Federsteifigkeiten wird sofort erkennbar, wenn die Verhältnisse k G,n /m G,n gebildet und die Quadratwurzeln gezogen werden. Man vergleiche hierzu die Berechnung der Eigenkreisfrequenz eines Einmassenschwingers. Für die Relation k G,n /m G,n wird in der Literatur auch die Bezeichnung des RAYLEIGH-Quotienten nach dem britischen Physiker John William RAYLEIGH ( ) verwendet (vgl. Absatz 11.39). Sie entspricht folglich den ungedämpften Eigenkreisfrequenzen des mechanischen Systems. Die Werte m G,n und k G,n sind übrigens der kinetischen bzw. der elastischen Formänderungsenergie der n-ten Eigenform proportional (vgl. hierzu das Kapitel 11). Es gilt also: λ = ω n 2 = vekx[i].matka.vekx[i] vekx[i].matma.vekx[i] für i = 1, 2,..., n Mode 1 : ω [s -1 ] Mode 2 : ω [s -1 ] Mode 3 : ω [s -1 ] Mittels der generalisierten Massen und Steifigkeiten kann ein mechanisches System

7 baudyn_12_eigenwerte_3ma.nb 7 entsprechend der Anzahl seiner Freiheitsgrade in eine endliche Gruppe äquivalenter Einmassensystemen zerlegt werden (siehe Kapitel 11 und 14). Normiert man die Eigenvektoren (Eigenformen) auf m G,n, so erhält man die Bestätigung für die im Absatz 12.7 getroffene Aussage bezüglich der Orthogonalitätseigenschaften der Eigenvektoren (Eigenformen). Die derart normierten Vektoren liefern in Verknüpfung mit der Steifigkeitsmatrix matka unmittelbar die Quadrate der Eigenkreisfrequenzen des Systems in Form der Diagonalenelemente der Diagonalmatrix matλ. Normierte Orthogonalitätsmatrix der Eigenvektoren : Diagonalmatrix matλ :