Versicherungstechnik

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1 Operations Research und Wirtschaftsinformatik Prof. Dr. P. Recht // Marius Radermacher, M.Sc. DOOR Aufgabe 16 Versicherungstechnik Übungsblatt 5 Abgabe bis zum Dienstag, dem um 10 Uhr im Kasten 19 Ein Goldschmied möchte eine Risikolebensversicherung über die nächsten 3 Jahre abschließen. Die Versicherungssumme beträgt für das erste Jahre Euro, für das zweite Jahr Euro und Euro für das dritte Jahr. Als Todesfallwahrscheinlichkeiten werden aufgrund der Arbeitsbedingungen die Größen q x 0,2, q x+1 0,25 und q x+2 0,5 herangezogen. Der Abzinsungsfaktor sei v 0,95. a Berechnen Sie den Einmalbeitrag B. b Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Versicherer durch diese Versicherung einen Gewinn erzielt? 2 Punkte Lösungsvorschlag: a Nach dem schwachen Äquivalenzprinzip gilt: Der Leistungsbarwert berechnet sich aus Hier gilt also B LB 0. n n LB 0 tp x L t v t tp x L 0 t q x+t L 1 t v t+1 v t. B q x L 1 0 v + 1 p x q x+1 L 1 1 v p x q x+2 L 1 2 v , , ,69. b Es sei τ die zufällige Auszahlung im Todesfall. Möglich sind 0 Euro, Euro L 1 2, Euro L 1 1 oder Euro L1 0. Dabei ist Pτ L 1 0 q x 0,2, Pτ L 1 1 p x q x+1 1 0,2 0,25 0,2, Pτ L 1 2 2p x q x+2 1 0,2 1 0,25 0,5 0,3, Pτ 0 3 p x 1 0,2 1 0,25 1 0,5 0,3. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Versicherungsunternehmen einen Gewinn erzielt, liegt somit bei Pτ < ,69 Pτ L Pτ 0 0,6. Mit 60%iger Wahrscheinlichkeit erzielt das Versicherungsunternehmen somit einen Gewinn.

2 Aufgabe 17 Die Kommutationszahlen für den Todesfall seien gegeben durch C x : d x v x+1 diskontierte Zahl der Toten des Alters x, M x : R x : C x+t M x+t Summe der diskontierten Zahl der Toten, doppelt summierte und diskontierte Zahl der Toten. Leiten Sie bitte ausführlich her, wie Sie nun mit Hilfe der Kommutationszahlen, N x und S x, sowie C x, M x und R x die folgenden Barwerte darstellen können: a Barwert A x einer lebenslänglichen Todesfallversicherung vom Betrag 1, b Barwert n A x einer n Jahre dauernden Risikolebensversicherung vom Betrag 1, c Barwert m n A x einer um m Jahre aufgeschobenen, n Jahre dauernden Risikolebensversicherung vom Betrag 1, d Barwert n DA x einer n Jahre dauernden Risikolebensversicherung, deren Todesfallleistung jährlich um einen Euro sinkt beginnend bei ne, e Barwert A x, n einer Kapitallebensversicherung mit Versicherungssumme 1. 5 Punkte Lösungsvorschlag: a lebenslängliche Todesfallversicherung A x tp x q x+t v t+1 C x+t M x d x+t l x vt+x+1 v x b n Jahre dauernde Risikolebensversicherung na x c bei aufgeschobenem Beginn um m Jahre m na x tp x q x+t v t+1 M x M x+n t+mp x q x+m+t v m+t+1 M x+m M x+m+n

3 d Arithmetische fallende Risikolebensversicherung nda x n k kp x q x+k v k+1 k0 n + 1 kp x q x+k v k+1 k0 n+1 n A x k + 1 kp x q x+k v k+1 k0 } {{ } nia x n + 1 Mx M x+n R x R x+n n M x+n n M x R x+1 + R x+n+1

4 oder alternativ: nda x LB 0 tp x L t v t tp x q x+t n t v t+1 1 n t C x+t 1 D x 1 n n C x+t t C x+t C x+t C x C x n 1 C x+ n M x M x+n C x+t C x+ t1 n M x M x+n t1 n M x M x+n t1 t l0 +t l0 C x+t+l n M x M x+n M x+t t1 +t C x+t+l +n l0 n M x M x+n M x+t M x+n t1 ln t C x+l+n n M x M x+n + n 1 M x+n M x+t e Kapitallebensversicherung n M x M x+n + n 1 M x+n 1 n M x M x+n R x M x R x+n 1 n M x R x + M x +R x+n M x+n R x+1 R x+n+1 n M x R x+1 + R x+n+1 t1 A x, n : tp x q x+t v t+1 + n p x v n n A x + n E x M x M x+n + +n C x+t+l M x+t M x tn M x+t

5 Aufgabe 18 a Bestimmen Sie bitte jeweils eine Formel für die folgenden Leistungsbarwerte. Geben Sie dazu eine möglichst einfache Darstellung mittels Kommutationswerten an Sie können von einem konstanten Zinssatz i ausgehen und die Kommutationswerte aus Aufgabe 17 verwenden.: i Ein x-jähriger möchte eine lebenslange Versicherung mit steigender Todesfallleistung vereinbaren. Die anfängliche Versicherungssumme in Höhe von 1 Euro soll dabei jährlich um einen Euro steigen. ii Die Leistungen einer lebenslangen Todesfallversicherung seien wie folgt vereinbart: Euro bei Tod innerhalb der ersten 10 Jahre, Euro bei späterem Tod. iii Eine x-jährige Person möchte bei Erreichen eines jeden Alters T x eine Erlebensfallleistung in Höhe von ω T erhalten. iv Für eine 12 Jahre dauernde Kapitallebensversicherung sei die Versicherungssumme im Erlebensfall Euro. Für den Todesfall im Jahr k + 1 sei die Leistung definiert durch { , 0 k 6 T k k , 7 k 11. b Für eine Lebensversicherung sei der Leistungsbarwert definiert durch LB 0 S ä n+1 ä x, n+1. Um welchen Versicherungstyp handelt es sich? Beschreiben Sie die Leistung der vorliegenden Versicherung. 5 Punkte Lösungsvorschlag: a i Arithmetisch steigende Todesfallversicherung IA x mit IA x t + 1 tp x q x+t v t+1 t j0 C x+t M x+t D x R x. t + 1 Cx+t ii Der Leistungsbarwert kann als eine lebenslange Todesfallversicherung über Euro zuzüglich einer um 10 Jahre aufgeschobenen lebenslangen Todesfallversicherung über Euro berechnet werden: LB A x A x M x + M x+10.

6 iii Hierbei handelt es sich um eine arithmetisch fallende Leibrentenversicherung Dä x. Den Leistungsbarwert kann man als Differenz einer konstanten Leibrente und der arithmetisch steigenden Leibrente berechnen: LB ω t x tp x v t ω x + 1 tp x v t t + 1 tp x v t } {{ } Iä x ω x + 1 ä x Iä x ω x + 1N x S x iv Der Leistungsbarwert setzt sich zusammen aus einer konstanten Risikolebensversicherung und einer arithmetisch steigenden temporären Todesfallversicherung zusammen. Es gilt: 11 LB 0 tp x q x+t T t v t+1 } {{ } LB p x v 12 LB 0 0

7 Für den Barwert der Todesfallleistungen gilt: LB tp x q x+t T t v t+1 tp x q x+t v t+1 + tp x q x+t v t A x t7 11 t7 tp x q x+t t v t+1 tp x q x+t t v t+1 t+7p x q x+t+7 t + 1 v t p x tp x A x tp x+7 q x+t+7 t + 1 v t+1 7p x v Mx M x D x 5 IA x IA x R x+7 R x M x } {{ } 5 IA x M x 7 M x+12 + R x+7 R x+12 5 M x M x 12 M x+12 + R x+7 R x+12 Daher ergibt sich also: LB E x Dx+12 LB A x IA x M x 12 M x+12 + R x+7 R x+12 Der Leistungsbarwert ergibt sich damit insgesamt aus: LB 0 LB LB 1 0 Dx M x 12 M x+12 + R x+7 R x E x Dx M x 12 M x+12 + R x+7 R x ,5 +12 Warum gilt die Gleichung 0.1?

8 nia y t + 1 tp y q y+t v t+1 k 1A y t + 1 My+t M y+t+1 t + 1 My+t n t1 t My+t M y+t + D y M y+t n My+n t My+t n t1 1 R y R y+n n M y+n Mit y x + 7 und n 5 ergibt sich der Barwert der zu Gleichung 0.1 führt. t + 1 Cy+t t My+t 5IA x R x+7 R x+12 5 M x+12, b Bei dieser Versicherung besteht die Leistung aus der Differenz einer Zeit- und einer Leibrente. Die Zahlung erfolgt somit nur im Todesfall. In diesem Fall erhält die hinterbliebene Person eine jährliche Zeitrente in Höhe der Versicherungssumme S. Daher handelt es sich um eine Risikolebensversicherung. Aufgabe 19 Nun sollen die Barwerte in konkreten Fällen berechnet werden. Verwenden Sie dazu bitte die Kommutationswerte aus folgender Tabelle für i 0,0275 und ä 65 14,0768 für i 0,044. x M x , , , , ,8 y M y , , , ,54 a Der 35-jährige Herr S. schließt eine Risikolebensversicherung mit einer Laufzeit von 30 Jahren bei einer Versicherungssumme von e ab. Wie groß ist der Leistungsbarwert dieser Versicherung bei einer garantierten Verzinsung von 2,75 %? b Die 26-jährige Angelika F. aus D. an der R. möchte eine gemischte Versicherung auf das Endalter 65 abschließen. Die Leistung im Leistungsfall betrage ebenfalls e. Bestimmen Sie den Leistungsbarwert bei einer garantierten Verzinsung von 2,75 %.

9 c Im Falle des Erreichens des 65. Lebensjahres möchte Angelika F. aus D. an der R. die auszuzahlende garantierte Versicherungssumme sofort für eine Rentenversicherung mit Einmalbeitragszahlung verwenden. Welche sofort beginnende Rente könnte ihr dann jährlich gezahlt werden, wenn die Rentenversicherung mit einer Verzinsung von 4,4 % kalkuliert würde. d Der 29-jährige Student Ph. Morris entschließt sich mit dem Rauchen aufzuhören und nachdem er die Vorlesung Versicherungstechnik besucht hatte eine Todesfallversicherung abzuschließen. Er überschlägt, dass er seit seinem 19. Lebensjahr etwa e für den Konsum von Zigaretten ausgegeben hat. Welche Leistung einer lebenslänglichen Todesfallversicherung wäre möglich, wenn er diesen Betrag heute bei Abschluss der Versicherung zur Verfügung hätte und ein garantierter Zinssatz von i 0,0275 zugrunde gelegt wird? Lösungsvorschlag: siehe Excel-Datei oder a x 35, n 30, V S e, p 2,75%, Risikolebensversicherung 30A 35 M 35 M 65 D 35 0,062 LB A ,96 b y 26, n 39, V S e, p 2,75%, gemischte Versicherung A 26, 39 M 26 M 65 D 26 + D 65 D 26 0,356 LB A 26, ,44 c y 65, LB , p 4,4%, Rentenversicherung LB 0 R ä 65 R , ,44 d x 29, LB , i 0,0275, lebenslange Todesfallversicherung V S M29 D 29 V S D 29 M ,94 2 Punkte