Skalarprodukte. Kapitel Bilinearformen

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1 Kapitel 11 Skalarprodukte Das bekannte Skalarprodukt auf dem n dimensionalen Euklidischen Raum R n ist ein Spezialfall einer für viele Bereiche der linearen Algebra und der Funktionalanalysis außerordentlich wichtigen allgemeineren Definition von Skalarprodukten und sogenannten Bilinearformen. Wir beschränken uns allerdings nach einer kurzen allgemeinen Betrachtung von Bilinearformen meist auf den Fall, dass der zugrundeliegende Körper entweder R oder C ist Bilinearformen Im Folgenden sei K wieder ein Körper, und V, W, X seien Vektorräume über K Definition. Eine Abbildung β : V W X heißt bilinear, falls β in jedem Argument linear ist, d. h. für λ, µ K, u, v V, w, z W gilt: β(λu + µv, w) = λβ(u, w) + µβ(v, w) β(v, λw + µz) = λβ(v, w) + µβ(v, z) Im Falle X = K spricht man von einer Bilinearform β. (Linearität im 1. Argument) (Linearität im 2. Argument) Eine bilineare Abbildung β : V V X heißt symmetrisch (bzw. schiefsymmetrisch), falls β(v, w) = β(w, v) (bzw. β(v, w) = β(w, v)) für alle v, w V gilt. Der Dualraum eines K-Vektorraums V ist der Vektorraum V d = Hom(V, K) der Linearformen Beispiele. (1) Das Standard Beispiel für eine symmetrische Bilinearform ist n β : K n K n K, β(u, v) = u j v j = u T v (u, v K n ). j=1 (2) Das Vektorprodukt : R 3 R 3 R 3 ist bilinear (aber keine Bilinearform) und schiefsymmetrisch. (3) Die Abbildung β : V d V K, (F, v) F (v) ist eine Bilinearform. Für dim V = n < ist V d isomorph zu V. 120

2 KAPITEL 11. SKALARPRODUKTE Satz und Definition. (Vektorraum der Bilinearformen) Die Bilinearformen β : V W K bilden einen Unterraum Bil(V, W ) des Raumes K V W. (1) Für jede Matrix A K m n ist β A : K m K n K, (v, w) v T A w eine Bilinearform, genannt die von A induzierte Bilinearform. Umgekehrt gibt es zu jeder Bilinearform β : K m K n K eine eindeutige Matrix A K m n mit β = β A. Genau dann ist β A symmetrisch bzw. schiefsymmetrisch, wenn A die entsprechende Eigenschaft hat. (2) Die Abbildung A β A ist ein Isomorphismus zwischen K m n und Bil(K m, K n ). (3)Für jede Bilinearform β Bil(V, W ) seien β 1 : V W d und β 2 : W V d definiert durch β 1 (v)(w) = β 2 (w)(v) = β(v, w). Die Abbildung β β 1 ist ein Isomorphismus zwischen Bil(V, W ) und Hom(V, W d ). Die Abbildung β β 2 ist ein Isomorphismus zwischen Bil(V, W ) und Hom(W, V d ). (4) Für endlich-dimensionale Vektorräume V, W mit dim V = m und dim W = n gilt also: Bil(V, W ) Hom(V, W ) Hom(W, V ) K m n K n m, dim Bil(V, W ) = m n. (5) Sowohl die symmetrischen als auch die schiefsymmetrischen Bilinearformen bilden je einen Unterraum von Bil(V, V ); für dim V = n ist der erste isomorph zum Raum der symmetrischen, der zweite zum Raum der schiefsymmetrischen n n Matrizen. Konkrete Isomorphismen zwischen Bil(V, W ) und K m n kann man nur nach Vorgabe geordneter Basen angeben: Satz. (Allgemeine Matrixdarstellung von Bilinearformen) Für geordnete Basen B = (b 1,..., b m ) von V und C = (c 1,...c n ) von W sei K B (v) der Koordinatenvektor von v V bezüglich B und K C (w) der Koordinatenvektor von w W bezüglich C. Dann gibt es zu jeder Bilinearform β Bil(V, W ) genau eine Matrix A = (α jk ) K m n mit β(v, w) = K B (v) T A K C (w) für alle v V, w W, nämlich A = A β = (β(b j, c k )). Die Abbildung β A β ist ein Vektorraum-Isomorphismus zwischen Bil(V, W ) und K m n Bemerkung. (Basistransformation bei Bilinearformen) Für geordnete Basen B = (b 1,..., b n ), C = (c 1,...c n ) von V und die Transformationsmatrix S = T C B mit K B(v) = S K C (v) gilt: Stellt A eine Bilinearform bezüglich B dar, so stellt S T A S sie bezüglich C dar Definition. Eine Bilinearform β : V V K ist nicht ausgeartet, wenn β 1 (bzw. β 2 ) injektiv, also jede Darstellungsmatrix invertierbar ist Satz. (Erzeugung von Bilinearformen durch Endomorphismen) Ist β Bil(V, V ) nicht ausgeartet, so ist die Abbildung G β : End(V ) Bil(V, V ), F β F mit β F (v, w) = β(f (v), w) ein Vektorraum-Isomorphismus, insbesondere also jede Bilinearform auf V als β F darstellbar.

3 KAPITEL 11. SKALARPRODUKTE Sesquilinearformen In diesem Abschnitt betrachten wir eine wichtige Variante der Bilinearformen, die sich für Vektorräume über dem Körper C der komplexen Zahlen als besonders nützlich erweist. Als Anwendung erhalten wir einen allgemeinen Abstandsbegriff in reellen und komplexen Vektorräumen Bemerkung. Über C kann ein von 0 verschiedener Vektor bezüglich der Bilinearform β(u, v) = u T v auf sich selbst senkrecht stehen, d. h. für n > 1 gibt es Vektoren v C n mit v T v = 0. Ein Beispiel ist v = (ı, 1) T C 2. Deshalb bevorzugt man im Komplexen folgende Variation: Definition. Das kanonische Skalarprodukt γ auf C n ist definiert durch γ(u, v) := u, v := u T v = v T u, wobei v T = (v 1,..., v n ) für v T = (v 1,..., v n ) Bemerkung. Die Konjugationsabbildung : C C, z = x + ıy z = x ıy ist ein selbstinverser Körperautomorphismus von C, d. h. z = z, z 1 + z 2 = z 1 + z 2, z 1 z 2 = z 1 z 2 und insbesondere αz = α z für α R. Damit ist diese Abbildung also auch ein R Algebren Homomorphismus. Ferner gilt für z = x + ıy: z z = z 2 = x 2 + y 2 > 0 z Folgerungen. (Eigenschaften des kanonischen Skalarprodukts) Für u, v C n gilt: (1) v, v = v T v = v T v 0, (2) v = v, v = v v n 2, (3) u, u > 0, falls u 0, (4) u, v 2 u v Definition. Es sei im Folgenden V ein C-Vektorraum. Eine Abbildung σ : V V C heißt Sesquilinearform ( fast bilinear ), falls für λ, µ C und u, v, w, z V gilt: σ(λu + µv, w) = λ σ(u, w) + µ σ(v, w), σ(v, λw + µz) = λ σ(v, w) + µ σ(v, z). Wir schreiben gelegentlich σ(v) für σ(v, v). Durch diese Werte ist σ vollständig festgelegt:

4 KAPITEL 11. SKALARPRODUKTE Satz. (Polarisationsformel) Für jede Sesquilinearform σ gilt: 4 σ(v, w) = σ(v + w) σ(v w) + ı σ(v + ı w) ı σ(v ıw) Bemerkungen. (1) Das Skalarprodukt γ ist eine Sesquilinearform. (2) Ist σ : C n C n C sesquilinear, so ist die Restriktion σ : R n R n C bilinear. (3) Die Restriktion γ : R n R n R ist das gewöhnliche reelle Skalarprodukt auf R n. (4) Eine Sesquilinearform σ : C n C n C ist keine Bilinearform, denn σ ist zwar linear im 1. Argument, aber nicht im 2. Argument. Jedoch wird die additive Gruppe C n mit der skalaren Multiplikation (nicht dem Skalarprodukt!) (z, v) = (z, (v 1,..., v n ) T ) zv = ( zv 1,..., zv n ) T zu einem C Vektorraum C n, und σ wird zu einer Bilinearform σ : C n C n C Satz und Definition. Für jede Matrix A C n n ist σ A : C n C n C, (u, v) u T A v eine Sesquilinearform, genannt die von A induzierte Sesquilinearform. Umgekehrt gibt es zu jeder Sesquilinearform σ : C n C n C genau eine Matrix A C n n mit σ = σ A. Die Abbildung A σ A ist ein Isomorphismus zwischen C n n und Bil(C n C n ), dem Vektorraum aller Sesquilinearformen auf C n. Allgemein kann man nach Vorgabe einer geordneten Basis B für einen n dimensionalen C- Vektorraum V jede Sesquilinearform σ : V V C durch genau eine Matrix A C n n darstellen, so dass für alle v, w V und ihre Koordinatenvektoren K B (v), K B (w) gilt: σ(v, w) = K B (v) T A K B (w) Definition. Jede im 1. Argument lineare Abbildung σ : V V C mit σ(v, w) = σ(w, v) heißt (nach dem Mathematiker Hermite) hermitesche Form oder (allgemeines) Skalarprodukt. Analog verstehen wir unter einem reellen Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform auf einem R Vektorraum Folgerung. Jede hermitesche Form ist sesquilinear, und ihre reelle Restriktion ist eine symmetrische Bilinearform Satz. Eine Sesquilinearform σ ist genau dann hermitesch, wenn σ(v) stets reell ist Definition. Eine hermitesche Form σ heißt positiv definit (bzw. positiv semi definit), falls σ(v) > 0 ( bzw. σ(v) 0) für alle v V gilt. Entsprechend nennt man σ negativ definit (bzw. negativ semi definit), falls σ positiv definit (bzw. positiv semi definit) ist Beispiele. (1) Standard Beispiel einer positiv definiten hermiteschen Form ist das Skalarprodukt γ.

5 KAPITEL 11. SKALARPRODUKTE 124 (2) Für jede reell-symmetrische Matrix A R n n ist σ A ein reelles Skalarprodukt. Wie wir später sehen werden, ist es genau dann positiv (negativ) definit, wenn alle Eigenwerte von A positiv (negativ) sind. (3) Für eine zweimal stetig differenzierbare Funktion f : R n R n ist die zweite Ableitung f (a) in jedem festen Punkt a R n nach einem Satz der Analysis ein reelles (symmetrisches!) Skalarprodukt. Es ist im Falle f (a) = 0 genau dann positiv (bzw. negativ) semidefinit, wenn f an der Stelle a ein lokales Minimum (bzw. Maximum) hat. (4) Es gibt aber auch wichtige verallgemeinerte Skalarprodukte auf unendlich dimensionalen Vektorräumen, z. B. das Skalarprodukt σ(f, g) = 1 0 f(x)g(x) dx auf dem Vektorraum der stetigen (reell oder komplexwertigen) Funktionen auf dem Einheitsintervall. Die Stetigkeit von f 0 sichert, dass σ(f, f) tatsächlich positiv ist. Für komplexwertige Funktionen f = u + ı v mit Realteil u und Imaginärteil v definiert man Integrale durch f(x) dx = u(x) dx + ı v(x) dx Bemerkungen. Orthogonalität bezüglich eines allgemeinen Skalarprodukts σ : V V C auf einem endlich-dimensionalen C-Vektorraum erklärt man wie im R n : u v : σ(u, v) = 0 (u, v V ). Eine Orthonormalbasis von V ist also eine Basis {b 1,..., b n } mit σ(b j, b k ) = δ jk. Dann gelten die entsprechenden Sätze und das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auch für σ. Zum Beispiel ist für endlich-dimensionales V und U V U := {v V u v für alle u U} stets ein Unterraum von V, und U ist genau dann Unterraum von V, wenn U = U gilt. In diesem Fall ist V die direkte Summe von U und U. In Verallgemeinerung des bekannten Abstandsbegriffes im R n vereinbaren wir: Definition. Eine Norm auf einem R- oder C-Vektorraum V ist eine Abbildung : V R mit folgenden Eigenschaften: (N1) v > 0 für v 0 (Positivität) (N2) λv = λ v (Homogenität) (N3) v + w v + w (Dreiecks Ungleichung). Ähnlich wie im Falle des kanonischen reellen Skalarprodukts auf R n zeigt man nun: Satz. (Induzierte Norm und Cauchy-Schwarzsche Ungleichung) Ist σ ein positiv definites reelles oder komplexes Skalarprodukt auf einem Vektorraum V, so wird durch v = σ(v) eine Norm auf V definiert, und es gilt für alle v, w V : σ(v, w) v w, wobei Gleichheit genau dann eintritt, wenn v und w linear abhängig sind.

6 KAPITEL 11. SKALARPRODUKTE Normale Matrizen In diesem Abschnitt studieren wir Matrizen über C, die eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren besitzen. Die erzielten Resultate lasssen sich mühelos auf Endomorphismen endlich dimensionaler C Vektorräume übertragen. Wir begnügen uns mit der matrizentheoretischen Version. Zu jeder Matrix A = (a jk ) C n n hat man die konjugierte Matrix A = (a jk ) C n n Definition. Für A C n n heißt A := ĀT die (bezüglich γ) zu A adjungierte Matrix Lemma. (Rechenregeln für die adjungierte Matrix) Für A, B C n n gelten: (1) A = A T (2) (A + B) = A + B (3) (λa) = λa (4) (AB) = B A (5) A = A (6) Av, w = v, A w Bemerkungen. Die Regeln (2) und (3) zeigen, dass die Abbildung : C n n C n n zwar R linear, aber nicht C linear ist. Wegen (5) ist sie ein selbstinverser R-Vektorraum- Automorphismus, aber wegen der Vertauschungsregel (4) kein Algebren-Automorphismus. Durch die Gleichung (6) ist A eindeutig bestimmt. Diese Gleichung motivierte die Bezeichnung adjungierte Matrix. Sind F und G Abbildungen von C n in C n, so dass F (v), w = v, G(w) für alle v, w C n gilt, so nennt man G zu F adjungiert. Man kann dann zeigen, dass sowohl F als auch G lineare Abbildungen sein müssen, und dass die zugehörigen Darstellungsmatrizen adjungiert sind. Mit reellen Sesquilinearformen sind im Folgenden Bilinearformen auf C n gemeint, deren Einschränkung auf R n nur reelle Werte hat Definition. Eine Matrix A C n n heißt hermitesch, falls A = A unitär, falls AA = E (bzw. A A = E bzw. A = A 1 ) normal, falls A A = AA Folgerungen. Für jede Matrix A C n n und die zugehörige Sesquilinearform σ A gilt: A reell symmetrisch σ A reell symmetrisch A reell schiefsymmetrisch σ A reell schiefsymmetrisch A reell orthogonal σ A reell und σ A = σ (A T ) 1 A hermitesch σ A hermitesch A unitär σ A = σ (A ) 1.

7 KAPITEL 11. SKALARPRODUKTE Diagramm. Es gelten folgende Implikationen: A reelle Diagonalmatrix A = E : Einheitsmatrix A = A T = A 1 = A : Spiegelung A reell symmetrisch A Diagonalmatrix A Permutationsmatrix A reell orthogonal A hermitesch A normal A unitär A diagonalisierbar Satz. (Spektralsatz für normale Matrizen) Für A C n n sind äquivalent: (a) A ist normal. (b) Av = A v für alle v C n. (c) Av λv = A v λv für alle v C n und λ C, insbesondere V (A, λ) = V (A, λ). (d) C n ist orthogonale Summe der Eigenräume von A. (e) C n hat eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von A. (f) Es gibt eine unitäre Matrix C, so dass C A C eine Diagonalmatrix ist (mit den Eigenwerten von A in der Diagonalen und Eigenvektoren von A als Spalten von C) Satz. (Algebren normaler Matrizen) Für eine normale Matrix A ist auch jedes B C[A] normal und daher halbeinfach. Die einzigen normalen nilpotenten Matrizen sind die Nullmatrizen.

8 KAPITEL 11. SKALARPRODUKTE Folgerung. Folgende Matrizentypen sind durch unitäre Matrizen diagonalisierbar: (a) Reelle symmetrische Matrizen. (b) Reelle schiefsymmetrische Matrizen. (c) Reelle orthogonale Matrizen. (d) Hermitesche Matrizen. (e) Unitäre Matrizen Bemerkung. Im Falle (a) gelingt sogar die Diagonalisierung mittels reeller orthogonaler Matrizen (siehe Kapitel 7.1), nicht jedoch im Falle (b). Beispiel: Die Matrix ( ) 0 1 A = 1 0 ist schiefsymmetrisch und hat das charakteristische Polynom χ A = x 2 + 1, also die Eigenwerte ı, ı und die Eigenvektoren ( ) ( ) 1 1,. ı ı Die Matrix C = 1 ( ı ı ist unitär (aber nicht reell), und es gilt ( ) C ı 0 A C =. 0 ı ) Satz. (Spektralzerlegung normaler Matrizen) Für A C n n sind äquivalent: (a) A ist normal. (b) A besitzt eine Spektralzerlegung in hermitesche Idempotente. (c) A besitzt eine Spektralzerlegung in normale Idempotente Folgerung. (Hermitesche Idempotente) Für H C n n sind äquivalent: (a) H ist normal und idempotent. (b) H ist hermitesch und idempotent: H = H = H 2. (c) H = H H. ( ) Es 0 (d) Es gibt ein unitäres C mit H = C C. 0 0

9 KAPITEL 11. SKALARPRODUKTE Hermitesche und unitäre Matrizen Hermitesche und reell symmetrische Matrizen sind von großer Bedeutung für Algebra, Zahlentheorie, Geometrie und Funktionalanalysis, unter anderem wegen ihrer besonders bequemen Diagonalisierbarkeit (siehe und Kapitel 7). Jede komplexwertige Matrix besitzt eine eindeutige Zerlegung der Form A + ıb in einen Realteil A und einen Imaginärteil B Lemma. Sei H = A + ıb C n n mit A, B R n n. Dann gilt: H ist hermitesch A ist symmetrisch und B ist schiefsymmetrisch Satz. (Vektorraum der hermiteschen Matrizen) Die hermiteschen n n Matrizen bilden einen R-Vektorraum H n der Dimension n 2, jedoch keinen C Vektorraum Definition. A ist unitär (orthogonal) ähnlich zu B, falls es ein unitäres (orthogonales) U mit A U = UB gibt Satz. (Spektralsatz für hermitesche Matrizen) Für A C n n sind äquivalent: (a) A ist hermitesch. (b) A ist normal und hat nur reelle Eigenwerte. (c) A ist unitär ähnlich zu einer reellen Diagonalmatrix. (d) A hat reelle Eigenwerte und eine Spektralzerlegung in hermitesche Idempotente: A = λ j H j, H j = H j = H 2 j, λ j R. Wir fassen die verschiedenen Charakterisierungen reell-symmetrischer Matrizen zusammen: Satz. (Spektralsatz, Hauptachsentransformation symmetrischer Matrizen) Für A R n n sind äquivalent: (a) A ist symmetrisch. (b) AA T = A T A, und A ist über R diagonalisierbar. (c) A ist orthogonal ähnlich zu einer reellen Diagonalmatrix. (d) R n ist orthogonale Summe der Eigenräume von A. (e) R n hat eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von A. (f) A hat eine reelle Spektralzerlegung in symmetrische Idempotente. Alle Eigenwerte reell symmetrischer Matrizen, aufgefasst als Matrizen über C, sind reell Bemerkung. Eine Matrix A R n n ist genau dann symmetrisch und idempotent, wenn à : R n R n, v Av eine Orthogonalprojektion, also {Ã, B} mit B = E A eine Spektralschar ist. In diesem Fall ist R n die orthogonale Summe von Ã[R n] und B[R n ].

10 KAPITEL 11. SKALARPRODUKTE Definition. Eine hermitesche Matrix A heißt positiv (semi )definit bzw. negativ (semi )definit, falls σ A die entsprechende Eigenschaft hat. Also ist A z. B. genau dann positiv definit, wenn v T A v > 0 für alle v C n gilt. Für ein reelles Intervall I (und die Menge Spec A der Eigenwerte von A) sei H n (I) := {A H n Spec (A) I}. Spezielle Intervalle sind R > := ] 0, [, R :=, [ 0, [, R < := ], 0 [, R := ], 0 ]. Wir definieren A ϱ B : A B H n ( R ϱ ) (ϱ {>,, <, }) Lemma. Die Relationen und sind Halbordnungen auf H n, und es gilt: A H n ( ] α, β [ ) αe < A < βe, A H n ( [ α, β [ ) αe A < βe, A H n ( ] α, β ] ) αe < A βe, A H n ( [ α, β ] ) αe A βe Satz. (Definitheit hermitescher Matrizen) Für jede hermitesche Matrix A gilt: A positiv definit A > O alle Eigenwerte sind positiv A positiv semi definit A O alle Eigenwerte sind größer oder gleich 0 A negativ definit A < O alle Eigenwerte sind negativ A negativ semi-definit A O alle Eigenwerte sind kleiner oder gleich Satz und Definition. (Transformationen hermitescher Matrizen) Für reelle Intervalle I, I sowie A H n (I) und ϕ : I I definieren wir r ϕ H (A) := ϕ(λ j )H j, j=1 wobei A = r j=1 λ j H j die Spektralzerlegung von A ist. Man erhält hierdurch eine Abbildung und es gilt ϕ H : H n (I) H n (I ), α < ϕ(t) < β = αe < ϕ(a) < βe (entsprechend für ) Satz. (Monotone Bilder hermitescher Matrizen) Ist ϕ : I I eine streng monotone Bijektion zwischen reellen Intervallen, so induziert ϕ eine Bijektion ϕ H : H n (I) H n (I ). Für ψ = ϕ 1 gilt ψ H = ϕ H 1. Die Spezialfälle ϕ : R >0 R >0, x x k, liefern: Folgerung. Zu jeder positiv definiten Matrix A und jeder natürlichen Zahl k > 0 existiert genau eine positiv definite Matrix W mit W k = A.

11 KAPITEL 11. SKALARPRODUKTE Folgerung. Für A C n n sind äquivalent: (a) A ist positiv definit, d. h. A = A > 0. (b) Es existiert genau ein positiv definites W mit W 2 = A. (c) Es existiert ein W GL (n, C) mit W W = A Folgerung. Die Abbildung exp : H n (R) H n (R >0 ), A e A = e λ j H j ist eine Bijektion zwischen der Menge der hermiteschen Matrizen und der Menge der positiv definiten Matrizen. Es gilt: e Spur A = det(e A ). Für reell symmetrische Matrizen lassen sich die meisten der vorangehenden Aussagen analog formulieren und beweisen Satz. (Sylvesterscher Trägheitssatz) Zu jeder reell symmetrischen Matrix A = A T R n n gibt es eine direkte Summenzerlegung R n = V + A V A V A, wobei σ A auf V A + eingeschränkt positiv definit, auf VA eingeschränkt negativ definit und auf VA eingeschränkt die Nullabbildung ist. Es gibt eine invertierbare Matrix B mit B T AB = diag (1,..., 1, 1,..., 1, 0,..., 0). Ist s + die Anzahl der Einsen und s die Anzahl der negativen Einsen, so gilt s + = dim V + A und s = dim V A. Die Signatur (s +, s ) hängt also nur von A, nicht von B ab Bemerkung. Unitäre Matrizen entsprechen den Orthonormalbasen des unitären Raumes C n mit dem Skalarprodukt γ. Die reellwertigen unitären Matrizen sind genau die orthogonalen. Im Falle positiver Determinante beschreiben sie (verallgemeinerte) Drehungen Satz. (Charakterisierung unitärer Matrizen) Für U C n n sind äqivalent: (a) U ist unitär. (b) U ist normal, und alle Eigenwerte haben den Betrag 1. (c) U ist unitär ähnlich zu diag (λ 1,..., λ n ) mit λ j = 1, insbesondere det U = 1. (d) Die Spalten bilden eine Orthonormalbasis bezüglich des kanonischen Skalarprodukts Satz. (Unitäre und orthogonale Gruppe) Die unitären Matrizen U C n n bilden eine Untergruppe U n von GL (n, C).

12 KAPITEL 11. SKALARPRODUKTE 131 Desgleichen bilden die orthogonalen Matrizen U U n R n n eine Untergruppe O n von GL (n, R), und O n enthält wiederum die Untergruppe O n + der Drehungen, d. h. der orthogonalen Matrizen mit Determinante 1. GL (n, R) GL (n, C) O n U n O + n Beispiel. Für n = 2 ist {( ) } O 2 + cos α sin α = α [ 0, 2π) sin α cos α eine Untergruppe von GL (2, R). Ihre Elemente beschreiben Drehungen um den Winkel α. {( ) } O2 cos α sin α = sin α cos α α R ist keine Untergruppe von GL (2, R). Ihre Elemente beschreiben Achsenspiegelungen. O 2 ist die disjunkte Vereinigung von O + 2 und O Satz. (Eulerscher Drehachsensatz) Jede Drehung U O 3 + hat eine Drehachse, d. h. einen Eigenvektor zum Eigenwert 1. Bei geeigneter ONB aus Eigenvektoren wird U transformiert auf cos α sin α. 0 sin α cos α Deshalb gilt für den Drehwinkel α: Spur U = cos α, d. h. cos α = Spur U Bemerkung. Die von einer symmetrischen Bilinearform σ : R n R n R induzierte Abbildung q : R n R, x σ(x, x) nennt man quadratische Form. Die weit entwickelte Theorie der quadratischen Formen, auf die wir hier nicht näher eingehen können, verallgemeinert die in Kapitel 7 gewonnenen Erkenntnisse über Quadriken.