Kombinatorik. Dr. Lucia Draque Penso. Universität Ulm. Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 1 / 8

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1 Kombinatorik Dr. Lucia Draque Penso Universität Ulm Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 1 / 8

2 Sechszehnte Vorlesung Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 2 / 8

3 Satz 5.7 (Heiratssatz/Sytems of Distinct Representatives, Hall 1935) Seien A 1,..., A k [n] für n, k N und gelte A i I für alle I [k]. i I Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 3 / 8

4 Satz 5.7 (Heiratssatz/Sytems of Distinct Representatives, Hall 1935) Seien A 1,..., A k [n] für n, k N und gelte A i I i I für alle I [k]. Es existieren k verschiedene Elemente a 1,..., a k von [n] mit a i A i für i [k]. Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 3 / 8

5 Satz 5.7 (Fortsetzung) Beweis: Sei (P, ) das Poset mit P = {A 1,..., A k } [n], in dem für verschiedene x, y P genau dann x y gilt, wenn x y gilt, d.h. x [n] und y = A i für ein i [k] mit x A i. Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 4 / 8

6 Satz 5.7 (Fortsetzung) Beweis: Sei (P, ) das Poset mit P = {A 1,..., A k } [n], in dem für verschiedene x, y P genau dann x y gilt, wenn x y gilt, d.h. x [n] und y = A i für ein i [k] mit x A i. Es folgt, dass [n] eine Antikette ist. Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 4 / 8

7 Satz 5.7 (Fortsetzung) Beweis: Sei (P, ) das Poset mit P = {A 1,..., A k } [n], in dem für verschiedene x, y P genau dann x y gilt, wenn x y gilt, d.h. x [n] und y = A i für ein i [k] mit x A i. Es folgt, dass [n] eine Antikette ist. Ist A eine Antikette von P und I = A \ [n], so folgt mit der Voraussetzung, dass A I + n A i n gilt,d.h. ν(p) = n. i I Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 4 / 8

8 Satz 5.7 (Fortsetzung) Nach dem Satz von Dilworth besitzt P eine Überdeckung mit n Ketten. Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 5 / 8

9 Satz 5.7 (Fortsetzung) Nach dem Satz von Dilworth besitzt P eine Überdeckung mit n Ketten. Die Ketten der Länge 2 bestehen immer aus einer Menge A i und einem Element x A i. Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 5 / 8

10 Satz 5.7 (Fortsetzung) Nach dem Satz von Dilworth besitzt P eine Überdeckung mit n Ketten. Die Ketten der Länge 2 bestehen immer aus einer Menge A i und einem Element x A i. Daher definieren diese Ketten in der Überdeckung die gesuchten Elemente. Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 5 / 8

11 Satz 5.8 (Sperner 1928) Für n N ist die maximale Länge einer Antikette in B([n]) = ( 2 [n], ) gleich Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 6 / 8

12 Satz 5.8 (Sperner 1928) Für n N ist die maximale Länge einer Antikette in B([n]) = ( 2 [n], ) gleich ( ) n n. 2 Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 6 / 8

13 Beweis: (Lubell 1966) Die maximalen Ketten von B([n]) sind von der Form Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 7 / 8

14 Beweis: (Lubell 1966) Die maximalen Ketten von B([n]) sind von der Form {π(1)} Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 7 / 8

15 Beweis: (Lubell 1966) Die maximalen Ketten von B([n]) sind von der Form {π(1)} {π(1), π(2)} Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 7 / 8

16 Beweis: (Lubell 1966) Die maximalen Ketten von B([n]) sind von der Form {π(1)} {π(1), π(2)} {π(1), π(2), π(3)}... Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 7 / 8

17 Beweis: (Lubell 1966) Die maximalen Ketten von B([n]) sind von der Form {π(1)} {π(1), π(2)} {π(1), π(2), π(3)}... {π(1),..., π(n)} Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 7 / 8

18 Beweis: (Lubell 1966) Die maximalen Ketten von B([n]) sind von der Form {π(1)} {π(1), π(2)} {π(1), π(2), π(3)}... {π(1),..., π(n)} für π S n, insbesondere gibt es genau n! viele maximale Ketten. Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 7 / 8

19 Beweis: (Lubell 1966) Die maximalen Ketten von B([n]) sind von der Form {π(1)} {π(1), π(2)} {π(1), π(2), π(3)}... {π(1),..., π(n)} für π S n, insbesondere gibt es genau n! viele maximale Ketten. Sei A eine Antikette von B([n]). Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 7 / 8

20 Beweis: (Lubell 1966) Die maximalen Ketten von B([n]) sind von der Form {π(1)} {π(1), π(2)} {π(1), π(2), π(3)}... {π(1),..., π(n)} für π S n, insbesondere gibt es genau n! viele maximale Ketten. Sei A eine Antikette von B([n]). Für X A existieren genau X!(n X )! maximale Ketten von B([n]), die X enthalten. Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 7 / 8

21 Es folgt A ( n ) n 2 Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 8 / 8

22 Es folgt A ( n = 2 ) ( ) n 1 n n X A 2 Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 8 / 8

23 Es folgt A ( n n 2 ) = X A X A ( ) n 1 n 2 ( ) n 1 X Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 8 / 8

24 Es folgt A ( n n 2 ) = X A X A = 1 n! ( ) n 1 n 2 ( ) n 1 X X!(n X )! X A Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 8 / 8

25 Es folgt A ( n n 2 ) = X A X A = 1 n! 1 ( ) n 1 n 2 ( ) n 1 X X!(n X )! X A Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 8 / 8