Moderne Theoretische Physik III (Theorie F Statistische Mechanik) SS 17

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1 Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theorie der Kondensierten Materie Moderne Theoretische Physik III Theorie F Statistische Mechanik) SS 17 Prof. Dr. Alexander Mirlin Blatt 14 PD Dr. Igor Gornyi, Janina Klier Besprechung: Master-Gleichung: 1+8=18 Punkte) Ein Kasten A vom olumen sei mit einem viel größeren Kasten B durch ein kleines Loch verbunden. Teilchen können das Loch nur einzeln passieren. Die Wahrscheinlichkeit, dass in der Zeit t ein Gasteilchen von A nach B geht, sei proportional zu N t/ N: Zahl der Teilchen in A), und die Wahrscheinlichkeit von B nach A zu gehen sei proportional zu gleiche Proportionalitätskonstante) ρ t ρ: konstante Teilchendichte in B). a) Sei P N, t) die Wahrscheinlichkeit zur Zeit t gerade N Teilchen in A zu finden. Schreiben Sie die Gleichung für P N, t) Master-Gleichung) auf und lösen Sie sie für den stationären Fall. In einem infinitesimalen Zeitschritt kann nur ein Teilchen diffundieren. Für die Übergangsrate von N auf M Teilchen im olumen Kasten A) erhält man daher Proportionalitätskonstante α). Die Mastergleichung ist P N, t) = W N, M) = α N δ N,M+1 + α ρ δ N,M 1 M W M, N)P M, t) Gewinnterm = α N + 1 P N + 1, t) + αρp N 1, t) α Hierfür definieren wir sinnvollerweise P N = 1, t) =. Stationärer Fall: P N, t) = = N + 1 P N + 1, t) + ρp N 1, t) W N, M)P N, t) erlustterm ) N + ρ P N, t). 1) ) N + ρ P N, t) = N + 1)P N + 1, t) ρ P N, t) = NP N, t) ρ P N 1, t). Wir setzen auf der rechten Seite N = ein, dann folgt induktiv: NP N, t) ρ P N 1) =, N N. Damit ist die Lösung eine Poisson-erteilung: P N) ρ )N N!. )

2 b) Bestimmen Sie Nt), indem Sie das erste Moment der Master-Gleichung bilden und die entstehende Differentialgleichung für Nt = ) = N lösen. Wir multiplizieren die Master-Gleichung 1) mit N und führen die Summation durch: N = = α = α N= P N, t) N N {N + 1)P N + 1, t) NP N, t) + ρ P N 1, t) P N, t)} N= { N 1)NP N) N P N) + ρ N + 1) N P N, t) } N= = α N + αρ. Diese Gleichung lässt sich mit dem Ansatz Nt) = ct)e λt ariation der Konstanten) lösen: Nt) = ρ + N) ρ exp αt ). 3). Master-Gleichung für Besetzungsinversion: 1 Punkte + 1 Bonuspunkte) Betrachten Sie ein Dreizustandsatom mit Energien E 1 < E < E 3. Die Wahrscheinlichkeiten das Atom in diesen Zuständen zu finden werden als p i t) i = 1,, 3) bezeichnet. Nehmen Sie an, dass ein klassisches elektromagnetisches Feld Übergänge zwischen den Zuständen E 1 and E 3 mit einer Rate Γ antreibt. Desweiteren kann das Niveau E 3 spontan in Zustand E mit einer Rate von γ 3 zerfallen, während Zustand E mit einer Rate von γ 1 nach E 1 zerfallen kann. Bemerkung: Ziel dieser Aufgabe ist es, die Physik des einfachsten Systems zu untersuchen, welches als Laser benutzt werden kann. a) Geben Sie die Master-Gleichung für {p i } an. Finden Sie die Gleichgewichtslösungen p i t = ) der Master-Gleichung. Zeigen Sie, dass das Gleichgewicht bei γ 1 < Γγ 3 /Γ+γ 3 ) durch eine Besetzungsinversion der atomaren Niveaus charakterisiert wird: p ) > p 1 ). Untersuchen Sie die Gleichgewichtslösungen im Grenzfall γ 1 γ 3 Γ. Wir beginnen mit der allgemeinen Master-Gleichung ṗ i = k γ ki p k γ ik p i. 4) Wir betrachten alle in der Aufgabe beschriebenen Übergänge und finden folgende Master-Gleichung ṗ 1 = γ 1 p + Γp 3 Γp 1 5) ṗ = γ 3 p 3 γ 1 p 6) ṗ 3 = Γp 1 Γp 3 γ 3 p 3. 7)

3 Nun suchen wir die Gleichgewichtslösungen der Master-Gleichung. Dazu müssen p 1, p und p 3 die rechte Seite der Gleichung annullieren und die Normierungsbedingung p 1 + p + p 3 = 1 erfüllen. Wir finden γ 1 γ 3 + Γ) p 1 ) = γ 1 γ 3 + Γ) + γ 3 Γ, 8) γ 3 Γ p ) = γ 1 γ 3 + Γ) + γ 3 Γ, 9) γ 1 Γ p 3 ) = γ 1 γ 3 + Γ) + γ 3 Γ. 1) Die Differenz p ) p 1 ) lautet insbesondere p ) p 1 ) = γ 3Γ γ 1 γ 3 + Γ) γ 3 Γ + γ 1 γ 3 + Γ) 11) Für γ 1 < γ 3 Γ/γ 3 + Γ) ist p ) p 1 ) >. Das System erreicht also Besetzungsinversion in diesem Regime. Unsere Ergebnisse sind insbondere transparent im Limes von sehr starkem Antrieb und vernachlässigbarer Relaxation E E 1. Wir erhalten p 3 ) = p 1 ) = p ) = 1. 1) b) Betrachten Sie nun N unabhängige Drei-Niveau-Systeme in einem Hohlraum elektromagnetischer Resonator), der eine resonante elektromagnetische Mode mit Frequenz ω = E E 1 aufweist. Die Photonen im Hohlraum können von den Atomen absorbiert werden einhergehend mit Übergang E 1 E ) und auch einen stimulierten Übergang E E 1 hervorrufen. Die Übergangsraten für diese Übergänge sind identisch und proportional zur Anzahl der Photonen im Hohlraum, γ 1 = gn. Zur ereinfachung vernachlässigen wir von nun an spontane Übergänge E E 1. Die Master-Gleichung wird dann durch ṗ 1 = gnp + Γp 3 gnp 1 Γp 1 13) ṗ = gnp 1 + γ 3 p 3 gnp 14) ṗ 3 = Γp 1 Γp 3 γ 3 p 3 15) ausgedrückt. Diese Master-Gleichung sollte durch die Gleichung für die Anzahl der Photonen im Hohlraum ergänzt werden. Da alle Übergänge E E 1 n um 1 erhöhen und Übergänge E 1 E n um 1 verringern, erhalten wir ṅ = gnnp p 1 ) κn. 16) Der letzte Term in Gleichung 16) beschriebt einen Abfluss von Photonen aus dem Hohlraum in die Außenwelt. Die Lösungen der Gleichugnen 13), 14), 15) und 16) werden sich dem Gleichgewichtszustand, der durch p i ) und n ) charakterisiert ist, annähern. Drücken Sie p i ) durch n ) und Übergangsraten aus. Finden Sie n ) und p i ) im Limes Γ.

4 Für den Gleichgewichtszustand ist die rechte Seite der Master-Gleichung jeweils null. Mit Gln. 13), 14), 15) und der Normierungsbedingung für die Wahrscheinlichkeiten finden wir p 1 ) = Im Grenzfall Γ erhalten wir gn )γ 3 + Γ) γ 3 Γ + gn )γ 3 + 3Γ), 17) p ) = γ 3Γ + gn )γ 3 + Γ) γ 3 Γ + gn )γ 3 + 3Γ), 18) gn )Γ p 3 ) = γ 3 Γ + gn )γ 3 + 3Γ). 19) p 1 ) = p 3 ) = gn ) 3gn ) + γ 3, ) p ) = gn ) + γ 3 3gn ) + γ 3. 1) Wie in Aufgabe a ist das System auch in diesem Regime durch Besetzungsinversion charakterisiert mit γ 3 p ) p 1 ) =. 3) 3gn + γ 3 Nun benutzten wir Gl. 16) um den Gleichgewichtszustand des Gesamtsystems zu finden. Die Bedingung für einen Gleichgewichtszustand lauten gnγ 3 n ) κ =. 4) 3gn ) + γ 3 Für κ > gn ist die einzige mögliche Lösung dieser Gleichung Die dazugehörige Bestetzungen sind s. Aufgabe a) ) n ) =. 5) p 3 ) = p 1 ) = p ) = 1. 6) Für κ < gn kann gezeigt werden, dass die Lösung n ) = instabil ist. Aber es gibt noch eine weitere Lösung n ) = gn κ)γ 3. 7) 3gκ In diesem Zustand emittiert der Resonator koherentes Licht mit der Frequenz ω und kann als Laser dienen. Die Emissionsrate des Lasers ist κn ) Photonen pro Sekunde. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Atome über die Niveaus in diesem Regime lautet p 1 ) = p 3 ) = 1 3 κ 3gN, 8) p ) = κ 3gN. 9) 3)

5 3. erzögerte Dämpfung: =3 Bonuspunkte) Betrachten Sie das Modell der Quanten-Dissipation mit der Bewegungsgleichung mẍt) + m ds Kt s)ẋs) = F t), 31) wobei F t) eine gegebene Kraft ist. Hier wird die Dämpfung durch einen Dämpfungskern beschrieben: Kt) = Θt)γ ω d e ω dt, 3) wobei Θt) die Heaviside-Funktion ist. Die Anfangsbedingungen sind x) = x und ẋ) = v. a) Finden Sie xt) im Limes ω d. Im Limes ω d erhält man die Langewin-Gleichung, ds ω d e ω dt s)ẋs) ẋt) ds ω d e ω dt s) ẋt) = mẍt) + mγ ẋt) = F t) m vt) + mγ vt) = F t), die einfach integiert werden kann: vt) = v e γ t + e γ t xt) = x + dt vt ) = x + v γ 1 e γ t ) 1 γ e γ t dt F t ) t eγ, 33) m dt F t ) t e+γ m + 1 γ dt F t ) m. 34) b) Die Bewegungsgleichung 31) kann allgemein mit der Laplace-Transformation gelöst werden. Drücken Sie die Gleichung für die Laplace-Transformation von xt), xz) = aus. Laplace-Transformation der Ableitung: ẋz) = dt xt)e zt, zt part. Int. dt ẋt)e = xt)e zt +z dt xt)e zt = z xz) x, x) iterativ: ẍz) = z ẋz) ẋ) = z xz) zx v. Die Laplace-Transformierte L der Faltung zweier Funktionen ist das Produkt der Laplace-Transformierten: { } L ds ft s)gs) z) = Lf)z)Lg)z) = fz) gz), xz)

6 wie man sich mit folgendem Trick Substituion und Multiplikation mit einer eins) klarmachen kann: dt = Subst.: t t+s = dt ds ft s)gs)e zt dt +s ds ds ft + s s)gs)e zt+s ) δs s ) ds ft)gs )e zt e zs = fz) gz). Damit erhalten wir dann aus der Bewegungsgleichung 31): mz + m Kz) z xz) x mv = F z), aufgelöst nach xz): xz) = c) Die Suszeptibilität χz) wird durch die Relation F z) zmz + }{{ Kz) + x z + v. 35) zz + Kz) } = x z) x z) = χz) F z), definiert, wobei x z) der Teil von xz) unabhängig von den Anfangsbedingungen ist. Zeigen Sie, dass χz) = 1 z + ω d m zz + zω d + γ ω d ). Finden Sie die inverse Laplace-Transformation der Suszeptibilität χt) = 1 πi dze zt χz), t >, c >, unter erwendung der Konturintegration. Mit Kz) = dt Θt)γ ω d e ωdt e zt = γ ω d ω d + z e ω d+z)t ist die Suzeptibilität χx) = x z)/ F z) durch χz) = = γ ω d ω d + z 1 zmz + m γ ω d ) = ω d + z ω d z mzω +z d + z) + mγ ω d = 1 z + ω d m zz + zω d + γ ω d ) gegeben. Inverse Laplace-Transformation der Suszeptibilität: χt) = 1 πi = 1 πim dze zt χz) = 1 πim dze zt dze zt z + ω d zz + zω d + γ ω d ) z + ω d z z ω d + ) z ω d ) 36) mit = ω d 4γ ω d < ω d γ > ).

7 Nun lässt sich die Integrationskontur in der linken Hälfte der komplexen z-ebene schließen. Mit dem Residuensatz folgt dann: mχt) = 1 + e ω d + )t ω d + ω d + ) γ ω d + ) ω d + ) ω d ) + e ω d )t ω d + ω d ) ω d χt) = 1 mγ + 1 m ) ω d ) ω d + ) + ) )e t + ) + )e t e ω d t. Für t klingt der zweite Term in der geschweiften Klammer mit exp ω d / ± ) t ab, so dass χt) 1 mγ, t. 37) d) Betrachten wir nun eine konstante Kraft F t) = F für t >. Finden Sie das erhalten von xt) in der Langzeitgrenze t. xt) = 1 πi dze zt xz) = Der Term X t) ist von den Anfangsbedingungen abhängig. Konstante Kraft: F t) = F für t > = dsχs)f t s) + X t). 38) wobei F dsχs) = F t + 1 mγ }{{ } linear dsχs)f t s) = F dsχs), 39) ω d t e + ) ) e t ) + ) e t fällt exponentiell ab für t 1 + ) ωd ) ) + ) konstant. Für große t dominiert der lineare Term gleichförmige Bewegung). Die externe Kraft F und die Dämpfung sind also im Gleichgewicht. Der Term X t) lautet X t) = 1 πi { } dze zt x z + v zz + Kz) = x + mv χt) 4) Für große t gilt Gl. 37) für die Suszeptibilität, somit ist der Beitrag von X t) konstant für t.