Fördermappe. Lineare Gleichungen. (mit Zusatz: lineare Ungleichungen)

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1 Fördermappe LineareGleichungen (mitzusatz:lineareungleichungen)

2 Vorwort IndieserMappefindestduÜbungsmaterialzuLinearenGleichungen.NachderBearbeitung diesermappesolltestdufolgendeskönnen: Wissen,waseineLösungsmengeist Äquivalenzumformungendurchführen GleichungenmithilfevonÄquivalenzumformungenlösen (Zusatz:Ungleichungenlösen) ErforderlicheVorkenntnisse: DusolltestTermekennenundmitTermenrechnenkönnen DusolltestmitBrüchenrechnenkönnen (Bearbeiteggf.dieentsprechendenFördermappenzuerst!) TextaufgabenzulinearenGleichungenfindestduineinerweiterenMappe.Ggf.solltestdu dieseimanschlussbearbeiten. DasÜbungsmaterialistsoangelegt,dassduinungefähr6Förderstundendamitfertig werdenkannst.manchewerdenesaberschnellerschaffen,anderebenötigenmehrzeit. DasMaterialistsoangeordnet,dasszujedemUnterthemazunächstineinemTextdas Wichtigsteerklärtwird.DannkommenÜbungendazuundaufderRückseitefindestdudann dielösungenzudenübungen.bearbeitealsozunächstdieaufgabensorgfältigund kontrolliereanschließenddeinelösungen. BitteschreibenichtsindiesenOrdner,sondernarbeitestetsmitdeinemHeft,aufeigenen BlätternoderaufextrakopiertenBlättern.NimmdenOrdnerauchniemalsmitausdem Raum. WennduirgendwoProblemehast,versuchesiezunächstdurchintensivesNachdenkenzu lösen,dasbrauchtofteinigezeit.fragenotfallseinenmitschüler,derauchandiesemthema arbeitet.wennallesnichtklappt,fragedenförderlehrer. AmEndedesOrdnersfindestdueinenTestzurSelbstüberprüfung.HiersinddieAufgaben nunnichtmehrschöngeordnetnachthemen,sondernkreuzundquerdurcheinander. WenndudiesenTestmitnurwenigenFehlernbearbeitenkannst,dannhastdudasZiel erreicht.wennsichimtestherausstellt,dassduanvielenstellennochunsicherbist,solltest dunochmalszurückblätternunddenentsprechendenteilneubearbeiten.dukannstauch denlehrernachweiteremübungsmaterialfragen. SovielzurArbeitmitdiesemOrdner.Undnun:VielSpaß!

3 Wasbedeutet LöseneinerGleichung VerbindestduzweiTermedurchdasGleichheitszeichen,soerhältstdueineGleichung. Beispiele: 1. 4x=8 2. 4x+5=3x 1 JetztkannstdufürdieVariablexverschiedeneZahlenauseinervorgegebenenGrundmenge einsetzen(wennnichtsgenaueresdazugesagtwird,istdiegrundmengeq,alsodiemenge allerbrüche),damitergibtsicheinewahreodereinefalscheaussage. ZuunserenBeispielen: 1.IchsetzenacheinanderdieZahlen1und2indie1.Gleichungein: a)4 1=8istoffenkundigeinefalscheAussage. b)4 2=8hingegenisteinerichtigeoderwahreAussage. 2.IchverfahreentsprechendmitdemzweitenBeispiel: a)4 1+5=3 1 1isteinefalscheAussage b)4 2+5=3 2 1ebenfalls. BeidemBeispiel1.istdieZahl2LösungderGleichung,daeinewahreAussageentsteht.Die LösungsmengederGleichungbestehtausdieserZahl2,dennbeiallenanderenZahlen würdenfalscheaussagenentstehen.manschreibt:l={2} WasmachenwiraberbeidemzweitenBeispiel?WirkönnenjanichtgutständigneueZahlen einsetzen,biswirendlichmaldiejenigeerwischthaben,dieeinelösungdiesergleichungist! BeimzweitenBeispielistdieZahl 6dieLösungszahl,dahättenwirvermutlichlange probiert. WasfälltdirbeidiesenbeidenGleichungenauf: 4x+5=3x 1 undx= 6? Richtig!BeideGleichungenhabendieselbeLösungsmenge,nämlichL={ 6}. Nur:beiderzweitenGleichungsiehtdasjedersofortundohneRechnen,beimersten Beispielleidernicht!

4 Aber:Esgibt(wiesooftinderMathematik)superTricks,wiekomplizierteGleichungenso umgeformtwerdenkönnen,biswirklichjedersieht,achja,dasistdielösung,ichhabsie!!! DieseTricksfolgenaufdennächstenSeiten. Äquivalenzumformungen:Addierenund Subtrahieren Gleichungenheißenäquivalent,wennsiedieselbeLösungbesitzen. Umformungen,dieeinegegebeneGleichungineineäquivalenteGleichung(mitderselben Lösungsmenge)umformen,heißenÄquivalenzumformungen. JetztistdieFrage:wasdarfichmitdenGleichungen"machen"?Stelledirdabeivor,die beidentermet1undt2,ausdenendiegleichungzusammengesetztist,würdenaufeiner Waageliegen. DabeiergebensichdreiMöglichkeiten.ÜberlegebitteundnotiereindeinemHefteinesder Zeichen<=>. DiesentsprichtderGleichungT1...T2. DiesentsprichtderUngleichungT1...T2.(WelcherTermist schwerer?) DiesentsprichtderUngleichungT1...T2. DiesesBildderWaagesolldirnunhelfen,dieBedeutungderfolgendenRechenoperationen zuverstehen.

5 WennduaufbeidenSeiteneinerGleichungdenselbenTermaddierst odersubtrahierst,ergibtsicheineäquivalentegleichung(denkeandas BildderWaage:dulegstaufbeidenSchalenderWaagedasselbeGewichtdazuodernimmst dasselbegewichtweg). Beispiele: a) x+7=3 I 7 (HinterdemsenkrechtenStrichwirdnotiert,wasmitder GleichungaufbeidenSeitengemachtwerdensoll.) x+7 7=3 7 x= 4 L={ 4} b) 1,3=x 2,5 I+2,5 1,3+2,5=x 2,5+2,5 3,8=x L={3,8} ZwischenäquivalentenGleichungenschreibtmanhäufigeinenDoppelpfeil wirdgelesen:...istäquivalentzu... Beispiela)x+7=3 x= 4,gelesen: xplus7gleich3istäquivalentzuxgleich 4. WerdendieäquivalentenGleichungenuntereinandergeschrieben,könnendiesePfeile weggelassenwerden. Woherweißichjetzt,wasichsinnvollerWeisebeidenGleichungen addierenodersubtrahierensoll? StehtdieVariablexaufeinerSeitederGleichungundwirdeineZahldazuaddiert,dannmuss ichdiesesubtrahieren,dennichmöchtex"alleine"aufeinerseitedergleichunghaben. StehtxaufeinerSeitealsTeileinerDifferenz,dannmussichdieentsprechendeZahlauf beidenseitendergleichungenaddieren.

6 Übungsaufgaben(LösungensindaufderFolgeseite) BestimmedieLösungsmenge: x= = 2+x 3. ½+x=2/3 4. 7,9=x 3,7 5. 2,5=x 7,3 6. x+2¼=1 72/3

7 Lösungen 1. L={ 14} 2. L={17} 3. L={1/6} 4. L={11,6} 5. L={4,8} 6. L={ 911/12} Äquivalenzumformungen:Multiplizierenund Dividieren Wieduschonerfahrenhast,kommenGleichungenhäufiginkompliziertererFormvorals obenbehandelt. Beispiele: 1. 2x+3=7 Hierreichtesoffenkundignicht,eineZahlaufbeidenSeitenderGleichungzuaddierenoder zusubtrahieren,sondernumx"alleine"aufeinerseitedergleichungzuerhalten,mussder Faktor2beix"beseitigt"werden. DenkebitteandieWaagevonSeite3.WenndudasGleichgewichtnichtverändern möchtest,beideseitenderwaagesollengleichbelastetsein,kannstduhieraufbeiden SeitenderGleichungdasGewichtaufderWaagehalbieren. 2x+3=7 3 2x=4 I:2 (dadurchwirdaufbeidenseitenhalbiertundderfaktor2vorx fälltweg) 2x/2=4/2 (jetztkürzeichaufderlinkenseitedie2undberechnerechts denwert) x=2 alsol={2}

8 IchkannebenfallsbeideSeitenderGleichungmitderselbenZahlmultiplizieren.Das bedeutet,aufdasbildderwaagebezogen,dassichdasgewichtaufbeidenseitender Gleichungvervielfache,dasGleichgewichtderWaagebleibterhalten. 2. 2/3=1/3x ¼ +¼ (DenkehierandieBruchrechenregeln!) 8/12+3/12=1/3x 11/12=1/3x 3 (DurchdieMultiplikationmit3fälltaufderrechtenSeite derbruch1/3weg,da1/3 3=1ist.Dukannstauch durch1/3dividieren.) 11/12 3=1/3 3 x (Jetztkannstdurechtsundlinksjeweilskürzen.) 11/4=x alsol={11/4} EineBesonderheitmusstdudirnochmerken DusolltestaufkeinenFallbeideSeiteneinerGleichungmitNullmultiplizieren!!!(DurchNull dividierenwürdestdujasowiesonicht!)aberwarumgehtdasmultiplizierennicht? Esgehtschon,abernachderMultiplikationerhältstduimmer0=0,dasstimmtimmer, damitwärediegleichungallgemeingültig,unddaskannnichtfürjedegleichungstimmen. (Mathematischgesprochen:dieMultiplikationmitNullistkeineÄquivalenzumformung!) Übungsaufgaben(LösungensindaufderFolgeseite) 1. 6x+7= =5x 4, =9 x 4. 2,7x+5,8= /16= 3/16+1/3x

9 Lösungen 1. L={6} 2. L={2,3} 3. L={ 8} 4. L={4} 5. L={3/4} ÄquivalenzumformungenmitTermen AuchdieebenbehandeltenGleichungenhabennocheinerelativeinfacheForm.Dirsind sicherschonkomplizierteregleichungenbegegnet. Wichtig: DuhastbisheraufbeidenSeitenderGleichungZahlenaddiertodersubtrahiertodermit ZahlenmultipliziertoderdurchZahlendividiert.DaskannstdugenausomitTermenmachen, alsomitkombinationenauszahlenundvariablen.

10 Beispiele: 1. 5x+7=3x+11 3x 5x+7 3x=3x+11 3x 2x+7=11 7 2x=4 :2 x=2 L={2} 2. 5 x= x 5 +x 5 x+x= x 5+x 5= 5 DieseGleichungistganzsicherfalsch,mansagt:sieist unerfüllbar.dannistdielösungsmengedieleeremengel={}. 3. 9(x 3)=8(x 3) Klammernauflösen 9x 27=8x 24 8x x 27= x=3 L={3} Übungsaufgaben(LösungensindaufderFolgeseite) x=4x x=30 3x 3. x+11 2x=7 3x (3x 1)=7(39 7x) 5. x(17 6x) 5=(2x 1)(5 3x) 6. x(x+5)=x(16 x) 21x

11 Lösungen 1. L={5} 2. L={ 3} 3. L={2} 4. L={5} 5. L={0} 6. L=Q,dieseGleichungistallgemeingültig,egalwelcheWerteichfürxeinsetze.

12 Zusatz:Ungleichungen WasisteineUngleichung? VerbindestduzweiTermedurchdasKleinerzeichen<oderdasGrößerzeichen>,dann erhältstdueineungleichung.möglichsindauchdiezeichen fürkleineroder gleichbzw.größerodergleich. DenkstduandasBeispielderWaagevonSeite3,dannsiehstdu,dassdumitUngleichungen imprinzipgenausoumgehenkannstwiemitgleichungen.dasungleichgewichtderwaage bleibtgenausoerhaltenwiedasgleichgewichtbeieinerausgewogenengleichhohenwaage. DukannstalsoaufbeidenSeitenderUngleichungdieselbeZahloderdenselbenTerm addierenodersubtrahieren.dieartderungleichungbleibterhalten,d.h.duhastdiese UngleichungineineäquivalenteUngleichungmitderselbenLösungsmengeumgeformt. DukannstaußerdemaufbeidenSeitenderUngleichungmitderselbenpositivenZahl multiplizierenoderdurchdieselbepositivezahldividieren. EinProblemergibtsichbeinegativenZahlen.Dazuspäter! AndersalsbeiGleichungenenthältdieLösungsmengemeistensunendlichvieleZahlen! Beispiele: 1. 6x 17< x<24 :6 x<4 Diesbedeutet,dassalleZahlen,diekleinerals4sind,beim EinsetzenindieUngleichungeinerichtigeAussageergeben. z.b.:fürx=1ergibtsich6 1 17<7,dasistoffenkundigrichtig, ebensofürx= 100: 6 ( 100) 17<7usw. DieLösungsmengeenthälthieralsounendlichvieleZahlen,diesschreibtman:L={xix<4}. Gelesenwirddies:"DieLösungsmengeListdieMengeallerx,fürdiegilt,xistkleinerals4."

13 2. 4x+19 x+4 x 3x x 15 :3 x 5 L={x x 5} JetztzumProblemderMultiplikationmiteinernegativenZahloder derdivisiondurcheinenegativezahl: GanzsicheristdiefolgendeUngleichungrichtig:2<3 So,jetztmultipliziereichbeideSeitenderUngleichungmitdereinfachstennegativenZahl, nämlich 1.Waspassiert? 2< 3istganzklarfalsch,dennaufderZahJengeradenliegt 3 linksvon 2,istdamitalsokleiner.Richtigwärealso: 2> 3. Konsequenz:beiMultiplikation(oderDivision)miteinernegativenZahlmusstdudas Ungleichheitszeicheneinfachumdrehen,schonstimmtes! (BeiAdditionoderSubtraktionistdiesnichtnotwendig,bzw.eswäresogarfalsch!) BeimMultiplizierenmiteinernegativenZahlkehrtsichdasKleinerzeichen(undebensodas Größerzeichen)um. HiersindaundbnegativeZahlenundaistkleineralsb(a<b). LinkswerdendiebeidenZahlenmit3 multipliziert. Eszeigtsich:auch3aistkleinerals3b. RechtswerdendieseZahlenmit 3 multipliziert. HiermussdasKleinerzeichenmitumgedreht werden,unddannist3a> 3b.

14 Beispiel: 3. 2x+5 1 I 5 2x 6 I:( 2)Vorsicht:ZeichenmussindernächstenZeileumgedreht werden! x 3 L={x x 3} Probe:z.B.fürx=4gilt unddasistrichtig. Übungsaufgaben(LösungensindaufderFolgeseite) x> <8x x 4. 0< 3x x+7>1+3x 6. 3x (17 x)<1+10(1 x) 7.. 5x 2(3 x) 4(x 3)+3x

15 Lösungen: 1. L={x x> 1} 2. L={x x> 1,S}oderL={x 1,S<x} 3. L={x x 0,5} 4. L={x x< 1} 5. L=Q,dieUngleichungistallgemeingültig! 6. L={x x<2} 7. L={},dieUngleichungistunerfüllbar! Hiereine Hobby Aufgabe zurbelohnung

16 Abschlusstest LösenundenfolgendenAbschlusstest.KontrollieredieErgebnissesehrgenau.Wenndu fastallesrichtighast,wardiearbeiterfolgreich.ansonstenmusstdudieentsprechenden Kapitelnochmalsansehen.DukannstauchdenMathematiklehrernachweiterem Übungsmaterialfragen! Bevordujetztanfängstzurechnen,erinneredichnocheinmalanwichtigeRegeln: VereinfacheersteinmaldieTermeaufbeidenSeitendesGleichheits oder Ungleichheitszeichens. Dannaddiereodersubtrahiereso,dassalleTermemitxaufdereinenSeiteundalle ZahlenaufderanderenSeitevonGleichungoderUngleichungstehen,undfassedann zusammen. JetztdividieredurchdenVorfaktorvonx(odermultiplizieremiteinerpassendenZahl ungleichnull). ProblembeiUngleichungen:istdieZahlbeiderDivisionoderMultiplikationnegativ, dannmusstdudasungleichheitszeichenumdreheninderzeile,inderdudiedivision odermultiplikationdurchgeführthast. BestimmedieLösungsmenge: (Gleichungen): a. b. c. d. e. f. g. h. i. 3x 5=x+3 9x 7=14x x=2 3x 10(3+2x)+18=4(5x 8) (7x 9)=4(11 x)+5(5 2x) 5/4x 17=1/3x /3x=5/4x+4 x [15 4(2x 1)]=3[3(x+1) 5] (2x+3) 2 3x=(2x 3)(2x+3)

17 (Ungleichungen): j. k. l. m. n. o. p. q. r. 3x<8x x 4x 17 9x 7<5 3x 5(x+2) 3x<6 2x 2(x 7) 4(1 x) 7(x 3) ¼ x>¾+x 5/6+2/3x 1/6+1/2x 1,3x 0,8<2,3x+0,1 2x [3(x+1) (1 x)]>2(x 1) LösungenAbschlusstest a. {4} b. { 6} c. {3} d. Q e. {} f {60} g. {15} h. {} i. { 2} j. k. l. m. n. o. p. q. r. {x x>4} {x x 5} {x x> 2} {x x< 1} {xlx 3} {x x< 1/4} {x x 4} {x x> 0,9} {x x<0}