Lösungen zu den Aufgaben

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1 Lösungen zu den Aufgaben Kapitel Aufgabe.3. Es gilt für die Z-Y-X-Euler-Winkel: A, B 3, C 9(s. Bild L). Bild L: Euler-Winkel mit Zwischenergebnis Die zu den Drehungen gehörenden Rotationsmatrizen nach Gl. (.) sind: cos3 sin3 3/ / A, A, sin3 cos3 / 3 / ' '' ' 3/.5 A, A A A A / 3 / k k ' '' k '' ' '' Das Ergebnis k A kann direkt durch Beschreibung der Einheitsvektoren x k, y k, z k, im Koordinatensystem K nachgeprüft werden. Aufgabe.3. Z Es gilt R R A. Die x-achse des Zielkoordinatensystems zeigt in Richtung der y-achse des Referenzkoordinatensystems, da der erste Spaltenvektor von,, beträgt. Entsprechend sind die Richtungen der beiden anderen Einheitsvektoren Z A R

2 Lösungen zu den Aufgaben festzulegen. Das Referenzkoordinatensystem wird beliebig in der Zeichenebene als Rechtssystem festgelegt (s. Bild L). y R x Z x R y Z z R z Z Bild L: Lösung des ersten eils der Aufgabe.3. Mit Gl. (.9) erhält man für die Z-Y-Z-Euler-Winkel:, arctan (, ) /. Entsprechend kann man mit Gl. (.) die Z-Y-X-Euler-Winkel berechnen: A arctan (, ) /, B arcsin(), C arctan (, ) Aufgabe.3.3 Nach Bild.6b und Gl. (.3) wird v s zu v dr dt d p dt () S S rs berechnet. v s wird nach der Zeit differenziert: () d r d S d p bs v S rs dt dt dt,() () () d p d p d dr rs dt dt dt dt S Beachtet man Gl. (.4) und setzt dr dt S ein, erhält man: d p d p d b v r v dt dt dt,() () () S S S s Wie im Beispiel in Abschn... wird angenommen, dass sämtliche Vektoren im Koordinatensystem zu p,, d, s,, ls, ω,, gegeben sind. Setzt man diese Werte ein, wird b S zu:

3 Kapitel 3 b () S d ( d ls) d ( d ls) Die Darstellung in K wird durch Multiplikation mit der Rotationsmatrix A erreicht: b Aufgabe.3.4 () () S S d d l s d d ls ( ) sin ( ) cos Ab d ( d ls) cos d ( d ls) sin In der gezeichneten Stellung (Bild.) nimmt der RV die Winkel, 9ein. Die geforderte Zielstellung wird dadurch erreicht, dass man in Gedanken zuerst nur Gelenk zur Zielstellung dreht und anschließend Gelenk. Gelenk ist um 8 zu drehen, dabei bewegen sich die Koordinatensysteme K und K mit (Zwischenstellung). Um die Zielstellung 35 zu erreichen, muss Gelenk um 45, also in negativer Richtung der z -Achse, gedreht werden. x y z y x z z z y x y x x z x z y y Zwischenstellung Bild L3: Lösung der Aufgabe.3.4 Zielstellung

4 4 Lösungen zu den Aufgaben Aufgabe.3.5 In der rechts gezeichneten Stellung von Bild. kann die homogene Matrix direkt, ohne Gl. (.7) zu nutzen, angegeben werden: W.5 () () () () x 3 y3 z3 p Für die Rotationsmatrix 3 A gilt: Ax y z A x y z (3) (3) (3) 3 () () () Der Ortsvektor () p H von K zum Punkt P, kann mit p ( /,, d.5) p ( ) ( ) ( d.5) p () (3) 3 (3) H W 3 H 3 H berechnet werden, wobei die Ortsvektoren vier Komponenten mit einer als vierte Komponente haben. Mit den konstanten Denavit-Hartenberg Parameter, die in Bild. angegeben sind und den angegebenen Gelenkkoordinaten werden die Gln. (.6) und (.7) zur Berechnung verwendet: p () H Aufgabe.3.6 Variable Denavit-Hartenberg-Parameter und damit die Gelenkkoordinaten sind und. Nach der Denavit-Hartenberg-Konvention haben sie in der in Bild 3.5 abgebildeten Stellung die Werte, 9. Die konstanten Denavit-Hartenberg-Parameter sind: d d, a l, a l,, Um in die Stellung, zu gelangen, muss Gelenk um +9 gedreht werden, also in positiver z -Richtung (Bild L4, links). Um die Stellung 45, 35 zu erreichen, kann aus dieser Stellung heraus entsprechend negativ um z und positiv um z gedreht werden und man erhält die Stellung in Bild L4, rechts.

5 Kapitel 5 z y z y x x y z z x z y x y x z x y Aufgabe.3.7 Bild L4: Zu Aufgabe.3.6: planarer Zweigelenkroboter in den geforderten Stellungen Eine Möglichkeit, die Koordinatensysteme festzulegen, zeigt Bild L5. Alle Achsen des SCARA sind parallel. Die Koordinatensysteme K bis K liegen unabhängig von den Gelenkkoordinaten auf derselben Höhe. Fallen die Ursprünge von K und K 3 zusammen, so gilt, wie in der gezeichneten Stellung, d3. Nachdem K 4 und K 3 festgelegt sind, ist darauf zu achten, dass nach der Regel auf Seite 43 K und K auf derselben Höhe liegen müssen. Da der Ursprung von K irgendwo auf die erste Achse gelegt werden kann, ist es sinnvoll, auch diese Höhe zu wählen. Es ist zu beachten, dass die Denavit-Hartenberg- Regeln Freiheiten zulassen, und es deshalb mehrere Lösungen geben kann. Für die Denavit-Hartenberg-Parameter erhält man: Gelenk d i i a i i l l 3 d 3 4 l 4,, d 3 und 4 sind die variablen Gelenkkoordinaten, sie sind für die gezeichnete Stellung angegeben. Die Vorwärtstransformation wird mit den Gln. (.6), (.7) für die gezeichnete Stellung durchgeführt:

6 6 Lösungen zu den Aufgaben W l l l l l4 l4 Die Vorwärtstransformation liefert das erwartete Ergebnis. Dies ist nur ein exemplarischer est und natürlich keine vollständige Überprüfung der Richtigkeit. y x y x x y z z y 3 z l x 3 l l 4 z 3 y 4 x 4 Bild L5: Zu Aufgabe.3.7: SCARA mit Koordinatensystemen nach D.-H. z 4 Aufgabe.3.8 Ausgehend von der Stellung aus Aufgabe.3.7 wird um Gelenk in positiver z -Richtung um 9 gedreht. Das Schubgelenk bewegt sich in negativer z 3 -Richtung um die Strecke l4, damit sind die Ursprünge von K 4 und K 3 deckungsgleich. Die Position des CP wird () damit zu p l, l,. Die Lösung für die Euler-Winkel kann aus den abgebildeten Koordinatensystemen K und K 4 in Bild L6 abgelesen werden: A 9, B C. Unabhängig von der Stellung des Roboters verschwinden die Euler-Winkel B und C. l x y y 4 x 4 z 4 z Bild L6: Zu Aufgabe.3.8: K und K 4 des SCARA

7 Kapitel 3 7 Kapitel 3 Aufgabe 3.4. Die Aufgabe lässt sich mit Gl. (.6) und Gl. (.7) bzw. Gl. (3.) lösen. Die konstanten Denavit-Hartenberg-Parameter aus Bild. sind zu verwenden und man erhält die allgemeine Lösung (beliebige Gelenkkoordinaten): W coscos sin cossin d3(cossin ) sincos cos sinsin d3(sinsin ) sin cos ( d3 cos l) Mit den Werten 9, 45, d3.5m erhält man für W : W / / /4 / / ( /4) () Damit wird p [, / 4, ( / 4]. Die Euler-Winkel werden ausgehend von W mit Gl. (.) berechnet. Dabei ist zu berücksichtigen, dass die Rotationsmatrix W R die nordwestliche (3 3)-Matrix von W ist: Aufgabe 3.4. A arctan (/, ) 9, B arcsin( / ) 45, C arctan (, / ) 8 Mit Gl. (3.8) erhält man q /445. q lässt sich mit Gl. (3.9) berechnen. Für das positive Vorzeichen von q wird q /445, für q /4 wird q Beide Lösungen sind in Bild L7 grafisch dargestellt. Bei der negativen Lösung für q ist der Euler-Winkel A kleiner. y z y y z z x x y y x y z z x z x x Bild L7: Zu Aufgabe 3.4.: Zwei Lösungen für die Rückwärtstransformation

8 8 Lösungen zu den Aufgaben Aufgabe Der CP kann sich nur in der x -y -Ebene bewegen. Die Gelenkparameter sind q und q d. Nach Bild 6. gilt jedoch: d p p. In der gezeichneten Stellung ist x y der Drehwinkel. Aus der Zeichnung ist ersichtlich, dass () () q arctan ( px, py ) gilt. Werden keine Bewegungsbeschränkungen betrachtet ist damit die Rückwärtstransformation gelöst. Die Lösungen sind eindeutig. p y y z x q -p x x Bild L8: Zu Aufgabe 3.4.3: Zur Rückwärtstransformation des R-Roboters Kapitel 4 Aufgabe 4.5. Mit dem zurückzulegenden Winkelversatz und den geforderten Geschwindigkeiten und Beschleunigungen werden nach Bild 4.7b die Bahnparameter berechnet: Gelenk : tb.4s, tv.7854s, te.854s Gelenk : t.5s, t.78s, t.678s b v e Die Korrekturen werden sinngemäß nach den Gln. (4.5) und (4.6) durchgeführt. Dabei muss in der ersten Gleichung von (4.5) vˆ m s e tb Ceil _ Ipo bˆ m _ Ipo, tv Ceil _ Ipo vˆ m _ Ipo v m und in Gl. (4.6) bm verwendet werden. Mit der Anpassung an die Interpolationsschrittweite erhält man folgende tb Bahnparameter: Gelenk : tb.4s, tv.79s, te.9s, vm.994 / s, bm 4.97/ s², Gelenk : tb.5s, tv.8s, te.68s, vm.9968 / s, bm / s²

9 Kapitel 4 9 Aufgabe 4.5. m m m se se vm Über die Beziehung te tb kann entsprechend der Berechnung der syn- v v b bmte bmte chronen PP (Gl. 4.7) die Geschwindigkeit zu vm sebm berechnet werden. Zuerst muss jedoch geprüft werden, ob t e nicht zu klein für die gegebene Beschleuni- gung und zu fahrende Strecke gewählt worden ist. Dies ist der Fall, wenn der Radikand bei der Berechnung von v m negativ wird. Gefahren kann die Bahn, wenn t e se. Ist b se dies nicht der Fall, wird t e auf den Grenzwert te korrigiert. Unten ist das voll- b ständige Flussdiagramm für die Berechnungen angegeben. m m Bild L9: Zu Aufgabe 4.5.: Flussdiagramm bei Vorgabe von t, b, s e m e Aufgabe Die Geschwindigkeit kann durch Integration der Beschleunigung und s(t) durch Integration der Geschwindigkeit gewonnen werden. Für den Zeitbereich t s gilt für die Beschleunigung bt () 86 t und durch Integration für die Geschwindigkeit. Da hier angenommen wird, dass die Geschwindigkeit nach dem Bahn- vt () 8t 8t segment zu wird, muss die Beschleunigung im Zeitpunkt t zu werden. Für die 3 Wegstrecke/Winkelversatz gilt: s() t 4 t (8/3) t. Die maximale Geschwindigkeit

10 Lösungen zu den Aufgaben muss bei t.5s auftreten und beträgt. Bei t s gilt: s() s e 4 / 3. Bild L, das mit Matlab ausgegeben wurde, zeigt die Lösung..4 Winkelgeschw./(rad/s).5.5 Aufgabe Winkelversatz/rad oder Wegstrecke/m Bild L: Zu Aufgabe 4.5.3: Verlauf von v(t) und s(t).5 a) Für die Linearbewegung des CP erhält man mit Rampenprofil s.85 m, v s b.7549 m/s, t.3774s, t.7549s ep p ep p bp ep Die geforderte Geschwindigkeit wurde von der Steuerung korrigiert. Bei den Änderungen in den Euler-Winkeln muss die vorgegebene Geschwindigkeit nicht korrigiert werden: s π /, v.578rad/s, t.5s, t s, t.5s ew w bw vw ew Da te tew.5s gilt, muss die Geschwindigkeit v p und damit auch die Bahnzeiten t, t nach Gl. (4.3) angepasst werden: bp vp v.38 m/s, t.9s, t.398s, t.5s p bp vp ep b) Es soll te s gelten. Sowohl v w als auch vp müssen nach der Formel von Gl. (4.9) bzw. Gl. (4.3) angepasst werden. Beginnt man mit der geforderten Beschleunigung bw π/s² und rechnet nach Gl. (4.9), wird der Radikand negativ. Das heißt die Beschleunigung muss erhöht werden, damit die Bahn in einer Sekunde gefahren werden kann. Eine Möglichkeit ist, den Radikanden zu zu setzen und somit die notwendige Beschleunigung zu b 4 s / t 6.83rad/s zu berechnen. Die Geschwindigkeit w ew e wird dann nach Gl. (4.9) zu vw bwte / 3.46rad/s. Die Bahnzeiten t bw und t vw können auf dieser Basis berechnet werden. Die Orientierungsänderung muss also geschwindigkeitsoptimal vorgenommen werden.

11 Kapitel 4 Für die Linearbewegung ergibt sich das Problem nicht. Mit Gl. (4.3) kann die Geschwindigkeit zu v.3446 m/s berechnet werden, die Beschleunigung wird beibehalten. Aufgabe p y y a) r r..5. Die Hilfspunkte werden in die Mitte der jeweiligen Bahn gelegt. In Koordinaten von K sind die Ortsvektoren dann folgendermaßen gegeben: ,.5.5.5, , , r r r r r St, H, Z, St, H, Z, r r r r r b) Da der Vektor x C jeweils vom Startpunkt zum Zielpunkt zeigt, y C vom Mittelpunkt weg zeigt und in der Ebene des jeweiligen Kreisbogens liegen muss, kann für diesen einfachen Fall K C und K C direkt angegeben werden. Allerdings können auch die Gln. (4.3) benutzt werden:,,,, () () () C C C x y z x y z () () () C C C Die homogenen Matrizen erhält man aus Gl. (4.3):.5.5 x y z r, x y z r.95 () () () () C C C C St, () () () () C C C C St, c) Die zu fahrende Bahn bei einem Halbkreis ist sec R.. Es ist zuerst zu prüfen, ob die geforderte Geschwindigkeit korrigiert werden muss. Die Prüfung nach Bild 4.7b ergibt: v. 5/.8863m/s. Die Geschwindigkeit muss auf C v.8863m/s korrigiert werden. Ein Halbkreis soll also in t C ec (. / / 5)s.7898s abgefahren werden. Die Gesamtzeit für beide Halbkreise ist dann teges,.48s.

12 Lösungen zu den Aufgaben Aufgabe Fünf Prozent der programmierten Geschwindigkeit sind v 5%.6 rad/s. Das Überschleifen beginnt beim Anfahren auf den Zielpunkt. Das Überschleifen muss während der Bremszeit beginnen. Der Zeitpunkt kann mit Gl. (4.6) berechnet werden. Für die Bahnzeiten gilt: t v / b.48s, t s / v t.789s, t.39s b m m e e m b v ( v ) Mit Gl. (4.6) ist dann der gefragte Zeitpunkt t*: * m v t 5% tv.765s b Aufgabe Für die Bahnsegmente gilt: se π /4, v, ve rad/s, te.5s, se π /4, v rad/s, ve, te.5s Die Berechnung der Spline-Parameter erfolgt mit Gl. (4.57): a) Bahnsegment : a (3π ) / s 7.448/ s, a ( 4π 4) / s / s Bahnsegment : a (3π 4) / s / s, a3 ( 4π 4) / s / s b) Die Winkelbeschleunigung soll im ersten Bahnsegment konstant sein. Dann muss aber a im ersten Bahnsegment zu werden (s. Gl. 4.55). Mit dieser Bedingung kann die 3 Geschwindigkeit v e des ersten Bahnsegmentes, die bei der Durchfahrt durch q b eingenommen wird, berechnet werden: v s v 3.46 rad/s e e te e e e e Ausgehend von dieser Bedingung wird die konstante Beschleunigung im ersten Bahnsegment zu s b a 6 s / t v / t 6.83rad/s² und die Geschwindigkeit steigt linear mit v() t at 6.83rad/s²rad/s² t. Im zweiten Bahnsegment muss abgebremst werden, um die Geschwindigkeit von v 3.46 rad/s auf ve zu bringen. a, a 3 werden neu zu a 3.46 rad/s² und a3 berechnet. Damit ist aber im zweiten Bahnsegment auch die Beschleunigung konstant: b b 6.83s. Die Geschwindigkeit wird zu v() t v at 3.46 ( t)rad/s² Damit hat man das Fahrprofil einer geschwindigkeitsoptimalen Bahn nach Bild 4.6 von q A nach q C erhalten (s. Bild unten) m

13 Kapitel 4 3 s s s.5 s t.5 s s t Bild L: Zu Aufgabe 4.5.7b: Profil der Bahn bei konst. Beschleunigung in Bahnsegment c) Bild L zeigt die Verhältnisse für die in a) berechnete Spline-Bahn. Unten rechts ist zum Vergleich das Geschwindigkeitsprofil einer PP-Rampenbahn geplottet, wobei die Bewegung im Punkt q C kurz ruhen muss. 3 d²q/d²t - dq/dt Gelenkoordinate q dq/dt für Rampenbahnen Bild L: Zu Aufgabe 4.5.7c: Profil der Spline-Bahn von a)

14 4 Lösungen zu den Aufgaben d²q/d²t dq/dt -5 Gelenkoordinate q dq/dt für Rampenbahnen Bild L3: Zu Aufgabe 4.5.7c: Profil der Spline-Bahn von b) Aufgabe Bahnsegment : te.5s, v, ve m/s. Da der Geschwindigkeitsvektor im Zwischenpunkt vom Startpunkt zum Zielpunkt zeigt, muss gelten: ( pc pa) ve v ve ( pc pa) Damit können für die beiden Bahnsegmente mit den vorhandenen Angaben die Parameter der Spline-Bahn berechnet werden: Bahnsegment : t.5s, v, v ( ) m/s a p (.8.4) m, e e A a v, a (.4.4) m, a3 (.8 3.) m Bahnsegment : t.5s, v v ( ) m/s, v, a p (.6) m, e e e B a v ( ) m/s, a (.6.4 ) m, a (.8 3. ) m 3 Der Faktor Richtung gibt an, in welche Richtung der Geschwindigkeitsvektor ve v zeigt (s. auch Anhang C). Die Grenzwerte: : v e hat die Richtung vom Startpunkt zum Zwischenpunkt, 5: Richtung vom Startpunkt zum Zielpunkt (s. Aufgabenstellung), : Richtung vom Zwischenpunkt zum Zielpunkt. Für die Eingabe 5 ist das Ergebnis schon in

15 Kapitel 4 5 Bild (4.6) grafisch dargestellt. Die anderen beiden Ergebnisse sind in Bild L4 abgebildet. Beim Wert ist das zweite Bahnsegment mit dem Verlauf einer Linearbahn (gestrichelt) identisch. Wird der Wert gewählt, fährt im Bahnsegment der CP auf einer Geraden wie die Linearbahn den Zwischenpunkt an. Beim Wert 5 weicht die Spline-Bahn am stärksten von der Linearbahn ab. Mit dem Faktor Richtung kann also ein Zwischenpunkt auf einer Geraden angefahren werden. Ohne im Zwischenpunkt anzuhalten wird eine nächste Stellung angefahren..8.7 Richtung:.8.6 pz in m.6.5 dx/dt px in m.5.5 dz/dt ds/dt.5.5

16 6 Lösungen zu den Aufgaben.8.7 Richtung:.8.6 pz in m.6.5 dx/dt px in m.5.5 dz/dt ds/dt Bild L4: Zu Aufgabe 4.5.8: Profil der CP-Spline-Bahn für zwei Richtungen der Geschwindigkeit im Zwischenpunkt Kapitel 5 Aufgabe 5.6. a) Bei dieser PP-Bewegung werden die Gelenke, 3, 5 bewegt. Wie gefordert wird zuerst eine asynchrone PP gefahren, wobei das Rampenprofil gewählt wurde. Geschwindigkeiten und Beschleunigungen werden nicht vorgegeben, es werden vorbesetzte Werte von der Steuerung eingesetzt. Folgende Programmzeilen werden verwendet:! Lösung Aufgabe 5.6.a, W. Weber,!. Absichern durch PP-Befehl, dass Roboter in Stellung Bild.3/.4 steht PP { } ANGL RAMP WAI.!. Fahrt zur Zielstellung mit PP- Rampenbahn, Zielangabe in Winkeln PP { 8 9-9} ANGL RAMP WAI. Um mit einem Sinoidenprofil zu fahren wird bei der Fahrt zur Zielstellung der Befehl PP { 8 9-9} ANGL SINO verwendet. Bild L5 zeigt oben die Bahn in der

17 Kapitel 5 7 x -z -Ebene bei der PP-Bahn mit Rampenbahn und unten bei der PP-Bahn mit Sinoidenprofil. Es ist zu erkennen, dass bei der PP eine nicht direkt vorhersehbare Raumbahn zwischen den Zielstellungen eingenommen wird. Der Startpunkt ist x.3, z.65. Die Raumbahnen sind nicht identisch.

18 8 Lösungen zu den Aufgaben Bild L5: Zu Aufgabe 5.6.a: Raumkurve des CP bei PP-Bahn mit Rampenprofil (oben) und Sinoidenprofil (unten) b) Es wird jetzt folgendes Programm verwendet:! Lösung Aufgabe 5.6.b, W. Weber, Mai 8!. Absichern durch PP-Befehl, dass Roboter in Stellung Bild.3/.4 steht PP { } ANGL RAMP WAI.!. Fahrt zur Zielstellung mit PP- Rampenbahn, Zielangabe in Weltkoordinaten PP { 8 9-9} CAR RAMP { } WAI. In diesem Fall wird von ManDy die Zielstellung in Weltkoordinaten auf Gelenkwinkel umgerechnet. Allerdings gibt es dafür mehrere Lösungen (s. auch Kap. 3). Es wird die Lösung genommen bei der die Summe aller Gelenkbewegungen vom Start zum Ziel minimal ist. Das ist jetzt: q, 8,5,8,8, 7.5, 9 Ziel. Für die aktuelle Aufgabe ist diese Verfahrweise von Vorteil, weil zur Erreichung der Zielstellung der CP sich vergleichsweise nahe zwischen Start- und Zielstellung bewegt (s. Bild L6).

19 Kapitel 5 9 Bild L6: Zu Aufgabe 5.6.b,c: Raumkurve des CP bei PP-Bahn mit Rampenprofil und Zielangabe in Weltkoordinaten (blau), Linearbahn (schwarz) c) Programm: Es wird jetzt folgendes Programm verwendet:! Lösung Aufgabe 5.6.c, W. Weber!. Absichern durch PP-Befehl, dass Roboter in Stellung Bild.3/.4 steht PP { } ANGL RAMP WAI.!. Fahrt zur Zielstellung mit Linearbahn, Zielangabe in Weltkoordina ten LIN { } CAR RAMP { } WAI. Die Bewegung des CP findet auf einer Geraden statt (s. Bild L6, durchgezogene schwarze Linie ), die Orientierung wird beibehalten. In Winkeln ist die Zielstellung identisch mit der Lösung in b). Allerdings werden auch Schwierigkeiten auftreten, wenn der Roboter umorientieren muss. D.h. Gelenkwinkel müssten sich mit unendlicher Geschwindigkeit ändern, was natürlich nicht möglich ist und deswegen große Bahnabweichungen bei der realen Bewegung verursacht. Eine andere Schwierigkeit

20 Lösungen zu den Aufgaben könnte darin bestehen, dass ein eil der Gerade außerhalb des Arbeitsbereiches liegt, obwohl Start- und Zielstellung sich im Arbeitsraum des Roboters befinden. Aufgabe 5.6. Es ist möglich, Aufgabenteil 4.5.4a mit ManDy in groben Zügen mit folgendem Programm zu überprüfen: >! Aufgabe 5.3. für Aufg a >! W. Weber, Februar > SPEEDcp 9 > ACCELcp 8 > LINr > WAI. < EOF >... Bei der Bahnberechnung erhält man die Information, dass die Geschwindigkeit korrigiert werden musste. Man erkennt aus den grafischen Darstellungen, dass ohne die Wartezeit von. Sekunden die Bahndauer.5 Sekunden beträgt. Zum est des Aufgabenteils b) werden die berechneten Geschwindigkeiten und Beschleunigungen eingegeben. Mit der Wartezeit dauert die Bahn ca.. Sekunden. Aufgabe Das Programm ist in Bild 5.8 angegeben. Aufgabe Als Startpunkt für den CP wird die untere Kante des Quadrates mit den kartesischen Koordinaten p =(.3,,.65) gewählt. Die weiteren Ecken des Quadrates sind p = (.8,,.765), p 3 = (.3,,.95), p 4 = (.88,,.765). Die Seite des Quadrates hat also eine Länge von (.5) (.5).m. Zum Startpunkt wird mit einer PP-Bahn gefahren. Anschließend wird mit vier Linearbahnen das Rechteck abgefahren. Der Umkreis wird durch zwei Halbkreise realisiert, wobei die beiden Hilfspunkte p und p 4 sind. Geschwindigkeiten und Beschleunigungen werden mit Standardwerten besetzt.! Lösung Aufgabe PP { } CAR RAMP { } WAI {. } LIN { } CAR RAMP { } WAI {. } LIN { } CAR RAMP { } WAI {. } LIN { } CAR RAMP { } WAI {. } LIN { } CAR RAMP { }

21 Kapitel 6 WAI {. } CIRC { } CAR RAMP { } WAI {. } CIRC { } CAR RAMP { } WAI {. } Kapitel 6 Aufgabe 6.4. a) Mit q und den Anfangsbedingungen Vektoren.8,. (.5):, ( g ), den v ω ω v p s und den Rotationsmatrizen nach Gl. cos( q ) -sin( q ) cos( q ) sin( q ) sin( ) cos( ), -sin( ) cos( ), A q q A A q q kann die Berechnung beginnen. Die Gelenkgrößen werden hier auch symbolisch mitgeführt. v und vs werden nicht berechnet, da diese Größen nicht zur Berechnung von benötigt werden. Die kinematischen Berechnungen ergeben: sin( q) g-.8q sin( q) g-.6q 7.45 ω, ω, v cos( q) g+.8 q, vs cos( q) g+.6q 6.75 q q Die Berechnung der Kräfte/Drehmomente ergibt: mgsin( q)-m.6q F mgcos( q)+ m.6 q, f F, N.5 q n, nz Nm m g.6cos( q )+ m.6.6q.5q

22 Lösungen zu den Aufgaben Man kann die Lösung auch mit dem Programm N_E_G erhalten, wenn ein fiktives zweites Armteil der Masse (und rägheit) angesetzt wird mit qq. b) Ausgehend von Bild 6.4 wird freigeschnitten und der Drehimpulserhaltungssatz auf das Gelenk angewandt. Zuerst muss jedoch dass rägheitsmoment M um das Gelenk mit dem Satz von Steiner berechnet werden: M I m zz, Durch Freischneiden erhält man: M q m g.6cosq M q m g.6cosq c) Lösungsmöglichkeit mit Freischneiden: ( M ml.8 ) q mg.6cosq ml g.8cosq Möglichkeit: Newton-Euler-Verfahren mit neuer Masse m, neuer Schwerpunktskomponente s x (.8 ( ) / ).6 und neuer rägheitskomponente I zz, im Schwerpunkt. Da ursprüngliche Masse und Lastmasse im Gelenk dasselbe Massenträgheitsmoment wie die neue Masse mit neuem Schwerpunkt hervorrufen müssen, gilt: I zz, (.6) 6 (.8) 4.5 (.64).68. Setzt man die neuen Werte ein, erhält man das Ergebnis ebenfalls. 3. Möglichkeit: Es wird das Newton-Euler-Verfahren mit einem fiktiven Zweigelenkroboter gerechnet: q q q, p s, I, m 4, A A I. SP, Man kann die Probe mit dem Programm N_E_G machen. d) Nur f und () ex, y n können die Bewegung beeinflussen. Alle anderen Komponenten () ex, z wirken nur auf das Gelenklager. Aufgabe 6.4. a) Die Elemente der Systemmatrizen werden in der Form von Gl. (6.) dargestellt. Das Element M erhält man durch die Summe der Koeffizienten von q in, M durch die Summe der Koeffizienten in, M als Summe der Koeffizienten von q in. Es gilt für die Massenmatrix: M M. G bzw. G sind erme in bzw., die weder multiplikativ mit Gelenkgeschwindigkeiten oder Gelenkbeschleunigungen verknüpft ist. Nach einigen Umformungen erhält man als Endergebnis:

23 Kapitel 6 3 M sin q 3.64cos q.8cos q, M M, M 7.74, G, G 396 cos q, C C, C.8sinq 5.87 cosq sin q, 3 C 5.94cosq sinq.9sin q, C C 3 b) Werden die Werte für die Gelenkgrößen eingesetzt, erhält man folgende Matrixgleichung: Das sind aber die Werte für die Drehmomente in den Gelenken des R6- aus dem Beispiel von Abschn c) Mit den angegebenen Werten und den Gln. (6.36), (6.46)- (6.48) erhält man die Form: U M ( q) q G ( q) C ( q) f ( q ) R q S * * * * C M.736 M.344, *.868 M.4859 * * G G, C C *.83 R.5 M sin q.5666 cos q.385cos q, * M M, M.686, G, G.857 cos q, * * * * * C C, C.385 sinq.9 cosq sin q, * * * 3 C.87 cosq sinq.8sin q, C C * * * 3 d) Das maximale rägheitsmoment um die Gelenkachse (M,max ) tritt dann auf, wenn der Schwerpunkt des Armteils den maximalen Abstand von der Gelenkachse hat. Dies ist aber gerade für q der Fall (Bild.). Im Gegensatz dazu wird das minimale rägheitsmoment auftreten, wenn der Schwerpunkt des Armteils auf der Gelenkachse liegt. Aus Bild L6 kann berechnet werden, dass dies bei 5. = *.9 rad der Fall ist. Durch Auswertung von M bzw. M in den Aufgabenteilen b und c erhält man:

24 4 Lösungen zu den Aufgaben M 57.57, M 4.7, M / M.9,max,min,max,min M.34, M.47, M / M 3.7 * * * *,max,min,max,min Das Verhältnis bei Berücksichtigung der Antriebe ist kleiner, da die rägheitsmomente des Motorankers mit eingehen. Diese rägheitsmomente sind nicht lageabhängig und erhöhen das Verhältnis zwischen konstanten und lageabhängigen Anteilen. x y z SP z.66 y x -q.8 z x y Aufgabe Bild L6: Zu Aufgabe 6.4.d: Stellung bei der minimales rägheitsmoment bez. Gelenk wirkt. a) Es kann vollständig mit einem stationären Zustand gerechnet werden, da der Gravitationseinfluss unabhängig von Geschwindigkeiten und Beschleunigungen ist. Alle Gelenkgeschwindigkeiten und Gelenkbeschleunigungen und damit alle Vektoren ω und ω können zu gesetzt werden. Die Gln. (6.7), (6.8) vereinfachen sich damit zu: i i

25 Kapitel 6 5 v v Av i i i i v s, i i Anfangsbedingungen: v g F m v i i s, i f A f F, i i i i i n A[ n ( A p ) f ] ( p s ) F, i i i i i i i i i i i h i i [ i ni ( i) fi ] iaz, Anfangsbedingungen: f, n. h n n b) Die Durchführung der Berechnung ergibt:.39 Nm,.598 Nm Sie können die Lösung auch durch entsprechende Eingaben mit NE_G oder Mod_G erhalten. Aufgabe Die Eingaben in Mod_G wurden bis auf die Denavit-Hartenberg-Parameter und den Werten von Komponenten in den Vektoren s i und p i symbolisch vorgenommen. Im Folgenden die kopierten Ergebnisse. M= (/+sx)*m*(sx+/*cos(q)+/)+isp_z+/*cos(q)*m*(sx+/*cos(q)+/)+ /4*sin(q)^*m+(/+sx)^*m+ISP_z M=M= (/+sx)^*m+isp_z+/*cos(q)*m*(/+sx) M= (/+sx)^*m+isp_z G= (/+sx)*m*(sin(q)*cos(q)*g+cos(q)*sin(q)*g)+/*cos(q)*m*(sin(q)*cos(q)*g+ cos(q)*sin(q)*g)+/*sin(q)*m*(-cos(q)*cos(q)*g+sin(q)*sin(q)*g)+ (/+sx)*m*sin(q)*g G= (/+sx)*m*(sin(q)*cos(q)*g+cos(q)*sin(q)*g) Hier die Matrix C in kompakter Form: C = [, -m*sin(q)*sx-/*m*sin(q), -/*m*sin(q)*sx- /4*m*sin(q) /*m*sin(q)*sx+/4*m*sin(q),, ]

26 6 Lösungen zu den Aufgaben Kapitel 7 Aufgabe 7.7. Entsprechend Gl. (7.6) und Gl. (7.9) erhält man als für den offenen und geschlossenen Regelkreis: Mit ( s) F () s K, G () s N N v P * v * N s M s N M N KP M s s d s s * N N R R R KP s s s werden durch Koeffizientenvergleich statt Gl. (7.) die Vorschriften erhalten. Aufgabe 7.7. d K M, d R * P N R R R Die Strecke in Bild 7.5 mit z und F hat Integrierverhalten. Diese Strecke wird mit Gl. (7.7) verglichen, um die Parameter a, a, a zu erhalten: * FSt, v () s a *, a M, a M s * D Die Regelparameter des ReDuS-Reglers erhält man dann durch Anwendung von Gl. (7.): Aufgabe * M dr, KI, M R Die Anregelzeit und die Überschwingweite werden grafisch ermittelt:.7s, ü.3 An Die Näherung durch ein P- -Glied erfolgt über d, nach Gl. (7.8): d.34,.343s v v R * v v

27 Kapitel 7 7 Durch die Vorgabe R 75.39rad wird mit Gl. (7.35) die Durchtrittskreisfrequenz D zu.86/ s und damit berechnet sich nach Gl. (7.36) K L : K 9.95/ s L Der Regelfehler bei gleichbleibender Geschwindigkeit lässt sich durch Gl. (7.4) oder mit Hilfe von Bild 7. berechnen: e.435rad Aufgabe Es gilt a L.65s, b dl L.5s. Mit Gl. (7.49) können dann die Parameter ermittelt werden, auf die die Regelparameter einschwingen: K P 48 V/rad, K 4 V s/rad V Aufgabe Nach Gl. (7.58) gilt q i ri und damit wird das vorgegebene Übertragungsverhalten im Zeitbereich: t q r K ( q q ) K ( q q ) d i, i P, i S, i i I, i S, i i Um das Übertragungsverhalten im Bildbereich aufzustellen, wird obige Gleichung differenziert und man erhält: q K ( q q ) K ( q q ) (3) i P, i S, i i I, i S, i i Nun wird die Laplace-ransformation vorgenommen und nach Qi () s aufgelöst: K sk Q s Q s Pi, I i() 3 S, i() s KPi, ski Das vorgegebene Übertragungsverhalten ist nicht stabil, also auch nicht geeignet. Die Stabilitätsbedingung ist verletzt, da der Koeffizient von s in der charakteristischen Gleichung s K s K 3 verschwindet. P, i I Aufgabe Wie in Beispiel wird für jedes Gelenk das gleiche dynamische Verhalten eingestellt. Das in diesem Beispiel geforderte P- -Verhalten für den Geschwindigkeitsregelkreis,

28 8 Lösungen zu den Aufgaben lässt sich mit den Parametern versuchsweise R K P K P und N über Gl. (7.69) nicht realisieren. Es wird zuerst vorgegeben. Mit der Gl. (7.7) erhält man dann d und.5s 8,.5s N R Anschließend wird für den Lageregelkreis dl gewählt und mit Gl. (7.3) kann K L berechnet werden: KL. Die Simulation wird mit ManDy für diese Lösung und der Regelungsstruktur aus vorgenommen. Sie unterscheiden sich im Regelungsverhalten nur marginal.