3. Wirtschaftswachstum

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1 Übung zur BA im Wintersemester 2010/11 Teil 2: Die reale

2 Teil 2: Die reale 1. Erläutern Sie die Eigenschaften einer neoklassischen Produktionsfunktion und leiten Sie daraus die intensive Form her/ überführen Sie diese in die intensive Form. Es gilt: Y=F(K,) 1. Jeder Produktionsfaktor ist essentiell zur Erstellung des Outputs. D.h. F(0, ) = FK (,0) = 0 2. Die Produktionsfunktion weist positive, aber sinkende Grenzproduktivitäten auf. D.h. Y 2 Y > 0; 2 K K < 0 2 Y Y > 0; 2 < 0 Wintersemester 10/11 (B.Sc.) 2

3 Teil 2: Die reale Grenzprodukt des Kapitals = Steigung der Produktionsfunktion Y Y=F(K (K, ) K ist variabel ist konstant und gleich { ΔK }ΔY 0 K Wintersemester 10/11 (B.Sc.) 3

4 Teil 2: Die reale Y Sinkende Grenzproduktivität des Kapitals { ΔK }Δ Y 2 Y=F(K, ) { ΔK }ΔY 1 0 K Wintersemester 10/11 (B.Sc.) 4

5 Teil 2: Die reale 3. Die Produktionsfunktion weist konstante Skalenerträge auf. Damit führt eine Verlambdafachung sämtlicher Inputs zu einer Verlambdafachung des Outputs. D.h. F( λk, λ) = λf( K, ) = λy; λ> 0 4. Das Grenzprodukt des Kapitals (von Arbeit) geht gegen Unendlich, wenn der Kapitaleinsatz (Arbeitseinsatz) gegen Null geht. Das Grenzprodukt der Kapitals (von Arbeit) geht gegen Null, wenn der Kapitaleinsatz (Arbeitseinsatz) gegen Unendlich geht. Damit sind die Inada Bedingungen erfüllt. Dh D.h. lim ( F ) = lim( F ) = K K 0 0 lim ( F ) = lim ( F ) = 0 K K Wintersemester 10/11 (B.Sc.) 5

6 Teil 2: Die reale Die intensive Form der Produktionsfunktion: Aus der Eigenschaft der konstanten Skalenerträge folgt: λ Y = F ( λ K, λ ) 1 λ = Y K = F,1 Y K Wobei = y = k den Output pro Arbeiter (Pro-Kopf-Einkommen) und den Kapitaleinsatz pro Arbeiter bzw. Pro-Kopf-Kapitalbestand(Kapitalintensität) Kapitalbestand(Kapitalintensität) angeben. Die Produktionsfunktion Fk (,1) = fk () beschreibt den Output pro Arbeiter als Funktion der Kapitalintensität und erfüllt sämtliche neoklass. Eigenschaften. Wintersemester 10/11 (B.Sc.) 6

7 Teil 2: Die reale Produktionsfunktion: intensive Form (Output pro Arbeiter bzw. pro Kopf) (y=y/) y= fk () 0 (k=k/) Wintersemester 10/11 (B.Sc.) 7

8 Teil 2: Die reale α Y = A K 2. Gegeben sei eine Produktionsfunktion vom Typ Cobb-Douglas. Überführen Sie diese Produktionsfunktion in ihre intensive Form und zeigen Sie anhand dieser, dass sie die neoklassischen Eigenschaften erfüllt sind. 1 α. Intensive Form: α λy = A ( λk ) ( λ ) 1 α 1 λ = Y K 1 y = = A( ) (1) = Ak α α α Damit ist schon gezeigt, dass die 3. Eigenschaft (konstante Skalenerträge) erfüllt ist. Wintersemester 10/11 (B.Sc.) 8

9 Teil 2: Die reale Ferner gilt Eigenschaft 1 und 2: f (0) = 0 f k 1 '( α () = α Ak > 0 f k Ak α 2 ''( ) = αα ( 1) < 0 damit gelten positiv-sinkende Grenzerträge. Somit folgt unmittelbar Eigenschaft 4: lim f '( k ) = 0 k lim f '( k ) =, k 0 weil: 0 < α < 1. Wintersemester 10/11 (B.Sc.) 9

10 Teil 2: Die reale 3. a) Was stellt die Substitutionselastizität einer Produktionsfunktion dar? Geben Sie eine grafische Interpretation an. σ Definition: Die Subsitutionselastizität gibt die relative Veränderung des optimalen Faktoreinsatzverhältnisses in Reaktion auf eine relative Veränderung des Faktorpreisverhältnisses an. Sie ist ein Maß, welches angibt, wie gut sich ein Faktor durch einen anderen substituieren lässt. relative Änderung σ = relative Änderung K w r Grafische Interpretation: Weil entlang einer Isoquanten gilt: Y relative Änderung K relative Änderung K w GRTS = = σ = = r Y w relative Änderung relative Änderung GRTS K r Die Substituierbarkeit der Faktoren lässt sich grafisch durch die Krümmung der Isoquanten beschreiben. Je stärker die Krümmung, desto schlechter lässt sich ein Faktor durch einen anderen substituieren. Wintersemester 10/11 (B.Sc.) 10

11 Teil 2: Die reale Grafische Darstellung: K K 1 GRTS 1 K 0 GRTS 0 Wintersemester 10/11 (B.Sc.) 11

12 Teil 2: Die reale 3. b) Exkurs: Die CES-Produktionsfunktion CES = Constant Elasticity of Substitution Anmerkung: 1 ρ ρ ρ Y= A δk + (1 δ) A: = Effizienzparameter δ : = Verteilungsparameter ρ:= Subsitutionsparameter Die CES-Produktionsfunktion weist auch positiv-fallende Grenzerträge auf, aber genügt i.a. nicht allen neoklass. Eigenschaften! Wintersemester 10/11 (B.Sc.) 12

13 Teil 2: Die reale Substitutionselastizität der CES Produktionsfunktion: Allgemein gilt: dk K dk w relative Änderung d σ = = k = r = w w k relative Änderung d r r w w r r marginal function average function Wintersemester 10/11 (B.Sc.) 13

14 Teil 2: Die reale Zunächst muss das optimale Faktoreinsatzverhältnis als Funktion des Faktorpreisverhältnisses ermittelt werden. Im Gewinnoptimum muss gelten: Y = Y K w r Für eine CES-Produktionsfunktion folgt damit unmittelbar: ρ A [ ] ρ (1 )( ) A[ ] (1 ) 0 ρ 1 1 Y = ρ 1 δ ρ = ρ δ > K ρ 1 1 Y = ρ 1 A δ ρ K = A ρ δ K > ρ [ ] ρ [ ] ( )( ) ( ) 0 Mit: ρ [ ] = δk + (1 δ) ρ Wintersemester 10/11 (B.Sc.) 14

15 Teil 2: Die reale Also folgt: Y 1 + ρ 1 δ K w = Y = δ r K und k ρ 1+ ρ 1+ ρ K w δ w = = = r 1 δ r c sodass, marg inal function: average function: ρ 1 ρ k 1 w + = c w δ 1 + ρ r r k w r w = c r ρ 1 + ρ Wintersemester 10/11 (B.Sc.) 15

16 Teil 2: Die reale Damit gilt für die Substitutionselastizität einer CES-Produktionsfunktion: marginal function 1 σ = average function = 1 + ρ Folgende Grenzfälle lassen sich unterscheiden: 1 < ρ < 0 σ > 1 ρ = 0 σ = 1 0 < ρ < σ < 1 Ist 1, so ist die die Substitutionselast. unendlich und Y= A δk+ (1 δ), d.h. die Isoquanten sind linear. Für ρ geht die Substitutionselast. gegen Null, dh d.h. Y = A min { K, }, dh d.h. die Isoquanten werden durch einen Punkt repräsentiert. Für ρ=0: Cobb-Douglas Produktionsfunktion (siehe Aufgabe 4) ρ= [ ] Wintersemester 10/11 (B.Sc.) 16

17 Teil 2: Die reale K σ = ρ = 1 K σ = ρ = 1 0 K σ = 0 ρ = [ δ (1 δ) ] Y= A K+ Y 1 = AK δ δ Y = A min { K, } Wintersemester 10/11 (B.Sc.) 17

18 Teil 2: Die reale δ 1 δ 4. Zeigen Sie, dass die Produktionsfunktion Y = A K ein Spezialfall der allgemeinen CES-Produktionsfunktion für ρ 0 ist. 1 ρ ρ ρ Y = A δ K + (1 δ ) Problem: Für ist die CES-Produktionsfunktion nicht definiert, weil durch Null dividiert wird. ρ =0 ösung: Berechne den Grenzwert der CES-Produktionsfunktion für. 1 ρ ρ ρ Y= A δk + (1 δ) ρ 0 ρ ρ Y ln δ K + (1 δ ) m( ρ) ln = = A ρ n( ρ) Da gilt:, folgt. Y m( ρ ) m'( ρ ) Ferner: Regel von 'Hôpital: lim ln = lim = lim ρ 0 A ρ 0 n( ρ ) ρ 0 n'( ρ ) a c a und = c lnc a 1 '( ρ ρ Und damit: m ρ) = δk ln K (1 δ ) ln ρ ρ δk + (1 δ) n'( ρ) = 1 Wintersemester 10/11 (B.Sc.) 18

19 Teil 2: Die reale Y m'( ρ) δln K+ (1 δ)ln limln = lim ln( K δ ) ρ 0 A ρ 0 n'( ρ = = ) 1 1 Also: δ und lim Y ρ 0 = δ AK 1 δ Damit ist die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion ein Spezialfall einer CES-Produktionsfunktion mit einer Substitutionselastizität von genau 1. Wintersemester 10/11 (B.Sc.) 19

20 Teil 2: Die reale 5. a) Rechnen mit Wachstumsraten (zeitdiskret und zeitkontinuierlich) 1. Zeitdiskret: Eine Variable Y wird zu zwei Zeitpunkten t=1 und t=2 gemessen. Ihre Änderung beträgt damit: Δ Y = Y Y und ihre Wachstumsrate: ΔY Y Y Y = = 1 = g Y Y Y Y = (1 + ) = (1 + 1) Y 2 offensichtlich gilt: Y Y g Y Bsp.: Das nominale BIP in t=1 berechnet sich wie folgt: 1 Y = py nom real sodass: nom real real real Y 2 = Y1 (1 + g2) p1(1 + π2) = Y2 p2 = Y { 1 p1(1 + g2)(1 + π2) real nom Y p 2 2 Y1 Wintersemester 10/11 (B.Sc.) 20

21 Teil 2: Die reale Damit beträgt die Wachstumsrate des nom. BIP: Y nom 2 nom Y = (1 + g2)(1 + π 2) 1= 1+ g2 + g { 2π2 + π 2 1= g2 + π2 2. Zeitkontinuierlich: Variablen sind eine Funktion der Zeit t. Damit ist die Änderung einer Variablen in einem infinitesimal kleinen Zeitintervall gleich der 1. Ableitung dieser Variablen nach der Zeit. Yt () t = Y& Sodass sich für die Wachstumsrate ergibt: g Y = & Y Wintersemester 10/11 (B.Sc.) 21

22 Teil 2: Die reale Bsp.: Die Wachstumsrate des (realen) BIP sei konstant und gleich g. Das BIP zum Zeitpunkt t=0 betrage. Berechnen Sie die Wachstumsrate des BIP. Es gilt:. Yt () = Ye 0 gt Y 0 gt Y& = gy0e gt Y& gy0e gt Y = Y e = 0 g oder: ln Yt ( ) = lny0 + gt ln Yt ( ) 1 Yt ( ) Y& g t = Y() t t = Y = Damit entspricht die Ableitung der logarithmierten Variablen nach der Zeit ihrer Wachstumsrate und graphisch wird die Wachstumsrate durch die Steigung repräsentiert. Wintersemester 10/11 (B.Sc.) 22

23 Teil 2: Die reale Damit entspricht die Wachstumsrate des nom. BIP. nom real Y () t = Y () t p () t nom real ln Y ( t) = ln Y ( t) + ln p( t) nom real ln Y ( t ) Y& p& = + = g + π real t Y p Wintersemester 10/11 (B.Sc.) 23

24 Teil 2: Die reale 5. b) Im Jahr 2002 stieg das BIP um 3,4%. Die Inflationsrate betrug 1,9%. Berechnen Sie die Wachstumsrate des realen BIP. Es gilt: nom real Y = Y p & & & = + nom Y real Y p nom Y real Y p nom real Y& p& Y& = = 3,4% 1,9% = 1,5% nom real Y p Y Wintersemester 10/11 (B.Sc.) 24

25 Teil 2: Die reale 6. Erläutern Sie die Beziehung zwischen Investitionen und Output pro Kopf(=Arbeiter) in einer geschlossenen Volkswirtschaft ohne Staat unter der Annahme, dass die Wirtschaftssubjekte einen konstanten Anteil 0<s<1 von ihrem Einkommen sparen und die Produktionstechnologie den neoklassischen Eigenschaften genügt. g Aus Y=C+I und Y=C+S folgt I=S. Damit gilt auch I=s Y=s y und I/=s y=s f(k). Da f(k) den neoklass. Eigenschaften genügen soll steigt die Pro-Kopf-Ersparnis mit zunehmender Kapitalintensität k. Dies aber mit abnehmenden Raten. Damit führt eine steigende Kapitalintensität zu einem steigenden Pro-Kopfeinkommen, steigender Pro-Kopf-Ersparnis und steigenden Investitionen pro Kopf. Wintersemester 10/11 (B.Sc.) 25

26 Teil 2: Die reale Ersparnis pro Kopf hängt vom Output pro Kopf ab, der von der Kapitalausstattung pro Kopf abhängt y fk ( ) 3 fk ( ) 2 y=f ( k ) fk ( ) ( ) sf k 1 sf ( k 2 ) 3 sf ( k 3 ) sf ( k) k 0 k 1 k 2 3 k Wintersemester 10/11 (B.Sc.) 26

27 Teil 2: Die reale 7. Der Kapitalstock einer Ökonomie besteht aus den kumulierten Investitionen der Vergangenheit. Kann Ihrer Meinung nach eine Ökonomie langfristiges Pro-Kopf-Wachstum aufweisen? Gehen Sie hierbei auf die Ergebnisse der letzten Aufgabe ein. a) )Bewegungsgleichung des Kapitalstocks t K& K Im Aggregat einer geschlossenen Volkswirtschaft ohne Staat gilt: I=S=sY. Mit den Investitionen sind hier aber die Brutto-Investitionen gemeint, d.h. auch jener Teil des Kapitalstocks, der im aufe der Zeit abgeschrieben wurde und ersetzt werden muss. Veränderung des Kapitalstocks: Δ () lim K = K& = K t t 0 Δt t Unter Berücksichtigung der Abschreibungen: K& + δk = I= sy K& = I δ K = sy δ K Wintersemester 10/11 (B.Sc.) 27

28 Teil 2: Die reale Bewegungsgleichung der Kapitalintensität Durch Division durch ergibt sich: k & K& = sy δk Außerdem gilt k(t)=k(t)/(t) und damit: K & K & K& & K k& = = 2 Weil ferner die Bevölkerung nicht wächst gilt: & K& = 0 und damit unmitelbar k& =, sodass gilt: k& = sy δk Wintersemester 10/11 (B.Sc.) 28

29 Teil 2: Die reale b) Dynamik des Solow Modells: zentrale Gleichungen k& = sy δ k und y= f( k) 1. Da y=f(k) gilt, kann der Pro-Kopf-Output p nur wachsen, wenn k wächst. Die Kapitalintensität wiederum wächst, wenn k & > 0 gilt. etzteres ist nur dann der Fall, wenn: sf () k > δ k gilt. Also wenn die Pro-Kopf-Ersparnis die Abschreibung des Kapitalstocks übersteigt. 2. Im umgekehrten Fall sinkt k, d.h. k & < 0 wenn sf () k < δk δk Da eine Ursprungsgerade mit der Steigung darstellt und f(k) konkav und steigend verläuft, gibt es ein, welches erfüllt. k sf () k = δ k Da sich hier weder k noch y verändern, handelt es sich um einen stationären Punkt (steady state) mit der Eigenschaft δ y& = k & = 0 Wintersemester 10/11 (B.Sc.) 29

30 Teil 2: Die reale y C k & > 0 { Der Steady State Sae D B A } k& < 0 y=f ( k ) δ k sf ( k) 0 k 1 k k 2 k Wintersemester 10/11 (B.Sc.) 30

31 Teil 2: Die reale c) Der Steady State ist stabil, weil für k< k, sf( k) > δk, k & > 0 und ddamit Kapitalintensität i und Einkommen pro Kopf wachsen, aber umgekehrt für k> k, sf( k) < δk, k & < 0 Kapitalintensität und Einkommen pro Kopf fallen. k y= f() k y& = k & = 0 Damit konvergiert die Ökonomie immer gegen und, mit. angfristiges Wachstum in Pro-Kopf-Größen ist damit nicht möglich. Wintersemester 10/11 (B.Sc.) 31

32 Teil 2: Die reale Y = AK 8. Gegeben sei die Produktionsfunktion vom Typ Cobb-Douglas Betrachten Sie eine geschlossene Volkswirtschaft ohne Staat deren Sparquote 0 < s < 1 betrage und deren Kapitalstock mit der Rate 0 < δ < 1 pro Periode abgeschrieben wird. Ermitteln Sie die Bewegungsgleichung g g gdes Kapitalstocks und das Wachstumsgleichgewicht g in Pro-Kopf-Größen. α 1 α. α 1 α α α α Y = AK y= AK = Ak Ableitung der Bewegungsgleichung für k (s.o.). Es gilt: Im Steady State gilt ferner: k & = 0 k & = sy α δk = sak δk Wintersemester 10/11 (B.Sc.) 32

33 Teil 2: Die reale Also: k& α = 0 = sa k δ k α 1 0 = sak δ δ α 1 = k sa k δ sa 1 α 1 sa = δ = k 1 1 α 1 α α 1 α 1 α α sa sa y = A k = A = A δ δ Wintersemester 10/11 (B.Sc.) 33

34 Teil 2: Die reale 9. a) Was sind die Konsequenzen einer dauerhaften Erhöhung der Sparquote? Konsequenzen: Eine dauerhafte Erhöhung der Sparquote erhöht die Pro-Kopf-Ersparnis sf ( k) für jedes k. k=0 & Der Steady State ist nach wie vor stabil, mit der Konsequenz, dass langfr.. Eine dauerhafte Erhöhung von s hat damit langfr. keinen Einfluss auf das Wachstum der Kapitalintensität. t ität Sie erhöht aber das Niveau der Kapitalintensität t ität und damit des Pro-Kopf- Einkommens, weil y=f(k). Cobb-Douglas Produktionsfunktion (siehe letzte Aufgabe): k sa = δ 1 1 α ( s. o.) Gleiches gilt für eine Erhöhung von A und α. Eine Erhöhung der Abschreibungsrate wirkt in die entgegengesetzte Richtung. Wintersemester 10/11 (B.Sc.) 34

35 Teil 2: Die reale Grafische Darstellung: Ein Anstieg der Sparquote führt zu einem höheren k und einem höheren y im Steady State, allerdings hat der Anstieg keinen Einfluss aufs langfristige Wachstum (y=y/) δ k sfk ( ) sf ( k) 0 (k=k/) Wintersemester 10/11 (B.Sc.) 35

36 Teil 2: Die reale b) Was verändert sich im Solow-Swan-Modell, wenn Bevölkerungswachstum berücksichtigt wird? Annahme: Die Bevölkerung wachse mit konstanter Rate n. Der aggregierte Kapitalstock entwickelt sich folgendermaßen: Δ K = K& = sy δk Division durch die Bevölkerung ergibt nun: Außerdem gilt k(t)=k(t)/(t) ( )/ ( ) und damit K& K = sy δk & & & & & & K K K K K k = = = nk 2 k& = sf () k δk nk = sf () k ( n + δ ) k Hieraus ergibt sich unmittelbar Damit muss neben der Abschreibungsrate, jetzt auch das Bevölkerungswachstum berücksichtigt werden, um die Kapitalausstattung pro Kopf langfristig wenigstens konstant halten zu können. Wintersemester 10/11 (B.Sc.) 36

37 Teil 2: Die reale Die Einführung von Bevölkerungswachstum verändert weder die globalen Stabilitätseigenschaften noch die Implikation, dass alle Pro-Kopf-Größen im Steady State konstant sind. Allerdings verändern sich die Niveaus, es ist mehr Kapital notwendig um jeden neuen Arbeiter mit derselben Menge an Kapital auszustatten. Damit muss bei gegebener Ersparnis pro Kopf die Kapitalintensität im Steady State sinken, wenn das Bevölkerungswachstum steigt (siehe Abbildung) mit n2 > n1. Wintersemester 10/11 (B.Sc.) 37

38 Teil 2: Die reale Steady State Saemit Bevölkerungswachstum eö eugs acsu (y=y/) ( δ +n n ) k 2 A 2 A 1 ( (δ δ + n ) k k 1 sf ( k) 0 k 2 k1 (k=k/) Wintersemester 10/11 (B.Sc.) 38

39 Teil 2: Die reale 10. Was versteht man unter der goldenen Regel der Kapitalakkumulation. Gehen Sie hierbei auf dynamisch effiziente und ineffiziente Situationen ein. Ist diese Regel eine sinnvolle Politik? Die goldene Regel gibt diejenige Kapitalintensität an, bei der der Steady-State-Konsum pro Kopf maximal ist. Für den Pro-Kopf-Konsum gilt allgemein: c = y sy Im Steady State gilt ferner: Und damit: k & = 0 = sf () k δ k sf () k = δ k c= f() k δ k Wintersemester 10/11 (B.Sc.) 39

40 Teil 2: Die reale Offensichtlich ist der Steady-State-Konsum State dort maximal, wo gilt c = f'( k) δ = 0 kk Der Pro-Kopf-Konsum ist also gerade dann maximal, wenn die Kapitalintensität im Steady State gerade so hoch ist, dass die damit verbundene marginale Kapitalproduktivität der Abschreibungsrate entspricht. f '( k) = δ Wintersemester 10/11 (B.Sc.) 40

41 Teil 2: Die reale (y=y/) y Die goldene Regel: MPK=δ A } Konsum y=fk ( ) δ k } Investition 0 k k (k=k/) Wintersemester 10/11 (B.Sc.) 41

42 Teil 2: Die reale (y=y/) y=fk ( ) y y δ k s fk ( ) 0 k (k=k/) Wintersemester 10/11 (B.Sc.) 42

43 Teil 2: Die reale Diskussion dynamischer Effizienz: Zustände rechts von k ' : Reduktion der Sparquote erhöht den Pro-Kopf-Konsum im Steady State sofort Zustände sind dynamisch ineffizient Vgl. Pareto-Kriterium i Zustände links von k ' : Erhöhung des Steady State Konsums kann nur durch Erhöhung der Ersparnis erzielt werden vorübergehende Reduktion des Pro-Kopf-Konsums Zustände sind dynamisch effizient Politikrelevanz: Die goldene Regel sollte nicht überbewertet b werden, weil das Solow-Modell ll keine Präferenzen der Haushalte thematisiert. Die Goldene Regel muss im wohlfahrtstheoretischen Sinn nicht optimal sein (Ramsey-Modell) Wintersemester 10/11 (B.Sc.) 43

44 Teil 2: Die reale α 1 α 11. Gegeben sei die Produktionsfunktion vom Typ Cobb-Douglas: Y = A K. Gesucht sind die durch die golden rule implizierte langfristige Kapitalintensität, die dazugehörige Sparquote und die Konsumquote. Golden Rule: MPK = f '( k) = δ α 1 α Ak = δ α A k ' = δ 1 1 α Im Steady State gilt ferner: α k& = 0 = sak δ k sak α 1 = δ 1 α und damit folgt sofort: gold = gold. s δ k A 1 α 1 δ α A 1 α k gold = k ' sgold = = α A δ Wintersemester 10/11 (B.Sc.) 44

45 Teil 2: Die reale Da ferner: c = (1 s ), gold folgt: c = (1 α). gold Interpretation: Die goldene Regel schreibt vor, dass die Sparquote der Profitquote α und die Konsumquote der ohnquote 1 α entspricht. Eigenschaften der Cobb Douglas Produktionsfunktion: (i) Bei einer Cobb-Douglas Produktionsfunktion entsprechen die Exponenten und den Einkommensquoten unter der Voraussetzung, dass Grenzproduktivitätsentlohnung herrscht, so dass α = rk / Y und 1- α = w / Y. Grenzproduktivitätsentlohnung bedeutet, dass Y K Y = r, = w gold YK α =,1 α = KY und somit. α Y Y YK Y, (ii) KY Y sind Elastizitäten: α und 1 α entsprechen auch den partiellen Produktionselastizitäten in Bezug auf Variationen von und. K 1 α Wintersemester 10/11 (B.Sc.) 45

46 Teil 2: Die reale 12. a) Nennen Sie die Kaldor-Fakten. 1. Der Output pro Kopf und die Kapitalintensität steigen. 2. Das Verhältnis von Kapital zu Output (K/Y) ist (nahezu) konstant und folgt keinem Trend. 3. Die öhne/stunde steigen. 4. Die Profitrate gemessen als realer Kapitalmarktzins ist konstant und folgt keinem Trend. 5. Sowohl ohnquote (w/y) als auch Profitquote (rk/y) sind nahezu konstant und folgen keinem Trend. Wintersemester 10/11 (B.Sc.) 46

47 Teil 2: Die reale 12. b) i) Vergleichen Sie das Solow-Modell mit technischem Fortschritt und Bevölkerungswachstum mit seiner einfachen Version ohne. Produktionsfunktion bisher: Y = F K n = e nt (, ), wobei die Bevölkerung unter Umständen mit der Rate wächst. D.h. 0. Entwicklung der Kapitalintensität: k& = sy ( δ + nk ). Die Kapitalintensität ist im Steady State konstant ( k& = 0) und damit ist auch y konstant. Produktionsfunktion bei Berücksichtigung von technischem Fortschritt: nt xt Y = F( K, A), wobei jetzt gilt: = e und A = A e. 0 0 Entwicklung der Kapitalausstattung pro Kopf in Effizienzeinheiten, k = : K K k& = sy ( δ + n + xk ). Damit ist auch die Kapitalintensität in Effizienzeinheiten im steady state konstant. Da aber k = = ka A Wintersemester 10/11 (B.Sc.) 47 K A

48 Teil 2: Die reale Damit wächst die Kapitalausstattung pro Kopf im Steady State mit der Rate des technischen Fortschritts x, so dass auch der Output pro Kopf im Steady State mit der Rate x wachsen muss. Wintersemester 10/11 (B.Sc.) 48

49 Teil 2: Die reale 12. b) ii) Bewegungsgleichung der Kapitalausstattung pro Kopf in Effizienzeinheiten: K& + δ K = s Y = s F ( K, A ) K& K Y K + δ = s = s F ( A A A A, 1) K& A + δ k = sy K& A = sy δ k Wintersemester 10/11 (B.Sc.) 49

50 Teil 2: Die reale k K KA & K A & + A& KA & KA& KA& & ( ) = k = = A A A A A K& K & K A& K& k& = = kn kx. A A A A A K& weil gilt: = sy δ k, folgt unmittelbar: k& = sy δ k nk xk = sy ( δ + n + x) k. A 12. b) iii) Die Wachstumsrate der Kapitalintensität beträgt im Steady State x: K K Da für die Kapitalausstattung in Effizienzeinheiten gilt k=, folgt für die Kapitalaussatung pro Kopf: = ka. A K Damit gilt in Wachstumsraten für die Kapitalausstattung pro Kopf : Kˆ ˆ= kˆ + Aˆ. Im Steady State gilt: kˆ = 0, so dass: Kˆ ˆ= Aˆ= x. Wintersemester 10/11 (B.Sc.) 50

51 Teil 2: Die reale 12c) 1. Der Output pro Kopf und die Kapitalintensität steigen. i. Die Wachstumsrate der Kapitalintensität i beträgt im Steady State x (siehe 12. b)iii)) iii)). Im Steady State gilt: kˆ = 0, so dass: Kˆ ˆ= Aˆ= x. ii. Die Wachstumsrate des Outputs pro Kopf beträgt im Steady State x. k y k= sy ( δ + n+ xk ) = k= s ( δ + n+ x) k k da k konst. folgt y = k ferner gilt im Steady State k= 0 und impliziert k= 0 und y = 0. Y Y Da für den Output in Effizienzeinheiten gilt y=, folgt für den Output pro Kopf: = ya. A Y Damit gilt in Wachstumsraten für den Output pro Kopf : Y ˆ= y + Aˆ. Im Steady State gilt: kˆ = y = 0, so dass: Y ˆ = Aˆ = x. 2. Das Verhältnis von Kapital zu Output (K/Y) ist (nahezu) konstant und folgt keinem Trend. Im Steady State gilt: kˆ = 0, also y 0 = s ( δ + n+ x) k Y y y δ, n, x und s sind Parameter. Damit die Gleichung gilt, muss gelten: = konstant. Somit gilt auch: A Y konstant. k k = K = K = A Wintersemester 10/11 (B.Sc.) 51

52 Teil 2: Die reale 3. Die öhne/stunde steigen. Y Der ohnsatz w hängt positiv vom Output pro Kopf ab: Y w=(1-α) (Grenzproduktivitätsentlohnung, siehe Aufgabe 11). Der Output pro Kopf wächst im Steady State mit x (siehe 12c 1. ii) und somit auch der ohnsatz w. 4. Die Profitrate gemessen als realer Kapitalmarktzins ist konstant und folgt keinem Trend. Der reale Kapitalmarktzins r hängt positiv von der Kapitalproduktivität ab: Y r =α (Grenzpoduktivitätsentlohnung, siehe Aufgabe 11) K Y Die Kapitalproduktivität ist laut 2. Kaldor Fakt konstant, und somit auch der reale Kapitalmarktzins. K 5. Sowohl ohnquote (w/y) als auch Profitquote (rk/y) sind nahezu konstant und folgen keinem Trend. Y w = (1- α) = (1- α) (Grenzproduktivitätsentlohnung) Y Y K Y K r = α = α(grenzproduktivitätsentlohnung) Y KY Damit repliziert das Modellbei exogenem technischen Fortschritt sämtliche Kaldor Fakten. Wintersemester 10/11 (B.Sc.) 52

53 Teil 2: Die reale 12d) Erörtern Sie den ökonomischen Erklärungsgehalt der Modelle. Gehen Sie hierbei auch auf das Solow-Residuum ein (Growth-Accounting). Problem: Der technische Fortschritt bleibt ökonomisch unerklärt und fällt vom Himmel. Dies wäre dann kein Problem, wenn der technische Fortschritt keine wesentliche Erklärung für Wirtschaftswachstum in Pro-Kopf-Größen liefern könnte. Frage: Wie hoch ist der Beitrag von Kapital und Arbeit zum Wirtschaftswachstum? Klärung durch Growth Accounting: Y(t) = A(t) K(t) α (t) 1 α ogarithmieren und Ableiten nach der Zeit ergibt eine Zerlegung der Wachstumsrate des Outputs in seine Komponenten lny Y = lna A + αlnk l K + (1- α)ln Wintersemester 10/11 (B.Sc.) 53

54 Teil 2: Die reale Das Solow-Modell wäre eine sehr gute Beschreibung, wenn Yˆ αkˆ (1 α) ˆ= Aˆ 0. Einsetzten der Daten aus der VGR in die linke Seite, liefern ein (= Solow-Residuum ) für verschiedene Volkswirtschaften zwischen 0.34 und 0.64 Dieses liegt offensichtlich nicht nahe bei Null und somit werden zwischen 34% und 64% des Wirtschaftswachstums nicht durch Faktorakkumulation, sondern durch einen Anstieg der Totalen Faktorproduktivität determiniert. etzteres erklärt auch das Solow-Modell mit exogenem technischen Fortschritt nicht, weil dieser nicht aus dem Modell heraus erklärt wird. ÂA Die endogene Modellierung des technischen Fortschritts ist Gegenstand der Endogenen Wachstumstheorie (Humankapitalakkumulation und Forschung und Entwicklung). Wintersemester 10/11 (B.Sc.) 54