Übungen zur Lebensversicherungsmathematik Wintersemester 2015/16

Transkript

1 1. Sei C(t) ein Kapital zum Zeitpunkt t. Berechnen Sie C(t) bei einfacher, zusammengesetzter und gemischter Verzinsung, wenn C(0) = und der Zinsfuß r = 4% beträgt: (a) für t = 1, (b) für t = 2.75 und (c) für t = Nehmen Sie an, dass Frau X in genau drei Jahren ein Studium auf einer Privatuniversität beginnen möchte. Das Studium dauert vier Jahre, und am Anfang jedes dieser vier Jahre sind Studiengebühren in der Höhe von 8000 e fällig. Wie viel Geld braucht Frau X heute mindestens, wenn ihr erspartes Geld mit 5% verzinst wird. Bemerkung: Wenn die Art der Verzinsung wie hier nicht angegeben wird, gehen Sie bitte immer von zusammengesetzter Verzinsung aus. 3. Berechnen Sie den exakten Zeitpunkt an dem sich ein beliebiges Anfangskapital C(0) verdoppelt hat: (a) bei einfacher, (b) bei zusammengesetzter, (c) bei gemischter Verzinsung. Geben Sie für den Zinsfuß r = 2% die Zahlenwerte an. 4. Erläutern Sie die Bedeutung der finanz-mathematischen Symbole d, d m, δ, r m, r und zeigen Sie, dass aus r 0 folgt d d m δ r m r, für m 1. Berechnen Sie die Zahlenwerte für r = 0.05 und m = Schreiben Sie zwei Funktionen rm und dm in, die für gegebenes r und m die Zinssätze r m und d m bestimmen. Berechnen Sie damit r m und d m für m {1,..., 12} und r {2%, 10%} Zeigen Sie, dass für r > 0 und d < d 2 < d 3 <... < δ <... < r 3 < r 2 < r r m d n < r 2, für m, n N, min(m, n) gilt. Hinweis: Für den ersten Teil ist die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel nützlich. Sie müssen diese Ungleichung nicht beweisen. 1 Eine (sehr) kurze Einführung in das Schreiben von Funktionen in können Sie hier finden. WS 2015/16, I. Cetin Gülüm und Thorsten Rheinländer 1

2 7. Schreiben Sie zwei Funktion am und aem in, die für gegebenes r > 0 und m N die Rentenbarwerte a (m) und ä(m) berechnen. Sie können dabei auf die Funktion aus Beispiel 5 zurückgreifen. Plotten Sie anschließend die Funktionen r a bzw. r ä für r [1%, 10%] Eine Einlage von e wird mit 6.5% verzinst. Wie groß ist die Auszahlung C einer (damit finanzierten) ewigen vorschüssigen Rente? Was ist die maximal mögliche Laufzeit einer vorschüssige Zeitrente, die jährlich 2C ausbezahlt und mit einer Einlage von e finanziert werden kann? 9. Angenommen die Verteilungsfunktion der Gesamtlebenszeit T 0 einer Person hat die Form F (t) = t t, t [0, ω], wobei ω das höchste erreichbare Alter bezeichnet. (a) Bestimmen Sie das von F implizierte ω. (b) Bestimmen Sie 20 q 0 (c) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion der Restlebenszeit einer x-jährigen Person, also die Verteilungsfunktion von T x, wobei x [0, ω]. (d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine 30 jährige Person im Alter zwischen 40 und 50 Jahren sterben wird. (e) Berechnen Sie die Sterbeintensität einer 50 jährigen Person. 10. Angenommen es gilt p x = 0.99, p x+1 = 0.985, 3p x+1 = 0.95 und q x+3 = Berechnen Sie p x+3, 2p x, 2p x+1, 3p x, 1 2q x. 11. Sei e x der Erwartungswert der Restlebenszeit einer x-jährigen Person, also e x = E[T x ]. Zeigen Sie e x = sp x ds, 0 e x e x+1 +1, und für alle x 0. 2 Eine Anleitung zum Plotten von Funktionen in finden Sie hier. WS 2015/16, I. Cetin Gülüm und Thorsten Rheinländer 2

3 12. Für gegebenes m N\{0} betrachten Sie eine ewige Rente, die zu den Zeitpunkten {j + k j+1 : k = 0,..., m 1} jeweils ausbezahlt, j N. Bestimmen Sie den m m Barwert dieser Rente in Abhängigkeit vom Zinsfuß r. 13. Angenommen Raucherinnen haben eine doppelt so hohe Sterbeintensität wie Nichtraucherinnen: µ (R) x = 2µ (N) x für alle x 0, wobei µ (N) x die Sterbeintensität einer Nichtraucherin bezeichnet und µ (R) x die Sterbeintensität einer Raucherin. (a) Zeigen Sie, dass t p (R) x = ( t p (N) x ) 2 für alle x, t 0 gilt. (b) Angenommen eine Raucherin R und eine Nichtraucherin N werden zur exakt selben Zeit geboren. Zeige Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, dass R vor N stirbt gleich 2 ist, unter der Annahme, dass die Lebenszeiten von R und N 3 unabhängig sind. 14. Angenommen es gilt das Sterbegesetz von Makeham, mit A = , B = und c = Schreiben Sie eine Funktion tpx in die für gebene t, x 0 die zugehörige Überlebenswahrscheinlichkeit t p x berechnet. Erstellen Sie dann eine Matrix M, wo in der ersten Spalte die Zahlen 0,1,...,110 stehen und in der zweiten Spalte p x für x {0, 1,..., 110} steht. Plotten Sie dann die zweite Spalte als Funktion der ersten Spalte. Beschriften Sie die Achsen passend. Tipps für : Der Befehl 0:110 erstellt einen Vektor mit den Zahlen von 0 bis 110. Um aus zwei Vektoren x, y mit der selben Länge eine Matrix zu machen, kann man den Befehl cbind(x,y) verwenden. Ist M eine Matrix, so kann man mit M[m, ] auf die m-te Zeile zugreifen und mit M[, n] auf die n-te Spalte. Verwenden Sie den Befehl plot() um einen geeignet Plot zu erstellen. 15. Nehmen Sie an, dass das Sterbegesetz von De Moivre gilt, das heißt, dass ein Höchstalter ω existiert, sodass T 0 gleichverteilt im Intervall [0, ω] ist. Weiters sei E[T 16 ] = 45. Bestimmen Sie Var(T 16 ). 16. Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von T x, wenn das Sterbegesetz von Weibull gilt, das heißt wenn die Sterbeintensität durch µ x = kx n, x 0, gegeben ist. Hier sind k und n positive Konstanten. 17. Es sei x N fest und K := T x, S := T x K. Unter der Annahme, dass die unterjährige Sterbeintensität konstant ist, das heißt unter der Annahme, dass µ x+s = c x für alle s [0, 1), x N gilt, berechnen Sie E[S K = k], wobei k N. Was passiert für k, unter der Annahme, dass lim x p x = gilt? WS 2015/16, I. Cetin Gülüm und Thorsten Rheinländer 3

4 Sei T x die Restlebenszeit einer x-jährigen Person, K x = T X und S x = T x K x. Oft werden Annahmen über S x getroffen: Annahme A1: für x N ist S x unabhängig von K x und S x ist gleichverteilt im Intervall [0, 1). Annahme A2: für x N und s [0, 1) ist s q x = sq x. Annahme B: für x N und s [0, 1) ist s µ x+s konstant. 18. Zeige Sie, dass Annahme A1 äquivalent zu Annahme A2 ist. Ferner zeigen Sie, dass im Modell von De Moivre Annahme A (also A1 und A2) erfüllt ist. 19. Im Folgenden sei x 0 und r > 0. (a) Sei T x exponentialverteilt mit Parameter λ > 0. Bestimmen Sie A x in Abhängigkeit von λ und der Zinsintensität δ. (b) Sei T x gleichverteilt im Intervall [0, 4]. Bestimmen Sie A x und A x in Abhänigkeit von r. 20. Betrachten Sie folgenden Auszug aus einer (erfundenen) Sterbetafel: x l x d x Tabelle 1: Toy-Sterbetafel 1 (a) Bestimmen Sie l 40, 10 p 30, q 33, 5 q 33 und 5 2 q 30. (b) Unter Verwendung von Annahme A, bestimmen Sie 1.7 q 33 und 1.7 q (c) Unter Verwendung von Annahme B, bestimmen Sie 0.3 p 33 und 0.3 p Verwenden Sie für dieses Beispiel die obige Sterbetafel und nehmen Sie r = 0.04 an. (a) Bestimmen Sie A 33, A 1, 4E 33 und A 33:4 33:4. Verwenden Sie dafür die Kommutationszahlen C x, D x und M x. WS 2015/16, I. Cetin Gülüm und Thorsten Rheinländer 4

5 (b) Berechnen Sie die Nettoeinmalprämie folgender Versicherung an eine 32 jährige Person: die Versicherung zahlt 20000e, falls die Versicherte innerhalb des ersten Jahres stirbt, 70000e, falls die Versicherte im zweiten Jahr stirbt und 50000e, falls die Versicherte nach zwei Jahren noch lebt. Die Zahlungen im Todesfall erfolgen dabei immer am Jahresende. 22. Schreiben Sie einen -Code, der die obige Tabelle aus der CSV-Datei Tafel1.csv einliest. Nehmen Sie r = 0.02 an und bestimmen Sie in q x und D x für x {30,..., 39}. Hängen Sie die Vektoren q x und D x als vierte bzw. fünfte Spalte an die Tabelle an und speichern Sie die neue Matrix als Tafel1-neu.csv ab. Anleitung: Speichern Sie zunächst die Datei Tafel1.csv in einem Ordner ab. Ändern Sie dann in das Arbeitsverzeichnis: stellen Sie jenen Ordner ein, indem sich die Datei befindet. Verwenden Sie dann folgende Zeile um die Sterbetafel einzulesen: life=read.table("tafel1.csv", sep=";", dec=",", header=t) Um eine Matrix M als CSV-Datei abzuspeichern verwenden Sie: write.table(m,file="tafel1-neu.csv", sep=";", dec=",") WS 2015/16, I. Cetin Gülüm und Thorsten Rheinländer 5

6 Für die Beispiele 23, 24 und 25b verwenden Sie bitte die Toy-Sterbetafel 1 aus Beispiel 19. Für Beispiel 26 verwenden Sie bitte die Sterbetafel 2010/ Männer und Frauen (ST1012 MF) und die dazugehörige Leibrententafel 2010/ Männer und Frauen (LRT1012 MF). Diese finden Sie entweder hier oder im Tuwel. 23. Betrachten Sie die Toy-Sterbetafel 1 und nehmen Sie r = 0.03 an. (a) Bestimmen Sie ä 36, a 36, ä 36:3 und 2 ä 36. (b) Unter Verwendung von Annahme A bestimmen Sie ä (12) 36. Ferner bestimmen Sie unter Annahme A ä 36.7 entweder exakt oder mit der Approximation aus der Vorlesung. 24. Schreiben Sie drei Funktionen aex, aexn und Ax in, die basierend auf der Toy-Sterbetafel 1 für gegebene r > 0, x {30,..., 39} und passende n N die Größen ä x, ä x:n und A x bestimmen. Hinweis: um die Kommutationszahlen M x und N x zu bestimmen, können Sie die Befehle rev und cumsum verwenden. 25. Sei n N, x 0 und v (0, 1) der Abzinsungsfaktor. Betrachten Sie eine Leibrente, deren Barwert durch folgende Zufallsvariable beschrieben wird: Y = v Tx a n Tx 1 {Tx n}. (a) Beschreiben Sie diese Leibrente mit Worten und stellen Sie E[Y ] in Abhänigkeit von a n und a x:n dar. (b) Verwenden Sie die Toy-Sterbetafel 1 und berechnen Sie E[Y ]. Nehmen Sie dafür Annahme A an, sowie x = 35, n = 2 und r = Verwenden Sie für dieses Beispiel die ST1012 MF und LRT1012 MF. (a) Sei r = Bestimmen Sie A 98 auf zwei Arten: einmal ausschließlich mit der Sterbetafel und einmal ausschließlich mit der Leibrententafel. Was fällt Ihnen auf? (b) Lesen Sie die Datei methodik_der_leibrententafel_ (zu finden hier oder im Tuwel), und finden Sie eine Erklärung für das Ergebnis in 26a. 27. Sei x N. Zeigen Sie: (a) ä x = k=0 äk+1 k 1 q x, und (b) a x a E[Tx]. WS 2015/16, I. Cetin Gülüm und Thorsten Rheinländer 6

7 Für Beispiel 29 brauchen Sie die Sterbetafeln 2010/2012 für Männer (ST1012 M) und die Sterbetafel 2010/2012 für Frauen (ST1012 F). Diese finden Sie hier oder im Tuwel. Für die Beispiele 30, 31 und 32 treffen Sie alle Annahmen, die auch in der Vorlesung zu garantierten Annuitäts-Optionen getroffen wurden. 28. Verwenden Sie die ST1012 MF und die LRT1012 MF und bestimmen Sie A x, A x:n und n E x, wobei x die letzten zwei Ziffern Ihrer Matrikelnummer bezeichnet und n = 100 x 2. Nehmen Sie r = an. Hinweis: Zeigen Sie, dass ä x:n = ä x n E x ä x+n gilt und verwenden Sie dieses Resultat um A x:n zu bestimmen. 29. Lesen Sie in die einjährigen Sterbewahrscheinlichkeiten für Männer und die einjährigen Sterbewahrscheinlichkeiten für Frauen ein. Diese finden Sie in den ST1012 M bzw. in den ST1012 F. Erstellen Sie eine Grafik, in der diese Wahrscheinlichkeiten für x 60 als Funktion des Alters zu sehen sind. Beschriften Sie die Achsen passend und fügen Sie eine Legende hinzu. Interpretieren Sie diese Grafik. Hinweis: um zu einem bestehenden Plot weitere Abbildungen hinzuzufügen, kann man den Befehl lines oder points verwenden. 30. Es bezeichne p(t, U) den Wert eines Zero Coupon Bonds mit Laufzeit U zur Zeit T U. Zeigen Sie, dass der Barwert einer lebenslangen vorschüssigen Rente, die zum Zeitpunkt T beginnt und jährlich 1 ausbezahlt, wenn der Versicherungsnehmer noch am Leben ist, geschrieben werden kann als ä x (T ) = p(t, T + n) n p x. n=0 31. (a) Wiederholen Sie die Definition einer garantierten Annuitäts-Option (GAO) und die Definition einer Swaption auf einen Receiver Swap. Sie müssen für diesen Teil keine Formeln herleiten. (b) Erklären Sie, wie man den Wert einer GAO in einen Fixbetrag und eine Put- Option auf die Annuitätsrate zerlegen kann. (c) Erklären Sie, wie man eine GAO mit Swaptions hedgen kann. Zeigen Sie dabei insbesondere die Gültigkeit der Formel L n = L ( ) n+1 + rx G np x n+1 p x 1 + K n aus der Vorlesung. 32. Verwenden Sie für dieses Beispiel die Toy-Sterbetafel 1 aus dem vierten Übungsblatt. (a) Nehmen Sie an, dass p(0, n) = n für n {0, 1,..., 10} gilt. Bestimmen Sie die Annuitätsrate r 36 (0) für eine 36-jährige Person. (b) Betrachten Sie eine GAO mit r G 36 = 0.5. Ein Versicherungsunternehmen möchte sich mit der Strategie aus Beispiel 31c absichern. Bestimmen Sie die zugehörigen Werte L n und K n. Bemerkung: die Werte für K n und L n sind nicht eindeutig. WS 2015/16, I. Cetin Gülüm und Thorsten Rheinländer 7

8 Für Beispiel 33 verwenden Sie bitte die ST1012 MF. Für Beispiel 37 verwenden Sie die Toy-Sterbetafel 1 aus dem vierten Übungsblatt. 33. Gegeben sei ein Selektionsmodell mit Selektionsdauer d = 3 Jahren, wobei die Schlusstafel durch die ST1012 MF gegeben ist, das heißt, dass l [x t]+t (wobei x N und t 3) mit dem Wert für l x aus der ST1012 MF übereinstimmt. Weiters sei angenommen, dass p [x]+2 = 0.97, p [x]+1 = 0.975, p [x] = 0.98, für x {75, 76, 77} gilt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine 77-jährige Person fünf Jahre überlebt, wenn sie im Alter k selektiert wurde, für alle k {74, 75, 76, 77}. 34. Betrachten Sie ein Selektionsmodell mit Selektionsdauer d = 2, bei dem die Schlusstafel durch Makeham s Sterbegesetz mit Parametern gegeben ist und A = , B = , c = 1.124, µ [x]+s = s µ x+s, s [0, 2], gilt. Dabei ist µ [x]+s die Sterbeintensität einer x + s-jährigen Person, die im Alter x selektiert wurde. Bestimmen Sie t p [x]+s für x = 80 und (a) s = 2 und t = 1. (b) s = 1 und t = 0.5. (c) s = 0.5 und t = Betrachten Sie wieder das Modell aus Beispiel 34 und nehmen Sie l 20 = an. Bestimmen Sie rekursiv l x, l [x]+1 und l [x]+2 für x {20,..., 80} in und speichern Sie die Vektoren in eine Matrix. Finden Sie eine geeignete Beschriftung für die Spaltennamen und speichern Sie die Matrix als CSV-Datei ab. Bemerkung: Eine kurze Einführung zu Schleifen in finden Sie hier. 36. Gegeben sei ein (beliebiges) Selektionsmodell mit Selektionsdauer d = 2. Zeigen Sie die Gültigkeit folgender Rekursionen für x N, wobei v den Diskontierungsfaktor bezeichnet. (a) ä x = 1 + vp x ä x+1. (b) ä [x]+1 = 1 + vp [x]+1 ä x+2. (c) ä [x] = 1 + vp [x] ä [x] Es gelte r = Für eine 34-jährige Person wird eine ewige Ablebensversicherung mit Ablebenssumme 100 abgeschlossen. Verwenden Sie die Toy-Sterbetafel 1 und berechnen Sie die Nettoprämien nach dem Äquivalenzprinzip, wenn WS 2015/16, I. Cetin Gülüm und Thorsten Rheinländer 8

9 (a) die Prämien jährlich vorschüssig gezahlt werden. (b) die Prämien monatlich vorschüssig gezahlt werden und Annahme A gilt. (c) die Prämien alle zwei Jahre vorschüssig gezahlt werden. Nach dem Tod werden natürlich keine Prämien mehr gezahlt. WS 2015/16, I. Cetin Gülüm und Thorsten Rheinländer 9

10 Für Beispiel 41 verwenden Sie bitte die ST1012 MF und die LRT1012 MF. 38. Ziel der Aufgabe ist es einen Auszug aus einer Selektionsrententafel zu erstellen. Verwenden Sie das Modell aus den Beispielen 34 und 35 und berechnen Sie ä [x], ä [x]+1 und ä x+2 für x = 20,..., 80 in. Gehen Sie dabei von r = 0.05 und einem Höchstalter von ω = 131 aus. Speichern Sie die Tabelle als CSV-Datei ab. Hinweis: Überlegen Sie sich den Wert von ä 131 und verwenden Sie die Rekursionen aus Beispiel Es sei a [30]:9 = 6.5, v 10 10p [30] = 0.25 und r = Bestimmen Sie daraus P 1 [30]:10, also die jährliche Nettoprämie für eine temporäre Ablebensversicherung. 40. Betrachten Sie eine ewige Ablebensversicherung an eine x-jährige selektierte Person über einen Betrag von 50000, e. Prämien werden über 20 Jahre zu Jahresbeginn gezahlt, die Versicherungssumme am Ende des Todesjahres. Zusätzlich besteht eine Prämienrückgewähr, welche die Hälfte der letzten Prämienzahlug als zusätzliche Zahlung im Todesfall während der Prämienlaufzeit auszahlt. Stellen Sie den Nettoverlust L durch K [x] dar und zeigen Sie, dass die jährliche Nettoprämie (nach dem Äquivalenzprinzip) foldendermaßen aussieht: d = r 1+r A [x] P = (1 + d/2)ä [x]:20 + ( 20 E [x] 1)/2. ist dabei die Diskontrate. 41. Betrachten Sie eine gemischte Versicherung für eine 30 jährige Person mit einer Laufzeit von 30 Jahren. Die Versicherungssumme sei 50000, e. Verwenden Sie die ST1012 MF und/oder die LRT 1012 MF um die folgenden Aufgaben zu lösen. Gehen Sie dabei von r = 0.02 aus. (a) Bestimmen Sie die Nettoeinmalprämie. (b) Bestimmen Sie die jährliche Nettoprämie nach dem Äquivalenzprinzip, wenn Prämien vorschüssig nur in den ersten 10 Jahren gezahlt werden. (c) Angenommen auf das Versicherungsunternehmen kommen Abschlusskosten der Höhe 100, e plus 50 % der ersten Prämie zu. Die weiteren Kosten betragen 2.5% der Prämien ab dem zweiten Jahr und jährlich 0.1% der Versicherungssumme für die gesamte Laufzeit. Die Prämienzahlungen sollen wieder vorschüssig jährlich in den ersten 10 Jahren stattfinden. Bestimmen Sie den Bruttoverslust und bestimmen Sie die Bruttoprämie nach dem Äquivalenzprinzip. 42. Ein Versicherungsunternehmen verlangt für eine lebenslange Ablebensversicherung der Höhe 1 jährliche vorschüssige Nettoprämien. Dabei werden diese Prämien P so gewählt, dass der erwarte Nettoverlust gleich -0.3 ist und die Varianz des Nettoverlustes gleich 0.6 ist. Wie hoch wäre der Erwartungswert und die Varianz des Nettoverlustes, wenn das Versicherungsunternehmen die Prämienhöhe nach dem Äquivalenzprinzip bestimmen würde? WS 2015/16, I. Cetin Gülüm und Thorsten Rheinländer 10

11 Verwenden Sie für alle Beispiele das Äquivalenzprinzip um die Prämienhöhe P zu bestimmen. Gehen Sie dabei immer wenn nicht anders erwähnt davon aus, dass Prämien jährlich vorschüssig während der gesamten Versicherunsdauer gezahlt werden. Die Abkürzung NDK steht für Nettodeckungskapital. Für Beispiel 44 verwenden Sie die Toy-Sterbetafel 1 aus dem vierten Übungsblatt. Für die Beispiele 45, 46 und 47 verwenden Sie die ST1012 MF und die LRT1012 MF. 43. Betrachte eine n-jährige gemischte Versicherung an eine x-jährige Person. Verwenden Sie Definition des NDKs um zu zeigen, dass das NDK zum Zeitpunkt t n folgende Form hat: tv x:n = A x+t:n t P ä x+t:n t. 44. Für eine 34-jährige Person wird eine 4-jährige Ablebensversicherung abgeschlossen. Verwenden Sie die Toy-Sterbetafel 1 und r = 0.03 um das NDK 2 V 1 zu berechnen, 34:4 wenn die Prämie (a) komplett bei Vertragsabschluss bezahlt wird, (b) in jährlich vorschüssigen Raten bezahlt wird, (c) zur Gänze nach zwei Jahren bezahlt wird (falls die versicherte Person noch lebt). 45. Betrachte eine um l Jahre aufgeschobene, vorschüssige, n-jährige Leibrente an eine x-jährige Person. Die Rentenzahlung bei dieser Rente beginnt l Jahre nach Vertragsabschluss und läuft dann n Jahre lang (natürlich nur, wenn die versicherte Person noch am Leben ist). (a) Angenommen die Prämien P werden jährlich, vorschüssig während der Aufschubzeit bezahlt. Stellen Sie den Nettoverlust zu Versicherungsbeginn in Abhängigkeit von K x dar und geben Sie einen möglichst einfachen Ausdruck für P an. (b) Angenommen x = 50, l = 15, n = 30 und r = Bestimmen Sie das NDK 8 Jahre und 20 Jahre nach Vertragsabschluss. Wie viele Jahre nach Vertragsabschluss ist das Nettodeckungskapital am höchsten? Wie hoch ist das Nettodeckungskapital nach 45 Jahren? 46. Betrachten Sie eine 20-jährige Ablebensversicherung an eine 40-jährige Person. Die Versicherungssumme sei 50000, e, die anfänglichen Kosten betragen 250, e plus 10% der ersten Prämie. Die laufenden kosten betragen 5% jeder Prämie ab der zweiten. Weiters sei r = (a) Bestimmen Sie die Höhe der jährlichen Bruttoprämie P B und zerlegen Sie diese Prämie in Nettoprämie P N, α-prämie P α, β-prämie P β und γ-prämie P γ. (b) Bestimmen Sie 5 V a, also das ausreichende Deckungskapital fünf Jahre nach 40:20 Vertragsabschluss. (c) Bestimmen Sie lim t 0 t V a, also das ausreichende Deckungskapital unmittelbar nach der ersten 40:20 Prämienzahlung. WS 2015/16, I. Cetin Gülüm und Thorsten Rheinländer 11

12 47. Erstellen Sie Funktionen in, die für gegebene x, n N, r {0, 0.5%, 1%,..., 12%} und t {0, 1,..., n} basierend auf den ST1012 MF und LRT1012 MF das NDK t Jahre nach Vertragsabschluss für gemischte Versicherungen ( t V x:n ) und Ablebensversicherungen ( t V 1 ) berechnen. Erstellen Sie dann eine Grafik, in der der zeitliche Verlauf des NDKs für beide Vertagstypen zu sehen ist. Gehen Sie dabei von x:n x = 30, n = 20 und r = 0.02 aus. Interpretieren Sie das Ergebnis. WS 2015/16, I. Cetin Gülüm und Thorsten Rheinländer 12

13 Gehen Sie immer wenn nicht anders erwähnt davon aus, dass Prämien jährlich vorschüssig während der gesamten Versicherunsdauer gezahlt werden und nach dem Äquivalenzprinzip bestimmt werden. Für die Beispiele 50 und 51 verwenden Sie die ST1012 MF und die LRT1012 MF. Für Beispiel 52 verwenden Sie das Modell aus Beispiel Es sei q 31 = 0.01, ä 32:13 = 8 und r = Eine 31 jährige Person schließt eine 14 jährige gemischte Versicherung ab. Bestimmen Sie die jährliche Nettoprämie und das NDK ein Jahr nach Vertragsabschluss. 49. Eine 50-jährige Person schließt eine ewige Ablebensversicherung ab, die durch stetige Prämienzahlungen mit konstanter Intensität P finanziert werden soll. Die Todesfallleistung erfolgt zum Todeszeitpunkt. Die Zinsintensität δ = 0.04 sei konstant. Verwenden Sie das Modell von de Moivre mit ω = 100 um folgende Aufgaben zu lösen. (a) Wie hoch ist die Nettoeinmalprämie? (b) Bestimmen Sie P nach dem Äquivalenzprinzip. (c) Bestimmen Sie t V 50 für alle t [0, 50), also das NDK t Jahre nach Vertragsabschluss. Bestimmen Sie weiters lim t 50 t V Eine Person schließt im Alter von 23 eine gemischte Versicherung mit einer Laufzeit von 30 Jahren ab, die allerdings um 7 Jahre aufgeschoben ist (d.h. der Versicherungsschutz beginnt erst in 7 Jahren und läuft ab dann 30 Jahre). Die Versicherungssumme sei 50000, e und die Ablebensleistung wird am Ende des Todesjahres ausbezahlt. Die konstanten jährlichen Prämien werden von Vertragsabschluss an für 27 Jahre, also bis zum Alter von 50, bezahlt. Gehen Sie von r = und Annahme A aus um folgende Aufgaben zu lösen. (a) Wie hoch ist die jährliche Prämie der Versicherung? (b) Zerlegen Sie die fünfzehnte Prämie in Spar- und Risikoprämie. (c) Wenn die Auszahlung der Ablebenssumme nicht mehr am Ende des Todesjahres sondern zum Todeszeitpunkt erfolgt, wie verändert sich die jährliche Prämie der Versicherung? 51. Betrachte eine Erlebensfallversicherung einer 30-jährigen Person, die bis zum Alter von 75 Jahren laufen soll. Die Versicherungssumme beträgt , e, die Prämien sollen in jährlichen Zahlungen bis zum Alter von 60 Jahren geleistet werden. Im Alter von 50 stellt die Person fest, dass sie doch keine so gute Pensionsvorsorge hatte, weshalb sie die Erlebensfallversicherung in eine lebenslängliche, jährliche vorschüssige Rente ab dem Alter von 60 umwandeln lässt. Die Prämienzahlungen bleiben dazu unverändert. Verwenden Sie r = 0.02 um folgende Aufgaben zu lösen. (a) Wie hoch ist die Jahresprämie der Erlebensfallversicherung? (b) Wie groß ist das Deckungskapital vor der Vertragsänderung? WS 2015/16, I. Cetin Gülüm und Thorsten Rheinländer 13

14 (c) Wie hoch ist die jährliche Rente, welche die Person ab 60 erhält? Gehen Sie dabei von der Annahme aus, dass der Rückkaufwert der Versicherung 90% des NDK abzüglich 200, e beträgt. 52. Betrachten Sie eine 20-jährige gemischte Versicherung an eine 40-jährige selektierte Person. Die Versicherungsleistung erfolgt im Todeszeitpunkt bzw. nach Ablauf der 20 Jahre. Die Versicherungssumme beträgt , e, die Zinsintensität sei konstant δ = 0.02, Prämien werden kontinuierlich mit Intensität P t = 10t + 550, e über die gesamte Versicherungsdauer gezahlt. Schreiben Sie die Thiele sche Differentialgleichung mit allen Nebenbedingungen auf. Verwenden Sie dann die Euler Methode in mit h = 0.05 um das Deckungskapital 10 Jahre nach Vertragsabschluss zu bestimmen. Ist der erwartete Nettoverlust zu Vertragsbeginn positiv oder negativ? Hinweis: der Befehl seq(from=0, to=20, by=0.05) erstellt einen Vektor mit den Zahlen {0, 0.05, 0.1,..., 19.95, 20}. WS 2015/16, I. Cetin Gülüm und Thorsten Rheinländer 14

15 Für das Beispiel 53 verwenden Sie die ST1012 MF und die LRT1012 MF. In den Beispielen 56 und 57 gehen Sie davon aus, dass die Restlebenszeiten aller Personen unabhängig sind. 53. Eine 50 jährige Person kauft eine 30 jährige gemischte Versicherung, die im Todesfall , e und im Überlebensfall , e ausbezahlt. Die Auszahlung im Todesfall erfolgt am Jahresende und Prämien werden jährlich vorschüssig in den ersten 20 Jahren gezahlt. Die Kosten belaufen sich auf 25% der ersten Prämie, 7% jeder weiteren Prämie und zusätzlich 62, e (vorschüssig) pro Jahr. Weiters sei r = (a) Bestimmen Sie die Bruttoprämie nach dem Äquivalenzprinzip und das ausreichende Deckungskapital 10 Jahre nach Vertragsabschluss. (b) Bestimmen Sie lim t 0 V a t und lim t 30 V a t (c) Nach 10 Jahren (unmittelbar vor der Prämienzahlung) kann die versicherte Person keine Prämien mehr zahlen. Das Versicherungsunternehmen reduziert deswegen die Versicherungssumme der Erlebensversicherung von , e auf x e, die restlichen Bedingungen bleiben unverändert. Bestimmen Sie x nach dem Äquivalenzprinzip, wenn der Rückkaufwert der Versicherung 90% des ausreichenden Deckungskapitals ist. 54. Gegeben sei ein Modell mit drei Ausscheideursachen, J {1, 2, 3}. Die Ausscheideintensitäten seien gegeben durch µ j,x = j, x 0, j = 1, 2, Bestimmen Sie P(J = 3) und E[T x J = 3] für x Für festes x > 0 betrachten Sie folgendes Modell mit zwei Ausscheideursachen. Eine x-jährige Person im aktiven Zustand stirbt mit Ausscheideintensität: (a) Zeigen Sie, dass gilt. µ 1,t = 6 x + 2t, µ 2,t = 1 x 3 t, t [0, x3 ). tp x = x3 t (x + 2t) 3, t [0, x3 ). (b) Eine x-jährige Person schließt eine ewige Ablebensversicherung ab, die bei Tod im Alter von x + t eine Ablebensleistung in Höhe von c(t) = 1000(x + 2t) 4 zum Todeszeitpunkt leistet, aber nur wenn der Tod durch Ursache 1 verursacht wird. Bei Tod durch Ursache 2 wird nichts ausbezahlt. Bestimmen Sie die Nettoeinmalprämie, wenn die Zinsintensität δ > 0 ist. 56. Seien x, y, z 0 und betrachte 3 Personen im Alter x, y und z. (a) Erklären und definieren Sie die Symbole t p x:y:z, ä x:y:z und A 2 x:y:z. (b) Zeigen Sie ä x:y:z = ä x + ä y + ä z + ä x:y:z (ä x:y + ä x:z + ä y:z ). WS 2015/16, I. Cetin Gülüm und Thorsten Rheinländer 15

16 57. Ein Ehepaar (Mann 65 Jahre und Frau 60) erwerben eine Versicherung, die zum Zeitpunkt des ersten Todes , e ausbezahlt und zum Zeitpunkt des zweiten Todes 1.000, e. Weiters beinhaltet die Versicherung eine stetig ausbezahlte Rente mit Intensität 5.000, e, die mit dem ersten Tod beginnt und bis zum zweiten Tod läuft. Es sei bekannt, dass δ = 0.04, Ā 60 = 0.354, Ā 65 = und Ā65:60 = gilt. (a) Berechnen Sie die Nettoeinmalprämie dieser Versicherung. (b) Angenommen Prämien werden stetig mit konstanter Intensität P bis zum ersten Tod bezahlt. Berechnen Sie P nach dem Äquivalenzprinzip. (c) Schreiben Sie einen Ausdruck für den erwarteten Verlust zehn Jahre nach Vertragsabschluss auf, unter der Bedingung, dass dann beide Personen noch am Leben sind. Wie verändert sich der Ausdruck, unter der Bedingung, dass der Mann gestorben ist und die Frau noch lebt? WS 2015/16, I. Cetin Gülüm und Thorsten Rheinländer 16

17 Für die Beispiele 61 und 62 verwenden Sie die Notation und Annahmen, wie in den Vorlesungen zu Schätzungen von Lebenszeiten. 58. Eine Ablebensversicherung zahlt 1 zum Zeitpunkt des zweiten Todes von (x) und (y). Außerdem wird 0.5 im Todeszeitpunkt ausbezahlt falls (x) vor (y) stirbt. Die Sterblichkeit folge dem Gesetz von Gompertz mit µ t = Bc t, t > 0. Zeigen Sie, dass die Netto-Einmalprämie dieser Versicherung genau ( ) A x + A y A w 1 0.5c x w entspricht, wobei w implizit gegeben ist durch c w = c x + c y. 59. Gegeben sind zwei Zufallsvariablen T x und T y, die die Restlebenszeit von zwei Personen im Alter x bzw. Alter y modellieren. Die gemeinsame Dichte von T x und T y sei gegeben durch ) f(s, t) = C (50 2 (s t) 2, falls s [0, 50] und t [0, 50], und 0 sonst (Achtung: T x und T y sind nicht unabhängig). Hier ist C > 0 eine Normierungskonstante. Bestimmen Sie C und zeigen Sie ( ) uq x:y = Cu u2, u [0, 50] 6 Bestimmen Sie weiters die Verteilungsfunktion von T x und die Verteilungsfunktion von T y. Wie kann man daraus u p x:y bestimmen? 60. Gegeben sei folgende Sterbetabelle, die lebende Männer (m x ) und Frauen (f x ) getrennt auflistet. x m x f x Tabelle 2: Toy-Sterbetafel 2 Betrachte einen 70-jährigen Mann mit Restlebenszeit T M und eine 72-jährige Frau mit Restlebenszeit T F. Die Restlebenzeiten sind unabahängig. Weiters sei K := T M, L := T F. (a) Bestimmen Sie P(K < L) und P(K L). (b) Unter Verwendung von Annahme A für Männer und Frauen, berechnen Sie P(T M T F ). WS 2015/16, I. Cetin Gülüm und Thorsten Rheinländer 17

18 61. Folgende zensierte Beobachtungen von Ausscheidezeitpunkten (so wie in der Vorlesung) seien gegeben: 1; 4+; 5; 5; 6; 7; 7+; 7+; 8; 8; 8; 10; 10+; 10+; 10+; wobei + ein zensiertes Leben bezeichnet (d.h. Ausscheiden aus der Beobachtungsreihe ohne Todesfall). (a) Bestimmen Sie den Kaplan-Meier Schätzer Ŝ(t i) für alle t i. (b) Bestimmen Sie den Nelson-Aalen Schätzer S(t i ) für alle t i. Skizzieren Sie die Funktionen t Ŝ(t) und t S(t). 62. Zeigen Sie analog zur Vorlesung folgende Näherung für die Varianz des Nelson- Aalen Schätzers V ar ( ) S(t) 2 S(t) d i (n i d i ). n 3 t i t i Wie kann man daraus Konfidenzintervalle für S(t) bekommen? WS 2015/16, I. Cetin Gülüm und Thorsten Rheinländer 18