5. Eine Klasse von Potenzreihen. Von Akira KOBORI. (Eingegangen am 13. Marz, 1936)

Transkript

1 5. Eine Klasse von Potenzreihen. Von Akira KOBORI. (Eingegangen am 13. Marz, 1936) In der folgenden Zeilen wollen wir eine Klasse Sk der im Einheitskreise regularen Potenzreihen in Betracht ziehen, die, wenn man unter (1) f(z)=z+ ƒ ƒë=2aƒëzƒë einen Reprasentanten dieser Klasse versteht, dort die Bedingung genugen. T. Bildschranke. 1. Herr W. Rogosinski hat den folgenden Satz bewiesen: In der Gesamtheit der Funktionen g(z) mit folgenden Eigenschaften: 1. g(z)=c1z+c2z2+ c c+cnzn+ c c 2. fur z <1 ist Rzg Œ(z)>-1, gibt es eine und bis auf eine Drehungstransformation in z nur eine Funktion 1/( H(z)=log 1-z)2, die folgendes leistet: Fur z <1 liegt das Bild eines jeden Kreis z =r durch ein g(z) ganz innerhalb eines Bildes durch H(z). Nur die Funktionen (2) (ƒæ reell) erreichen diese Bildschranken (1). Mit Hilfe dieses Satzes wollen wir zunachst untersuchen die Bild schranken der Potenzreihen, die zur Klasse Sk gehoren. Es sei die Potenzreihe (1) zur Klasse Sk gehoren, so, nach einem Satze, den wir in einer fruheren Arbeit bewiesen haben, ist f(z)/z 0 fur (1) W. Rogosinski: Uber Bildschranken bei Potenzreihen und ihren Abschnitten. Math. Zeitschr. 17 (1923).

2 50 A. KOBORI z <1(2). Daher ist die Funktion in demselben Kreise regular. Ferner ist so, ach dem Rogosinskischen Satze, gibt die Bildschranke der Funktion (2) die von der Funktion k(z). Und da H(zeiƒÆ) auf einem Streifen der Breite 2ƒÎ parallel zur reellen Achse beschrankt ist, so dass der Ubergang zur Exponentialfunktion erlaubt ist, liefert auch Bildschranken fur die Funktion {f(z)/z} Daher erhalt man den folgenden Satz T. f(z) durchlaufe samtlichen Potenzreihen aus Sk, dann gehoren die Bilder der Funktionen {f(z)/z}1/k+1 zu das von der Funktion 1/(1 -zeiƒæ)2. Unmittelbar aus diesem Satze erhalt man die Ungleichung fur z r<1. Folglich erhalten wir den Satz 2. Wenn f(z) zur Klasse Sk gehoren, so ist fur z r<1 2. Nun wollen wir die Bildschranke von der Funktion zf Œ(z)/f(z) finden. Da f(z) zur Klasse Sk gehort, so ist fur z <1. Daher genugt die Funktion (2) Akira Kobori: Uber die notwendige und hinreichende Bedingung dafur, dass eine Potenzreihe den Kreisbereich auf den schlichten sternigen bzw. konvexen Bereich abbildet. Mem. College of Science, Kyoto Imp. Univ. Ser. A 15 (1932).

3 Eine Klasse von Potenzreihen. 51 die Bedingungen 1. (0)=0 2. (z) <1 fur z <1. Folglich ist, nach dem bekannten Schwarzschen Lemma, (z) r fur z r<1. Daher nimmt die Funktion auf der Kreisscheibe nur Werte aus dem Innern des Kreises, der die Strecke 1-(2k+1)r/1+r c c1+(2k+1)r/1-r als Durchmesser geschrieben wird. Daher erhalten wir den Satz 3. Wenn f(z) eine Potenzreihe der Klasse Sk ist, so nimmt die Funktion zf Œ(z)/f(z) nur Werte aus dem Innern des Kreises, der die Strecke als Durchmesser geschrieben wird. Als Zusatz dieses Satzes erhalt man den folgenden Satz 4. Es sei f(z) eine Potenzreihe der Klasse Sk, so ist 3. Aus dem Satz 3 erhalt man Schlichtheit. fur z r<1. Es ist also, fur z <1/2k +1 Daher erhalt man den Satz 5. Samtliche Potenzreihen der Klasse Sk sind im Kreise schlicht und sternig in bezug auf den Nullpunkt. Ferner kann diese Schranke urch keine grossere ersetzt werden. Dass diese Schranke die beste ist, sieht man an der Potenzreihe (3)

4 52 A. KOBORI Denn sie gehort offenbar zur Klasse Sk und am Punkte -1/ z= 2k Bezuglich der Konvexitatsschranke der Potenzreihen dieser Klasse wollen wir den folgenden Satz beweisen: Satz 6. Samtliche Potenzreihen der Klasse Sk sind schlicht und konvex im Kreise Und diese Schranke kann durch keine grossere ersetzt werden. Um diesen Satz zu beweisen stellen wir folgenden Hilfssatz auf, welcher lautet: Es sei die Funktion h(z) im Kreise z <1 regular und genugt dort die Bedingung d ann ist fur z r<1 h Œ(z) 2(A-a/ƒÎ E1/1-r2. Da fur z <1, z0 <1 ist, so genugt auch die Bedingung (4). Daher, fur zwei beliebigen Punkte z1 und z2 des Einheitskreises, ist RƒÓ(z1)-RƒÓ(z2) <A-a. Also ist, nach dem bekannten Satze (3) Da aber ƒó Œ (0)=h Œ(z0)(1- z0 2) (3) Vgl. Polya und Szego: Aufgaben und Lehrsatze Bd. I, S. 130.

5 Eine Klasse von Potenzreihen. was zu beweisen war. 5. it Hilfe dieses Satzes beweisen wir den Satz 6. Es sei gesetzt, so ist die Funktion im Einheitskreise z <1 regular und Folglich ist, nach dem Hilfssatze (a=-ƒî/2, A=ƒÎ/2), fur

6 A. KOBORI erhalt Aus der Ungleichung man Dass diese Schranke durch keine grossere ersetzt werden kann, sieht man wieder an der Potenzreihe (3), weil Als spezieller Fall dieses Satzes erhalt man fur k=0 den folgenden Satz 7. Samtliche Potenzreihen, die im Einheitskreise regular, schlicht und bezuglich des Nullpunktes sternig sind, sind konvex im Kreise z <2- ã3. Koeffizientenabschatzungen. 6. In diesem Paragraphe wollen wir die obere Schranken der Ko effizienten an (n=2, 3, c c) der samtlichen Potenzreihen der Klasse Sk untersuchen. Da f(z) zur Klasse Sk gebort, so ist Folglich ist Damit ist Das Zeichen g(z) áh(z) bedeutet, dass h(z) Majorante von g(z) ist.

7 Eine Klasse von Potenzreihen. hieraus schliesst man also Daher kann man folgendermassen behaupten: Satz 8. Fur die Potenzreihen, die zur Klasse Sk gehoren, gelten die Koeffizientenabschatzungen und diese Schranke kann durch keine kleinere ersetzt werden. Dass diese Aschatzungen die heste sind, sieht man am Beispiele (3). Schlichtheit der Abschnitte. 7. Schliesslich berechnen wir die Schlichtheitsschranke der samtlichen Abschnitte der Potenzreihen der Klasse Sk. Der Satz lautet: Satz 9. Samtliche Abschnitte der Potenzreihen die zur Klasse Sk gehoren, sind im Kreise z <1 schlicht und be zuglich des Nullpunktes sternig. Und diese Schranke kann durch keine grossere ersetzt werden. Um diesen Satz zu beweisen, setzen wir 8. Zunachst untersuchen wir das Zeichen des Ausdruckes

8 56 A. KOBORI Nach der Satze 2 und 8 ist fur z = r und n 3 Die rechte Seite aber ist eine monoton abnehmende Funktion von k, somit ist Ferner ist Da aber beid e 1-1/4(k+1) und + monoton abnehmende Funktion von k sind, so ergibt sich, dass Daher ist fur

9 Nach der Satze 3, 4 und 8 erhalt man bedeutet. Da der zweite Faktor der rechten Seite, wie schon im vorigen Para graphe gezeigt ist, positiv fur z <1/4(k+1) ist, so genugt es um das Zeichen des D anzusehen, nur das vom ersten Faktor, d. h. das Zeichen von

10 Damit ist beweisen, dass, fur n 4 und z <1/4(k+1), D>0 ist. 10. Nun beweisen wir den Satz fur n=3, d. h., beweisen wir, nach dem Kunstgriffe vom Herrn G. Szego(5), dass fur z <1/4(k+1) ist. Um dies zu beweisen aber, genugt es dieselbe Ungleichung am Punkte z=1/4(k+1) zu zeigen, d. h. nur zu zeigen, dass (5) G. Szego: Zur Theorie der schlichten Abbildungen. Math. Ann. 100 (1928).

11 im Einheitskreise positiven Realteil besitzt, so ist nach dem bekannten Caratheodory-Toeplitzschen Satze so ist F, aufgefasst bei festem C1 und C2 als eine Funktion von Č, regular fur Č 1. Folglich darf man Č =1 annehmen. Wir haben also zu zeigen, dass

12 gilt. Dies kann man in derselben Weise zeigen, wie Herr G. Szego durch gefuhrt hat, wenn man setzt