OPERATIONS RESEARCH. Eine Programmunterstützte Einführung von. Gerhard Marinell und Gabriele Steckel-Berger

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1 OPERATIONS RESEARCH Eine Programmunterstützte Einführung von Gerhard Marinell und Gabriele Steckel-Berger 8 Gerhard Marinell & Gabriele Steckel-Berger. All rights reserved. Seite

2 Welches Problem? (Zum Inhaltsverzeichnis) Entscheidungstheorie Die Entscheidungstheorie ist eine Methode zur Entscheidungsfindung bei Unsicherheit. Mit ihr kann man aus einer gegebenen Anzahl von Aktionen eine optimale auswählen. Das Optimalitätskriterium, das verwendet wird, um eine optimale Aktion auszuwählen, ist die Minimierung der erwarteten Kosten. Weiters erlaubt die Entscheidungstheorie die Klärung der Frage, ob es sinnvoll ist, vor der Entscheidung, noch weitere Informationen einzuholen, oder ob es besser ist, an Hand der vorhandenen Informationen zu entscheiden. Lagerhaltung Ein Lager ist ein Puffer zwischen Lieferanten und der Kundennachfrage, der erforderlich ist, da Lieferung und Verwendung nicht im gleichen Rhythmus erfolgen. Wie legt nun eine Firma ihre Lagerhaltungspolitik fest? Zu welchem Zeitpunkt und mit welchen Mengen füllt sie ihr Lager wieder auf? Da Lager immer Kosten verursachen, ist es Ziel, jene Lagerhaltungspolitik zu finden, für die die Kosten minimal sind. Wenn die Nachfrage bekannt ist, wie dies bei verschiedenen Produktionsläufen z. B. der Fall ist, dann wählt man ein deterministisches Lagerhaltungsmodell. Ist die Nachfrage unsicher, dann muss man ein stochastisches Lagerhaltungsmodell wählen. Folgt die Nachfrage einer bekannten Wahrscheinlichkeitsverteilung, dann wählt man die parametrische Variante. Andernfalls verwendet man die Simulation für das Warteschlangenmodell. Seite

3 Lineares Optimieren Mit Hilfe der Methoden des linearen Optimierens versucht man die optimale Allokation begrenzter Ressourcen auf konkurrierende Aktivitäten zu finden. Die Methoden werden daher eingesetzt, um z. B. optimale Fertigungs- Schmelz- oder Walzprogramme zu bestimmen, aber auch um kostengünstigste Nahrungsmittel- und Futtermischungen zu finden. Lineares Optimieren setzt voraus, das eine lineare Zielfunktion gegeben ist, die unter Berücksichtigung der linearen Nebenbedingungen entweder maximiert oder minimiert wird. Zwei Modelle beschäftigen sich mit der Maximierung und zwei mit der Minimierung. Jeweils das erste Modell ist so konstruiert, dass eine grafische Darstellung und Lösung möglich ist. Spieltheorie Die Spieltheorie beschäftigt sich u. a. mit Wettbewerbssituationen, wobei hier nur Zwei-Personen-Nullsummen-Spiele betrachtet werden. Nur zwei Gegner oder Spieler stehen sich gegenüber. Dabei gewinnt der eine Spieler das, was der andere verliert. Die Summe von Gewinn und Verlust ist Null. Dies ist z. B. dann der Fall, wenn nur zwei Konkurrenten am Markt um Marktanteile für dasselbe Produkt kämpfen. An einem einfachen Spiel mit jeweils nur zwei Wahlmöglichkeiten wird der Grundgedanke veranschaulicht. Ein zweites Modell steht zur Verfügung, wenn die Zahl der Alternativen größer ist. Warteschlangen Die Entstehung einer Warteschlange ist ein häufiges Phänomen, wenn die momentane Nachfrage nach einer Bedienung die momentane Kapazität der Bedienungsstation übersteigt. Da sowohl der Bedienende als auch der Wartende Kosten verursacht, sucht man auch hier jene Kapazität, bei der die Kosten minimiert werden. Die Warteschlangentheorie bietet eine große Anzahl an Modellen. Ein einfaches Modell, das bestimmte Wahrscheinlichkeitsverteilungen voraussetzt, wird hier vorgestellt. Daneben wird auch die Simulation dargestellt, die angewandt wird, wenn die Wahrscheinlichkeitsvoraussetzungen verletzt sind. Seite 3

4 Markovketten Mit Markovketten kann man z. B. die Entwicklung von Gerüchten, die Fluktuation von Kunden aber auch Warteschlangen analysieren. Markovketten bietet eine große Anzahl an Modellen. Ein Beispiel für eine reguläre und eine absorbierende Markovkette werden hier vorgestellt. Marktforschung Stichprobenerhebungen bei Kunden sind ein wichtiges Instrument für die Marktforschung. Die Auswertung von Fragen mit nominalen Merkmalen wie Beruf, Konfession, Geschlecht, mit ordinalen Merkmalen wie Beurteilung der Qualität und Fragen mit metrischen Merkmalen wie Länge, Gewicht, Alter werden getrennt gezeigt. Dabei wird nicht nur die Auszählung in Häufigkeitstabellen und Grafiken dargestellt, sondern auch der Unterschied zwischen verschiedenen Merkmalsausprägungen auf Signifikanz geprüft. Schließlich wird auch noch auf die Prüfung der Repräsentativität eingegangen sowie auf die Bestimmung des notwendigen Stichprobenumfanges. Seite 4

5 Wenn man das Symbol neben dem dreieckigen Endknoten anklickt, dann kommt man zu einem entsprechenden ausführlichen Fallbeispiel. Dort können die eigenen Daten eingegeben werden. Wie dies technisch durchgeführt wird, ist im Abschnitt Informationen zu diesem Buch beschrieben. Seite 5

6 Inhaltsverzeichnis Operation Research Informationen zu diesem Buch Welches Problem? Fallstudien Kapitel : Entscheidung S. Entscheidungsmodell S. Kapitel : Lagerhaltung S. 6 Lagerhaltungsmodell, deterministisch S.7 Lagerhaltungsmodell, Simulation S. Lagerhaltungsmodell, stochastisch S. 6 Kapitel 3: Lineares Optimieren S. 3 Maximieren, Variable, Nebenbedingungen S.3

7 Maximieren, allgemein S. 36 Minimieren, Variable, 3 Nebenbedingungen S.39 Minimierung, allgemein S. 45 Kapitel 4: Transportproblem S. 48 Transportproblem, X S. 49 Transportproblem, allgemein S. 53 Kapitel 5: Spieltheorie S. 55 Zwei-Personen-Nullsummen-Spiele, X S. 56 Zwei-Personen-Nullsummen-Spiele, nxm S.6 Kapitel 6: Warteschlangen S. 66 Warteschlangen, parametrisch S67 Warteschlangen, Simulation S.7

8 Kapitel 7: Markovketten S. 77 Reguläre Markovketten S. 78 Absorbierende Markovketten S. 84 Kapitel 8: Marktforschung S.89 Nominale Merkmale S. 9 Ordinale Merkmale S.98 Metrische Merkmale S. 7 Kapitel 9: Statistische Prozesskontrolle S 5 Nominale Kontrollkarte S. 6 Metrische Kontrollkarte S.

9 Quicksheets Quicksheet: Entscheidungsbaumanalyse Quicksheet: Lagerhaltung, deterministisch Quicksheet: Lagerhaltung, Simulation Quicksheet: Lagerhaltung, stochastisch Quicksheet: Lineares Optimieren, Maximieren Quicksheet: Lineares Optimieren, Minimieren Quicksheet: Transportproblem Quicksheet: Zwei-Personen-Nullsummen-Spiele Quicksheet: Simulation, X Matrixspiel Quicksheet: Warteschlangen, parametrisch Quicksheet: Warteschlangen,Simulation Quicksheet: Nominale Merkmale Quicksheet: Ordinale Merkmale Quicksheet: Metrische Merkmale Quicksheet: Kontrollkarte Anteilswert Quicksheet: Kontrollkarte Mittelwert/Streuung Seite 9

10 Kapitel : Entscheidung Entscheidungsmodell Zurück zum Inhaltsverzeichnis Seite

11 Entscheidungsmodell Quicksheets: Entscheidungsbaumanalyse A) Entscheidungsproblem: Privatklinik a) Aktionen Eine Gruppe von Fachärzten beabsichtigt die Errichtung einer Privatklinik. Die beiden Aktionen, zwischen denen sich die Ärzte entscheiden müssen, sind Aktion A Aktion B := := "Privatklinik nicht errichte "Privatklinik errichte b) Umweltzustände Die Entscheidung für eine der beiden Aktionen hängt davon ab, wie sich der Markt für die medizinische Nachfrage entwickelt. Die für die Entscheidung relevanten Umweltzustände sind Umwelt A := "Ungünstige Marktentwicklung für medizinische Nachf Umwelt B := "Günstige Marktentwicklung für medizinische Nachfr Gewinntabelle c) Schäden der Fehlentscheidung Wenn die Mediziner die Privatklinik nicht errichten, dann können sie auch mit keinem Gewinn rechnen. Daher sind die Gewinne für die Aktion A gleich = "Privatklinik nicht errichten Seite

12 Gewinn Umwelt_A_Aktion_A := Geldeinheiten, wenn der Umweltzustand Umwelt A = "Ungünstige Marktentwicklung für medizinische Nachfra zutrifft und Gewinn Umwelt_B_Aktion_A := Geldeinheiten, wenn der Umweltzustand Umwelt B = "Günstige Marktentwicklung für medizinische Nachfra gilt. Für die Aktion B = "Privatklinik errichten erwarten sich die Doktoren einen Nettogewinn von Gewinn Umwelt_B_Aktion_B := Geldeinheiten. Bei einer ungünstigen Marktlage muss mit einem Verlust von Gewinn Umwelt_A_Aktion_B := 4 Opportunitätskosten Geldeinheiten gerechnet werden. Dieser Betrag wird mit einem Minuszeichen versehen, da es sich um einen Verlust handelt. B) Priorianalyse Priorianalyse a) Prioriinformation Die Mediziner werden vernünftigerweise jene der beiden Aktionen wählen, für die der Schadenerwartungswert geringer ist. Dazu werden die möglichen Schäden mit ihren Eintrittswahrscheinlichkeiten gewichten. Die Eintrittswahrscheinlichkeiten werden an Hand von Prioriinformationen bestimmt. Ohne weitere Informationen über die künftige Marktentwicklung glauben die Mediziner an eine 5 zu 5 Chance für eine günstige Marktentwicklung. Die Wahrscheinlichkeit für eine ungünstige Marktentwicklung(=Umwelt. A) ist daher (immer als Anteil ausgedrückt!) Wahrscheinlichkeit A :=.5 b) Schadenerwartungswerte Seite

13 Wählen die Ärzte die Schadenerwartungswerte Aktion A = "Privatklinik nicht errichten dann tritt nur dann ein Schaden auf, wenn der Umweltzustand Umwelt B = "Günstige Marktentwicklung für medizinische Nachfra eintritt. Der Schaden ist in diesem Fall ein entgangener Gewinn von Gewinn Umwelt_A_Aktion_B = 4 Geldeinheiten. Gewichtet man diesen Schaden mit seiner Eintrittswahrscheinlichkeit vonwahrscheinlichkeit A =.5, dann erhält man den Schadenerwartungswert dieser Aktion: SchadenerwartungswertAktion_A_priori = 5 Geldeinheiten. Für die Aktion B = "Privatklinik errichten ist der Schadenerwartungswert SchadenerwartungswertAktion_B_priori = Geldeinheiten. Diese Berechnungen beruhen auf dem Informationsstand vor der Durchführung einer eventuellen Stichprobenerhebung. Die Schadenerwartungswerte werden daher auch als Priorischadenerwartungswerte bezeichnet. Die Ärzte werden auf Grund dieser Schadenerwartungswerte die Entscheidung priori wählen. = "Privatklinik errichten c) Erwartete Wert der perfekten Information Für die Ärzte stellt sich nun die Frage, ob es vernünftig ist, vor der endgültigen Entscheidung noch weitere Informationen über die künftige Marktlage einzuholen. Auf Grund des derzeitigen Informationsstandes muss mit einem Schadenerwartungwert von min( ( SE a.priori SE a.priori )) = Geldeinheiten gerechnet werden. Man wird daher höchstens diesen Geldbetrag für weitere Informationen ausgeben, selbst wenn man perfekte Information in Form einer Gesamterhebung angeboten bekommt. Man bezeichnet diesen Schadenerwartungswert auch als "Erwarteten Wert der perfekten Information" oder kurz EWPI: EWPI = Seite 3

14 C) Präposteriorianalyse Präposteriorianalyse Ein Marktforschungsinstitut offeriert den Fachärzten eine Marktstudie um den Preis von Erhebungskosten fix := 5 Geldeinheiten. Die Marktforscher verweisen in ihrem Angebot auf ihre große Erfahrung: Von ihren Marktstudien der Vergangenheit, die einen günstigen Markt vorhersagten, war nur ein Anteil von W negativ_a :=.8 und von den Marktstudien, die einen ungünstigen Markt prophezeiten, stimmte nur ein Anteil von W positiv_b :=. nicht. Wie sollen sich die Ärzte entscheiden? Soll die Studie des Marktforschungsinstitutes berücksichtigt werden oder ist der Betrag dafür zu hoch? Eine Beauftragung des Marktforschungsinstitutes mit der Untersuchung der künftigen Marktchancen ist nur vernünftig, wenn der erwartete Informationserlös dieser Studie (der so genannten "Erwarteten Wert der Stichprobeninformation" oder kurz EWSI) größer ist als die Erhebungskosten, die das Institut verlangt.. Der erwartete Informationserlös dieser Stichprobe ist EWSI = 88 EWSI Geldeinheiten. Diesem Betrag steht ein geforderter Preis gegenüber von Gesamterhebungskosten= 5 Geldeinheiten. Wenn die Erhebungskosten geringer sind als der erwartete Wert der Stichprobe, dann ist es vernünftig, eine Studie oder Stichprobe diesen Umfanges zu erheben. Man kann auch die Gesamterhebungskosten vom Informationserlös abziehen. Man erhält dann den erwarteten Informationsgewinn der Stichprobe (den so genannten "Erwarteten Nettowert der Stichprobeninformation" oder kurz ENSI). Für die geplante Studie ist der erwartete Informationsgewinn ENSI = 38 ENSI Seite 4

15 Geldeinheiten. Wenn der erwartete Informationsgewinn einer Studie oder Stichprobe positiv ist, dann ist es vernünftig, eine Stichprobe diesen Umfanges zu erheben. Im Falle eines negativen Informationsgewinnes sind die Gesamterhebungskosten für die entsprechende Stichprobe höher als der erwartete Informationserlös dieser Stichprobe. Eine Stichprobenerhebung dieses Umfanges wäre wenig sinnvoll. Auf Grund des Vergleichs der Erhebungskosten mit dem erwarteten Wert der Stichprobeninformation werden sich die Ärzte für. Entscheidung = "Studie durchführen" entscheiden. Wenn die geplante Studie ein positives Ergebnis liefert, dann werden die Ärzte sich für die Errichtung der Privatklinik entscheiden. Im negativen Fall werden sie auf den Bau der Privatklinik verzichten. D) Posteriorianalyse Studie := Posteriorianalyse Die Ärzte geben die Marktstudie (ohne Präposteriorianalyse) in Auftrag. Das Marktforschungsinstitut prognostiziert eine ( = positive, = negative Entwicklung) Entwicklung für die medizinische Nachfrage. Die Ärzte werden diese Informationen mit den Prioriinformationen verknüpfen und an Hand dieser erweiterten Informationsbasis entscheiden, ob sie die Privatklinik realisieren werden. Die Schadenerwartungswerte für die Aktion A = "Privatklinik nicht errichten und Aktion B = "Privatklinik errichten sind SchadenerwartungswertAktion_A_posteriori = SchadenerwartungswertAktion_B_posteriori = Auf Grund dieser Schadenerwartungswerte werden sich die Ärzte für die Alternative Entscheidung posteriori = "Privatklinik errichten entscheiden. Zurück zum Inhaltsverzeichnis Schadenerwartungswerte Seite 5

16 Kapitel : Lagerhaltung Lagerhaltungsmodell, deterministisch Lagerhaltungsmodell, Simulation Lagerhaltungsmodell, stochastisch Zurück zum Inhaltsverzeichnis Seite 6

17 Deterministisches Lagerhaltungsmodell Quicksheets: Deterministisches Lagerhaltungsmodell Entscheidungsproblem: Lautsprecherproduktion ) Aktionen Die Firma "COSMOS" produziert Median-Computer und stellt die Lautsprecher selbst her. Da sich die Errichtung einer kontinuierlichen Produktionslinie für die Lautsprecher nicht rentiert und große Mengen in relativ kurzer Zeit hergestellt werden können, werden die Lautsprecher in festen Losen produziert. Das Unternehmen muss nun entscheiden, in welchen Mengen die Lautsprecher gefertigt werden sollen. Die möglichen Aktionen, die zur Wahl stehen, können folgendermaßen definiert werden: Aktion i := "Lautsprecher pro Los produzieren wobei i jeden Wert zwischen und einer großen Zahl annehmen kann. Die Firmenleitung sucht jene Aktion, bei der die Lagerkosten für die Lautsprecher minimal sind. ) Umweltzustände Die Computer werden am Fließband mit einer Rate von Nachfrage := 8 Deterministisch - stochastisch Stück pro Monat zusammengebaut. Da die Nachfrage nach den Lautsprechern also feststeht, ist hier der einzige Umweltzustand Umwelt := "8 Stück Lautsprecher pro Monat Seite 7

18 3) Kosten Grundsätzlich kann man zwischen Produktionskosten (oder Bestellkosten) einerseits und Lagerkosten andererseits unterscheiden. a) Produktionskosten Für die Produktion der Lautsprecher sind folgende Kosten zu berücksichtigen: Jedes Mal wenn ein Los produziert wird, treten Kosten für die Umstellung der Maschinen, Verwaltungskosten usw. auf, die zusammen als Rüstkosten bezeichnet werden. Sie betragen Rüstkosten := Geldeinheiten. Die Kosten für die Herstellung eines Lautsprechers belaufen sich auf Produktionskosten:= Geldeinheiten. Produktionskostenfunktion b) Lagerkosten Die Kosten für die Lagerung eines Lautsprechers umfassen die Kosten für das gebundene Kapital, für den Lagerraum, für Versicherungen, Abgaben, usw. Diese Kosten betragen Lagerhaltungskosten:=.3 Lagerkostenfunktion Geldeinheiten pro Lautsprecher und Monat. Obwohl es die Unternehmenspolitik verbietet, zu großzügig mit Fehlmengen einzelner Komponenten zu planen, kann es trotzdem vorkommen, dass ein fehlender Lautsprecher nachträglich in den Computer eingebaut werden muss. Diese Kosten sind Fehlmengenkosten:=. Fehlmengenkosten Geldeinheiten pro Lautsprecher. Die Produktionskosten, die Lagerkosten und die Gesamtkosten sind in folgender Grafik dargestellt. Man sieht, dass die Gesamtkostenfunktion dort ein Minimum erreichen, wo die Lagerkostenfunktion die Produktionskostenfunktion schneidet. Seite 8

19 P( q). 4 Lq ( ). 4 T( q) q opt Tq ( opt ) q Produktionskosten Lagerkosten Gesamtkosten 4) Optimale Lagerhaltungspolitik Optimale Lagerhaltungspolitik Die Unternehmensleitung der Firma "COSMOS" wird auf Grund dieser Daten Optimale_Aktion= und zwar in einem Zeitintervall von Zeitintervall= 3.6 ( 854 "Lautsprecher pro Los produzieren" ) Monaten. Es wird damit eine Fehlmenge von Fehlmenge= 66 Stück Lautsprecher erlaubt. Man kann diese optimale Lagerhaltungspolitik, die im Rahmen einer periodischen Lagerüberprüfung eingesetzt wird, auch wie folgt formulieren: Sobald der Lagerbestand den Bestellpunkt Bestellpunkt= 66 Seite 9

20 Lautsprecher erreicht, wird eine Bestellung getätigt, die das Lager wieder bis zum Bestellniveau Bestellniveau= 44 Lautsprecher auffüllt. Es wird also die Menge S - s Bestellmenge= 854 Lautsprecher produziert. Man nennt diese Lagerhaltungspolitik auch (s,s)-politik, wobei s der Bestellpunkt und S das Bestellniveau ist. Seite

21 Stochastisches Lagerhaltungsmodell Monte-Carlo-Simulation Quicksheets: Stochastisches Lagerhaltungsmodell, Simulation Entscheidungsproblem: PC-Drucker ) Aktionen Die Firma "QUICK" ist ein Computerfachgeschäft, das unter anderem PC-Drucker der Marke Epson verkauft. Die tägliche Nachfrage nach diesem Modell ist relativ gering. Daher ist im Lager nur Platz für maximal Bestellniveau:= Drucker. Da der Großhändler für Epson Drucker im gleichen Bezirk angesiedelt ist, kann das Lager innerhalb eines Tages ergänzt werden. Der Händler muss sich entscheiden, bei welchem Bestellpunkt er sein Lager wieder auffüllt. Seine möglichen Aktionen sind Aktion i := "Stück Drucker-Lager auffülle wobei i jeden Wert zwischen und Bestellniveau= annehmen kann. Der Händler sucht jene Aktion, bei der die Lagerkosten für die Epson-Drucker minimal sind. ) Umweltzustände Die tägliche Nachfrage nach Epson Druckern schwankte in den letzten Jahren zwischen und Maximal:= 5 Geräten. Die relevanten Umweltzustände sind daher Umwelt i := "Epson Drucker verkaufen wobei i jeden Wert zwischen und Maximal = 5 annehmen kann. Seite

22 3) Kosten Grundsätzlich kann man zwischen Bestellkosten einerseits und Lagerkosten andererseits unterscheiden. a) Bestellkosten Für die Bestellung der gewünschten Anzahl von Epson Druckern beim Großhändler entstehen dem Computerhändler der Firma "QUICK" Kosten von Bestellkosten:= Geldeinheiten. b) Lagerkosten Die Kosten für die Lagerung eines Epson Druckers umfassen die Kosten für das gebundene Kapital, für den Lagerraum, für Versicherungen, Abgaben, usw. Diese Kosten betragen Lagerhaltungskosten:=.3 Geldeinheiten pro Tag und Drucker. Für jeden Epson Drucker, den der Computerhändler verkaufen könnte, aber nicht auf Lager hat, muss er einen entgangenen Gewinn von Fehlmengenkosten:= 8 Geldeinheiten berücksichtigen. 4) Nachfrage Der Computerhändler hat Aufzeichnungen über die tägliche Nachfrage nach Epson Druckern gesammelt. In der ersten Spalte folgender Tabelle ist die Anzahl nachgefragter Epson Drucker pro Tag eingetragen, in der zweiten Spalte die Häufigkeit mit der die entsprechende Nachfrage aufgetreten ist. So steht z. B. in der ersten Zeile, dass keine Nachfrage nach Epson Druckern 5 Mal vorgekommen ist. Nachfrage := 5 3 Die Verteilung der täglichen Nachfrage nach Epson Druckern zeigt folgende Grafik: Seite

23 5 Nachfrage f( x) x Häufigkeit der nachgefragten Stückzahl 5) Optimale Lagerhaltungspolitik Der Computerhändler verfolgt derzeit folgende Bestellpolitik: Wenn der Lagerbestand am Ende des Tages kleiner als der Bestellpunkt:= Epson Drucker ist, dann werden beim Großhändler die Differenz zwischen dem maximalen Lager, Bestellniveau= Drucker und dem Lagerbestand am Ende des Tages nachbestellt. Wegen der kurzen Lieferzeit ist das Lager am nächsten Tag wieder aufgefüllt. Um die langfristigen Auswirkungen dieser Lagerpolitik auf die Lagerkosten zu überprüfen, führt der Computerhändler eine Simulation der täglichen Nachfrage für n := Tagen durch. Grundlage für die Simulation sind die oben angeführten Aufzeichnungen über die Nachfrage. Die folgende Tabelle zeigt die Ergebnisse der Simulation. In der ersten Spalte ist der Lagerbestand am Beginn des Tages angeführt. Die tägliche Nachfrage nach Epson Druckern in Stück folgt in der zweiten Spalte. Den Lagerbestand am Ende des Tages, also die Differenz von Spalte und steht in der dritten Spalte. Die vierte Spalte zeigt die Fehlmengen, also die Zahl der Drucker, die nachgefragt aber nicht verkauft werden konnten, da das Lager leer war. Schließlich ist in der letzten Spalte vermerkt, ob am Ende des Tages auf Grund der gewählten Bestellpolitik eine Bestellung beim Großhändler durchgeführt wurde. Seite 3

24 Jede Zeile entspricht einem simulierten Geschäftstag. Wenn Sie die rechte Seite (oder auch alles) von "Zufallszahl" markieren und die Taste "F9" drücken, wird jeweils eine neue - Tages Serie simuliert. Zufallszahl i := ( rnd( ) ) Simulation= "NEIN" 8 "NEIN" "NEIN" 5 3 "NEIN" 4 "JA" 8 "NEIN" "NEIN" 5 3 "NEIN" 3 "NEIN" "JA" Diese Simulation führt zu einem durchschnittlichem Lagerbestand am Ende des Tages von Durchschnittlicher_Lagerbestand = 4.3 Monte-Carlo-Simulation Stück Epson Drucker. Die durchschnittliche Zahl der Fehlmengen ist Durchschnittliche_Fehlmengen =. Stück Epson Drucker pro Tag und die durchschnittliche Zahl der Bestellungen ist Durchschnittliche_Bestellungen =. Wenn man diese Durchschnittswerte mit den entsprechenden Kosten multipliziert, dann erhält man die durchschnittlichen Gesamtlagerkosten pro Tag: Seite 4

25 Gesamte_Lagerkosten_pro_Tag= 3.73 Geldeinheiten. Der Computerhändler hat bei der gewählten Bestellpolitik im Schnitt mit Gesamte_Lagerkosten_pro_Tag= 3.73 Geldeinheiten zu rechnen. Dieses Ergebnis ist jedoch nur aussagekräftig, wenn die Zahl der simulierten Geschäftstage groß ist (z. B. n = oder ). Um die optimale Bestellpolitik zu finden, simuliert der Computerhändler andere mögliche Bestellpunkte und vergleicht die entsprechenden Gesamtlagerkosten. Für eine simulierte Anzahl von n := Geschäftstagen und einem maximalen Lager von Bestellniveau= zeigt folgende Grafik die Gesamtlagerkosten für die möglichen Bestellpunkte. f( s) 5 Optimaler_Bestellpunkt Bestellpolitiken s Bestellpunkte Gesamte Lagerkosten Der Grafik ist zu entnehmen, dass der Computerhändler sich für die Aktion Optimale_Aktion = ("Lagerbestand:" "Stück Drucker-Lager auffüllen" ) entscheiden wird. Wenn der Lagerbestand am Ende eines Geschäftstages das Niveau von Optimaler_Bestellpunkt= Stück Drucker oder weniger erreicht hat, dann wird er beim Großhändler soviel Drucker bestellen, dass sein Lager wieder aufgefüllt ist. Bei dieser Lagerpolitik sind im Schnitt tägliche Gesamtlagerkosten von Gesamte_Lagerkosten_pro_Tag= 3.58 Geldeinheiten zu erwarten. Seite 5

26 Stochastisches Lagerhaltungsmodell Quicksheets: Stochastisches Lagerhaltungsmodell Entscheidungsproblem: Fahrradhändler ) Aktionen Die Firma "FAHRRAD" ist eine Großhandelsfirma. Vom Produzenten eines beliebten Mountainbikes wird ihr der Kauf dieses Markenrades zu besonders günstigen Konditionen angeboten, da die Produktion dieses Mountenbikes eingestellt wird. Dem Großhändler der Firma "FAHRRAD" scheint diese Gelegenheit für das nahende Weihnachtsgeschäft ideal zu sein, da für die Händler keine Nachbestellungen mehr möglich sind. Der Großhändler muss sich entscheiden, wie viel Stück Mountainbikes er bestellt. Seine möglichen Aktionen sind Aktion i := "Mountenbikes auf Lager nehme wobei i jeden Wert zwischen und einer großen Zahl annehmen kann. Der Großhändler sucht jene Aktion, bei der die Lagerkosten für die Mountenbikes minimal sind. ) Umweltzustände Der Großhändler liefert die Mountainbikes auf Bestellung an die Einzelhändler seines Vertriebsgebietes. Da er die Anzahl der Mountainbikes, die bestellt werden, nicht kennt, sind die möglichen Umweltzustände Umwelt i := "Mountenbikes verkaufen wobei i jeden Wert zwischen und einer großen Zahl annehmen kann. Seite 6

27 3) Kosten Grundsätzlich kann man zwischen Bestellkosten einerseits und Lagerkosten andererseits unterscheiden. a) Bestellkosten Für die Bestellung der gewünschten Anzahl von Mountainbikes beim Produzenten entstehen dem Großhändler Kosten von Bestellkosten:= 8 Geldeinheiten. Für jedes Fahrrad muss der Großhändler dem Produzenten Einkaufspreis:= Geldeinheiten bezahlen und verkauft es an den Einzelhändler um einen Preis von Verkaufspreis:= 45 Geldeinheiten. b) Lagerkosten Die Kosten für die Lagerung eines Mountainbikes umfassen die Kosten für das gebundene Kapital, für den Lagerraum, für Versicherungen, Abgaben, usw. Diese Kosten betragen Lagerhaltungskosten:= Geldeinheiten pro Mountainbike. Für jedes Mountainbike, das der Großhändler nach Weihnachten noch auf Lager hat, bekommt er als Schrottwert noch Schrottwert := Geldeinheiten pro Mountainbike. (Der Schrottwert ist negativ, da der Betrag keine Kosten darstellen!) 4) Nachfrage Der Großhändler kennt die Nachfrage der Einzelhändler nach diesem Mountainbike nicht. Auf Grund ähnlicher Sonderaktionen in den vergangenen Jahren erwartet er eine Nachfrage von Erwartete_Nachfrage:= Exponentialverteilung Seite 7

28 Mountainbikes. Kann man voraussetzen, dass die Nachfrage einer Exponentialverteilung folgt, dann hat sie für diese erwartete Nachfrage folgendes Aussehen: ( ) fxλ,. 4 Exponentialverteilung 5. 5 Erwartete_Nachfrage x Wenn der Großhändler der Ansicht ist, dass die Grafik der Exponentialverteilung die Nachfragesituation gut wieder gibt, dann sind keine Änderungen erforderlich. Ansonsten müssen eventuell andere Methoden zur Quantifizierung der Prioriinformationen verwendet werden. 5) Optimale Lagerhaltungspolitik Der Großhändler der Firma "FAHRRAD" wird auf Grund dieser Daten Optimale_Aktion= Falls der Großhändler noch einige dieser Mountainbikes auf Lager hat, dann kann man die optimale Lagerpolitik, die auch im Rahmen einer periodischen Lagerüberprüfung eingesetzt wird, wie folgt formulieren: Sobald der Lagerbestand den Bestellpunkt Bestellpunkt= 674 ( 856 "Mountenbikes auf Lager nehmen" ) (s,s)-politik Mountainbikes unterschreitet, wird eine Bestellung getätigt, die das Lager wieder bis zum Bestellniveau Seite 8

29 Bestellniveau= 856 Mountainbikes auffüllt. Es wird also die Menge S - x Bestellniveau Lagerbestand Mountainbikes bestellt. Wenn der Lagerbestand geringer ist als der Bestellpunkt s, dann wird auf eine Bestellung verzichtet. Man nennt diese Lagerhaltungspolitik auch (s,s)- Politik, wobei s der Bestellpunkt und S das Bestellniveau ist. Seite 9

30 Kapitel 3: Lineares Optimieren Maximieren, Variable, Nebenbedingungen Maximieren, allgemein Minimieren, Variable, 3 Nebenbedingungen Minimierung, allgemein Zurück zum Inhaltsverzeichnis Seite 3

31 Lineares Optimieren: Maximierung, Variable, Nebenbedingungen. Quicksheets: Lineares Optimieren, Maximieren Entscheidungsproblem: Tischlerei ) Aktionen Die Firma "FLAIR" erzeugt zwei Produkte, nämlich Produkt und Produkt := := "Tische "Stühle Der Inhaber muss entscheiden, wie viel Produkt = "Tische" und Produkt = "Stühle" er in der kommenden Woche produzieren soll. Er kann z. B. nur Produkt = "Tische" oder nur Produkt = "Stühle" erzeugen oder eine bestimmte Kombination von beiden. Jede dieser möglichen Kombinationen stellt eine Aktion dar, die vorerst zur Wahl steht. Durch Kapazitätsgrenzen werden diese möglichen Kombinationen eingeschränkt. ) Nebenbedingungen Der Produktionsprozess ist für Tische und Stühle ähnlich. Beide erfordern eine gewisse Anzahl von Stunden in der b := "Tischlerei Seite 3

32 und anschließend eine bestimmte Anzahl von Stunden für das Anstreichen und Imprägnieren in der b := "Endmontage a) Erste Nebenbedingung In der kommenden Woche stehen dem Inhaber der Firma "FLAIR" in der b = "Tischlerei"insgesamt höchstens b := 8 Arbeitsstunden zur Verfügung. Jedes Produkt A, := 5 = "Tische" benötigt Stunden Arbeit in der b = "Tischlerei" und jedes Produkt = "Stühle" A, := Stunden. Wenn der Inhaber nur Produkt Verfügung stehenden Arbeitsstunden in der b b = 36 A, Stück herstellen. Stellt er nur Produkt Stückzahl gleich b = 9 A, = "Tische" erzeugt, dann kann er wegen der zur = "Tischlerei" höchstens = "Stühle" her, dann ist die maximal mögliche Natürlich kann der Inhaber auch eine Kombination der beiden Produkte herstellen. In Summe darf die benötigte Arbeitszeit die zur Verfügung stehenden Arbeitsstunden nicht übersteigen. In folgender Grafik sind die zulässigen Kombinationen durch die Abszisse und Ordinate einerseits und durch die Nebenbedingung anderseits begrenzt. Seite 3

33 Nebenbedingung ( x) x Alle Punkte innerhalb des Dreiecks sind Produktionsprogramme die im Hinblick auf die erste Nebenbedingung zulässig sind. b) Zweite Nebenbedingung In der kommenden Woche stehen dem Inhaber der Firma "FLAIR" in der zweiten Produktionsabteilung b = "Endmontage" insgesamt höchstens b := 35 Arbeitsstunden zur Verfügung. Jedes Produkt Abteilung A, := 3 = "Tische" benötigt in dieser Stunden Arbeit und jedes Produkt A, := 3 = "Stühle" Stunden. Diese zweite Kapazitätsgrenze schränkt die Menge der zulässigen Produktionspläne weiter ein, wie folgende Grafik zeigt: Seite 33

34 Nebenbedingung ( x) Nebenbedingung ( x) x Die Menge der zulässigen Produktionspläne ist nun durch den Polygonzug gegeben, der durch Abszisse, Ordinate und die beiden Geraden der Nebenbedingungen bestimmt ist. 3) Zielfunktion Problemformulierung Der Inhaber der Firma "FLAIR" sucht nicht einen der möglichen Produktionspläne, der die beiden Kapazitätsgrenzen erfüllt, sondern jenen zulässigen Produktionsplan, der den höchsten Gewinn liefert. Jedes Produkt = "Tische" wird mit einem Gewinn von Gewinn := 3 Geldeinheiten verkauft und jedes Produkt Gewinn := = "Stühle" mit einem Gewinn von Geldeinheiten. Wenn die Firma "FLAIR" z. B. vom Produkt = "Tische" eine Menge von Stück = erzeugt und von Produkt = "Stühle" eine Anzahl vonstück =, dann erzielt sie einen Gesamtgewinn von Gewinn Stück + Gewinn Stück = 7 Seite 34

35 Geldeinheiten. Dies muss jedoch nicht die Aktion mit dem maximal erreichbaren Gesamtgewinn sein. Der Inhaber wird sich für jenen zulässigen Produktionsplan entscheiden, für den der Gesamtgewinn am höchsten ist. Dies ist der Fall für die Optimale_Aktion= 3 5 "Tische" "Stühle" Eckpunktlösung Dieser Produktionsplan hat den maximalen Gesamtgewinn von Maximaler_Gesamtgewinn= Geldeinheiten. Für keinen anderen zulässigen Produktionsplan ist der Gesamtgewinn höher. Die optimale Lösung korrespondiert immer mit einem Eckpunkt des Polygonzuges, der die zulässige Lösungsmenge abgrenzt. Man kann sich daher das Finden der Lösung dadurch veranschaulichen, dass man die Zielfunktion vom Ursprung aus solange nach rechts verschiebt, bis der äußerste Eckpunkt des zulässigen Lösungsbereiches erreicht wird. Die Koordinaten dieses Eckpunktes sind die Mengen des optimalen Produktionsplanes. In folgender Grafik wird dies für die vorliegende Fallstudie dargestellt. Nebenbedingung ( x) Optimaler_Produktionsplan Nebenbedingung ( x) Zielfunktion( x) 5 4 x Durch das Anklicken von Animation wird das Rechtsverschieben der Zielfunktion demonstriert. Zurück zum Inhaltsverzeichnis Seite 35

36 Lineares Programmieren: Maximierung, allgemein. Quicksheets: Lineares Optimieren, Maximieren Lineares Optimieren, Allgemein Entscheidungsproblem: PC Zusatzgeräte ) Aktionen Die Firma "ELECTRONICS" erzeugt folgende Produkte Problemformulierung Produkt := Produkt := Produkt 3 := "Internes Modem "Externes Modem "Hard Disks Produkt 4 := "Floppy Disks Laufwerke Wegen der starken Nachfrage glaubt die Firma, dass sie soviel Stück jedes Produktes verkaufen kann, wie sie in der Lage ist zu produzieren. Sie muss sich daher entscheiden, wie viel Stück jedes Produktes sie pro Woche anfertigt. ) Nebenbedingungen Jedes Produkt muss drei Testanlagen passieren, bevor es in den Verkauf kommt. Die drei Testanlagen stehen pro Woche unterschiedliche Zeiten zur Verfügung, da sie verschiedene Wartungszeiten aufweisen. Da die Testzeiten für die Produkte in Minuten angegeben werden, sind auch die Kapazitätsgrenzen der drei Anlagen pro Woche in Minuten angegeben. Sie werden in folgender Tabelle eingetragen. Seite 36

37 Kapazitäten:= 7 7 Die erste Testanlage steht z. B. Kapazitäten = 7 Minuten pro Woche zur Verfügung. Die einzelnen Produkte erfordern unterschiedlich lange Zeiten in den einzelnen Testanlagen. Diese Zeiten (auch in Minuten) werden in folgender Tabelle eingetragen, wobei zu beachten ist, dass die erforderlichen Testzeiten für die einzelnen Produkte jeweils in einer Spalte stehen: Erfordernisse:= Das Produkt = "Internes Modem" wird z. B. in der ersten Testanlage Erfordernisse, = 7 Minuten kontrolliert, das Produkt = "Externes Modem" hingegen Erfordernisse, = 3 Minuten. 3) Zielfunktion Simplexlösung Der Inhaber der Firma "ELECTRONICS" sucht nicht einen der möglichen Produktionspläne, der die Kapazitätsgrenzen erfüllt, sondern jenen zulässigen Produktionsplan, der den höchsten Gesamtgewinn liefert. Die Gewinne, die mit dem Verkauf der Produkte verknüpft sind, werden in folgender Tabelle eingetragen. Gewinne:= Der Verkauf von Produkt = "Internes Modem" Gewinne = Geldeinheiten. bringt z. B. einen Gewinn von Die Firmenleitung der Firma "ELECTRONICS" wird sich bei diesen Daten für die Aktion Optimale_Aktion= "Internes Modem" "Externes Modem" "Hard Disks" "Floppy Disks Laufwerke" Seite 37

38 entscheiden. Dieser Produktionsplan führt nämlich zu den maximalen Gesamtgewinn von Maximaler_Gesamtgewinn= Geldeinheiten. Für keinen anderen zulässigen Produktionsplan ist der Gesamtgewinn höher. Seite 38

39 Lineares Programmieren: Minimierung, Variable, 3 Nebenbedingungen. Quicksheets: Lineares Optimieren, Minimierung Entscheidungsproblem: Diäthotel ) Aktionen Das Urlaubshotel "FIT" bietet eine Reduktionsdiät an, die aus den Nahrungsmittel Produkt und Produkt := := "Fisch" "Reis" zusammengesetzt ist. Der Inhaber muss entscheiden, wie viel Produkt = "Fisch" und Produkt = "Reis" er für die kommenden Woche einkaufen soll. Er kann z. B. nur Produkt = "Fisch" oder nur Produkt = "Reis" kaufen oder eine bestimmte Kombination von beiden. Jede dieser möglichen Kombinationen stellt eine Aktion dar, die vorerst zur Wahl steht. Durch Mindesterfordernisse werden diese möglichen Kombinationen eingeschränkt. ) Nebenbedingungen Seite 39

40 Die Diät hat b b := := "Vitamine "Mineralien und b 3 := "Kalorien zu enthalten. a) Erste Nebenbedingung Die Reduktionsdiät muss von b = "Vitamine" insgesamt mindestens b := Einheiten enthalten. Jede Einheit von Produkt A, := 5 = "Fisch" enthält Einheiten b = "Vitamine" und jede Einheit von Produkt = "Reis" A, := Einheit. Wenn der Hotelier nur Produkt = "Fisch" kauft, dann muss er mindestens b = A, Einheiten davon bestellen. Kauft er nurprodukt gleich b = A, = "Reis", dann ist die minimale Anzahl Einheiten. Natürlich kann der Inhaber auch eine Kombination der beiden Nahrungsmittel bestellen. In Summe muss die benötigte Anzahl an Vitamineinheiten sichergestellt sein. In folgender Grafik liegen die zulässigen Kombinationen rechts von der Nebenbedingung. Seite 4

41 Nebenbedingung ( x) x b) Zweite Nebenbedingung Von b = "Mineralien" muss die Reduktionsdiät insgesamt mindestens b := Einheiten enthalten. Jede Einheit von Produkt A, := = "Fisch" enthält davon Einheiten und jede Einheit von Produkt A, := = "Reis" Einheiten. Diese zweite Kapazitätsgrenze schränkt die Menge der zulässigen Nahrungsmittelkombinationen weiter ein, wie folgende Grafik zeigt: Seite 4

42 Nebenbedingung ( x) Nebenbedingung ( x) x Die Menge der zulässigen Nahrungsmittelkombinationen liegt rechts von den beiden Nebenbedingungen. b) Dritte Nebenbedingung Problemformulierung Von b 3 = "Kalorien" muss die Reduktionsdiät insgesamt mindestens b 3 := Einheiten enthalten. Jede Einheit von Produkt A 3, := = "Fisch" enthält davon Einheiten und jede Einheit von Produkt A 3, := 4 = "Reis" Einheiten. Diese dritte Nebenbedingung schränkt die Menge der zulässigen Nahrungsmittelkombinationen noch weiter ein, wie folgende Grafik zeigt: Seite 4

43 Nebenbedingung ( x) Nebenbedingung ( x) Nebenbedingung 3 ( x) 5 5 x Die Menge der zulässigen Nahrungsmittelkombinationen liegt rechts von den drei Nebenbedingungen. Eckpunktlösung 3) Zielfunktion Der Inhaber des Hotels "FIT" sucht nicht eine der möglichen Nahrungsmittelkombinationen, die die drei Mindesterfordernisse erfüllt, sondern jene zulässige Nahrungsmittelkombination, die die geringsten Kosten verursacht. Jede Einheit von Produkt = "Fisch" kostet Kosten := 3 Geldeinheiten und jede Einheit von Produkt Kosten := = "Reis" verursacht Kosten von Geldeinheiten. Wenn der Hotelier z. B. vom Produkt = "Fisch" eine Menge von Stück = kauft und von Produkt = "Reis" eine Anzahl vonstück =, dann hat er Gesamtkosten von Seite 43

44 Kosten Stück + Kosten Stück = 7 Geldeinheiten. Dies muss jedoch nicht die Aktion mit den minimalen Gesamtkosten sein. Der Inhaber wird sich für jenen zulässige Diätplan entscheiden, für den die Gesamtkosten am geringsten sind. Dies ist der Fall für die Aktion Optimale_Aktion= 5 "Fisch" "Reis" Dieser Diätplan hat die minimalen Gesamtkosten von Minimale_Gesamtkosten= 3 Geldeinheiten. Für keinen anderen zulässigen Diätplan sind die Gesamtkosten geringer. Die optimale Lösung korrespondiert immer mit einem Eckpunkt des Polygonzuges, der die zulässige Lösungsmenge abgrenzt. Man kann sich daher das Finden der Lösung dadurch veranschaulichen, dass man die Zielfunktion vom rechts kommend solange nach links verschiebt, bis der äußerste Eckpunkt des zulässigen Lösungsbereiches erreicht wird. Die Koordinaten dieses Eckpunktes sind die Mengen des optimalen Diätplanes. In folgender Grafik wird dies für die vorliegende Fallstudie dargestellt. Nebenbedingung ( x) Nebenbedingung ( x) Optimaler_Diätplan Nebenbedingung 3 ( x) 5 Zielfunktion( x) 5 x Durch das Anklicken von Animation wird das Linksverschieben der Zielfunktion demonstriert. Seite 44

45 Lineares Programmieren: Minimierung, allgemein. Quicksheets: Lineares Optimieren, Minimierung Lineares Optimieren, Allgemein Entscheidungsproblem: Autokarosserie ) Aktionen Problemformulierung Die Firma "STAHL" hat einen Auftrag zur Lieferung von Stahl für die Autokarosserie von einem japanischen Automobilhersteller erhalten. Die Firma mischt 4 verschiedene Materialen, um Stahl für die Autokarosserie zu erhalten. Diese 4 Materialen sind Produkt := "Alloy Produkt := "Alloy Produkt 3 := "Iron" Produkt 4 := "Carbide" Die Firmenleitung muss sich entscheiden, in welchem Verhältnis sie die vier Materialien zu Stahl mischt, um den Auftrag zu erfüllen. ) Nebenbedingungen Der japanische Autohersteller hat strenge Qualitätsanforderungen an den Stahl für die Karosserieherstellung. Er hat die Firma "STAHL" informiert, dass jede Lieferung mindestens folgende Prozentsätze an Magnesium, Silicon und Carbon enthalten muss: Seite 45

46 Mindestanforderungen:= Eine Tonne Stahl muss z. B. Mindestanforderungen =. % Magnesium enthalten. Die Materialien, die der Firma "STAHL" für die Produktion des Karosseriestahls zur Verfügung stehen, enthalten Magnesium, Silicon und Carbon in unterschiedlichen Prozentsätzen. Diese sind in folgender Tabelle eingetragen, wobei die drei Zeilen Magnesium, Silicon und Carbon entsprechen. Materialanteile:= Das Produkt = "Alloy " enthält z. B. Materialanteile, = 7 % Magnesium, das Produkt 4 = "Carbide" hingegen Materialanteile, 4 = %. 3) Zielfunktion Simplexlösung Die Geschäftsleitung der Firma "STAHL" sucht nicht einen der möglichen Produktionspläne, der die Mindestanforderungen erfüllt, sondern jenen zulässigen Produktionsplan, der die geringsten Gesamtkosten verursacht. Die Kosten, die mit dem Kauf der vier Rohmaterialien verknüpft sind, werden in folgender Tabelle eingetragen (Preis pro Tonne): Kosten := Der Kauf einer Tonne von Produkt = "Alloy " kostet z. B. Kosten = Geldeinheiten. Seite 46

47 Die Leitung der Firma "STAHL" wird sich bei diesen Daten für die Aktion Optimale_Aktion=.3.56 "Alloy " "Alloy " "Iron" "Carbide" entscheiden. Dieser Mischung führt nämlich zu den minimalen Gesamtkosten von Minimale_Gesamtkosten= 95 Geldeinheiten. Für keinen anderen zulässigen Mischung sind die Gesamtkosten geringer. Zurück zum Inhaltsverzeichnis Seite 47

48 Kapitel 4: Transportproblem Transportproblem, X Transportproblem, allgemein Zurück zum Inhaltsverzeichnis Seite 48

49 Transportproblem -X- Quicksheets: Transportproblem Entscheidungsproblem: DVD-Player ) Aktionen Die Firma "MEDIA" hat zwei Lagerhäuser von denen sie ihre zwei Verkaufsstätten mit dem Produkt DVD-Player beliefert. Die beiden Lager sind in Lager := "Salzburg und in Lager := "Graz" Von diesen Lagern wird sowohl die Verkaufsstätte in Verkauf := "Wien" als auch in Verkauf := "Villach beliefert. Die Firmenleitung muss sich entscheiden, wie sie den Bedarf der Verkaufsstätten und das Angebot der Lager durch die Wahl der günstigsten Transportwege in Einklang bringt. ) Nebenbedingungen In der Verkaufsstätte Verkauf = "Wien" besteht für das nächste Quartal ein mengenmäßiger Bedarf von Bedarf := Seite 49

50 Stück und in der Verkaufsstätte Verkauf = "Villach" ein Bedarf von Bedarf := In den beiden Lagerstätten sind folgende Mengen vorrätig. Im Lager = "Salzburg" sind Angebot := Stück auf Lager und im Lager = "Graz" sind es Angebot := 3 Stück. Der gesamte Bedarf ist also gleich dem gesamten Angebot. Die Geschäftsleitung der Firma "Media" sucht nicht einen der möglichen Transportpläne, der den Bedarf mit dem Angebot ausgleicht, sondern jenen zulässigen Transportplan, der die geringsten Gesamtkosten verursacht. 3) Zielfunktion Die Kosten für den Transport eines DVD-Players von Lager = "Salzburg" nach der Verkaufsstätte Verkauf = "Wien" betragen Kosten := 9 Geldeinheiten und nach Verkauf = "Villach" Kosten := 7 Geldeinheiten. Von der Lagerstätte Lager = "Graz" entstehen Transportkosten in der Höhe von Seite 5

51 Kosten 3 := 5 wenn das Produkt zur Verkaufsstätte nach Verkauf = "Wien" geschickt wird und Kosten von Kosten 4 := Geldeinheiten wenn die Lieferung nach Verkauf = "Villach" geht. In folgender Tabelle sind die Transportkosten noch einmal zusammengefasst: T = "von \ nach" "Wien" "Villach" "Angebot" "Salzburg" 9 7 "Graz" 5 3 "Bedarf" Der Bedarf ist mit dem Angebot so abzugleichen, dass die Transportkosten minimiert werden. Die Leitung der Firma "MEDIA" wird sich bei diesen Transportkosten für folgenden Transportplan entscheiden: Von der Lagerstätte Lager = "Salzburg" zur Verkaufstätte Verkauf = "Wien" wird die Menge = geliefert, nach der Verkaufsstätte Verkauf hingegen die Menge von = "Villach" Menge = Stück. Vom zweiten Lager Lager = "Graz" wird zur Verkaufsstätte Verkauf = "Wien" die Menge von Seite 5

52 Menge 3 = geliefert und nach Verkauf die Menge von = "Villach" Menge 4 = In folgender Tabelle sind diese Ergebnisse nochmals zusammengefasst: Optimaler_Transportplan= "von \ nach" "Wien" "Villach" "Angebot" "Salzburg" "Graz" 3 "Bedarf" Dieser Transportplan führt zu den minimalen Gesamtkosten von Minimale_Gesamtkosten= 58 Geldeinheiten. Für keinen anderen zulässigen Transportplan sind die Gesamtkosten geringer. Zurück zum Inhaltsverzeichnis Seite 5

53 Transportproblem allgemein Quicksheets: Transportproblem allgemein Entscheidungsproblem: Autoreifen ) Aktionen Die Spedition "FLOTT" hat von drei Lagerhäusern zwei Verkaufsstätten mit Autoreifen zu beliefern. Die drei Lager sind in den Orten, und 3, die zwei Verkaufsstätten in den Orten und. Die Firmenleitung muss sich entscheiden, wie sie den Bedarf der Verkaufsstätten und das Angebot der Lager durch die Wahl der günstigsten Transportwege in Einklang bringt. ) Nebenbedingungen In der Verkaufsstätte besteht für das nächste Quartal ein mengenmäßiger Bedarf von Stück und in der Verkaufsstätte von 6 Stück. In den drei Lagerstätten sind folgende Mengen vorrätig. Im Lager sind 3 Stück Autoreifen auf Lager, im Lager Stück und im Lager 3 ebenfalls Stück. Der gesamte Bedarf ist also gleich dem gesamten Angebot. Die Geschäftsleitung der Spedition "FLOTT" sucht nicht einen der möglichen Transportpläne, der den Bedarf mit dem Angebot ausgleicht, sondern jenen zulässigen Transportplan, der die geringsten Gesamtkosten verursacht. 3) Zielfunktion Die Kosten für den Transport eines Autoreifens vom Lager nach der Verkaufsstätte betragen 5 Geldeinheiten, nach der Verkaufsstätte 7 Geldeinheiten. Von der Lagerstätte nach dem Verkaufsort entstehen Transportkosten in der Höhe von 4 Geldeinheiten, nach dem Verkaufsort von Geldeinheiten. Die Transportkosten für einen Autoreifen vom Lager 3 zur Verkaufsstätte betragen 8 Geldeinheiten und zur Verkaufsstätte nur 3 Geldeinheiten. Seite 53

54 Diese Transportkosten werden in folgender Tabelle eingetragen: TP := Als letzte Zeile gibt man das oben angeführte Angebot der drei Lagerstätten an und als letzte Spalte den Bedarf der zwei Verkaufsstätten. Die Summe der Angebote muss gleich der Summe des Bedarfs sein. Hier ist diese Summe 7 Autoreifen. Der Bedarf ist mit dem Angebot nun so abzugleichen, dass die Transportkosten minimiert werden. 4) Ergebnis Die Leitung der Spedition "FLOTT" wird sich bei diesen Transportkosten für folgenden Transportplan entscheiden: OT = "von" "Angebot in " "Ort" "Ort" "Ort" "nach" "Bedarf in " 3 "Ort" "Ort" "*" "Angebot" 3 Vom Lager werden Autoreifen zur Verkaufsstätte und zur Verkaufsstätte geliefert. Damit ist das Angebot des Lagers von 3 Autoreifen ausgeschöpft. Auch der Bedarf von Autoreifen der Verkaufsstätte ist damit erfüllt, nicht aber der Bedarf von Verkaufsstätte. Diese Verkaufstätte hat einen Bedarf von 6 Autoreifen. Diese werden vom Lager und Lager 3 mit je Autoreifen befriedigt. Dieser Transportplan führt zu den minimalen Gesamtkosten von Minimale_Gesamtkosten= 67 Geldeinheiten. Für keinen anderen zulässigen Transportplan sind die Gesamtkosten geringer. Seite 54

55 Kapitel 4: Spieltheorie Zwei-Personen-Nullsummen-Spiele, X Zwei-Personen-Nullsummen-Spiele, nxm Zurück zum Inhaltsverzeichnis Seite 55

56 Zwei Personen Nullsummenspiel: X Quicksheets: Zwei Personen Nullsummenspiel Simulation Entscheidungsproblem: Kinderspiel ) Aktionen Die Kinder Fabian und Natalie spielen folgendes Spiel: Sowohl Fabian als auch Natalie zeigen gleichzeitig entweder einen oder alle zehn Finger. Fabian hat also die Aktionen Aktion und Aktion := := " Finger zeigen " Finger zeigen zur Verfügung. Das gleiche gilt für Natalie. Um ihre Aktionen von denen Fabians zu unterscheiden, werden sie als Zustände bezeichnet: Zustand := " Finger zeigen Zustand := " Finger zeigen ) Auszahlungen Beide zeigen gleichzeitig ihre gewählte Fingerzahl. Wenn die Summe der beiden gezeigten Fingerzahlen gerade ist, dann gewinnt diese Summe Fabian. Ist die Summe ungerade, dann gewinnt Natalie diese Summe. Seite 56

57 Im Einzelnen: Wenn Fabian die Aktion = " Finger zeigen" wählt und Natalie ebenfallszustand = " Finger zeigen", dann ist die Summe gerade. In diesem Fall gewinnt Fabian von Natalie den Betrag dieser Summe, nämlich Auszahlung, := ( + ) Geldeinheiten. Wählt Natalie nicht Zustand = " Finger zeigen", sondern Zustand = " Finger zeigen", dann ist die Summe ungerade und Fabian verliert diesen Betrag an Natalie. Vom Standpunkt Fabians wird dieser Verlust mit einem "-" versehen: Auszahlung, := ( + ) Wenn umgekehrt Fabian die Aktion = " Finger zeigen" wählt und Natalie den Zustand = " Finger zeigen", dann kommt es zur selben Auszahlung von Fabian an Natalie: Auszahlung, := ( + ) Schließlich gibt es noch die Möglichkeit, dass sich beide Kinder für die Aktion = " Finger zeigen" und Zustand = " Finger zeigen" entscheiden. In diesem Fall ist die Summe gerade. Daher gewinnt Fabian diesen Betrag von Natalie: Auszahlung, := ( + ) Man kann die Auszahlungen in Form einer Matrix zusammenfassen, wobei die Auszahlungen vom Standpunkt des Zeilenspielers dargestellt werden. Fabian ist in diesem Spiel der Zeilenspieler, Natalie der Spaltenspieler. Seite 57

58 Auszahlung= Nullsummenspiel Die positiven Zahlen in dieser Matrix geben die Gewinne von Fabian an, jene Beträge, die Natalie an Fabian bezahlt und die negativen Zahlen sind die Verluste von Fabian. Diese Beträge zahlt Fabian an Natalie. Für Natalie gilt das Umgekehrte. 3) Strategie Strategie Vor jedem Spiel müssen sich die Kinder für eine der beiden Aktionen entscheiden. So wird sich z. B. Fabian überlegen, dass er eventuell Auszahlung, = Geldeinheiten gewinnen kann, wenn er Aktion = " Finger zeigen" wählt und Natalie dasselbe tut. Da Natalie sich in Fabian hineindenken kann, wird sie sich sagen, dass es für sie in dieser Situation günstiger ist die Aktion Zustand = " Finger zeigen" zu wählen, da sie dann den Betrag Auszahlung, = Geldeinheiten von Fabian gewinnt. Wenn Fabian andererseits diese Gedankengänge bis hierher verfolgt hat, dann wird er vernünftigerweise Aktion = " Finger zeigen" wählen, da dies mit einer Auszahlung, = Geldeinheiten an ihn verknüpft ist. Dieses Gedankenspiel kann beliebig lang weitergesponnen werden. Die Quintessenz daraus ist die Tatsache, dass sowohl Fabian als auch Natalie die Wahl einer der beiden Aktionen dem Zufall überlassen müssen, um damit zu verhindern, dass der Gegner die Gedanken des Kontrahenten nachvollziehen kann. Fabian kann also z. B. eine Münze werfen und Aktion = " Finger zeigen" wählen, wenn "Zahl" fällt und bei "Wappen" die Aktion = " Finger zeigen". Wenn beide Kinder diese Strategie wählen, dann wird sowohl Fabian wie auch Natalie auf lange Sicht weder verlieren noch gewinnen. Denn der Wert des Spieles ist in diesem Fall. Diese Strategien sind jedoch nicht optimal. Für Fabian ist die beste Strategie Optimale_Strategie_Zeilenspieler = " Finger zeigen" " Finger zeigen".7.3 Seite 58

59 Fabian wird in Spielen z = 7 Mal die Aktion = " Finger zeigen" und z = 3 Mal die Aktion = " Finger zeigen". x-strategie Die optimale Strategie für Natalie ist Optimale_Strategie_Spaltenspieler = " Finger zeigen" " Finger zeigen".7.3 Sie wird in Spielen s = 7 Mal den Zustand = " Finger zeigen" wählen und s = 3 Mal denzustand = " Finger zeigen". Wenn beide diese Strategien verfolgen, dann wird auf lange Sicht Fabian den Spielwert =.84 Wert des Spieles Geldeinheiten im Schnitt verlieren (wenn vor dem Betrag ein Minus steht) und Natalie umgekehrt diesen Betrag im Schnitt pro Spiel gewinnen. Weicht z. B. nur Fabian von seiner optimalen Strategie ab, dann wird er im Schnitt pro Spiel noch mehr verlieren. 4) Simulation Wie können die beiden Kinder ihre optimalen Strategien technisch umsetzen, wenn sie z. B. n = Runden spielen wollen? Fabian kann nicht bei den ersten z = 7 Runden die Aktion = " Finger zeigen" wählen und dann die restlichen Runden die Aktion = " Finger zeigen". Natalie könnte diese Vorgangsweise leicht durchschauen und entsprechend reagieren. Fabian muss die Auswahl der z = 7 Runden für die Aktion = " Finger zeigen" dem Zufall überlassen. Mit Hilfe eines Zufallsgenerators kann man z. B. folgende Zufallszahlen erzeugen, die alle zwischen und 9 liegen: Seite 59