4.5. Fresnelsche Formeln

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1 4.5 Fresnelsche Formeln Fresnelsche Formeln Ziel Bestätigung der fresnelschen Formeln zur Reflexion und Transmission von elektromagnetischen Wellen an ebenen Grenzflächen. Betrachtet wird im Experiment ein Spezialfall, nämlich die Drehung der Schwingungsebene linear polarisierten Lichtes durch Reflexion an der Grenzfläche Luft/Glas. Hinweise zur Vorbereitung Die Antworten auf diese Fragen sollten Sie vor der Versuchdurchführung wissen. Sie sind die Grundlage für das Gespräch mit Ihrer Tutorin/Ihrem Tutor vor dem Versuch. Informationen zu diesen Themen erhalten Sie in der unten angegebenen Literatur. 1. Was ist der Brechungsindex und wie geht er ins Snelliussche Brechungsgesetz ein? Was ist Polarisation des Lichts? Welche verschiedenen Möglichkeiten der Polarisation gibt es? Worüber machen die fresnelschen Formeln (rein qualitativ) eine Aussage? Welche Voraussetzungen müssen erfüllt sein, damit die fresnelschen Formeln angewendet werden können? Wie verhalten sich die elektrische Feldstärke E und die magnetische Flussdichte B an Grenzflächen? Was ist der Brewster-Winkel? 2. Falls noch nicht bekannt, machen Sie sich vor dem Versuch mit dem Ablesen eines Nonius vertraut. Zubehör Optische Bank mit Drehtisch und Halbwinkelführung Glasprisma Quecksilberdampflampe drei Sammellinsen f = 65 mm, 200 mm, 300 mm Okular 10 (entspricht f = 25 mm) mit Fadenkreuz verstellbarer Spalt zwei Polarisationsfilter Interferenzfilter λ = 546 nm

2 Versuche zur Optik Grundlagen Reflexion und Brechung Trifft Licht auf eine Grenzfläche, so wird im Allgemeinen ein Teil reflektiert werden, wobei der Reflexionswinkel gleich dem Einfallswinkel ist. Ein anderer Teil durchdringt die Grenzfläche, man sagt, er wird transmittiert. Dabei gilt das Snelliussche Brechungsgesetz sin α sin β = n t n i (4.5.1) mit α = Einfallswinkel, β = Brechungswinkel, n i = Brechungsindex im Bereich des einfallenden Strahls, n t = Brechungsindex im Bereich des transmittierten Strahls. Es ist sicherlich eine wichtige Frage, zu welchen Teilen jeweils reflektiert und transmittiert wird und von welchen Parametern das abhängt. Polarisation Licht ist eine elektromagnetische Welle. Die Vektoren der elektrischen Feldstärke E und der magnetischen Flussdichte B stehen dabei an jeder Stelle senkrecht auf dem Wellenvektor k. Es handelt sich also um eine transversale Welle, so dass zusätzliche Information über die Stellung der Vektoren zueinander nötig ist, um die Welle vollständig zu beschreiben. Ein wichtiger Spezialfall liegt vor, wenn die elektrische Feldstärke E zeitlich und räumlich stets in einer festen Ebene liegt. Man nennt eine solche Welle linear polarisiert und bezeichnet die Ebene, in der alle E-Vektoren liegen, als Schwingungsebene. 1 Trifft Licht auf eine Grenzfläche, so stellt sich die Frage, ob die Schwingungsebene des Lichtes 1 Die Entdeckung, dass Licht eine transversale Welle ist und unterschiedliche Polarisationszustände annehmen kann, ist älter als die Erklärung des Lichtes durch elektromagnetische Wellen. Historisch wurde deshalb eine Polarisationsebene festgelegt, bevor klar war, um was es sich dabei genau handeln würde. Nachträglich stellte sich heraus, dass man die Ebene des magnetischen Feldes der Welle gewählt hatte. Insbesondere in älteren Büchern findet man daher den Begriff der Polarisationsebene linear polarisierten Lichtes für die Ebene der magnetischen Feldvektoren. Es ist nun aber so, dass die Wechselwirkung des Lichtes mit Materie mehr vom elektrischen als vom magnetischen Feld der Welle bestimmt wird. Daher wird häufiger auf die Ebene der elektrischen Feldvektoren Bezug genommen. Siewirddannmeistals Schwingungsebene bezeichnet. Man spricht andererseits auch davon, dass Licht parallel polarisiert sei, wenn die Schwingungsebene parallel zur Einfallsebene ist (auch wenn die historische Polarisationsebene dann gerade senkrecht auf der Einfallsebene steht... ). In der neueren Literatur vermischen sich die Begriffe ohnehin etwas. Manchmal wird dabei der Begriff Polarisationsebene auch für die Ebene der elektrischen Feldvektoren verwendet. Gewisse Verwirrungen sind quasi unvermeidlich. Es ist daher ratsam, sich stets zu vergewissern, welche Nomenklatur in einem Text verwendet wird. In diesem Skript wird der Begriff Polarisationsebene aus den genannten Gründen bewusst vermieden.

3 4.5 Fresnelsche Formeln 333 für den Reflexions- und Transmissionsvorgang eine Rolle spielt. Dies ist tatsächlich der Fall, wie in diesem Versuch experimentell untersucht werden soll. Man bezeichnet die zur Beschreibung dieser Vorgänge verwendeten Gleichungen als fresnelsche Formeln. Die Voraussetzungen Bei unserer Herleitung der fresnelschen Formeln setzen wir voraus, dass die Grenzfläche eben ist, die betrachteten Medien linear, isotrop und homogen sind, und die betrachteten Medien rein dielektrisch sind, also weder magnetische Eigenschaften haben, noch die elektromagnetische Welle dämpfen. Es scheint zunächst, dass das sehr viele Voraussetzungen sind, aber sie sind in vielen wichtigen Fällen tatsächlich erfüllt. Die letzte Bedingung kann übrigens aufgehoben werden, wenn man die Betrachtung etwas verallgemeinert, was den Rahmen des Praktikumsversuchs aber sprengen würde. Herleitung der fresnelschen Formeln Die hier vorgestellte Herleitung der fresnelschen Formeln beruht im Wesentlichen auf dem Energieerhaltungssatz für die ein- und ausfallenden Wellen und der Stetigkeit der Tangentialkomponente des elektrischen Feldes an der Grenzfläche. Abbildung : Skizze zur Berechnung der Bündelquerschnitte. Zur eindeutigen Kennzeichnung der Wellen werden die Indices i ( engl. incident =einfallend), r ( engl. reflected = reflektiert, zurückgeworfen) und t ( engl. transmitted = transmittiert, durchgelassen) verwendet. Die Vorgänge der Reflexion und Brechung spielen sich in einer dünnen Schicht um die Grenzfläche zweier Medien ab, so dass wir im Folgenden nur diese Schicht untersuchen

4 Versuche zur Optik müssen. Betrachten wir Abbildung 4.5.1, so stellen wir fest, dass die Bündelquerschnitte der ein- und ausfallenden Wellen gegeben sind durch A i = A G cos α, (4.5.2) A r = A G cos α, (4.5.3) A t = A G cos β (4.5.4) mit A G = beleuchtete Fläche auf der Grenzfläche, α = Einfalls- und Reflexionswinkel, β = Brechungswinkel, sin α sin β = n t n i (Snelliussches Brechungsgesetz). (4.5.5) Die räumliche Energiedichte eines elektrischen Feldes ist gegeben durch ε E 2 (4.5.6) mit ε = Permittivität, E = Betrag der elektrischen Feldstärke. Der Energieerhaltungssatz besagt, dass alle von der einfallenden Welle an die Grenzfläche heran transportierte Energie durch die reflektierte und die transmittierte Welle gemeinsam wieder abtransportiert werden muss, da ja keine Dämpfung stattfinden soll: P i = P r + P t. (4.5.7) Die Strahlungsdichte 2 S i und Leistung P i der einfallenden Welle sind gegeben durch S i = c 0 ε i E 2 ε0 ε ri i = Ei 2 (4.5.8) n i μ 0 μ ri ε0 ε ri P i = S i A i = Ei 2 A G cos α (4.5.9) μ 0 μ ri mit c 0 = Lichtgeschwindigkeit im Vakuum, n i = Brechungsindex auf der Einfallsseite, ε i = Permittivität auf der Einfallsseite, ε 0 = elektrische Feldkonstante, ε ri = relative Permittivität auf der Einfallsseite, μ 0 = magnetische Feldkonstante, μ ri = Permeabilitätszahl auf der Einfallsseite, E i = Betrag der elektrischen Feldstärke auf der Einfallsseite. 2 S i entspricht dem Betrag des häufig verwendeten Poyntingvektors S = E H (manchmal auch mit dem Symbol Π bezeichnet), dessen Pfeilspitze in die Richtung des Energietransports zeigt.

5 4.5 Fresnelsche Formeln 335 Analog ergeben sich die anderen Leistungen, so dass man schließlich schreiben kann ε0 ε ri E 2 ε0 ε ri i A G cos α = E 2 ε0 ε rt r A G cos α + Et 2 A G cos β (4.5.10). μ 0 μ ri μ 0 μ ri μ 0 μ rt Unter den oben angeführten Voraussetzungen vereinfacht sich diese Gleichung wesentlich, denn es gilt z. B. μ ri = μ rt = 1. Man erhält so Ei 2 cos α = Er 2 εrt cos α + Et 2 cos β (4.5.11) ε ri E 2 i E 2 r = εrt ε ri }{{} n rel Et 2 cos β (4.5.12) } cos {{ α} f α Dabei wurden die neuen Abkürzungen n rel für den relativen Brechungsindex und f α für das Verhältnis der Bündelquerschnitte eingeführt. Die elektrischen Feldvektoren kann man jeweils in eine Komponente E senkrecht zur Einfallsebene und eine Komponente E parallel bzw. tangential zur Einfallsebene zerlegen 3. Gleichung (4.5.12) muss für jede dieser Komponenten separat gelten. Abbildung veranschaulicht die Richtungen der elektrischen und magnetischen Feldvektoren für die beiden Komponenten. Betrachten wir zunächst die Komponente E, die zugleich Tangentialkomponente bezüglich der Grenzfläche ist und als solche an der Grenzfläche stetig sein muss. Es folgt E i + E r = E t. (4.5.13) Teilt man Gleichung (4.5.12) durch Gleichung (4.5.13), so erhält man E i E r = n rel E t f α. (4.5.14) Aus den letzten beiden Gleichungen lässt sich wahlweise E t oder E r eliminieren. Die Endergebnisse für die Amplitudenkoeffizienten 4 der Reflexion ϱ und der Transmission τ lauten dann 3 Die folgenden Bezeichnungen sind für linear polarisierte Wellen in der Literatur gebräuchlich: E liegt senkrecht zur Einfallsebene:, s- oder σ-polarisiert (von senkrecht auch in der englischen Literatur üblich!), TE-Welle (von transversal elektrisch bzw. engl. transverse electric). E liegt in der Einfallsebene:, p- oder π-polarisiert (von parallel bzw. engl. parallel ), TM-Welle (von transversal magnetisch bzw. engl. transverse magnetic). 4 Mit den Begriffen Reflexions- bzw. Transmissionskoeffizient werden in der Literatur manchmal die auch hier verwendeten Amplitudenverhältnisse bezeichnet, manchmal allerdings auch die quadrierten Ausdrücke ϱ 2 und τ 2. Letztere heißen bei anderen Autoren wiederum Reflexions- bzw. Transmissionsgrad. Die Verwendung des Wortes Amplitude in der Bezeichnung hilft daher, Missverständnisse zu vermeiden.

6 Versuche zur Optik Abbildung : Richtungen der elektrischen und magnetischen Feldvektoren [Hec94]: links: Schwingungsebene senkrecht zur Einfallsebene (s-polarisiert), rechts: Schwingungsebene parallel zur Einfallsebene (p-polarisiert). (Die in der Skizze eingezeichneten Winkel θ i =θ r und θ t entsprechen dem Einfallswinkel α und Brechungswinkel β im Text.) ϱ = E r = n rel f α 1 E i n rel f α +1 = n t cos β n i cos α β) = sin(α (4.5.15) n t cos β + n i cos α sin(α + β) ( ) 2 n 2 rel sin2 α cos α = n 2 rel 1, (4.5.16) τ = E t E i = 2 1+n rel f α = 2 n i cos α n t cos β + n i cos α = 2cosα sin β sin(α + β) (4.5.17) = 2cosα n 2 rel sin2 α 2cos 2 α n 2 rel 1. (4.5.18) Von den unterschiedlichen Formulierungen ist je nach Anwendungszweck mal die eine, mal die andere bequemer. Auf ganz ähnliche Weise kann man auch die entsprechenden Verhältnisse für die Komponente parallel zur Einfallsebene berechnen und erhält

7 4.5 Fresnelsche Formeln 337 ϱ = E r = n rel f α = n t cos α n i cos β E i n rel + f α n t cos α + n i cos β = tan(α β) tan(α + β) (4.5.19) = n2 rel cos α n 2 rel sin2 α n 2 rel cos α + n 2 rel sin2 α, (4.5.20) τ = E t 2 2 n i cos α = = E i n rel + f α n t cos α + n i cos β = 2cosα sin β sin(α + β) cos(α β) (4.5.21) 2 n rel cos α = n 2 rel cos α + n 2 rel sin2 α. (4.5.22) Die Gleichungen (4.5.15) (4.5.22) werden meist als fresnelsche Formeln bezeichnet 5. Die Ergebnisse sind in Abbildung graphisch dargestellt. Abbildung : Graphische Darstellung der vier Amplitudenkoeffizienten für Reflexion und Transmission an einer dielektrischen Grenzfläche als Funktion des Einfallswinkels α. Polarisationsdrehung durch Reflexion Im Praktikumsversuch soll nun aber nicht der Anteil an reflektierter oder transmittierter Intensität einer wie auch immer polarisierten Welle gemessen werden, sondern die Drehung 5 Leider ist die Fachliteratur in diesem Punkt nicht vereinheitlicht, so dass man fast jede Vorzeichenvariation finden kann. Wichtig ist also in jedem Fall eine eindeutige Skizze oder eine entsprechende Erklärung im Text, wie die Richtungen von E i, E r und E t bzw. die Vorzeichen ihrer Beträge verstanden werden sollen.

8 Versuche zur Optik der Polarisationsebene linear polarisierten Lichtes bei der Reflexion an der Grenzfläche Luft/Glas. Wie kommt diese Drehung zustande? Ist das einfallende Licht linear polarisiert und steht seine Schwingungsebene unter einem bestimmten Winkel ϕ i gegen die Einfallsebene, so lässt sich die einfallende elektrische Feldstärke E i in die Komponenten parallel und senkrecht zur Einfallsebene zerlegen: E i = ( ) E i,e i, (4.5.23) E i = E i cos ϕ i, (4.5.24) E i = E i sin ϕ i. (4.5.25) Die Reflexion erfolgt entsprechend der fresnelschen Formeln (4.5.16) und (4.5.20), danach kann man sich die reflektierte Welle wieder aus den zwei Komponenten zusammengesetzt denken: E r = ( ) E r,e r, (4.5.26) E r = ϱ E i cos ϕ i, (4.5.27) E r = ϱ E i sin ϕ i. (4.5.28) Da aber die beiden Komponenten im Allgemeinen unterschiedlich stark reflektiert werden, zeigt der resultierende Vektor E r meist nicht mehr in die gleiche Richtung wie der Vektor E i der einfallenden Welle. Misst man die Winkel ϕ i und ϕ r beide mit Blick entgegen der Strahlrichtung 6 (vgl. Abbildung 4.5.5), so gilt tan ϕ r = E r E r (4.5.29) = K tan ϕ i (4.5.30) mit K = ϱ ϱ (4.5.31) = n rel f α 1 n rel f α +1 nrel + f α n rel f α. (4.5.32) Man muss außerdem beachten, dass die Tangensfunktion eine Periodizität von 180 hat, es gilt also z. B. tan(+100 )=tan( 80 ). Physikalisch gibt es aber durchaus einen Unterschied zwischen diesen beiden Fällen. Sie beschreiben Wellen, deren Phasen gegeneinander um 180 bzw. π verschoben sind. Eine solche Verschiebung entspricht gerade dem Phasensprung, der unter bestimmten Bedingungen bei der Reflexion auftritt (negatives Vorzeichen von ϱ bzw. ϱ ). Einfallende und reflektierte Welle sind also entweder in Phase, oder haben einen scheinbaren Gangunterschied von einer halben Wellenlänge. Berücksichtigt man diese Tatsache, so kommt man zu der Darstellung in Abbildung In der Literatur wird ϕ r meist tatsächlich mit Blick entgegen der Strahlrichtung, ϕ i allerdings manchmal mit Blick in die Strahlrichtung gemessen. Einen tieferen Grund hierfür scheint es nicht zu geben. Die einzige Änderung der Formeln besteht in einem zusätzlichen Minuszeichen. Dadurch entsteht dann allerdings der falsche Eindruck, dass bei der Reflexion unter senkrechtem Einfall die Schwingungsebene überhaupt nicht verändert würde. In Wirklichkeit kommt durch den Phasensprung zwischen E i und E r (negatives Vorzeichen von ϱ ) durchaus eine Drehung der Schwingungsebene zu Stande.

9 4.5 Fresnelsche Formeln 339 Abbildung : Skizze des Aufbaus zur Polarisationsdrehung durch Reflexion. Abbildung : Skizze zur Definition der Winkel ϕ i und ϕ r bei der Polarisationsdrehung durch Reflexion. Die Einfallsebene ist in dieser Abbildung vertikal dargestellt, liegt beim im Praktikum verwendeten Aufbau allerdings horizontal. Die Polarisationsdrehung ϕ r ϕ i kann experimentell relativ einfach gemessen werden und zeigt volle Übereinstimmung mit der Theorie. Polarisationsfilter Es gibt eine ganze Reihe von Methoden zur Herstellung linear polarisierten Lichtes. In diesem Experiment werden Polarisationsfilterfolien aus Kunststoff verwendet. Die Funktionsweise kann in der Literatur (z. B. [GGG78] S. 515) nachgelesen werden (siehe Aufgabenteil).

10 Versuche zur Optik Abbildung : Abhängigkeit der Schwingungsebene der reflektierten Strahlung vom Einfallswinkel α für verschiedene Schwingungsebenen der einfallenden linear polarisierten Strahlung. Versuchsdurchführung Der Aufbau ist in Abbildung skizziert. 1. Leuchten Sie den Beleuchtungsspalt mit Hilfe der Kondensorlinse (f = 65mm) möglichst gut aus. 2. Machen Sie den Strahlengang mit Hilfe einer Sammellinse (f = 200 mm) parallel, indem Sie diese im Abstand ihrer eigenen Brennweite vom Spalt aufstellen. Überprüfen Sie die Parallelität mit dem Verfahren der Autokollimation Belassen Sie das Interferenzfilter während des ganzen Versuches im Strahlengang. Es ist nötig zur Auswahl eines kleinen Wellenlängenbereichs, da der Brechungsindex des Prismas und somit nach den fresnelschen Formeln auch die Reflexion und Transmission wellenlängenabhängig sind. Gleichzeitig reduziert es die auf das Auge 7 Bei der Autokollimation wird in einem beliebigen Abstand hinter der Sammellinse ein ebener Spiegel aufgestellt, der das Licht durch die Linse auf den Spalt zurückwirft. Als Spiegel eignet sich z. B. gut die verspiegelte Seite eines Interferenzfilters. Die Linse wird nun so lange verschoben, bis das Bild des Spaltes wieder genau auf den Spalt fällt (bzw. bei leicht gegen die Strahlrichtung verdrehter Spiegelfläche ein kleines Stück daneben auf die Spaltbegrenzung, was leichter zu kontrollieren ist). Dann ist der Strahl zwischen Linse und Spiegel parallel, denn eine Linse wandelt ja Licht, das von einem beliebigen Punkt der Brennebene kommt in einen Parallelstrahl um bzw. bündelt umgekehrt einen Parallelstrahl in einem Punkt der Brennebene.

11 4.5 Fresnelsche Formeln 341 fallende Lichtintensität auf ein vernünftiges Maß, sofern der Beleuchtungsspalt nicht zu weit geöffnet ist Entfernen Sie das Prisma vom Drehtisch, stellen die optische Bank gerade und positionieren Sie die dritte Sammellinse (f = 300 mm) so auf dem beweglichen Arm, dass Sie den Beleuchtungsspalt durch das Okular scharf erkennen können. 5. Stellen Sie das Prisma so auf den Prismentisch, dass der parallele Strahl an einer der drei Basisflächen reflektiert wird und so ins Okular gelangt. 6. Überprüfen Sie die Halbwinkelführung und die Position des Prismas. Bewegen Sie dazu den Schwenkarm über den ganzen Schwenkbereich und kontrollieren Sie, ob das Bild des Spaltes in allen Stellungen durch das Okular sichtbar ist. Justieren Sie gegebenenfalls so nach, dass das Prisma stets um den halben Winkel gedreht wird, um den Sie den Schwenkarm bewegen, und dass außerdem die reflektierende Fläche stets vom einfallenden Strahl getroffen wird. Achten Sie dabei auf den toten Gang der Halbwinkelführung Stellen Sie je ein Polarisationsfilter vor und hinter das Prisma in den Bereich des parallelen Strahlengangs. 10,11 8. Stellen Sie die Schwingungsebene des auf das Prisma auftreffenden Lichtes mit Hilfe des ersten Polarisationsfilters auf einen Wert von 45 zur Einfallsebene ein. Hinweis: Die Einfallsebene liegt beim verwendeten Aufbau horizontal! 9. Messen Sie die Drehung der Schwingungsebene des reflektierten Lichtes für den Einfallswinkelbereich 90 α 45 in Schritten von Bestimmen Sie auf folgende Weise den Brewster-Winkel: Stellen Sie den Polarisator so, dass die Schwingungsebene parallel zur Einfallsebene liegt. Entfernen Sie den Analysator aus dem Strahlengang Es ist auch möglich, das Einbringen der beiden Polarisationsfilter in den Strahlengang schon an dieser Stelle vorzunehmen, auch wenn es eigentlich erst später nötig ist. Dadurch bekommt man eine sehr bequeme Möglichkeit, durch gegenseitiges Verdrehen der Filter die durchgelassene Intensität variabel abzuschwächen. 9 Als toten Gang bezeichnet man hier den Bereich bei Änderung der Schwenkrichtung, in dem das Prisma noch stehen bleibt, obwohl der Schwenkarm sich schon bewegt. Um diese Fehlerquelle auszuschalten, empfiehlt es sich, alle Winkeleinstellungen immer aus der selben Richtung kommend durchzuführen (also z. B. immer von großen zu kleinen Winkeln schwenken). 10 Die Wirkung der verwendeten Polarisationsfilter ist bei divergentem Licht etwas schlechter als bei parallelem Licht, daher sollten beide Filter im Bereich zwischen den Sammellinsen mit f = 200 mm und f = 300 mm aufgestellt werden. 11 Das erste Filter wird in solchen Anordungen üblicherweise als Polarisator, das zweite als Analysator bezeichnet. Sie sind aber natürlich austauschbar. 12 Der Schwenkarm bewegt sich dabei in 5 -Schritten von 0 bis Der Analysator ist für die folgende Messung nicht notwendig er stört aber auch nicht, sofern er genauso eingestellt ist wie der Polarisator.

12 Versuche zur Optik Auswertung Bestimmen Sie unter diesen Voraussetzungen den Winkel, unter dem die Intensität der reflektierten Strahlung minimal wird Zeichnen Sie ein Diagramm für die Drehung der Schwingungsebene des Lichtes als Funktion des Einfallswinkels für einen Winkel von 45 zwischen Schwingungsebene und Einfallsebene anhand der Werte, die Sie in Punkt 9 der Versuchsdurchführung erhalten haben. 2. Berechnen Sie aus Ihrer Messung des Brewster-Winkels (Punkt 10 der Versuchsdurchführung) den Brechungsindex des Prismenglases. 3. Berechnen Sie mit Hilfe des in Punkt 2 der Auswertung erhaltenen Brechungsindex für mindestens fünf Werte des Einfallswinkels die nach Gleichung (4.5.30) erwartete Drehung der Polarisationsebene und zeichnen Sie sie zusätzlich in das Diagramm aus Punkt 1 der Auswertung ein. Bestimmen Sie aus der Unsicherheit des Brechungsindex auch jeweils die Unsicherheit der Polarisationsdrehung und zeichnen Sie diese ebenfalls ins Diagramm mit ein. Nutzen Sie ein geeignetes Computerprogramm zur Berechnung der kombinierten Messunsicherheit. Gut geeignet ist z. B. das Programm GUM Workbench Edu, aber auch Mathematica, Maple oder Matlab können eingesetzt werden. 15 Fragen und Aufgaben 1. Wie sieht die Strahlungscharakteristik eines hertzschen Dipols aus? Zeigen Sie unter Verwendung dieser Strahlungscharakteristik, dass die reflektierte Intensität gleich null wird, wenn Licht unter dem Brewster-Winkel auf eine Glasfläche auftrifft und gleichzeitig seine Schwingungsebene parallel zur Einfallsebene ist. Skizzieren Sie! 2. Erklären Sie die Funktionsweise der mechanischen Halbwinkelführung. 3. Wie funktioniert eine Polarisationsfilterfolie? 14 Eigentlich sollte die Intensität bei Reflexion unter dem Brewster-Winkel völlig verschwinden, aber das ist experimentell nicht so einfach zu erreichen. Ein Problem dabei ist, dass das Auge ein sehr empfindliches Nachweisinstrument darstellt, so dass einem auch geringe Lichtintensitäten noch als hell erscheinen. Man führt die Messung am besten so durch, dass man den Schwenkarm relativ zügig mehrmals hin- und herbewegt. Dabei bekommt man ein gutes Gefühl dafür, wo das Minimum liegt, denn Helligkeitsänderungen können vom Auge wesentlich besser erfasst werden als absolute Helligkeiten. 15 Prinzipiell könnten Sie die Formel für den Drehwinkel zur Berechnung der kombinierten Unsicherheit auch von Hand partiell ableiten, aber die Ableitung mit Software-Unterstützung ist wesentlich einfacher zu handhaben und soll daher hier bevorzugt eingesetzt werden.

13 4.5 Fresnelsche Formeln Ein Lichtstrahl verlaufe in Luft und treffe dann senkrecht auf eine ebene Glasfläche mit der Brechzahl n =1.5. Welcher Intensitätsanteil des Lichtes wird reflektiert? Leiten Sie den entsprechenden Spezialfall aus den fresnelschen Formeln (4.5.16) und (4.5.20) ab. Spielt die Polarisation eine Rolle? 5. Zur Aussiebung eines schmalen Wellenlängenbereiches aus einem breiten Spektrum kann ein sog. Christiansen-Filter verwendet werden (siehe z. B. [GGG78]). Dieses besteht aus vielen Körnern eines im gewünschten Spektralbereich möglichst nicht absorbierenden Stoffes, die zwischen zwei planparallelen Platten in eine Flüssigkeit eingebettet sind. Die Flüssigkeit muss für die gewünschte Wellenlänge den gleichen Brechungsindex wie die Körner haben, für kleinere oder größere Wellenlängen aber einen anderen Brechungsindex. Beschreiben Sie unter Verwendung des Ergebnisses aus Aufgabe 4 die Funktionsweise eines solchen Filters. Ergänzende Informationen Abblendspiegel im Auto Der innere Rückspiegel im Auto besteht aus einer keilförmigen Glasplatte, die auf der Rückseite metallisch verspiegelt ist. Ein kleiner Teil des Lichtes wird gemäß den fresnelschen Formeln an der Grenzfläche zwischen Luft und Glas reflektiert, ein wesentlich größerer Teil an der metallischen Rückseite. Durch die Keilform gehen die Reflexe in leicht unterschiedliche Richtungen. Normalerweise stellt man den Spiegel so ein, dass man das starke Spiegelbild sieht. Ist dies aber z. B. bei einer Nachtfahrt unangenehm, weil von hinten andere Scheinwerfer blenden, dann kann man den Spiegel so kippen, dass das schwächere Spiegelbild ins Auto gelangt und man nicht mehr geblendet wird. Wer genau hinschaut stellt fest, dass es noch einen weiteren schwachen Reflex gibt. Die schwachen Reflexe liegen zu beiden Seiten des starken Reflexes. Der zusätzliche Reflex entsteht, wenn das Licht die vordere Glasfläche durchläuft und dann dreimal hintereinander reflektiert wird, nämlich zunächst an der Metallschicht, dann an der vorderen Grenzfläche zur Luft und schließlich noch einmal an der Metallschicht. Totalreflexion Während sich die Intensität der einfallenden Welle an der Grenzfläche zum dichteren Medium stets auf gebrochenen und reflektierten Strahl aufteilt, gibt es an der Grenzfläche zum dünneren Medium auch den Fall, dass die Welle vollständig reflektiert wird. Man bezeichnet das als Totalreflexion. Sie tritt auf, wenn der Einfallswinkel α so groß wird, dass das Snelliussche Brechungsgesetz sin α = nt sin β n i für keinen reellwertigen Winkel β mehr erfüllt ist. Bei den fresnelschen Formeln sieht man das daran, dass die Reflexions- und Transmissionsverhältnisse ϱ, τ, ϱ und τ komplexe Werte annehmen, weil der Ausdruck n 2 rel sin 2 α in den Gleichungen (4.5.16), (4.5.18), (4.5.20) und (4.5.22) imaginär wird. Dies kann offensichtlich nur passieren, wenn n rel = nt n i < 1 ist, also bei der Reflexion am dünneren Medium. Der Grenzwinkel α grenz ist dann gegeben durch sin α grenz = n rel.

14 Versuche zur Optik Literaturhinweise Eine gut nachvollziehbare Herleitung der fresnelschen Formeln findet sich in [GGG78]. Darin wird auch auf die im Praktikum verwendete spezielle Messmethode über die Polarisationsdrehung eingegangen. Etwas kompakter (aber dafür vielleicht auch weniger anschaulich) sind die Darstellungen in [Hec94] und [LLT97], sowie in [Gue90] (englischer Text). Literaturverzeichnis [GGG78] Gobrecht, Heinrich, Jens H. Gobrecht und Klaus H. Gobrecht (Herausgeber): Bergmann-Schaefer Lehrbuch der Experimentalphysik, Band III: Optik. Walter de Gruyter, Berlin, 7. Auflage, [Gue90] [Hec94] [LLT97] Guenther, Robert D.: Modern Optics. John Wiley & Sons, Inc., New York Chichester Brisbane Toronto Singapore, 1. edition, Hecht, Eugene: Optik. Addison-Wesley (Deutschland) GmbH, 2. Auflage, 1989, korrigierter Nachdruck. Lipson, Stephen G., Henry S. Lipson und David S. Tannhauser: Optik. Springer-Verlag, Berlin, 1. Auflage, deutsche Übersetzung der 3. Auflage von Optical Physics.