Graphentheorie (Teschl/Teschl 15-17)

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1 Graphentheorie (Teschl/Teschl 15-17) Ein Graph besteht aus Knoten, die durch Kanten miteinander verbunden sind. graphen.pdf, Seite 1

2 Anwendungen Netzwerke (Verkehr, Daten,...) Datenstrukturen Suchbäume Bildverarbeitung Rechnerarchitektur MarkowKetten (Übergangswahrscheinlichkeiten) graphen.pdf, Seite 2

3 Denition Ein Graph G = (V, E) besteht aus einer Menge V von Knoten (oder Ecken, englisch vertices) und einer Menge E von Kanten (englisch edges). Dabei ist eine Kante ein Paar e von Knoten a, b V. Bei einem ungerichteten Graphen spielt die Reihenfolge keine Rolle, man schreibt e = {a, b} oder kurz e = ab (= ba). Bei einem gerichteten Graphen ist e eine Kante von a nach b und man schreibt e = (a, b) oder kurz e = ab ( ba). Die Knoten- und die Kantenmenge können endlich oder abzählbar sein, wir werden uns auf den endlichen Fall beschränken. graphen.pdf, Seite 3

4 Geometrische Darstellung Die Kanten werden als Verbindungslinien zwischen den Knoten dargestellt. Beispiel: Geometrische Darstellung und Mengenschreibweise des ungerichteten Graphen G = (V, E) mit V = {1, 2, 3, 4, 5} und { } E = {1, 2}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 5}, {3, 5}, {4, 5}, {5, 5} = {12, 14, 23, 24, 25, 35, 45, 55} graphen.pdf, Seite 4

5 Gerichtete Graphen Hier werden die Kanten als Pfeile dargestellt. Beispiel: Geometrische Darstellung und Mengenschreibweise des gerichteten Graphen G = (V, E) mit V = {1, 2, 3, 4} und { } E = (1, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 3) = {12, 23, 24, 33, 34, 41, 43} graphen.pdf, Seite 5

6 Bezeichnungen für ungerichtete Graphen: Zwei Knoten heiÿen adjazent oder benachbart, wenn sie durch eine Kante verbunden sind. Zwei Kanten heiÿen inzident, wenn sie einen gemeinsamen Knoten haben. Ein Knoten und eine Kante heiÿen inzident, wenn sie sich berühren. Der Grad oder die Ordnung eines Knoten ist die Zahl der mit ihm inzidenten Kanten. Bei gerichteten Graphen können die Begrie geeignet modiziert werden. Dabei wird oft zwischen eingehenden und ausgehenden Kanten bei einem Knoten unterschieden. graphen.pdf, Seite 6

7 Beispiel: Knotengrade (Ordnungen) in ungerichtetem Graphen graphen.pdf, Seite 7

8 Teilgraphen Ein Teilgraph von G = (V, E) ist ein Graph G = (V, E ) mit V V und E E. Teilgraph G = (V, E ) von G = (V, E) rot markiert graphen.pdf, Seite 8

9 Isomorphe Graphen Die Graphen G = (V, E) und Ĝ = ( ˆV, Ê) sind isomorph, wenn es eine bijektive Abbildung f : V ˆV gibt, sodass den Kanten e = vw E die Kanten ê = f (v)f (w) Ê entsprechen. Die Abblidung f wird als Isomorphismus bezeichnet. Interpretation Ein Isomorphismus f beschreibt lediglich eine Umbenennung der Knoten, ohne dass die Struktur des Graphen verändert wird. Beispiel Die ungerichteten Graphen G = (V, E) und Ĝ = ( ˆV, Ê) mit V = {1, 2, 3, 4} und E = {12, 13, 23, 24} sowie ˆV = {a, b, c, d} und Ê = {ab, ac, ad, cd} sind isomorph. (Betrachte f (1) = c, f (2) = a, f (3) = d und f (4) = b) graphen.pdf, Seite 9

10 Isomorphe Graphen Nicht isomorphe Graphen graphen.pdf, Seite 10

11 Isomorphie und Knotenordnung Isomorphe Graphen haben die gleiche Anzahl von Knoten und Kanten, die Ordnung von f (v) muss für jeden Knoten gleich der Ordnung von v sein. Damit gilt: Haben zwei Graphen eine unterschiedliche Anzahl von Knoten oder eine unterschiedliche Anzahl von Kanten oder sind die Knotengrade verschieden, so können sie nicht isomorph sein. Im Beispiel auf der letzten Seite unten haben beide Graphen jeweils 4 Knoten und 4 Kanten. Jedoch der linke Graph G = (V, E) Knoten mit Ordung 1 und 3, während im rechten Graphen Ĝ = ( ˆV, Ê) alle Knoten die Ordnung 2 haben. Daher sind die beiden Graphen nicht isomorph. graphen.pdf, Seite 11

12 Nachweis der Isomorphie Um zu begründen, dass zwei Graphen nicht isomorph sind, können die Überlegungen auf der letzten Seite benutzt werden. Der Nachweis, dass zwei Graphen isomorph sind, kann dadurch erfolgen, dass ein Isomorphismus f explizit angegeben wird. Im vielen Fällen ist es jedoch nicht ohne weiteres feststellbar, ob zwei gegebene Graphen isomorph sind. Zwei Graphen mit gleichen Knoten- und Kantenzahl und den gleichen Knotengraden sind noch nicht automatisch isomorph. graphen.pdf, Seite 12

13 Speichern von Graphen im Computer ist auf unterschiedliche Weise möglich. Gebräuchliche Darstellunsformen sind: Adjazenzmatrix: Matrix (Tabelle), deren Zeilen und Spalten den Knoten entsprechen mit Einträgen 0 oder 1, je nachdem ob eine Kante zwischen den betreenden Knoten existiert. Eine ungerichtete Kante ab führt zu zwei Einträgen in der Adjazenzmatrix: jeweils eine 1 in Zeile a/spalte b und in Zeile b/spalte a. Eine Kante in einem gerichteten Graphen entspricht einer Eins in der Adjazenzmatrix. Adjazenzliste: Zu jedem Knoten a werden die Knoten b aufgelistet, für die es eine Kante ab gibt. Auch hier kommen ungerichtete Kanten zweimal und gerichtete Kanten einmal vor. Inzidenzmatrix: Stellt eine tabellarische Zuordnung zwischen inzidenten Paaren von Knoten und Kanten her. graphen.pdf, Seite 13

14 Beispiel 1 Der gerichtete Graph G = (V, E) mit V = {1, 2, 3, 4} und E = {12, 23, 24, 34, 41, 43} ist darstellbar durch die Matrix: A = und die Liste: L = 1 : 2 2 : 3, 4 3 : 4 4 : 1, 3 Jeder Kante entspricht eine 1 in der Matrix sowie ein Listeneintrag. graphen.pdf, Seite 14

15 Beispiel 2 Der ungerichtete Graph G = (V, E) mit V = {1, 2, 3, 4} und E = {12, 14, 23, 24, 34} ist darstellbar durch die Matrix: A = und die Liste: L = 1 : 2, 4 2 : 1, 3, 4 3 : 2, 4 4 : 1, 2, 3 Hier führt jede Kante zu zwei Einsen in der Matrix und zwei Listeneinträgen. graphen.pdf, Seite 15

16 Bezeichnungen Ein Graph heiÿt einfach, wenn es zu je zwei Knoten a und b maximal eine Kante e = ab gibt, multipel oder Multigraph, wenn er nicht einfach ist, d. h. es zwei Knoten gibt, die durch mehr als eine Kante miteinander verbunden sind, schlicht, wenn einfach ist und keine Schlingen e = aa hat. Ein schlichter (gerichteter oder ungerichteter) Graph heiÿt vollständig, wenn es zu je zwei Knoten a, b V eine Kante ab E gibt. Eine Clique ist ein vollständiger Teilgraph, d. h. innerhalb einer Clique sind alle Knoten miteinander verbunden. graphen.pdf, Seite 16

17 vollständige Graphen graphen.pdf, Seite 17

18 Planare Graphen Ein Graph heiÿt planar (eben, plättbar), wenn er eine geometrische Darstellung in der Ebene besitzt, bei der sich keine Kanten kreuzen. Anwendungen: Aufbau von Computerchips, Verkehrsnetzen... graphen.pdf, Seite 18

19 Eulerscher Polyedersatz Für die geometrische Darstellung eines zusammenhängenden planaren Graphen gilt Knotenzahl + Flächenzahl = Kantenzahl + 2 Als Flächen werden alle von Kanten umschlossenen Flächen sowie die äuÿere Fläche gezählt. 5 (Knoten) + 4 (Flächen) = 7 (Kanten) + 2 graphen.pdf, Seite 19

20 Beweisidee des Eulerschen Polyedersatzes Für einen Graphen, der aus einem Knoten und keiner Kante besteht, ist die Knotenzahl k = 1 und die Kantenzahl e = 0. Die Ebene wird nicht in Teilächen unterteilt, so dass die Flächenzahl f = 1 ist. Somit gilt k + f = = e + 2 = Davon ausgehend kann jeder Graph durch wiederholtes Anwenden der beiden folgenden Teilschritte konstruiert werden: Hinzufügen eines neuen Knotens und einer Kante, die den neuen Knoten mit einem schon vorhandenen Knoten verbindet. Dadurch erhöht sich k und e jeweils um 1. f bleibt unverändert, da durch diesen Schritt keine Fläche unterteilt wird. Hinzufügen einer neuen Kante zwischen zwei schon vorhandenen Knoten. Dadurch erhöht sich e um 1, k bleibt gleich. Durch diesen Schritt wird eine Fläche unterteilt, so dass sich f um 1 erhöht. In beiden Fällen erhöht sich k + f und e + 2 jeweils um 1, so dass die Gleichheit erhalten bleibt. graphen.pdf, Seite 20

21 Satz von Kuratowski Ein Graph ist genau dann planar, wenn er keinen Teilgraphen G der folgenden Form enthält: Die Struktur des linken Graphen G entspricht einem vollständigen Graphen mit 5 Knonten, die des rechten einem bipartiten Graphen mit 2 mal 3 Knoten. graphen.pdf, Seite 21

22 Wege Ein Weg (oder Kantenzug) von a nach b ist eine Folge aneinandergereihter Kanten a 1 b 1, a 2 b 2,..., a n b n mit a 1 = a, b n = b und a i+1 = b i für i = 1,..., n 1, d. h. der Endpunkt jeder Kante ist Anfangspunkt der nächsten. Kurzschreibweise: a 1, a 2, a 3,..., a n, b n oder a 1 a 2 a 3...a n b n Bei einem geschlossenen Weg (Zyklus) ist der Endpunkt gleich dem Anfangspunkt, d. h. b n = a 1. Ein Pfad ist ein Weg, bei dem kein Knoten mehrfach durchlaufen wird. Ein Kreis ist ein geschlossener Pfad. graphen.pdf, Seite 22

23 Pfad abcdefg = a, b, c, d, e, f, g = ab, bc, cd, de, ef, fg mit Anfangspunkt a und Endpunkt g: Pfad von a nach g Bemerkungen Die Begrie Weg, Pfad und Kreis sind in der Literatur nicht ganz einheitlich deniert. Zu gegebenen Knoten a und b kann ein Pfad von a nach b z. B. mittels der Tiefensuche (Depth-First Search) oder der Breitensuche (Breadth First Search) gefunden werden. graphen.pdf, Seite 23

24 Zusammenhang Ein zusammenhängender Graph ist ein Graph, der sich nicht in kleinere Teile zerlegen lässt: Ein ungerichteter Graph heiÿt zusammenhängend, wenn es zu je zwei Knoten a und b einen Weg von a nach b gibt. Ein gerichteter Graph heiÿt stark zusammenhängend, wenn es zu je zwei Knoten a und b einen Weg von a nach b gibt. Ein gerichteter Graph G = (V, E) heiÿt zusammenhängend, wenn der ungerichtete Graph zusammenhängend ist, welcher entsteht, wenn die Kanten e E als ungerichtete Kanten interpretiert werden. Ein Graph heiÿt nfach zusammenhängend für n 1, wenn man mindestens n Kanten entfernen muss, damit der verbleibende Restgraph nicht mehr zusammenhängend ist. graphen.pdf, Seite 24

25 Verschiedene Formen des Zusammenhangs graphen.pdf, Seite 25

26 Test auf Zusammenhang mit der Breitensuche Knoten werden in drei Gruppen eingeteilt (markiert): neu, alt und unmarkiert. Start mit einem neuen Knoten, Rest unmarkiert, In jedem Schritt: Markiere alle bislang unmarkierten Knoten, die einem neuen Knoten benachbart sind, als neu, Markiere alle vorher neuen Knoten als alt Graph zusammenhängend Am Ende sind alle Knoten markiert. graphen.pdf, Seite 26

27 Beispiel Breitensuche neu: Startknoten graphen.pdf, Seite 27

28 Beispiel Breitensuche neu: Nachbarn des Startknoten graphen.pdf, Seite 28

29 Beispiel Breitensuche neu: Nachbarn der Nachbarn graphen.pdf, Seite 29

30 Beispiel Breitensuche neu: Entfernung 3 graphen.pdf, Seite 30

35 Beispiel Breitensuche alle Knoten alt Graph zusammenhängend graphen.pdf, Seite 35

36 Zusammenhangskomponenten Jeder Graph G ist eine Vereinigung von zusammenhängenden Graphen, den Zusammenhangskomponeten von G. Beispiel: Zusammenhangskomponenten eines nicht zusammenhängenden Graphen Die Bestimmung der Zusammenhangskomponenten ist möglich mittels einer Union-Find-Datenstruktur oder durch Labeling (Markierung) der Knoten. graphen.pdf, Seite 36

37 EulerZüge Ein EulerZug ist ein Weg in einem zusammenhängenden Graphen, der jede Kante genau einmal durchläuft. Ist dabei der Startknoten gleich dem Endknoten, so spricht man von einem geschlossenen EulerZug, andernfalls von einem oenen EulerZug. Satz In einem ungerichteten zusammenhängenden Graphen existiert genau dann ein geschlossener EulerZug, wenn der Grad aller Knoten gerade ist. Es gibt genau dann einen nicht geschlossenen EulerZug, wenn zwei Knoten einen ungeraden Grad haben und der Grad der übrigen Knoten gerade ist. graphen.pdf, Seite 37

38 Königsberger Brückenproblem Gibt es einen Weg, bei dem jede der 7 Brücken genau einmal überquert wird? graphen.pdf, Seite 38

39 Graph des Königsberger Brückenproblems Alle 4 Knoten haben ungeraden Gard Es gibt keinen EulerZug. graphen.pdf, Seite 39

40 Konstruktion von EulerZügen mit Algorithmus von Fleury (1) Start in Knoten mit ungeradem Grad (falls vorhanden) sonst Start in beliebigem Knoten (2) (a) Gehe entlang einer vom aktuellen Knoten a ausgehenden Kante ab ( ) und wähle b als neuen aktuellen Knoten, (b) Entferne diese Kante aus dem Graphen, (c) Entferne auch den Knoten a, falls dieser nun isoliert ist, ( ) Die Kante ist so zu wählen, dass der Graph nach Schritt (2) zusammenhängend bleibt. Ist dies nicht möglich, so existiert kein EulerZug. (3) Wiederhole Schritt (2) so oft wie möglich. graphen.pdf, Seite 40

41 Beispiel Algorithmus von Fleury Bemerkung: Im 5. Schritt (untere Reihe links) wäre es nicht zulässig gewesen, zum Knoten unten rechts zu gehen, da dann der Restgraph nicht mehr zusammenhängend wäre. graphen.pdf, Seite 41

42 Ein HamiltonKreis ist ein geschlossener Weg, den jeden Knoten genau einmal durchläuft. Es gibt weder allgemeine Kriterien für die Existenz noch allgemein gut funktionierende Algorithmen zur Konstruktion von HamiltonKreisen. Faustregel: Je mehr Kanten ein Graph hat, desto gröÿer ist die Chance, einen HamiltonKreis zu nden. graphen.pdf, Seite 42

43 Bäume Ein Baum ist ein zusammenhängender Graph, in dem es keinen Kreis gibt. Eigenschaften Ein Baum mit n Knoten hat genau n 1 Kanten, Jeder zusammenhängende Graph mit n Knoten und n 1 Kanten ist ein Baum, Zwischen je zwei Knoten gibt es genau einen Pfad, Entfernt man eine Kante, ist der Restgraph nicht mehr zusammenhängend, Fügt man eine Kante hinzu, entsteht ein Kreis, Ein Baum ist planar und unterteilt die Ebene nicht in Teilächen. graphen.pdf, Seite 43

44 Beispiele Anwendungen Struktur von Datenbanken (-> Suchbäume) Minimale aufspannende Bäume, Steinerbäume graphen.pdf, Seite 44

45 Bemerkung Wählt man in einem (ungerichteten) Baum einen (beliebigen) Knoten als Wurzel, so kann man jeder Kante auf eindeutige Weise ein Richtung zuordnen, die von der Wurzel weg führt. Dann gibt es zu jedem Knoten v einen gerichteten Weg von der Wurzel nach v. Die Relation R auf der Knotenmenge V (v 1, v 2 ) R Es gibt einen gerichteten Weg von v 1 nach v 2 deniert eine partielle Ordnung auf V. graphen.pdf, Seite 45

46 Gewichtete Graphen sind Graphen, bei denen jeder Kante eine (reelle) Zahl (Gewicht) zugeordnet ist. Formal: Ein gewichteter Graph G = (V, E, g) besteht aus der Knotenmenge V, der Kantenmenge E und einer Abbildung g : E R. Mögliche Interpretation der Gewichte Entfernung, Kapazität (z. B. bei Datenleitung), Übergangswahrscheinlichkeit. Darstellung im Computer In der Adjazenzmatrix kann für jede Kante statt 1 das Gewicht der Kante abgespeichert werden. graphen.pdf, Seite 46

47 Graphische Darstellung eines gewichteten Graphen Bei einer graphischen Darstellung werden die Gewichte in der Regel neben die Kanten geschrieben. graphen.pdf, Seite 47

48 Denition: Gerüst Sei G = (V, E) ein zusammenhängender ungerichteter Graph. Ein aufspannender Baum (oder ein Gerüst) ist ein Teilgraph G = (V, Ẽ) mit Ẽ E, der ein Baum ist. Beispiel Verschiedene Gerüste eines Graphen graphen.pdf, Seite 48

49 Minimale Gerüste Ist G ein gewichteter Graph, so ist G ein minimales Gerüst, wenn die Summe aller Gewichte aus Ẽ den kleinstmöglichen Wert unter allen aufspannenden Bäumen annimmt. Beispiel Minimales Gerüst graphen.pdf, Seite 49

50 Der Algorithmus von Kruskal zur Bestimmung eines minimalen Gerüstes durchläuft alle Kanten in aufsteigender Reihenfolge nach ihrem Gewicht und fügt dabei diejenigen Kanten dem minimalen Gerüst hinzu, durch die kein Kreis entsteht. Vorgehen: Gegeben sei ein ungerichteter gewichteter Graph G = (V, E) mit Gewichten g : E R. Orde die Kanten in aufsteigender Reihenfolge nach ihrem Gewicht, d. h. E = {e 1,..., e n }, so dass g(e i ) g(e i+1 ) für alle i. Starte mit dem Graph G 0 = (V, E 0 ) mit E 0 =, Setze E i = E i 1 {e i }, falls dadurch kein Kreis entsteht, sonst E i = E i 1. Dann ist G = (V, En ) minimales Gerüst. graphen.pdf, Seite 50

51 Beispiel Algorithmus von Kruskal G 0 = (V, ), erste betrachtete Kante e 1, wird hinzugefügt graphen.pdf, Seite 51

52 Beispiel Algorithmus von Kruskal G 1 = (V, E 1 ), nächste Kante e 2, wird hinzugefügt graphen.pdf, Seite 52

57 Beispiel Algorithmus von Kruskal G 6 = (V, E 6 ), nächste Kante e 7, wird nicht hinzugefügt, da sonst ein Kreis entsteht graphen.pdf, Seite 57

68 Beispiel Algorithmus von Kruskal: Ende G 19 = (V, E 19 ) Alle Kanten sind abgearbeitet und alle Knoten verbunden graphen.pdf, Seite 68

69 Kanten mit gleichem Gewicht Haben mehrere Kanten das gleiche Gewicht, so ist die Sortierung der Kanten nicht eindeutig. Kanten mit gleichem Gewicht können in beliebiger Reihenfolge abgearbeitet werden. Das Ergebnis des Algorithmus hängt dann im Allgemeinen von dieser Reihenfolge ab und ist somit nicht eindeutig. In jedem Fall liefert der Algorithmus von Kruskal aber ein minimales Gerüst. Ende des Algorithmus Der Algorithmus kann beendet werden, sobald n 1 Kanten ausgewählt sind, wobei n die Zahl der Knoten ist. Im Beispiel ist dies bei der Kantenmenge E 16 der Fall. Dann sind alle Knoten durch Wege verbunden. Bei der Abarbeitung der verbleibenden Kanten (im Beispiel alle Kanten mit Gewicht > 26) würden dem Spannbaum keine neuen Kanten mehr hinzugefügt werden. graphen.pdf, Seite 69

70 Bemerkungen Um feststellen zu können, wann durch hinzufügen einer neuen Kante ein geschlossener Weg entstehen würde, werden die Knoten in der Praxis markiert. Dabei bekommen alle Knoten, die zur selben Zusammenhangskomponente des schon bestimmten Teilgraphen gehören, die selbe Markierung. Dies kann z. B. mit einer UnionFindDatenstruktur geschehen. Der Algorithmus von Kruskal benötigt O(m log m) Operationen, wobei m = #E die Anzahl der Kanten ist. Dabei ist der gröÿte Aufwand durch das Sortieren der Kanten gegeben. Der Algorithmus von Kruskal ist ein sogenannter Greedy-Algorithmus. Einen alternativen Ansatz zur Bestimmung eines minimalen Spannbaums liefert der Algorithmus von Prim. graphen.pdf, Seite 70