3.3 Ganzrationale Funktionen. Kmitr((-x):n3-;l;t;-30t+16ind"intntutttpreisvonp=24G8/ME' der Erlös- und der Gewinnfunktion'

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1 ''!*ffiü a 3.3 Ganzrationale Funktionen gilt die Gesamtkostenfunktion Für einen polypolistischen Anbieter Kmitr((-x):n3-;l;t;-30t+16ind"intntutttpreisvonp=24G8/ME' it [u"n'*"ximal 9 ME/Periode produzieren der Erlös- und der Gewinnfunktion' Bestimmen Sie die Gleichungen a) b)welchesistderökonomischsinnvolledefinitionsbereichfür.allefunktionen?^ c)zeichnensiediegraphen'derpreis-,derkosten.,dererlös.unddergewinnfunk. tion in ein gemeinsaäs fooroinatensystem BearbeitenSiediefolgendenTeilaufgabenmithilfedesTaschenrechners. die Gewinngrenze' Errnitteln Sie die Gewinnschwelle und d) ^-.:*:^--, e)wievielemesolltederpolypolistproduzieren,umseinengewinnzumaximieren? -' Wi* hoch ist der maximale Gewinn? I des Polypolisten? Wie hoch sind die maximalen Erlöse 4EinProduzentistaufdemMarktfüreinGuteinzigerAnbieter.FürdieNachfrage nachdiesemgutgilteinsättigung*.ne.ro1ro rv{eundeinhöchstpreisvon GE en Fixkosten in Höhe von GE/ME. Bei oe?-produktiontes 20 und variable Kosten in Höhe von Gu,"är.t"t GE/ME' 1. a)wielautendiegleichungenderpreis.absatz-funktion,dererlös.undder Gewinnfunktion? b)wielautetderökonomischsinnvolledeflnitionsbereichfürdiefunktionen? c)berechnensiedaserlösmaximumunddieerlösmaximaleproduktionsmenge. Gewinngrenze' d) Berechnen Sie die Gewinnschwelle und die e)beiwelcherausbringungsmengeistdergewinnmaximal,wiehochistdermaxi male Gewinn? flzeichnensiediegraphenderpreis.absatz-funktion,dergesamtkosten-,erlös. Koordinatensystem' und Gewinnf*t'ion in ein gemeinsames g) Sie seine Cournotschen Punktes, interpretieren Berechnen Sie die Koordinaten des KoordinatenundzeichnenSieihninoasKoordinatensystemzuTeilaufgabef). wird der verlauf der Gesamtkosten 5 In einem Betrieb zur Herstellung von Elektroteilen 10x2 + 35x * 18 bestimmt' r{durch die Funiä;;;l;i;h;d r((x):.t3 DerHerstelleristpolypolistischerAnbieter,derMarktpleSjtirdieElektroteilebeträgt des Betriebes liegt bei I ME' 20 GE/\4,. pi" ri#liiaitg"n'* a)welchesistdermathematischmaximalmöglicheundwelchesisteinökonomisch sinnvoller D.ä;i;;;bereich der Gesamtkostenfunktion? b)bestimmensiedieachsenschnittpunktederkostenkurvefürd*u*(k). c)wieverhältsichdergraphvon{amrandedesmaximalenundamrandedes ökonomisch sinnvollen Definitionsbereiches? d)berechnensiedieschnittstellendergesamtkostenkurvemitdererlösgeraden. e) Wie lautet die Gleichung der Gewinnfunktion? -' 0InwelchemBereichwirdmitGewinnundinwelchemBereichwirdmitVerlust und Gewinngrenze an' g) produziert? G"ben Sie Gewinnschwelle der Gewinnfunktion und interpretieren Ermitteln Sie den Hochpunkt des Graphen Sie seine Koordinaten h)zeichnensiediegraphenderkosten.,erlös-undgewinnfunktionineingememsames Koordinatensystem' 203 4

2 G Anforderungssituation 3: Analysis Ein monopolistischer Anbieter muss auf dem Markt für das von ihm angebotene produkt einen Höchripi.ii von 49 GE/ME und eine Sättigungsmenge von 7 ME akzeptieren. Die variabien Kosten rverden beschrieben durch /(,(.t):...3 * 6-x2 + 15x. Die Fixkosten betragen 32 GE. Die Kapazitätsgrenze liegt bei 7 ME' a) Ermitteln.Sie die Gleichung der r Erlösfunktion o Gesamtkostenfunktion I Gewinnfunktion. b) wie verhalten sich die Funktionen am Rande des maximal möglichen und am Rande des ökonomisch sinnvollen Deflnitionsbereicfes? c)berechnensiedieachsenschnittpunktederfunktionsgraphen' d) Zeichnen sie die Funktionsgraphen für ihren maximalen Definitionsbereich in ein Koordinatensystem und t"n-rrei.hrr"n sie die Graphen farbig über ihrem ökonomischen Definitionsbereich. e) Bei welcher Produktionsmenge ist der Erlös maximal? Wie hoch ist der maximale Erlös? 0 Bestimmen Sie den Break-even-Point' g) Berechnen Sie das Gewinnmaximum und die gewinnmaximale Ausbringungsmenge. h)welchermarktpreisgiltbeigewinnmaximalerausbringungsmenge? Die Produktionsfunktion P (in der vwl auch Ertragsfunktion genannt) *'i.. ;i;i r"l,s; ; i.rr;, D(p) zeigt die Abhängigkeit der weizenproduktion P iirif"fn in einem landwirtschafticüem Betrieb von der Menge r (in ME) des eingesetzten Kunstdüngersa) Berechnen Sie die Nullstellen algebraisch und bestimmen Sie die Funktionsglei- -'.rrrrrrg der Produktionsfunktion in faktorisierter Darstellung. b) welches ist der mathematisch maximal mögliche und welches ist der ökonomisch ' sinnvolle Definitionsbereich für die Produktionsfunktion? c) wie verläuft der Graph der Funktion für x -'> lr bei nicht eingeschränktem Deflnitionsbereich? d) Bei welcher Düngereinsatzmenge wird die weizenproduktion maximiert? wie groß ist die maximale Produktionsmenge? e) Zeichnen sie den Graphen für den mathematisch maximal möglichen Definitionsbereich und heben Sieäen ökonomisch sinnvollen Definitionsbereich farbig hervor' f) Interpretieren Sie den Verlauf der Produktionsfunktion für den ökonomisch sinnvollen Deflnitionsbereich. g) Bestimmen sie die produzierte weizenmenge, wenn 2 ME Kunstdünger eingesetzt werden. h) Berechnen sie, bei welcher eingesetzten Düngermenge die produzierte weizenmenge 16 ME beträgt. 204

3 Lehrbuch Seite Kosten, Erlös und Gewinn a) Für x -> **: K(x) --+ -oo Für x --+ oct K(x) --+ oc b) Rr (0/8,25); R2$116,25) c),s,(*1/0) d Dor.(K); Sr(018,25) q K(3) : 11,435: K(2) : t4,25 e) K(x) : 15 bei x * 3 0 s. Abb. g) Die Fixkosten betragen 8,25 GE. Bei steigender Ausbringungsmenge steigen die Kosten zunächst degressiv und dann progressiv. Begründung: Ertragsgesetz. An der Kapazitätsgrenze bei x * betragen die maximalen Kosten 16,25 GE. 5[ME] e) D^u*(O : [R, D.n(G) : [0; 7] b) - Für D*.*(G) : lr: für x -+ -ooi G(x) -r öo für x -+ mi G(x) --+ -oo * Für Doy{$ - [0; 7J:.Rr (o/-3), Äz(71*l}» c) S*0, (- 3/0);.r, (210)t S*0. (5/0) d) e) f) s) h),sc(0/-3) G(x) : -*(, + 3)(x - 2)(x- 5) s. Abb.,ff1#) * (3,6t1,481) H(3,6/1,48) 23 4 rcs.r,(ol*3) G(x) : 1,4 xr : 4; xzn * *3,317 Wegen der Fixkosten in Höhe von 3 GE beträgt der Verlust (negativer Gewinn) 3 GE, wenn nicht produziert wird. Bei zunehmenden Produktionsmengen steigt der Gewinn. Unter der Produktionsmenge x : 2 bleibt der Gewinn aber noch negativ. xcc Rr(7 Bildungsverlag EINS GmbH 1,47

4 Lehrbuch Seffe 2AA'203 Bei x - 2 ist der Gewinn null (Break-even-Point oder Gewinnschwelle); danach ist er positiv bis unter x : 5. Bei x : 3,6 ME wird der maximale Gewinn realisiert, der 1,48 GE beträgt. Bei einer Produktionsmenge von x : 5 ist der Gewinn wieder null (- Gewinngrenze), danach wird er immer stärker negativ, bis er an der Kapazitätsgrenze - 10 GE beträgt. a) E(x): p{x)-x:24x G(x) : *x3 * 9x2 * 6x - 16 b) Dot (G) : t0; 9l c) s. Abb. d) Gewinnschwelle (Break-even-Point): xcs : 2 [ME] Gewinngrenze: 1131; : I [ME] e) H6{5,65175,A4) =* xg*,* : 5,65 [ME], G*u,. : 75,Ü4 tgel f) Der Polypolist erzielt die maximalen Erlöse, wenn er an der Kapazitätsgrenze x : 9 produziert: E(9) : 216 IGEI r(.r) + IGEI E(x\ G(x) ilx) 2s0-2 3 xcs:2 456 x6** = 5165 a) P(x) : -2x E(x) = p(x) ' x * -Zxz + 20Ax K(x) : 20x G(x)-*2x2+180x-2800 Bildungsverlag EINS GmbH

5 Lehrbuch Seitu 2A3 b) Aps den Nullstellen rrr : 0 und xz: 100 der Preis-Absatz- bzw. der Erlösfunktion ergibt sich: Dor : [0; 100] c) Aus dem Scheitelpunkt des Graphen der Erlösfunktion folgt: erlösmaximale Produktionsmengei xb*.* : 50 Erlösmaximum: E^u*: E(50) : d) Nullstellen der Gewinnfunktion: x<;s : 20: Gewinnschwelle (Break-even-Point) xcc : 70: Gewinngrenze e) Aus dem Scheitelpunkt des Graphen der Gewinnfunktion folgt: gewinnmaximale Produktionsmengei x6-", : 45 Gewinnmaximum: Gr'u* : G(45): s. Abb. r(x) [GE] E(x) G(x) p(x) s000 1/s(s0t5000) 'x6.o: G too MEI e) P$5): 110 * C{4il1ß) Bei einem Preis von 110 GE/ME maximiert der Monopolist seinen Gewinn. Er wird dann der Nachfrage entsprechend 45 ME produzieren. 5 ü D*u*(K) * IR; Dar(Ä^) : [0; 8l b) S,(-0,45 ta); SK(0/18) O Bildungsverlag EINS GmbH 109

6 Lehrbuch Seite 2ßf204 c) d) e) s) h) - für D^r*(K)': IR: für x -+ - *: K(x) si - für Dor(K) - [0; 8]: für x*-+ 0: K{x)-+ 18; K(x) - E(x) x3-lüxz+15x*18:0 xt : 3; xz : 7,772 x3: *0,772*D* G(x)-E(x)*K(x) G(x) : 2ox * (r' * loyz + 35x + 18) G(x): *x3 + 10x2-15x * 18 Aus G(x) * Q' Gewinnschwelle: xcs : 3 Gewinngrenze: xcc : 7,772 Im Bereich 3 < x 1'1,772 wird mit Gewinn produziert. ImBereich0=x(3oder 7,772 < x < 8 wird mit Vertust produziert. Ho : (5,81 t36,29) s. Abb. 6 a) E(x) K(x) G(x) ;7x2 * 49x x3-6x2+tlx+32 *r3- f +34x-32 b) D*r* Dur E Für x --+ -oor E(x) -+ -m Fürx --+ 6: E(x) --) -m K G Fürx -+ -*: K(x) --+ -oo Fürx + oot K(x) + oo Fürx --+ -oot G(x) --+ oo Fürx -> ool G(x) --+ *oo Rl(010) RzQ l0) &(0t32) ^R2(7/186) E(x) G(;r) K(x) Rr (0/ *32) R2t7l*186) für x --) oo: K(x) -) co für x-+ 8: K(x) *> 170 [GE] HG(5,81136,29),4 xcs G 110 O Bildungsverlag EIN GmbH

7 Lehrbuch Seite 204 c).e: *,rc (0/0); S,r(7/0) Ki.,(: -.1,305/0); SI((0/32) G.',S", (:'- 6,74510);.r(1/0); *, (: 4,7 45 I 0); <;(01* 32) d) s. Abb. e) f/b(3,5/85,75) 0-xcs:l E) Hc{3,A5134,42} h) p(3,05) * 27,65 E(x) G(x) I(x) HG(3,05134,02) 7 a) Nullstellen: P(x) - s 0--A,5x2(x*6) xttz: 0 xl:6 Linearfaktordarstellung : P(x):-0,5x'(x*6) b) D*.*(P) : tr; Dor(P) * [0; 6] c) Für x *+ -*: P(x) --) oo Für x --+ oot P(x) -+ -oc d) H(4116): Bei einer Düngereinsatzmenge von x : 4 IMEI wird die Produktion mit P (4) : 16 IMEI maximiert. e) s. Abb H(4n6) 0 Bei 0 ME Dünger erhält man 0 ME Weizener trag. Mit zunehmenden Düngereinsatz steigen die Erträge bis 2 ME Dünger zunächst progressiv und dann bis 4 ME Dünger degressiv- Bei 4 ME Dünger ist der Weizenertrag mit 16 ME maximal. Wenn die Menge des eingesetzten Düngers weiter erhöht wird, sinken die Erträge progressiv und werden schließlich bei 6 ME Dünger 0. g) P(2),= -0, = Bildungsverlag EINS GmbH 111

8 Lehrbuch Seite 205 h) P(x): 16 16=-0,5x3+3xz 0,5x3+3x2-16=0 x3-6x2+32:o x1 : '2 q, Dot(P) xz: 4 8 a) D^*,(a) : tr Nullstellen durch Ausklammern : tuz: A; t, * 12 'ä Dor (a) : p; l2l b) Für t -+ -ü: a(t).+ a Für r:+ el a(t) -* -w $ a$):#-40,63[me/tag] d),,u):# e) 0 =* fr * DoÄa) tz: 8 s. Abb. H(818t,27) Die ersten 8 Tage nach Erscheinen der Zeitschrift nimmt der tägliche Absatz zunächst progressiv und danach degressiv zu. 8 Tage nach Erscheinen der Zeitschrift ist ihr Absatz mit ca. 8l ME/Tag maximal, danach sinkt er progressiv und wird 12 Tage nach Einftihrung der Zeitschrift null. Bildungsverlag EIN GmbH