Mathematisches Kaleidoskop 2014 Materialien Teil 4. Dr. Hermann Dürkop

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1 Mathematisches Kaleidoskop 014 Materialien Teil 4 Dr. Hermann Dürkop info@ermanus.de 1

2 . Nicht ganz so bekannte Zahlbereiche..1 Die p, q-formel Irgendwann in unserem früheren Schülerleben mussten wir lernen, wie man die Lösungen einer quadratischen Gleichung findet: x + px + q = 0. (1) Man sieht mehr oder minder rasch ein, dass die üblichen Methoden: auf beiden Seiten der Gleichung dasselbe zu machen, also z.b. px auf beiden Seiten abzuziehen oder auf beiden Seiten die Wurzel zu ziehen etc., uns der Lösung des Problems nicht näherbringen. Es ist ein Trick gefragt. Hierfür erinnern wir uns an die erste binomische Formel : x + ax + a = (x + a) () Wenn wir die beiden ersten Summanden in (1) und () vergleichen, können wir auf die Idee kommen, px in Beziehung zu ax zu setzen, d.h. ax = px, also a = p/ anzusetzen, womit sich dann a = (p/) ergibt. Dies bringt uns dazu, auf beiden Seiten von (1) den Term (p/) zu addieren: x + px + (p/) + q = (p/) (x + p/) + q = (p/) (x + p/) = (p/) q Diese Methode nennt sich quadratische Ergänzung. Nun müssen wir nur noch auf beiden Seiten die Wurzel ziehen, und erhalten die beiden (möglicherweise gleichen) Lösungen: x + p/ = also x = p/ + (p/) q oder x + p/ = (p/) q oder x = p/ Dies schreibt man häufig auch in der folgenden Form: x = p + p 4q oder x = p p 4q (p/) q, (p/) q Dabei heißt der Ausdruck d = p 4q unter der Wurzel die Diskriminante der Gleichung (1), da er darüber entscheidet, ob diese zwei reelle Lösungen, nur eine oder gar keine reelle Lösung besitzt: d > 0 : d = 0 : d < 0 : reelle Lösungen, 1 reelle Lösung, keine reelle Lösung

3 Betrachten wir nun einmal so einen unlösbaren Fall von d < 0: x x + 1 = 0 Unsere Auflösungsformel liefert in diesem Falle: x = oder x = 1 3 Nun können wir noch folgende Standardisierung vornehmen: 3 = 3 1 Auf diese Weise hat man es dann nur noch mit einer seltsamen Größe, nämlich 1 zu tun, und alles andere liegt im uns wohlbekannten R. Das bedeutet, dass wir uns nur noch um eine vernünftige Interpretation für eine der beiden Lösungen der Gleichung kümmern müssen. x + 1 = 0.. Die vertrauensvolle Art, mit 1 umzugehen Wir erfinden einfach ein Symbol i, genannt imaginäre Einheit, und bilden die Menge der formalen Ausdrücke a + b i mit a, b R und rechnen mit den folgenden Regeln: α) c i = i c für alle c R β) i = i i = 1 γ) a + b i = 0 ist genau dann der Fall, wenn a = 0 und b = 0 ist Nun hoffen wir, dass bei dieser Vorgehensweise niemals Widersprüche auftauchen werden...3 Eine saubere Methode Wir führen jetzt die Zahlen der Form a + b i, die sogenannten komplexen Zahlen C, auf eine andere Art ein, die aufgrund der verwendeten Konstruktion sozusagen von Hause aus keine Widersprüche erzeugen kann. Diese Methode raubt den imaginären Zahlen jegliches Geheimnisvolle, was man natürlich irgendwie auch ein bisschen bedauerlich finden kann. 3

4 So gehen wir vor: wir bilden die Menge aller Paare (a, b) von Zahlen a, b R und definieren für diese Zahlenpaare, was es bedeuten soll, wenn man sie addiert oder multipliziert: α) Addition: (a 1, b 1 ) + (a, b ) = (a 1 + a, b 1 + b ) β) Multiplikation: (a 1, b 1 ) (a, b ) = (a 1 a b 1 b, a 1 b + a b 1 ) Wenn wir einmal nur solche Paare betrachten, deren zweite Komponente gleich 0 ist, bekommen wir die folgenden Gleichungen: (a 1, 0) + (a, 0) = (a 1 + a, 0) (a 1, 0) (a, 0) = (a 1 a, 0) (a, 0) + (0, 0) = (a, 0) (a, 0) (1, 0) = (a, 0) Wir sehen, dass sich diese Paare exakt so verhalten, wie ihre ersten Komponenten, d.h. wie die reellen Zahlen R. Daher identifizieren wir die Paare (a, 0) mit den reellen Zahlen a. Durch diese Identifizierung bekommen wir dann z.b. a (1, 0) = (a, 0). Wir identifizieren daher auch (1, 0) mit 1. Ebenso ergibt sich b (0, 1) = (b, 0) (0, 1) = (b 0 0 1, b ) = (0, b) Für das Paar (0,1) führen wir die Abkürzung i ein. So ergibt sich schließlich: (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a (1, 0) + b (0, 1) = a + b i Wie gewünscht ist unser i = (0, 1) auch eine Lösung von x + 1 = 0: i +1 = (0, 1) (0, 1)+(1, 0) = ( , )+(1, 0) = ( 1, 0)+(1, 0) = (0, 0) = 0. Die so definierten Zahlen a+b i heißen komplexe Zahlen und ihre Menge wird mit C bezeichnet. Vorsicht: Die altmodische Schreibweise 1 anstelle von i ist sehr gefährlich und sollte lieber nicht verwendet werden; denn sonst: 1 = i i = 1 1 = ( 1) ( 1) = 1 = 1 4

5 ..4 Geometrische Deutung (Gaußsche Zahlenebene) Wir ordnen jeder komplexen Zahl z = x + y i den Punkt (x, y) der Ebene zu: Dadurch wird C als die sogenannte Gaußsche Zahlenebene dargestellt. Nun kann man anstelle der x, y-koordinaten jeden Punkt der Ebene aber auch eindeutig durch seinen Abstand vom Koordinatenursprung (0,0) und seinen Winkel φ bzgl. der x-achse charakterisieren. Wenn der Abstand mit r bezeichnet wird, erhält man folgenden Zusammenhang: z = x + y i = r cos(φ) + r sin(φ) i = r (cos(φ) + i sin(φ)) Für die Multiplikation zweier solcher komplexer Zahlen (in Polarkoordinaten) ergibt sich mithilfe von Additionstheoremen für Sinus und Cosinus: z 1 z = r 1 (cos(φ 1 ) + i sin(φ 1 )) r (cos(φ ) + i sin(φ )) = r 1 r (cos(φ 1 + φ ) + i sin(φ 1 + φ )) Zwei komplexe Zahlen werden also multipliziert, indem man ihre Längen multipliziert und ihre Winkel addiert. Speziell die komplexe Zahl z = cos(360 /17)+ i sin(360 /17) hat dann die Länge 1 und bildet mit der x-achse den Winkel, den wir brauchen, um den ersten Eckpunkt eines regulären 17-Ecks darzustellen. Wenn wir dann diesen Winkel 17-mal aneinanderfügen, haben wir eine Volldrehung vollzogen und sind wieder im Startpunkt angekommen, d.h. es gilt für den ersten Eckpunkt z des 17-Ecks: z 17 = 1 5

6 Das Verdienst von Gauß bestand also darin zu zeigen, dass man diese Gleichung allein unter Verwendung von Quadratwurzeln und Grundrechenarten lösen kann...5 Erweiterungen in der Resterechnung Wir hatten in der ersten Sitzung gesehen, dass man in der Menge der Reste modulo einer Primzahl p nach Herzenslust addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren kann (nur nicht durch 0). Ferner gelten diverse Vertauschbarkeits- und Klammerregeln. Eine solche Menge nennt man einen Körper. Die Körper der Resterechnung modulo p bestehen nur aus endlich vielen Elementen. Man nennt beliebige endliche Körper Galois-Körper und bezeichnet sie mit F p n oder auch GF (p n ). Die Anzahl der Elemente eines solchen Körpers ist immer eine Potenz einer Primzahl p, daher die Bezeichnungsweise. Wir haben den einfachsten Körper dieser Art bereits kennengelernt, nämlich F = {0, 1} mit den einfachen Regeln: = = 0, = = 1, 0 c = c 0 = 0, 1 1 = 1 Wir untersuchen nun, ob wir in F jede quadratische Gleichung lösen können oder ob wir wieder so etwas wie die imaginäre Einheit i erfinden müssen, um die Lösbarkeit zu erzwingen. Betrachten wir alle quadratischen Gleichungen, die wir für unser F bilden können: x = 0, x + x = 0, x + 1 = 0, x + x + 1 = 0, x = 0 ist Lösung x = 0 und x = 1 sind Lösungen x = 1 ist Lösung = 1, = 1, also gibt es keine Lösung Also beschaffen wir uns vertrauensvoll eine formale Lösung und nennen sie z.b. α. Es gilt dann nach Definition: α + α + 1 = 0, also α = α 1, und wegen 1 = 1 : α = α + 1. Damit hat unser neuer erweiterter Körper die Elemente {0, 1, α, 1 + α}. Er heißt dann F 4 oder GF (4). 6

7 Wir wollen uns noch das Einspluseins und das Einmaleins anschauen: + 1 α 1 + α α α α 1 + α α α α 1 + α 1 1 α 1 + α α α 1 + α α 1 + α 1 α Als Übung ist es sicher interessant, eine entsprechende quadratische Erweiterung von F 3 zu konstruieren und sich das zugehörige Einspluseins und Einmaleins anzuschauen. Die Rechenregeln in F 3 = Z/3Z finden Sie ja im Teil 1 der Materialien...6 Taschenspielertricks und die p-adischen Zahlen Wir betrachten einmal die folgende unendliche Summe: s = Man erkennt, dass man sich desto stärker der 1 nähert, je mehr Summanden man berücksichtigt. Die Summe s sollte also 1 sein. Wir argumentieren jetzt folgendermaßen: }{{} = s Das ergibt für unsere Summe s: = ( ) }{{} = 1/ s s = s, also 1 s = 1, und damit s = 1 Jetzt benutzen wir ein ähnliches Argument für folgende Summe : Man hat: s = = unendlich = }{{}}{{} = s = s Das ergibt für unsere Summe s: s = 1 + s, also s = 1 Ist denn etwa -1 dasselbe wie unendlich? 7

8 Dieses seltsame Ergebnis ist nicht so unsinnig, wie man zunächst denken könnte. In der Tat ist es unsinnig im Körper der reellen Zahlen R, in dem divergiert, d.h. gar keine reelle Zahl ist und infolgedessen man mit diesem s weder irgendwelche sinnvollen Gleichungen aufstellen kann, noch solche Gleichungen in reeller Manier irgendwie umstellen kann. Dennoch hat der deutsche Mathematiker Kurt Hensel ( ) Körper von Zahlen erfunden, in denen positive Potenzen einer Primzahl p nicht etwa wachsen, sondern schrumpfen, wo also z.b. 8 in gewissem Sinne kleiner als 4 und 4 kleiner als usw. ist. Diese Körper heißen p-adische Zahlkörper und werden häufig durch das Symbol Q p bezeichnet. Man setzt sie in der Zahlentheorie anstelle der Kongruenzen modulo p n ein, da man in ihnen z.b. dividieren kann, was wegen der Nullteiler bei den Resten modulo p n ja nicht immer möglich ist...7 Die Hamiltonschen Quaternionen Wir haben an ein paar Beispielen gesehen, wie man unter Umständen einen Zahlbereich, also einen Körper erweitern kann. Nun hatten wir ja R zum Körper der komplexen Zahlen C erweitert. Kann man denn nun C nochmals durch Hinzunahme endlich vieler sozusagen imaginärer Elemente sinnvoll erweitern? Der sogenannte Hauptsatz der Algebra besagt, dass C algebraisch abgeschlossen ist, d.h. das jede algebraische Gleichung in C eine Lösung hat. Es gibt also keine künstlichen Lösungen, die wir noch hinzufügen könnten. Bei C hatten wir aber eine geometrische Deutung für die Multiplikation mit komplexen Zahlen kennengelernt, die uns zeigte, dass man sie als Drehung und zentrische Streckung in der Ebene verstehen kann. Vielleicht lässt sich ja doch eine andersartige Erweiterung finden, die man geometrisch begründet, z.b. eine 3-dimensionale Zahlenmenge mit einer Addition, Subtraktion, Multiplikation und (wenn es denn möglich ist) auch einer Division durch alles, was nicht 0 ist, wobei etwa die Multiplikation sich irgendwie als Bewegung im 3-dimensionalen Raum deuten lässt. Der irische Mathematiker und Physiker William Rowan Hamilton ( ) hat lange Zeit nach solchen 3-dimensionalen Rechengesetzen gesucht, d.h. nach einer 3-dimensionalen Erweiterung von R, die die angenehmen Eigenschaften eines Körpers besitzt. Im Jahre 1843 hatte er endlich Erfolg bei dieser Suche, wobei aber nicht etwas 3-dimensionales, sondern eine 4- dimensionale Struktur herauskam, die sogenannten Quaternionen, die nach ihm als Hamiltonsche Quaternionen bezeichnet werden, als Symbol H. 8

9 In H gibt es drei imaginäre Einheiten i, j, k, die folgenden Gesetzen gehorchen: i = j = k = 1, ij = k, jk = i, ki = j Die Elemente von H sind alle Quadrupel der Form: a + bi + cj + dk mit a, b, c, d R Es gelten hier die üblichen Klammergesetze. Was aber nicht mehr gilt, ist das Kommutativgesetz, das die Vertauschbarkeit von Faktoren gestattet, dafür gilt bei den Quaternionen: ji = ij = k, kj = jk = i, ik = ki = j Mit H kann man z.b. Drehungen im 3-dimensionalen Raum durch Multiplikation von Quaternionen erzeugen, was ihre Gebrauchsfähigkeit in der Physik, aber auch in der Computergraphik (Spiele) unter Beweis stellt. 9