Krankenversicherungsmathematik

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1 Krankenversicherungsmathematik Florian Peycha 8. Januar 2008 Inhaltsverzeichnis 1 Kopfschaden Die Methode von Rusam Altersgruppenbildung Die tatsächlichen Kopfschäden, Profile und Grundkopfschäden 4 2 Alterungsrückstellung 6 1

2 Hier werden im Speziellen die Themen Kopfschaden und Alterungsrückstellung behandelt. Zuerst der Kopfschaden, der eine wichtige Kenngröße in der Krankenversicherungsmathematik darstellt. Was ist der Kopfschaden? 1 Kopfschaden Definition (Kopschaden): Als Kopfschaden K bezeichnet man den Erwartungswert des für ein Einzelrisiko innerhalb einer bestimmten Zeitspanne gezahlten Betrages an Versicherungsleistungen einer bestimmten Leistungsart. Als Zeitspanne wählt man hier in der Regel ein Kalenderjahr. Um diese Definition präzisieren zu können, benötigt man ein mathematisches Modell. Dieses Modell berücksichtigt das Lebensalter des Versicherten und die Kalenderzeit: KB [0, )... Kalenderzeitbereich t... Kalenderzeit AB... Altersbereich Die Personengesamtheit sei nach Altersstufen von Jahreslänge x AB := {x min,..., x max } N gegliedert. Hier bezeichnet x min = x erw, das Alter, mit dem die versicherte Person in einen Erwachsenentarif eintritt, also 20 oder 21 Jahre, und x max = ω das Schlussalter der Sterbetafel, derzeit 102 Jahre. Weiters sei I(t) die Population in der Periode t KB und x i (t) das versicherungstechnische Alter der Person i I(t) in der Periode t KB (gewählt als das in oder unmittelbar vor der Periode vollendete Lebensjahr). So setzt man: I x (t) := {i I(t) x i (t) = x}, wobei x AB und t KB. So ist jede Person Träger des folgenden Merkmales: Anfallende versicherte Krankheitskosten in der jeweiligen Beobachtungsperiode, welches durch einen stochastischen Prozess (s i (t)) t KB modelliert wird. 1

3 Mit diesem mathematischen Modell ist man nun in der Lage die zuvor getroffene Definition des Kopfschadens zu präzisieren: Definition (Präzisierung): Seien (x,t) AB KB, i I x (t), also I x (t). Dann ist der (wahre) Kopfschaden im Alter x zur Zeit t K x (t) := E(s i (t)) (1) Will man die spezielle Leistungsart τ ebenfalls angeben, schreibt man K (τ) x (t). Logischerweise ergibt sich der (wahre) Kopfschaden eines Tarifs mit mehreren Leistungsarten durch K (τ) x (t). τ Es wird hier keine geschlechtliche Unterscheidung getroffen. Sollte es allerdings notwendig sein, wird für Frauen der Index y verwendet. 1.1 Die Methode von Rusam In den 1930er Jahren hatte man die Idee (Publikation von Rusam) Kopfschadenreihen multiplikativ aufzuspalten und zwar in das sogenannte Profil (zeigt die reine Altersabhängigkeit vom Kopfschaden) und den Grundkopfschaden (gibt das Leistungsniveau des jeweiligen Tarifs an). Dieser wird als Kopfschaden einer stark besetzten Auswahlatersstufe angegeben(heute: 40 Jahre). Definition : Seien t KB und (K x (t)) x AB eine Kopfschadenreihe und das Auswahlalter x 0 AB fest. Dann ist der (wahre) Grundkopfschaden und G(t) := K x0 (t) (2) (k x (t)) x AB := ( K x(t) G(t) ) x AB (3) das zugehörige (wahre) Profil. Das Profil gibt also die Schadenserwartung relativ zur Schadenserwartung des Auswahlalters, dem Grundkopfschaden, an. 2

4 1.2 Altersgruppenbildung Der private Krankenversicherungsverband(PKV) bildet bei den publiziertn Kopfschadendaten der Zahlenberichte Altersgruppen: 21 25, 26 30, usw. Eine solche Altersgruppenbildung ist bei der Datenaufbereitung im Hinblick auf Bestandsgrößen bei vielen Versicherungsunternehmen notwendig und üblich. Kinder und Jugendliche dürfen getrennt voneinander und auch getrennt von den Erwachsenen tarifiert werden. (Kindertarif bis Vollendung des 16.Lebensjahres, Jugendtarif 17 21). Folgendermaßen berechnet sich der Kinderkopfschaden: K K = x j 1 x=0 K x L x + x j 1 x j 1 x=0 y=0 L x + x j 1 K y L y L y y=0 wobei x j das kleinste Jugendalter bezeichnet. Der Jugendlichenkopfschaden: K j,m = x erw 1 x=x j K x L x x erw 1 bzw. L x x=x j x erw 1 K y L y y=x j x erw 1 L y y=x j wobei L x bzw. L y die Anzahl der männlichen bzw. weiblichen Personen des Alters x bzw. y im zugehörigen Tarifbestand bezeichnet. 3

5 1.3 Die tatsächlichen Kopfschäden, Profile und Grundkopfschäden t 0... Beobachtungsjahr Seien t 0 KB fest und x AB := {x erw =: x min,..., x max := ω} Die wahren Kopfschäden K x = K x (t 0 ) erhält man durch eine Schätzung der tatsächlichen Kopfschäden, die man durch arithmetische Mittel der Form erhält. Hier sind: K x tats := S x RZ x SO x L x S x = S x (t 0 ), die tatsächliche auf das Beobachtungsjahr t 0 abgegrenzte Schadensleistungen an den Teilbestand I x = I x (t 0 ) (der im Beobachtungsjahr t 0 x-jährigen) RZ x = RZ x (t 0 ) die Summe aller Risikozuschläge für I x im Jahr t 0. So x = So x (t 0 ) die im Beobachtungsjahr t 0 durch Sondereffekte in diesem Jahr auf den Teilbestand I x entfallende Schadensleistung. L x = L x (t 0 ) die Größe des Teilbestandes I x. Diese Schätzungen erfolgen für jedes Alter x seperat. Sie werden häufig auch als rohe Kopfschäden bezeichnet. Um zur Berechnung von S x alle erforderlichen Informationen zu haben, werden alle anfallenden Schäden im Jahr t 0 bis zum Ende des Jahres t o + 1 gemeldet. Sollte im Jahr t die Kopfschadenschätzung erfolgen, so muss man S x prognostizieren. Hier gilt: S x = S x,a + S x,m, wobei S x,a den Teil der Schadensleistung beschreibt, der schon im Jahr t 0 auf die Versicherungsfälle entfällt, und S x,m den Teil, der im Folgejahr t bis zum m ten Monat entfällt beschreibt. Sei m {0,..., 12},dann ist 4

6 f x (m) := S x,a + S x,m S x der Anteil am Gesamtschaden im Beobachtungsjahr t 0 der bis zum Abschluss des m ten Monats des Jahres t entfällt. Dieser hängt in der Regel nicht sehr stark vom Beobachtungsjahr ab. Deshalb hat man Quotienten der Vorjahre ˆf x (m) zur Verfügung. Löst man nun nach S x auf und setzt die Prognosewerte ein, erhält man: Ŝ (m) x := S x,a + S x,m, m {0,..., 12} (4) ˆf (m) x Prognosen der gesamten Schadensleistung des Jahres t 0 an den Teilbestand der im Jahr t 0 x Jährigen. Nun zum tatsächlichen Profil: t 0 KB und x 0 AB seien fest. Das mit dem Kopfschaden gebildete Profil bezeichnet man als das tatsächliche Profil (k x tats ) = (k x tats (t 0 )) zum Auswahlalter x 0 : k x tats := K x tats K x0 tats (5) Der tatsächliche Grundkopfschaden ist der zum Auswahlalter x 0 mit den tatsächlichen Kopfschäden gebildete Grundkopfschaden G tats = G tats (t 0 ): G tats := K x0 tats (6) G tats = S RZ SO ω, wobei (7) L x k tats x x=x erw S := S(t 0 ) := ω S x die Gesamtschadensleistung für alle Alter ist, x=x erw RZ := RZ(t 0 ) := ω RZ x der Gesamtrisikozuschlag ist, und x=x erw SO := SO(t 0 ) := ω x=x erw SO x die Summe der Sondereffekte ist. 5

7 2 Alterungsrückstellung Um eine Definition der Alterungsrückstellung trefen zu können betrachtet man ein versicherte Person (x) und einen Vertragszeitpunkt m N 0 : x + m x max. Definition ((prospektive)alterungsrückstellung): Die Alterungsrückstellung m V x von der versicherten Person (x) zum Vertragszeitpunkt m N 0 ist der bedingte erwartete Barwert zukünftiger Krankenversicherungsleistungen für (x), abzüglich des bedingten erwarteten Barwerts zukünftiger Prämienzahlungen von (x). Also nocheinmal: DieAlterungsrückstellung ist die erwartete Summe aller Kosten, die für die Versicherung für die versicherte Person anfallen, minus aller erwarteten Einzahlungen, die die versicherte Person tätigt. Die Voraussetzung ist natürlich, dass die versicherte Person den Zeitpunkt m erlebt. mv x = xmax (x+m) v ν E(Krankheitskosten - Prämienzahlungen im Alter x+m+ν i I x+m+ν (ν)) P (i I x+m+ν (ν) i I x+m (0)) = x max x m v ν x max x m K x+m+ν ν p x+m P x v ν ν p x+m Um diese Definition zu verstehen müssen einige Größen erklärt werden: Der Rechnungszins i ist in der PKV höchstens i = 3, 5%, somit ist der Aufzinsungsfaktor r höchstens r := 1 + i = und der Diskotierungsfaktor v mindestens v := (dies gilt seit Ende des r zweiten Weltkrieges). In der obien Formel bezeichnet die erste Summe x max x m v ν K x+m+ν ν p x+m := A x den erwarteten Barwert zukünftiger Versicherungsleistungen für (x) und die zweite Summe x max x m v ν ν p x+m := ä x den erwarteten Barwert zukünftiger Prämienzahlungen. P x = Ax ä x ist die Nettojahresprämie 6

8 Literatur [1] Milbrodt, Hartmut : Aktuarielle Methoden der deutschen Privaten Krankenversicherung 7

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