Grundlagen der Bildverarbeitung Klaus D. Tönnies

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2 Grundlagen der Bildverarbeitung Klaus D. Tönnies ein Imprint von Pearson Education München Boston San Francisco Harlow, England Don Mills, Ontario Sydney Mexico City Madrid Amsterdam

3 5. Rückgewinnung der Tiefeninformation verwendet werden. Soll Tiefe durch ein Stereo-Vision-Verfahren bestimmt werden, so gibt es keinen Signalgeber, sondern eine zweite Kamera (siehe Abbildung 5.2). Identifiziert man in den beiden Bildern den gleichen Punkt, so hat man wieder zwei Linien eines Dreiecks, an dessen Spitze der gesuchte Punkt liegt. Für ein Tiefenberechnungsverfahren aus Bewegung ist die Triangulation etwas komplizierter, weil sich die Form des Dreiecks aus der Verschiebung eines Punktes nach einer beliebigen, aber bekannten Bewegung zusammensetzt. Das Problem der Identifikation der Abbildung desselben Punktes in zwei oder mehreren Bildern, das in beiden Fällen zu lösen ist, wird Korrespondenzproblem genannt. Bei Active-Vision-Verfahren tritt es nicht auf, weil dort die Identifikation durch die vorab bekannte Art des abgegebenen Signals eindeutig ist. zu berechnendes Dreieck Punkt im 3-D-Raum linkes Bild Stereobildpaar rechtes Bild Kamera Kamera 2 Abbildung 5.2: Beim Stereo-Vision-Versuch erfolgt die Triangulation durch Schnitt von zwei Projektionslinien von der Kamera in die Szene (Bilder von P. Engelhard, C. Rost und M. Wikert). Verfahren der zweiten Gruppe sind weniger verbreitet. Ein bekannter Ansatz ist Shape-from-Shading. Information über die Objektform wird aus der Invertierung eines Beleuchtungsmodells gewonnen. Da das Beleuchtungsmodell beschreibt, wie einfallendes Licht in Abhängigkeit von der Oberflächennormalen reflektiert wird, kann man bei bekanntem Beleuchtungsmodell aus der Helligkeit an jedem Punkt auf dessen Normalenrichtung schließen. Leider ist das Problem unterbestimmt, da nur der Winkel zwischen Lichtquelle und Normale, nicht aber die Normalenrichtung selbst berechnet werden kann. Zudem setzt die Berechnung ein exakt fotometrisch kalibriertes Kamerasystem und ein genau bekanntes Beleuchtungsmodell voraus. Ersteres lässt sich mit genügend technischem Aufwand erreichen, doch das Beleuchtungsmodell kann im Allgemeinen nur annähernd bestimmt werden. Zusammen mit der Mehrdeutigkeit der Lösung führt dies dazu, dass die Resultate im Vergleich zu anderen Tiefenberechnungsverfahren oft unbefriedigend sind. Ein anderer Vertreter der zweiten Gruppe ist das so genannte Shape-from-Texture- Verfahren. Diesem liegt eine ähnliche Annahme zugrunde, die sich allerdings nicht auf die Beleuchtung, sondern auf die Textur bezieht. Textur ist eine Eigenschaft, die sich 05

4 5 RÜCKGEWINNUNG UND RESTAURATION VON INFORMATION aus der Abbildung der Musterung einer Objektoberfläche ergibt. Ist ein Objekt gleichmäßig texturiert und weist die Textur eine bestimmte Grundfrequenz auf (z.b. eine bekannte Anzahl von Linien pro Millimeter), dann kann man aus der Veränderung der projizierten Frequenz auf den Winkel zwischen Projektionsrichtung und Oberflächennormalenrichtung schließen. Mit zusätzlichen Glattheitsannahmen kann, wie bei Shape-from-Shading, aus dem Winkel auf eine Normalenrichtung geschlossen werden. Von allen Methoden ist ein Active-Vision-Verfahren am einfachsten zu erläutern, weil das Korrespondenzproblem nicht existiert. Diese Methode soll nachfolgend beschrieben werden. Im einfachsten Fall wirft ein Signalgeber S, dessen Position relativ zur Kamera bekannt ist, einen Lichtstrahl auf die Szene, so dass dieser an einem einzigen Punkt reflektiert wird (siehe Abbildung 5.3). Das Signal muss hell genug sein, um den beleuchteten Ort leicht identifizierbar zu machen. Hat dieser Ort die maximale Helligkeit f max, dann muss nur nach Koordinaten (m p,n p ) mit f(m p,n p ) = f max gesucht werden. beleuchteter Punkt auf der Oberfläche Objekt Signalgeber S Abstand b optische Achse Linse Kamera Abbildung 5.3: Active-Vision-Versuch mit strukturiertem Licht: Ein Signalgeber mit bekannter Position zur Kamera projiziert einen Lichtpunkt auf die Objektoberfläche. Damit eine Kalibrierung der Kamera in Bezug auf ein von der Kamera unabhängiges Weltkoordinatensystem nicht benötigt wird, nehmen wir an, dass beide Koordinatensysteme identisch sind. Der Ursprung des Kamerakoordinatensystems ist der Linsenmittelpunkt, X- und Y-Achse des Systems verlaufen parallel zur X- und Y-Achse des Bildes. Die Z-Achse ist die optische Achse des Aufnahmesystems und verläuft senkrecht zum Bild durch den Linsenmittelpunkt. Der Abstand zwischen Linsenmittelpunkt L und Bild sei f. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass der Koordinatenursprung des Bildkoordinatensystems in Kamerakoordinaten an der Stelle (0,0, f) liegt, d.h. es gibt positive und negative Bildkoordinaten. Die üblichen Bildkoordinaten (die ihren Ursprung in der Regel oben oder unten links im Bild haben) können leicht durch eine entsprechende Translation in diese Koordinaten überführt werden. Der Signalgeber S befindet sich am Punkt (b,0,0) des Kamerakoordinatensystems, also im Abstand b auf der X-Achse (siehe Abbildung 5.4). Das Signal soll im Winkel α zur optischen Achse abgestrahlt werden. Aus diesem Winkel kann man zwei Winkel α x zwischen der in die XZ-Ebene projizierten Signalrichtung und optischer Achse und α y zwischen Signalrichtung und XZ-Ebene berechnen. Aus den Bildkoordinaten (m p,n p ) mit diskretem Wertebereich seien reelle Weltkoordinaten (x p,y p, f) berechnet worden, indem die tatsächliche Größe eines Pixels in Millimetern für die Skalierung verwendet worden sei. 06

5 5. Rückgewinnung der Tiefeninformation Abbildung in der Kamera Signalgeber S Objekt X x Bildfläche f L Linse Abbildung 5.4: Berechnung der zu bestimmenden Dreiecksseite d. Das Dreieck ist durch die Seite b und die Winkel α und β eindeutig bestimmt. Nun wollen wir den Abstand eines Punktes P zunächst unter der Einschränkung berechnen, dass er auf einen Ort (x p,0, f) abgebildet wurde. Dazu müssen wir ein Dreieck bestimmen, dessen Eckpunkte der Punkt P, der Linsenmittelpunkt und die Position des Signalgebers sind. Die erste Seite dieses Dreiecks ist die Linie (0,0,0) (0,0,b) zwischen Linse und Signalgeber. Der erste Winkel ist damit π/2 α x. Da der Punkt auf (x p,0, f) abgebildet wird, muss α y = 0 sein und damit ist α x = α. Der noch fehlende Winkel β ist durch den Winkel zwischen der Linie vom Linsenmittelpunkt zum gesuchten Punkt P und der X-Achse gegeben. Dieser Winkel findet sich ein zweites Mal als Winkel in einem Dreieck aus (x p,0, f), (0,0,0) und (0,0, f). In diesem rechtwinkligen Dreieck sind alle Eckpunkte bekannt und man sieht, dass tan β = f/x p ist. Damit ist das Dreieck vollständig bestimmt und die Koordinaten von P können berechnet werden. Dazu wird zunächst der Abstand d zwischen P und dem Punkt (0,0,0) bestimmt. Folgende Festlegungen werden gemacht: Der dritte, unbekannte Winkel zwischen den Seiten ( P, L ) und ( P, S ) sei γ. Wir definieren eine Linie der Länge h von L senkrecht auf die Seite ( P, S ), die das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke teilt. Für die Länge h gelten nun aus diesen beiden Dreiecken die folgenden Beziehungen (siehe Abbildung 5.4): h= d sin γ= b sin α. Z Durch Gleichsetzung erhält man einen Ausdruck für die gesuchte Seite d: sin α d= b sin γ Da aber α + β + γ =π und sin(π α β) = sin(α + β) sind, ergibt sich schließlich b Kamera L h d P sin α d= b sin ( α+β). Wenn d bekannt ist, können die Koordinaten von berechnet werden: P= d cos β 0 d sin β. ( ) P im Kamerakoordinatensystem 07

6 5 RÜCKGEWINNUNG UND RESTAURATION VON INFORMATION Falls P nicht in der XZ-Ebene liegt, wird er auf einen Punkt (x p,y p, f) abgebildet. Dann wird zunächst die gleiche Berechnung für einen in die XZ-Ebene projizierten Punkt P durchgeführt, dessen Abbild (x p,0, f) wäre. Der Winkel β wird wieder basierend auf der Position (x p,0, f) als β = tan (f/x p ) berechnet. Der erste Winkel muss jetzt der Winkel α x sein. Von P weiß man, dass er der in die XZ-Ebene projizierte Punkt P ist. Also sind X- und Z-Koordinate von P und P gleich. Die Y-Koordinate ergibt sich schließlich aus der Anwendung der Strahlensätze. Danach ist y p Y d = Y = y p. f d f Diese Berechnung ist einfach und beruht nur auf der Anwendung bekannter Gesetze der Geometrie. Fehler sind hauptsächlich wegen einer falschen Lagebestimmung der Kamera relativ zum Signalgeber und wegen Abweichungen von der Projektionsgeometrie zu erwarten. Die Positionierung der Kamera wird in der Regel nicht mechanisch sichergestellt, sondern beruht auf der Kalibrierung des Systems anhand eines Kalibrierobjekts mit bekannter Position und Ausdehnung. Abweichungen von der Projektionsgeometrie stammen von Linsenverzerrungen, die ebenfalls durch Kalibrierung bestimmt und invertiert werden müssen. Eine exakte Kamerakalibrierung ist daher eine wichtige Voraussetzung für exakte Tiefenrekonstruktion. Diese Verfahren sind allerdings nicht trivial und ihre Behandlung gehört nicht in einen Einführungstext. Der Leser sei auf die entsprechende Fachliteratur verwiesen (z.b. Computer Vision A Modern Approach [Forsyth 2003]). Das genannte Verfahren ist langsam, wenn mehr als eine Tiefenbestimmung erforderlich ist. Für jeden Punkt P muss ein neues Bild erzeugt werden, so dass der Aufwand für die Erzeugung einer Tiefenkarte von z.b Punkten wesentlich durch den Aufwand zur Aufnahme der ca Bilder verursacht wird. Durch die Projektion von senkrechten Streifen anstelle von Lichtpunkten lässt sich diese Anzahl auf 52 Bilder verringern. Da Lichtpunkte mit unterschiedlichem Y-Wert in Kamerakoordinaten auf unterschiedliche Orte im Bild abgebildet werden (wegen y p = (f/d)y), besteht keine Verwechslungsgefahr. Objekt mit projiziertem Muster Bild Bild Streifenlichtmuster Abbildung 5.5: Bei einer codierten Streifenlichtprojektion wird eine Folge von unterschiedlichen Streifenmustern auf das Objekt projiziert. Die Hell-Dunkel-Folge über alle Bilder ordnet jedes Pixel eindeutig einem Streifen zu. 08

7 5.2 Reduktion von Abtastfehlern Der Aufwand kann weiter verringert werden, wenn die Signale entlang der X-Achse codiert werden. Statt eines schmalen (ideal linienförmigen) Streifens wird zunächst ein Streifen der Breite K/2 Pixel projiziert, wobei K die Breite der Aufnahme ist (siehe Abbildung 5.5). Damit kann zwischen zwei Bereichen beleuchtet () und unbeleuchtet (0) unterschieden werden. Allerdings ist die Positionsbestimmung in X-Richtung mit ±K/2 sehr ungenau. Deshalb wird ein zweites Bild mit Streifenbreite K/4 erzeugt. Die Abfolge der Streifen ist hier 00. Aus dem zweiten Bild allein lässt sich nicht entnehmen, ob ein beleuchteter Streifen der erste oder der dritte Streifen ist. Zusammen mit dem ersten Bild ergeben sich jedoch vier verschiedene Codes (, 0, 0, 00), die jeden der vier Streifen eindeutig identifizieren. Diese Codierung kann so lange fortgesetzt werden, bis die Streifenbreite genügend schmal ist. Wäre K/52 die Zielgröße, dann bräuchte man nun anstelle von 52 Bildern nur noch log 2 52 = 9 Bilder. Das Verfahren heißt Active Vision durch strukturiertes Licht. Für die Verarbeitung werden p Bilder mit unterschiedlicher Streifenbreite aufgenommen. In jedem Bild wird entschieden, welche Pixel beleuchtet und welche unbeleuchtet waren. Anschließend wird für jedes Pixel die beleuchtet-unbeleuchtet -Folge bestimmt. Aus dieser ergibt sich direkt die Streifennummer einer Folge von Streifen der Breite K/2 p. 5.2 Reduktion von Abtastfehlern Wenn eine potentiell beliebig fein aufgelöste Szene durch eine digitale Kamera aufgenommen wird, dann geht durch die Abtastung Information zwischen den Pixeln verloren. Wichtigstes Ziel für die weitere Verarbeitung ist es, wahrnehmbare Verfälschungen durch den Informationsverlust zu verhindern. Für manche Zwecke ist es auch notwendig, die verloren gegangene Information zu ergänzen. Das ist z.b. nach manchen geometrischen Transformationen die auf einem reellen Definitionsbereich definiert sind der Fall Aliasing und Anti-Aliasing-Methoden In Abschnitt 3..2 wurde Abtastung durch eine Multiplikation der Bildfunktion mit einer Impulsfolge modelliert. Nach Abtastung z.b. durch einen Flachbettscanner wird man ein Phänomen bemerken, das Moiré-Muster genannt wird (siehe Abbildung 5.6). Im abgetasteten Bild wurde Information offenbar nicht nur reduziert, sondern auch verfälscht. Den gleichen Effekt kann man auch bei Kameraaufnahmen beobachten. In Fernsehaufnahmen von sehr kleinteiligen Mustern z.b. der Musterung eines Anzugs können ebenfalls Moiré-Effekte wahrgenommen werden. Die Muster ändern sich mit der Bewegung des Objekts. Das gibt einen ersten Hinweis auf die mögliche Ursache. Die relative Änderung bei einem bewegten Objekt bedeutet, dass der Moiré-Effekt durch Abtastung verursacht worden sein muss. Da der Effekt nur bei kleinteiligen, also hochfrequenten Anteilen auftritt, wird die Betrachtung des Abtastvorgangs im Frequenzraum hilfreich sein. 09

8 5 RÜCKGEWINNUNG UND RESTAURATION VON INFORMATION zunehmende Frequenz Aliasing- Artefakte Abbildung 5.6: Moiré-Muster entstehen durch zu große Abtastintervalle in Abhängigkeit von der Frequenz des aufgenommenen Musters. Nur die konzentrischen Kreise um das Zentrum oben rechts sind tatsächlich in den Daten enthalten. Oben rechts im Bild wo das Bild keine hochfrequenten Anteile aufweist sind keine Moiré-Effekte zu erkennen, während sie mit steigender Frequenz stark zunehmen. Wir haben die Abtastung einer kontinuierlichen Funktion f mit einer Abtastdichte d durch Multiplikation mit einer entsprechenden Impulsfolge δ d als f d = f δ d modelliert. Diese Multiplikation entspricht einer Konvolution mit der fouriertransformierten Impulsfolge D d im Frequenzbereich, d.h. es gilt F d = F*D d. Die Impulsfolge erfüllt zwar nicht die Bedingungen für transformierbare Funktionen, doch kann die Fourier-Transformation durch eine Grenzwertbetrachtung bestimmt werden. Wird die Impulsfolge durch immer schmaler werdende Rechtecke einer Rechteckimpulsfolge angenähert, so ergibt sich, dass auch die fouriertransformierte Impulsfolge wieder eine Impulsfolge ist. Der Abstand zwischen den Impulsen im Frequenzraum beträgt /d, so dass D d = δ /d ist (siehe Abbildung 5.7). f F Abtastung durch Multiplikation Konvolution im Frequenzraum d /d Abtastresultat Aliasing-Frequenzen Repräsentation im Frequenzraum Abbildung 5.7: Abtastung in Orts- und Frequenzraum. Der Multiplikation der Funktion mit der Impulsfolge mit Abstand d zwischen Impulsen im Ortsraum entspricht eine Konvolution mit einer Impulsfolge mit Abstand /d im Frequenzraum. Das führt zur Überlagerung von Kopien der Originalfunktion, welche dann Alias-Effekte verursachen, wenn die Originalfunktion nicht bandbegrenzt ist oder die Bandbegrenzung nicht dem Shannon schen Abtasttheorem genügt. 0

9 5.2 Reduktion von Abtastfehlern Mit dieser Impulsfolge wird F gefaltet. Das Ergebnis ist eine Summe von Kopien der um jeweils /d verschobenen Funktion F. Die Frequenzraumdarstellung der abgetasteten Funktion weicht also von der Originalfunktion ab. Da die Amplituden mit wachsender Frequenz für die meisten Bilder schnell gegen Null gehen, ist diese Veränderung durch die Abtastung nicht immer wahrnehmbar. Weil außerdem nur ein begrenztes Frequenzband im abgetasteten Bild repräsentierbar ist, haben die um Vielfache von /d verschobenen Maxima keinen Einfluss auf das Bild. Gibt es aber im Bild signifikante Anteile mit hoher Frequenz, wie sie z.b. durch ein kräftiges, kleinteiliges, regelmäßiges Muster verursacht werden können, dann kann es zu sichtbaren Veränderungen von Frequenzen kommen. Sie entstehen bei der Abtastung durch Überlappung von verschobenen Kopien von F. Diese Frequenzen werden Alias-Frequenzen genannt (weil sie für etwas posieren, was im Originalbild nicht existiert, siehe Abbildung 5.8) und der Effekt heißt Aliasing-Effekt. tatsächliche Frequenz Aliasing-Frequenz Abtastort Abbildung 5.8: Darstellung der Entstehung des Aliasing-Artefakts. Die Originalfunktion (schwarz, durchgezogen) wird an den blau gekennzeichneten Orten abgetastet. Verbindet man die Funktionswerte an den Abtastorten durch eine Kurve (blau, gestrichelt), so entsteht eine andere Funktion. Diese Funktion wird durch den Betrachter wahrgenommen. Es gibt zwei unterschiedliche Ansätze, Aliasing-Effekte bei der Generierung von Bildern zu vermeiden: Durch Erhöhung der Abtastrate können Überlappungen von Kopien im Frequenzraum vermieden werden, falls die Originalfunktion bandbegrenzt ist. Das heißt, dass höhere Frequenzen als eine vorgegebene Grenzfrequenz nicht vorkommen. 2 Unregelmäßige Abtastabstände verhindern die Wahrnehmbarkeit von periodischen Signalen. Das Vorgehen besteht eigentlich aus einer zweistufigen Abtasthierarchie. Unterhalb eines bestimmten Abstands (der Grenzfrequenz) sind die Abtastorte zufällig verteilt. Oberhalb dieses Abstands ist die Summe der Abtastorte in jedem Intervall gleich. Das führt dazu, dass periodische Signale oberhalb der Grenzfrequenz wahrgenommen werden. Alle Details unterhalb der Grenzfrequenz werden als Rauschen wahrgenommen. Das entspricht der Wahrnehmung durch das Auge (Verteilung der Zellen auf der Netzhaut) oder der Aufnahme mit analogem Film (die Körnung der lichtempfindlichen Pigmente). Auch manche Algorithmen zur Generierung von Bildern (z.b. bestimmte Ray-Tracing-Algorithmen) wenden dieses Prinzip an. Für eine digitale Kamera oder für einen Flachbettscanner ist die zuletzt genannte Lösung leider nicht anwendbar, obwohl sie für die Wahrnehmung die beste Lösung darstellt, denn wahrgenommenes Rauschen ist leichter interpretierbar als der informationsverfälschende Moiré-Effekt. Bei der Konstruktion von Bildern und wir werden im Zusammenhang mit Bildkompression noch einmal darauf zurückkommen kann die Strategie allerdings angewendet werden.

10 5 RÜCKGEWINNUNG UND RESTAURATION VON INFORMATION Für die Abtastung durch die Kamera ist dagegen der erste Weg interessanter. Es stellt sich die Frage, was die geeignete Grenzfrequenz ist. Die Antwort gibt das Shannon sche Abtasttheorem, das aus der Kenntnis der Impulsfunktion im Frequenzraum abgeleitet werden kann. Wenn der Abstand zwischen zwei Impulsen /d ist, überlappen sich zwei Kopien der fouriertransformierten Funktion nicht, wenn für die höchstvorkommende Frequenz f max gilt, dass 2f max < /d ist. Also muss die Abtastrate d mindestens ½ f max sein, um Aliasing-Effekte zu verhindern. Die für die Abtastung eines bandbegrenzten Signals mindestens notwendige Grenzfrequenz heißt Nyquist-Frequenz Transformationen und Interpolation Manchmal, etwa nach geometrischen Transformationen, ist es notwendig, den durch Abtastung verursachten Informationsverlust rückgängig zu machen. Rotation Rot α um den Winkel α im Uhrzeigersinn um den Koordinatenursprung, Translation Tr dx,dy um den Vektor (dx dy) und Skalierung Sc s um s eines Bildpunkts mit Koordinaten (x,y) können wie folgt ausgeführt werden: x cos α sin α x x x+ dx x x Rotα =, Trdx, dy =, Scs = s. y sin α cos α y y y+ dy y y Die Werte in der Matrix sind reell. Eine Transformation ist daher nur möglich, wenn die ganzzahligen Abtastkoordinaten vor der Transformation in reelle Koordinaten umgewandelt werden. Das Resultat sind reelle Koordinaten. Nach der Transformation müsste die Originalfunktion an diesen Orten abgetastet werden. Diese Originalfunktion wird jedoch selten zur Verfügung stehen. So müssen Funktionswerte an beliebigen Orten (x,y) aus der abgetasteten Funktion interpoliert werden. Im einfachsten Fall kann man eine konstante Interpolation vornehmen. Für eine eindimensionale Funktion f(n), die das Abtastergebnis einer reellen Funktion g(x) ist, ist das ( ) ( ) g0( x) = f nx mit nx = argminn x n Das bedeutet, dass für g 0 (x) derjenige Funktionswert f(n) verwendet wird, für den x n minimal ist. Wendet man das Verfahren für zweidimensionale Bilder an, so sollten die Pixelkoordinaten transformiert und anschließend sollte für jeden Abtastort nach dem nächstgelegenen Pixel gesucht werden. Der Wert dieses Pixels sollte übernommen werden. Transformiert man dagegen die Abtastorte, bildet die beiden Koordinaten auf die nächste ganze Zahl ab und schreibt den Pixelwert an diese Stelle, so kann es bei Rotationen dazu kommen, dass an manche Abtastorte keine Pixel abgebildet werden. Das liegt daran, dass die Diagonale eines Pixels größer als seine Seitenlänge ist. Das Ergebnisbild enthält dann schwarze Löcher (siehe Abbildung 5.9).. 2

11 5.2 Reduktion von Abtastfehlern Transformation der Pixel Transformation des Gitters Abbildung 5.9: Falls zur Interpolation nach einer Transformation der Funktionswert des nächsten Nachbarpixels eingetragen wird, dann sollte das Gitter und nicht die Funktion transformiert werden. Sonst kann es geschehen, dass auf einen Gitterpunkt (hervorgehobenes Quadrat im mittleren Bild, kein Funktionswert abgebildet wird. Die konstante Interpolation ist ein schnell berechenbares, einfach zu implementierendes Verfahren. Allerdings muss bedacht werden, dass es einer zweiten Abtastung mit gleicher Abtastfrequenz entspricht. Nach dem Shannon schen Abtasttheorem kann es daher zu Aliasing-Effekten kommen, wenn nicht vorher alle Frequenzen gelöscht werden, die größer als f max /2 sind. Für eine genauere Interpolation kann man die ursprüngliche Funktion, falls sie beliebig häufig differenzierbar war, durch Polynome höheren Grades annähern. Jede solche Funktion lässt sich als eine Taylor-Reihe entwickeln; sie ist also durch alle ihre Ableitungen an einer beliebigen Stelle vollständig beschreibbar. Nun sind zwar Funktionswerte, nicht aber Ableitungen bekannt. Ableitungen werden daher durch Differenzen angenähert. Für die erste Ableitung einer eindimensionalen Funktion, deren in den reellen Definitionsbereich transformierte Werte an den Stellen x 0,x,,x m,,x M definiert sind, entsteht für die Berechnung an der Stelle x zwischen den Orten x m und x m+ eine lineare Interpolationsfunktion x x x x g x f x f x m+ m ( ) = ( ) + ( ) m m+ xm + xm xm + xm Die lineare Interpolation ist weniger anfällig gegenüber Aliasing-Effekten. Durch die Gewichtung werden hohe Frequenzen vor der Abtastung unterdrückt. Wenn die lineare Interpolation für zweidimensionale Bilder durchgeführt werden soll, kann man sich die Separabilität der Operation zunutze machen. Für einen Ort (x,y), der zwischen Pixeln an (x m,y n ), (x m+,y n ), (x m,y n+ ) und (x m+,y n+ ) liegt, werden zunächst Werte an (x m,y) und (x m+,y) interpoliert (siehe Abbildung 5.0): y y y y g x, y f x, y f x, y, n+ n ( ) = ( ) + ( ) m m n m n+ yn + yn yn + yn y y y y g x, y f x, y f x, y. n+ n ( ) = ( ) + ( ) m+ m+ n m+ n+ yn + yn yn + yn. 3

12 5 RÜCKGEWINNUNG UND RESTAURATION VON INFORMATION x,y m n+ x,y n+ x,y m+ n+ x,y x,y m n x,y m+ n Abbildung 5.0: Die bi-lineare Interpolation zwischen Pixeln wird in zwei Schritten ausgeführt: Im ersten Schritt wird entlang der x-richtung interpoliert. Aus diesen Werten wird anschließend der endgültige Wert durch Interpolation in y-richtung berechnet. Anschließend wird aus diesen beiden Werten der Wert für g (x,y) berechnet: x,y n xm + x x xm g ( x, y ) = g ( x, y ) + g ( x, y ). x x x x m m+ m+ m m+ m Anstelle von Polynomen vom Grad kann man auch Polynome höheren Grades benutzen. So werden immer höhere Terme der Taylor-Reihe berücksichtigt und die tatsächliche Funktion wird besser angenähert. Allerdings wird der Fehler der Schätzung der entsprechenden Ableitungen durch Differenzen größer. Man kann sich fragen, ob es eine für die gegebene Information optimale Interpolation gibt. Unter der Annahme, dass das Shannon sche Abtasttheorem erfüllt ist, die abgetastete Funktion also keine höheren Frequenzen enthielt als die Grenzfrequenz, lässt sich diese Frage beantworten. Dann ist nämlich die vollständige Beschreibung der Funktion an jedem Ort durch die Wellen der fouriertransformierten Funktion gegeben. Da im Frequenzraum also alle Frequenzen der kontinuierlichen Funktion repräsentiert sind, bedeutet das für den Funktionswert an einem beliebigen Punkt (x,y): M N ux vy g (, ) (, ) F x y = F u v exp i2π + u= 0 v= 0 M N Bei dieser optimalen Interpolation sollte man allerdings beachten, dass die Funktion f, von der F generiert wurde, in der Regel Rauschen beinhaltet, was ebenfalls mit rekonstruiert wird. Außerdem ist die reelle Funktion selten wirklich bandbegrenzt. Ein gewisses Maß an Aliasing-Artefakten fließt daher ebenfalls mit in die Interpolation ein. Es mag aus diesen Gründen besser sein, eines der einfacheren Interpolationsverfahren zu wählen. Die dort implizit oder explizit vorgesehene Entfernung hoher Frequenzanteile wird wahrscheinlich diejenigen Anteile der Funktion unterdrücken, für die Artefakte die Information überwiegen. 4

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