3 Rechnungsgrundlagen in der Lebensversicherungsmathematik

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1 3 Rechnungsgrundlagen in der Lebensversicherungsmathematik 3. Zins Ein- und Auszahlungen fallen zeitlich versetzt an, der VN (Versicherungsnehmer) zahlt die Prämie in der Regel vorschüssig ein, der VU (Versicherungsunternehmer) zahlt die Versicherungsleistung immer nachschüssig aus. Diskontierung (auf Barwert), damit Zahlungsströme verglichen werden können. Der Rechnungszins liegt in der Lebensversicherungsmathematik (LVM) fest. Seit dem..24 ist i = 2,75% (vorher 3,25%). Empfehlung für (z.b.) den Rechnungszins macht (bis zum die BAV) die DAV (Deutsche Aktuarvereinigung). 3.2 Sterblichkeit (Sterbetafel) Vorraussetzungen: (bzw. y ) Lebensalter von Mann (bzw. Frau) (sind die VN) in Jahren, d.h. wir benutzen für das Alter der Männer bzw. y für das Alter der Frauen. y, [, ω], wobei ω das theoretische (angenommene) Höchstalter ist (z.b. DAV 994 T: ω = ; DAV 24 R: ω = 2 ), also deutlich länger, da hiermit Rentenversicherungen kalkuliert werden). Die zentrale Größe in der LVM ist die Wahrscheinlichkeit q, dass ein -Jähriger im Laufe des nächsten Jahres, also vor dem Erreichen des Alters +, verstirbt. q heisst (einjährige) Sterbewahrscheinlichkeit und besagt, dass in einer Gesamtheit von -Jährigen innerhalb eines Jahres q % Todesfälle zu erwarten sind. Vorraussetzung: Die zu berücksichtigenden Wahrscheinlichkeiten werden durch relative Häufigkeiten ersetzt. Man rechnet mit ihnen wie mit nicht vom Zufall abhängenden Größen. deterministische Betrachtung Ausscheideordnung (Sterbetafel): Die biometrische Rechnungsgrundlage für das Todesrisiko ist die Sterbetafel, die von. (bzw. Mio.) Nulljährigen ausgeht und die Abgänge innerhalb der einzelnen Jahre festhält (z.b. aus Volkszählungen). Als Rechnungsgrundlagen bezeichnet man in der Lebensversicherungsmathematik (LVM), die Parameter zur Kalkulation der Beiträge und Deckungsrückstellungen. Man unterscheidet zwischen Rechnungsgrundlagen. und 2. Ordnung: Die Rechnungsgrundlagen.Ordnung liegen weitgehend fest. Hierzu gehört der Rechnungszins, die Sterblichkeit und die Kosten. In der Regel ist die Sterblichkeit vom Geschlecht und vom erreichten Alter abhängig. Ausgehend von diesen einjährigen Ausscheidewahrscheinlichkeiten errechnen sich Ausscheideordnungen (z. B. Sterbetafeln), die die Verkleinerung eines Ausgangskollektivs mit steigendem Alter darstellen.

2 2 Für Abschluss und Verwaltung von Versicherungsverträgen sowie die Regulierung von Versicherungsfällen entstehen den Versicherungsunternehmen Kosten. Zur Deckung dieser Kosten rechnen die Versicherer Kostenzuschläge in ihre Tarife ein. In der Lebensversicherung sind Zuschläge für Verwaltungskosten üblicherweise Stückkosten oder von Beitrag oder Versicherungssumme abhängig. Die kalkulatorischen Abschlusskosten werden in Abhängigkeit der Beitragssumme (früher: der Versicherungssumme) angesetzt. Dem gegenüber stehen die Rechnungsgrundlagen 2. Ordnung. In der Gewinnzerlegung wird der Erfolg des Versicherungsunternehmens nach Gewinnquellen analysiert. Man stellt also z. B. gegenüber, wieviel über den Bestand des Unternehmens an Risikobeiträgen für das Todesfallrisiko eingenommen wurde und wieviel davon für die tatsächlich eingetretenen Todesfälle verbraucht wurde. In den Risikobeiträgen stecken die zur Kalkulation verwendeten mit Sicherheitszuschlägen versehenen Sterblichkeitswahrscheinlichkeiten (Rechnungsgrundlagen. Ordnung). Aus den tatsächlichen Todesfällen ergeben sich "realistische" Sterblichkeiten. Diese beobachtete Sterblichkeiten werden in Bezug zur jeweils verwendeten oder zur aktuellen Sterbetafel gesetzt, und man verwendet als Rechnungsgrundlage 2. Ordnung z. B. 6% der DAV- Tafel 994T. Somit spiegeln die Rechnungsgrundlagen 2.Ordnung das Unternehmensergebnis wieder, wobei hier die Unterschiede zwischen den verschiedenen Angeboten liegen. Rechnungsgrundlagen 2. Ordnung werden für den Finanzierbarkeitsnachweis verwendet. Dabei wird in Hochrechnungen berechnet, ob unter den aktuellen Annahmen die deklarierten Überschusssätze dauerhaft finanziert werden können. Vor Einführung neuer Tarife werden Hochrechnungen angestellt, welche Gewinne zu erwarten sind (Profit-Test). Grundlage sind Rechnungsgrundlagen 2. Ordnung sowie Annahmen zur künftigen Überschussbeteiligung. Sterbetafel: Die Sterbetafel enthält die Anzahl der Lebenden (living) l des Alters (z.b. die Anzahl der Nulljährigen / Lebendgeborenen l =. ( bzw. Mio.) Anzahl der im Alter Gestorbenen (dead) d = l l + sowie einjährigen Wahrscheinlichkeiten: o Sterbewahrscheinlichkeit: q : = q zu den Lebensaltern =,, 2,..., ω dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein -Jähriger innerhalb des nächsten Jahres, somit l l+ d vor Erreichen des Alters +, verstirbt, also q = = : l l o Überlebenswahrscheinlichkeit: p : = p = q zu den Lebensaltern =,, 2,..., ω ; dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein -Jähriger das Alter von + lebend erreicht, also l+ p = l+ = l p l Zwischen diesen Größen besteht ferner (bis auf Ungenauigkeiten durch Rundung) der Zusammenhang l d p = q =, =,,2,..., ω. l

3 3 Ergebnis: Aus q, =,, 2,..., ω und l lassen sich alle Lebenden des Alters, also =,2,..., ω berechnen. l für Sterbetafel: l q p d Ist = ω, so ergibt sich für l ω+ =, da das Endalter ja erreicht wurde. Eine ausführliche Diskussion über die statistischen Aspekte der Erstellung und Glättung von Sterbetafeln findet man z.b. in H.U. GERBER (997): Life Insurance Mathematics. 3 rd ed., Springer, Berlin oder P. KAKIES ET AL. (985): Methodik von Sterblichkeitsuntersuchungen. Schriftenreihe Angewandte Versicherungsmathematik, Heft 5. VVW, Karlsruhe. Die folgende Tabelle zeigt die Allgemeine Deutsche Sterbetafel aus den Jahren 986/88 für die männliche Bevölkerung, die auf Auswertungen der damaligen Volkszählung beruht. Ausgleichen (Glätten) der rohen Wahrscheinlichkeiten. Hier hat man wie immer beim Glätten einen Trade-off zwischen Varianz und Bias, d.h. der Bias wächst mit zunehmender Glattheit, während die Varianz sinkt und umgekehrt. (Das Wort Bias (griech. βιάς Gewalt, Drang ) bezeichnet in der Statistik die Differenz zwischen dem Erwartungswert eines Schätzers und dem wahren Wert derjenigen Größe, die der Schätzer approimiert. Wird auch Trend genannt.)

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5 5 Die folgenden Graphiken zeigen die Entwicklung von Sterblichkeiten in den letzten 3 Jahren. Erläuterung: Halley: Sterbetafel von 693, basierend auf Bevölkerungsdaten der Stadt Breslau stm24: Sterbetafel der Jahre 924/26 (männlich) 2 stm86: die oben wiedergegebene Sterbetafel der Jahre 986/88 (männlich) R94m: Renten-Sterbetafel der Deutschen Aktuarvereinigung (DAV) von 994 (männlich) 3 R94w: Renten-Sterbetafel der Deutschen Aktuarvereinigung (DAV) von 994 (weiblich) 5 Bei allen fünf Sterbetafeln fällt die relativ hohe Sterblichkeit der Säuglinge verglichen mit den Kindersterblichkeiten auf. Zwar bemüht man sich, die Säuglingssterblichkeit in den modernen Industriestaaten durch verbesserte hygienische Bedingungen bei der Geburt, durch bessere medizinische Behandlung der Schwangeren und bessere Versorgung der Neugeborenen zu senken, dennoch bleibt in allen Staaten die Säuglingssterblichkeit erheblich über der Kindersterblichkeit. Die Kindersterblichkeit fällt dann bis zum Einsetzen der Pubertät und hat dort ihr absolutes Minimum. Im zweiten Lebensjahrzehnt steigen die Sterbewahrscheinlichkeiten stark an bis zu Beginn des dritten Lebensjahrzehnts, haben dort ein relatives Maimum, fallen dann leicht bis Mitte/Ende des dritten Lebensjahrzehnts und steigen dann monoton an. Der Buckel zu Beginn des dritten Lebensjahrzehnts ist auf eine Häufung von Unfalltoten (Motorisierung) und eine Häufung des Suizids in diesem Altersbereich zurückzuführen. 2 vgl. TOSBERG (957), S vgl. MILBRODT UND HELBIG (999).

6 6 3.3 Weitere Wahrscheinlichkeiten in der LVM Neben den einjährigen Wahrscheinlichkeiten gibt es auch mehrjährige Wahrscheinlichkeiten: l+ n np = (n -jährige Überlebens-WS der -jährigen Person) ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein l -Jähriger die folgenden n Jahre überlebt, also dass Alter + n lebend erreicht l l+ n nq = (n -jährige Sterbewahrscheinlichkeit der -jährigen Person) ist die l Wahrscheinlichkeit, dass ein -Jähriger innerhalb der nächsten n Jahre, also vor Erreichen des Alters + n, verstirbt l l++ s n l l+ s sn q = s+ nq sq = (s Jahre aufgeschobene n -jährige l l Sterbewahrscheinlichkeit eines -Jährigen) ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein -Jähriger die kommenden (nächsten) s Jahre überlebt und dann innerhalb von n Jahren verstirbt Spezialfall: n = : q = q q s s+ s l l l l l l = = l l l ++ s + s + s ++ s d+ s l+ s d+ s = = = p q l l l + s s + s ( s Jahre aufgeschobene n -jährige Sterbewahrscheinlichkeit eines -Jährigen) ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein -Jähriger die kommenden (nächsten) s Jahre überlebt und dann innerhalb von n Jahren verstirbt Voraussetzung: Alle biometrischen Ereignisse sind unabhängig voneinander.

7 7 3.4 Kommutationswerte Die Kommutationszahlen stammen aus der Zeit, als es noch keine Computer gab. Sie vereinfachten den Rechnungen für den Versicherungsmathematiker, indem feste Tabellen für die verschiedenen Kommutationszahlen genommen wurden. Die Kommutationszahlen sind abhängig vom vereinbarten Zinssatz, von der verwendeten Sterbetafel und vom angenommenen Ende des Betrachtungszeitraumes (höchstes Lebensalter der Sterbetafel). Die Kommutationswerte sind aus den Größen l und d gebildete Hilfsgrößen zur Berechnung von Lebensversicherungsgrößen. Sie enthalten über den Diskontfaktor v zusätzlich noch den Rechnungszins [ r = + i, v= / r, d = v, i = Zins ].. mit den Lebenden l gebildete Kommutationswerte a) D : = vl diskontierte Zahl der Lebenden des Alters b) N ω : = D Summe der diskontieren Lebenden des Alters k = ω + k ω + c) : = = ( + ) S N k D + k k k= k= doppelt aufsummierte diskontierte Lebende des Alters Außerdem ist D = l v ω = ω+ ω+ + = D l, = l p v v= l v ( q ) v= D ( q ) v, ω. : = v l = 2. mit den Toten d gebildete Kommutationswerte + a) C : = v d diskontierte Zahl der Toten des Alters b) M ω k = ω : = C Summe der diskontieren Toten des Alters + k ω C + doppelt aufsummierte diskontierte Tote des Alters c) R : = M = ( k+ ) + k k k= k= Dabei gelten folgende Beziehungen: ) : ( ) C = v d = l l v = l v l v = D v D ω ) ω ω = + k = + k + k+ k= k= k= ω + ω = Nv D+ k= Nv D+ k D+ D+ ω + k= k= = 2) M : C D v D ( ) ( ) 3) analog R N ( v) S N d = Nv N D = D v N = D d N = = S

8 8 3.5 Sterbegesetze Es gibt auch analytische Möglichkeiten, die Anzahl der Lebenden (living) l des Alters mit Hilfe von Sterbegesetzen zu bestimmen: Bekannte Sterbegesetze (Ansätze) sind:. Das erste uns bekannte Sterbegesetz stammt von De Moivre (724): = ω ω= [ ] l :, 86, 2,86 2. Charles Babbage (792 87, Mathematiker in Cambridge / und London), Pionier auf dem Gebiet der Rechenmaschinen) fand folgendes Gesetz: ( ) l : = 699,8 9,29,5767, ω = 98, Benjamin Gompertz ( , Versicherungsmathematiker in London) formulierte ein Sterbegesetz, ( c ) l : k g, kgc,, > =, welches den eponentiellen Anstieg der Sterbewahrscheinlichkeiten berücksichtigt, den Alterungsprozess beim Menschen besser wiedergibt und die Annahme eines obersten Alters ω überflüssig macht. 4. Makeham (86, verbesserte(r) den Ansatz von Gompertz) ( ) : c l = k s g, k, s, g, c > und lieferte so eine Verallgemeinerung dieses Ansatzes von Gompertz.

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i x k k=1 i u i x i v i 1 0,2 24 24 0,08 2 0,4 30 54 0,18 3 0,6 54 108 0,36 4 0,8 72 180 0,60 5 1,0 120 300 1,00 2,22 G = 1 + 1 n 2 n i=1 1. Aufgabe: Der E-Commerce-Umsatz (in Millionen Euro) der fünf größten Online- Shopping-Clubs liegt wie folgt vor: Club Nr. Umsatz 1 120 2 72 3 54 4 30 5 24 a) Bestimmen Sie den Ginikoeffizienten. b) Zeichnen

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