Zur Geometrie von Raum und Zeit. Rainer Grauer. Institut für Theoretische Physik I Ruhr-Universität Bochum. Bochum, 7. Mai 2005

Transkript

1 Zur Geometrie von Raum und Zeit Rainer Grauer Institut für Theoretische Physik I Ruhr-Universität Bochum Bochum, 7. Mai 2005 Saturday Morning Physics, Museum Bochum

2 1. Woher kommt es, dass mich niemand versteht und jeder mag? (Albert Einstein, 1942)

3 1. Woher kommt es, dass mich niemand versteht und jeder mag? (Albert Einstein, 1942) Inhalt 1. Was ist relativ?

4 1. Woher kommt es, dass mich niemand versteht und jeder mag? (Albert Einstein, 1942) Inhalt 1. Was ist relativ? 2. Spezielle Relativitätstheorie

5 1. Woher kommt es, dass mich niemand versteht und jeder mag? (Albert Einstein, 1942) Inhalt 1. Was ist relativ? 2. Spezielle Relativitätstheorie 3. Allgemeine Relativitätstheorie

6 1. Woher kommt es, dass mich niemand versteht und jeder mag? (Albert Einstein, 1942) Inhalt 1. Was ist relativ? 2. Spezielle Relativitätstheorie 3. Allgemeine Relativitätstheorie 4. ART und Aldi (oder Lidl oder...)

7 1. Woher kommt es, dass mich niemand versteht und jeder mag? (Albert Einstein, 1942) Inhalt 1. Was ist relativ? 2. Spezielle Relativitätstheorie 3. Allgemeine Relativitätstheorie 4. ART und Aldi (oder Lidl oder...) 5. Quantenmechanik und Gravitation

8 2. Hänsel schwebt mit kleiner grünblinkenden Lampe im vollkommen leeren All, in weiter Entfernung von allen Planeten, Sternen und Galaxien. Aus seiner Sicht ist er vollkommen in Ruhe.

9 2. Hänsel schwebt mit kleiner grünblinkenden Lampe im vollkommen leeren All, in weiter Entfernung von allen Planeten, Sternen und Galaxien. Aus seiner Sicht ist er vollkommen in Ruhe. Dann sieht er Gretel: Langsam schwebt sie vorbei.

10 Wie sieht das Gretel? Gretels Sichtweise: Sie ist vollkommen in Ruhe und Hänsel schwebt vorbei.

11 Wie sieht das Gretel? Gretels Sichtweise: Sie ist vollkommen in Ruhe und Hänsel schwebt vorbei. Also: kräftefreie Bewegung macht nur Sinn im Vergleich mit anderen Objekten Physik funktioniert bei Hänsel genauso wie Gretel!

12 Wie sieht das Gretel? Gretels Sichtweise: Sie ist vollkommen in Ruhe und Hänsel schwebt vorbei. Also: kräftefreie Bewegung macht nur Sinn im Vergleich mit anderen Objekten Physik funktioniert bei Hänsel genauso wie Gretel! nichts Neues: war auch schon bei Newton so

13 Wie sieht das Gretel? Gretels Sichtweise: Sie ist vollkommen in Ruhe und Hänsel schwebt vorbei. Also: kräftefreie Bewegung macht nur Sinn im Vergleich mit anderen Objekten Physik funktioniert bei Hänsel genauso wie Gretel! nichts Neues: war auch schon bei Newton so Solche freien unbeschleunigten Bezugssysteme werden auch Inertialsysteme genannt. Kein Inertialsysteme Scheinkräfte: Karussell - beschleunigte Rakete - Achterbahn

14 3. Spezielle Relativitätstheorie 3.1. Konstanz der Lichtgeschwindigkeit vor 1905: zwei Theorien klassische Mechanik Elektrodynamik Isaac Newton James Clerk Maxwell ( ) ( )

15 Die Newton Gleichungen beschreiben die Bewegung von Körpern unter Einwirkung von äußeren Kräften: Kraft = Masse mal Beschleunigung

16 Die Newton Gleichungen beschreiben die Bewegung von Körpern unter Einwirkung von äußeren Kräften: Kraft = Masse mal Beschleunigung Hier gilt: Geschwindigkeiten addieren sich einfach auf! Entspricht unserer täglichen Erfahrung

17 Die Newton Gleichungen beschreiben die Bewegung von Körpern unter Einwirkung von äußeren Kräften: Kraft = Masse mal Beschleunigung Hier gilt: Geschwindigkeiten addieren sich einfach auf! Entspricht unserer täglichen Erfahrung Die Maxwellschen Gleichungen beschreiben die Dynamik von elektrischen und magnetischen Feldern und damit auch die Ausbreitung von Lichtwellen

18 Die Newton Gleichungen beschreiben die Bewegung von Körpern unter Einwirkung von äußeren Kräften: Kraft = Masse mal Beschleunigung Hier gilt: Geschwindigkeiten addieren sich einfach auf! Entspricht unserer täglichen Erfahrung Die Maxwellschen Gleichungen beschreiben die Dynamik von elektrischen und magnetischen Feldern und damit auch die Ausbreitung von Lichtwellen Hier gilt: Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist konstant!

19 Die Newton Gleichungen beschreiben die Bewegung von Körpern unter Einwirkung von äußeren Kräften: Kraft = Masse mal Beschleunigung Hier gilt: Geschwindigkeiten addieren sich einfach auf! Entspricht unserer täglichen Erfahrung Die Maxwellschen Gleichungen beschreiben die Dynamik von elektrischen und magnetischen Feldern und damit auch die Ausbreitung von Lichtwellen Hier gilt: Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist konstant! Wer hat nun recht? Experiment sagt: Maxwell

20 ruhende Lichtquelle

21 schnelle Rakete ruhende Lichtquelle

22 schnelle Rakete ruhende Lichtquelle Beobachter Hänsel mißt in beiden Fällen, daß die Lichtstrahlen die gleiche Geschwindigkeit c haben.

23 schnelle Rakete Gretel auf Rakete sagt: Ich schicke Licht mit Lichtgeschwindigkeit ab.

24 schnelle Rakete Gretel auf Rakete sagt: Ich schicke Licht mit Lichtgeschwindigkeit ab. Hänsel sagt: Ich sehe eine Rakete auf mich zukommen und ich sehe Licht mit Lichtgeschwindigkeit auf mich zukommen.

25 schnelle Rakete Gretel auf Rakete sagt: Ich schicke Licht mit Lichtgeschwindigkeit ab. Hänsel sagt: Ich sehe eine Rakete auf mich zukommen und ich sehe Licht mit Lichtgeschwindigkeit auf mich zukommen. Einsteins Forderung: Licht hat im Vakuum in allen Intertialsystemen die gleiche Geschwindigkeit.

26 3.2. Einsteins Forderungen Licht hat in allen Inertialsystemen im Vakuum die gleiche Geschwindigkeit c (c= km/sec = 1080 Millionen km/h)

27 3.2. Einsteins Forderungen Licht hat in allen Inertialsystemen im Vakuum die gleiche Geschwindigkeit c (c= km/sec = 1080 Millionen km/h) Kausale Verknüpfung zweier Ereignisse kann mit maximal Lichtgeschwindigkeit c vonstatten gehen

28 3.2. Einsteins Forderungen Licht hat in allen Inertialsystemen im Vakuum die gleiche Geschwindigkeit c (c= km/sec = 1080 Millionen km/h) Kausale Verknüpfung zweier Ereignisse kann mit maximal Lichtgeschwindigkeit c vonstatten gehen Signalgeschwindigkeit zwischen zwei Ereignissen ist maximal gleich Lichtgeschwindigkeit c

29 3.2. Einsteins Forderungen Licht hat in allen Inertialsystemen im Vakuum die gleiche Geschwindigkeit c (c= km/sec = 1080 Millionen km/h) Kausale Verknüpfung zweier Ereignisse kann mit maximal Lichtgeschwindigkeit c vonstatten gehen Signalgeschwindigkeit zwischen zwei Ereignissen ist maximal gleich Lichtgeschwindigkeit c Massive Teilchen bewegen sich mit Geschwindigkeit kleiner als c. Für sie gibt es ein Ruhesystem.

30 3.3. Messung der Lichtgeschwindigkeit Olaf Römer (1676) beobachtete das Verschwinden eines Jupitermondes Io im Schatten des Jupiter. Opposition des Jupiter zur Sonne M E S J E J M S Erde Jupiter Jupitermond Io Sonne In der Nahestellung des Jupiters zur Erde bestimmte Olaf Römer die Zeit zwischen zwei Verfinsterungen des Jupitermondes zu 42.5h.

31 3.3. Messung der Lichtgeschwindigkeit Olaf Römer (1676) beobachtete das Verschwinden eines Jupitermondes Io im Schatten des Jupiter. Opposition des Jupiter zur Sonne M E S J E J M S Erde Jupiter Jupitermond Io Sonne In der Nahestellung des Jupiters zur Erde bestimmte Olaf Römer die Zeit zwischen zwei Verfinsterungen des Jupitermondes zu 42.5h. = 104. Verfinsterung nach h = h Beobachtet aber wurde Verzögerung.

32 Konjunktion des Jupiter zur Sonne E S M E Erde J Jupiter J M Jupitermond Io S Sonne Erdbahndurchmesser: m = c = km/s Verspätung der Verfinsterung: t = 1000s

33 Konjunktion des Jupiter zur Sonne E S M E Erde J Jupiter J M Jupitermond Io S Sonne Erdbahndurchmesser: m = c = km/s Verspätung der Verfinsterung: t = 1000s Römer: Erdbahndurchmesser: Verspätung der Verfinsterung: m t = 1450s = c = km/s

34 3.4. Gleichzeitigkeit Blauhosen haben Probleme mit den Schwarzhosen

35 3.4. Gleichzeitigkeit Blauhosen haben Probleme mit den Schwarzhosen

36 3.4. Gleichzeitigkeit Blauhosen haben Probleme mit den Schwarzhosen

37 3.4. Gleichzeitigkeit Blauhosen haben Probleme mit den Schwarzhosen

38 3.4. Gleichzeitigkeit Blauhosen haben Probleme mit den Schwarzhosen

39 3.4. Gleichzeitigkeit Blauhosen haben Frieden mit den Schwarzhosen Alles wird gut!

40 Streit zwischen Vorwärtsland und Rückwärtsland

41 Streit zwischen Vorwärtsland und Rückwärtsland keine Einigkeit, wo Friedensvertrag geschlossen werden soll

42 Streit zwischen Vorwärtsland und Rückwärtsland keine Einigkeit, wo Friedensvertrag geschlossen werden soll Lösung: im Zug

43 Streit zwischen Vorwärtsland und Rückwärtsland Fahrtrichtung Entfernung im Zug

44 Streit zwischen Vorwärtsland und Rückwärtsland Fahrtrichtung Entfernung im Zug Entfernung von außen

45 Streit zwischen Vorwärtsland und Rückwärtsland Fahrtrichtung Entfernung im Zug Entfernung von außen im Zug Frieden, draußen Krieg

46 Streit zwischen Vorwärtsland und Rückwärtsland Fahrtrichtung Entfernung im Zug Entfernung von außen Gleichzeitigkeit

47 Streit zwischen Vorwärtsland und Rückwärtsland Fahrtrichtung Entfernung im Zug Entfernung von außen Gleichzeitigkeit

48 3.5. Zeitmessung und Uhren

49 3.5. Zeitmessung und Uhren

50 3.5. Zeitmessung und Uhren

51 3.5. Zeitmessung und Uhren

52 3.5. Zeitmessung und Uhren

53 3.5. Zeitmessung und Uhren

54 3.5. Zeitmessung und Uhren

55 3.5. Zeitmessung und Uhren

56 3.5. Zeitmessung und Uhren

57 3.5. Zeitmessung und Uhren

58 3.5. Zeitmessung und Uhren von außen gesehen: Uhr geht langsamer

59 3.5. Zeitmessung und Uhren von außen gesehen: Uhr geht langsamer Gilt dies auch für eine Swatch c?

60 3.5. Zeitmessung und Uhren von außen gesehen: Uhr geht langsamer Gilt dies auch für eine Swatch c? Ja klar, denn nehme an, Swatch c tickt nicht langsamer = kann Bewegungszustand feststellen

61 3.6. Myonzerfall in oberer Atmosphäre In 30 km Höhe prasselt die kosmische Strahlung auf Atmosphäre. Es entstehen Myonen. Ihre Lebensdauer beträgt: t = sec v = c = 600m Lebensdauer der Myonen ist für den Erdbeobachter zeitdilatiert und damit 50x länger und damit auf der Erde nachweisbar = 30km

62 3.6. Myonzerfall in oberer Atmosphäre In 30 km Höhe prasselt die kosmische Strahlung auf Atmosphäre. Es entstehen Myonen. Ihre Lebensdauer beträgt: t = sec v = c = 600m Lebensdauer der Myonen ist für den Erdbeobachter zeitdilatiert und damit 50x länger und damit auf der Erde nachweisbar = 30km Nützt einem die längere Lebenszeit? Nein, alles läuft langsamer ab: Anzahl der Bücher, die man im Leben lesen kann, bleibt konstant.

63 3.7. Zeit und Raum Gretel im Rennwagen: misst Länge in Garage

64 3.7. Zeit und Raum Hänsel misst Länge des Autos durch Zeitmessung, wann Anfang und Ende des Autos Ziellinie durchfährt.

65 3.7. Zeit und Raum Hänsel misst Länge des Autos durch Zeitmessung, wann Anfang und Ende des Autos Ziellinie durchfährt. Gretel ist aus ihrer Perspektive in Ruhe: Ihr Auto ist genauso lang wie in der Garage. Sie sieht Hänsels Uhr langsamer ticken und folgert, daß Hänsel geringeren Wert für die Länge misst als Gretel in Ruhe, denn Länge = Geschwindigkeit des Rennwagens Zeit weniger Zeit verstrichen = also kleinere Länge

66 3.8. Wie sehen wir schnell bewegte Objekte? Kugel mit 95% der Lichtgeschwindigkeit nicht-relativistisch ohne endliche Lichtlaufzeit

67 3.8. Wie sehen wir schnell bewegte Objekte? Kugel mit 95% der Lichtgeschwindigkeit nicht-relativistisch ohne endliche Lichtlaufzeit relativistisch ohne endliche Lichtlaufzeit

68 3.8. Wie sehen wir schnell bewegte Objekte? Kugel mit 95% der Lichtgeschwindigkeit nicht-relativistisch ohne endliche Lichtlaufzeit relativistisch ohne endliche Lichtlaufzeit nicht-relativistisch mit endlicher Lichtlaufzeit

69 3.8. Wie sehen wir schnell bewegte Objekte? Kugel mit 95% der Lichtgeschwindigkeit nicht-relativistisch ohne endliche Lichtlaufzeit relativistisch ohne endliche Lichtlaufzeit nicht-relativistisch mit endlicher Lichtlaufzeit relativistisch mit endlicher Lichtlaufzeit

70 3.8. Wie sehen wir schnell bewegte Objekte? Kugel mit 95% der Lichtgeschwindigkeit nicht-relativistisch ohne endliche Lichtlaufzeit relativistisch ohne endliche Lichtlaufzeit nicht-relativistisch mit endlicher Lichtlaufzeit relativistisch mit endlicher Lichtlaufzeit Würfel mit 95% der Lichtgeschwindigkeit relativistisch mit endlicher Lichtlaufzeit

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83 Verzerrung

84 Verzerrung

85 Verzerrung

86 Verzerrung

87 Verzerrung

88 Verzerrung

89 Verzerrung

90 Verzerrung

91 Verzerrung Dehnung v = 0

92 Verzerrung Dehnung v = 0.87 c

93 Verzerrung Dehnung v = 0.87 c

94 Verzerrung Dehnung v = 0.87 c

95 Verzerrung Dehnung v = 0.87 c

96 Flug durch das Brandenburger Tor v = 0 v = 0.90c v = 0.99c

97 4. Allgemeine Relativitätstheorie (ART) 4.1. Der Weg zur ART 10 Jahre intensive und manchmal qualvolle Studien bis zur ART (im heutigen Wissenschaftsbetrieb an den Unis nicht mehr möglich)

98 4. Allgemeine Relativitätstheorie (ART) 4.1. Der Weg zur ART 10 Jahre intensive und manchmal qualvolle Studien bis zur ART (im heutigen Wissenschaftsbetrieb an den Unis nicht mehr möglich) Brief an Sommerfeld (1912) Ich beschäftige mich jetzt ausschließlich mit dem Gravitationsproblem... Aber das eine ist sicher, daß ich mich im Leben noch nicht annähernd so geplagt habe... Gegen dies Problem ist die ursprüngliche (spezielle) Relativitätstheorie eine Kinderei.

99 4.2. Träge und schwere Masse Elektrisches Feld: F = ee träge Masse d 2 m t dt2r = ee

100 4.2. Träge und schwere Masse Elektrisches Feld: F = ee Gravitationsfeld: F = m s G träge Masse d 2 m t dt2r = ee m t d 2 dt 2r = m sg träge Masse schwere Masse

101 4.2. Träge und schwere Masse Elektrisches Feld: F = ee Gravitationsfeld: F = m s G träge Masse Experiment: d 2 m t dt2r = ee träge Masse = schwere Masse m t d 2 dt 2r = m sg träge Masse schwere Masse

102 4.2. Träge und schwere Masse Elektrisches Feld: F = ee Gravitationsfeld: F = m s G träge Masse Experiment: d 2 m t dt2r = ee Aber warum? träge Masse = schwere Masse m t d 2 dt 2r = m sg träge Masse schwere Masse

103 4.2. Träge und schwere Masse Elektrisches Feld: F = ee Gravitationsfeld: F = m s G träge Masse Experiment: Aber warum? d 2 m t dt2r = ee träge Masse = schwere Masse 4.3. Newton Gravitation unvereinbar mit SRT m t d 2 dt 2r = m sg träge Masse schwere Masse Nehme an: Sonne explodiert

104 4.2. Träge und schwere Masse Elektrisches Feld: F = ee Gravitationsfeld: F = m s G träge Masse Experiment: Aber warum? d 2 m t dt2r = ee träge Masse = schwere Masse 4.3. Newton Gravitation unvereinbar mit SRT Nehme an: Sonne explodiert m t d 2 dt 2r = m sg träge Masse schwere Masse nach Newton: SRT: spüre dies sofort sehe Explosion erst nach ca. 8 Min.

105 4.4. Äquivalenzprinzip Auf ruhenden Aufzug wirkt Gravitationskraft.

106 4.4. Äquivalenzprinzip Auf ruhenden Aufzug wirkt Gravitationskraft. Aufzug in Schwerelosigkeit wird nach oben beschleunigt.

107 4.4. Äquivalenzprinzip Auf ruhenden Aufzug wirkt Gravitationskraft. Aufzug in Schwerelosigkeit wird nach oben beschleunigt. Beobachter merkt keinen Unterschied: also: Gravitationseffekt durch entsprechende beschleunigte Bewegung nachahmbar

108 Gilt nur lokal:

109 Gilt nur lokal:

110 Gilt nur lokal:

111 Gilt nur lokal:

112 Gilt nur lokal:

113 Gilt nur lokal:

114 Gilt nur lokal:

115 zurück zur SRT: Betrachte nicht beschleunigten fensterloser Zug = keine Möglichkeit Geschwindigkeit zu bestimmen

116 zurück zur SRT: Betrachte nicht beschleunigten fensterloser Zug = keine Möglichkeit Geschwindigkeit zu bestimmen jetzt zur ART: Betrachte jetzt winziges Abteil mit Beschleunigung: = keine Möglichkeit festzustellen, ob beschleunigter Zug oder nichtbeschleunigter Zug mit Gravitation

117 zurück zur SRT: Betrachte nicht beschleunigten fensterloser Zug = keine Möglichkeit Geschwindigkeit zu bestimmen jetzt zur ART: Betrachte jetzt winziges Abteil mit Beschleunigung: = keine Möglichkeit festzustellen, ob beschleunigter Zug oder nichtbeschleunigter Zug mit Gravitation Aquivalenzprinzip: (lokal für hinreichend kleine Raumgebiete) Beschleunigung Gravitation

118 Beschleunigung: Änderung des Geschwindigkeitsbetrages oder der Richtung

119 Beschleunigung: Änderung des Geschwindigkeitsbetrages oder der Richtung betrachte Richtungsänderung im Karussell:

120 Beschleunigung: Änderung des Geschwindigkeitsbetrages oder der Richtung betrachte Richtungsänderung im Karussell: = künstliches Schweregefühl

121 ruhender Hänsel misst Umfang und Radius des Karussells (Achtung: Karussell dreht sich, Umfang nicht lorentzkontrahiert)

122 ruhender Hänsel misst Umfang und Radius des Karussells (Achtung: Karussell dreht sich, Umfang nicht lorentzkontrahiert) Hänsel stellt fest: Umfang = 2 π Radius (klar und ok)

123 ruhender Hänsel misst Umfang und Radius des Karussells (Achtung: Karussell dreht sich, Umfang nicht lorentzkontrahiert) Hänsel stellt fest: Umfang = 2 π Radius (klar und ok) Jetzt Perspektive des Fahrgastes Gretel:

124 ruhender Hänsel misst Umfang und Radius des Karussells (Achtung: Karussell dreht sich, Umfang nicht lorentzkontrahiert) Hänsel stellt fest: Umfang = 2 π Radius (klar und ok) Jetzt Perspektive des Fahrgastes Gretel: Gretel bekommt von Hänsel Lineal zugeworfen Lineal lorentzkontrahiert = muß öfter anlegen

125 ruhender Hänsel misst Umfang und Radius des Karussells (Achtung: Karussell dreht sich, Umfang nicht lorentzkontrahiert) Hänsel stellt fest: Umfang = 2 π Radius (klar und ok) Jetzt Perspektive des Fahrgastes Gretel: Gretel bekommt von Hänsel Lineal zugeworfen Lineal lorentzkontrahiert = muß öfter anlegen Gretel denkt aber immer noch Länge des Lineals = 30 cm

126 ruhender Hänsel misst Umfang und Radius des Karussells (Achtung: Karussell dreht sich, Umfang nicht lorentzkontrahiert) Hänsel stellt fest: Umfang = 2 π Radius (klar und ok) Jetzt Perspektive des Fahrgastes Gretel: Gretel bekommt von Hänsel Lineal zugeworfen Lineal lorentzkontrahiert = muß öfter anlegen Gretel denkt aber immer noch Länge des Lineals = 30 cm = Gretel misst größeren Umfang als Hänsel draußen

127 Wie ist das mit dem Radius?

128 Wie ist das mit dem Radius? Radius senkrecht zur Bewegungsrichtung

129 Wie ist das mit dem Radius? Radius senkrecht zur Bewegungsrichtung = keine Lorentzkontraktion = gleicher Radius von außen und innen betrachtet

130 Wie ist das mit dem Radius? Radius senkrecht zur Bewegungsrichtung = keine Lorentzkontraktion = gleicher Radius von außen und innen betrachtet Gretel: Umfang > 2π Radius

131 Wie ist das mit dem Radius? Radius senkrecht zur Bewegungsrichtung = keine Lorentzkontraktion = gleicher Radius von außen und innen betrachtet Gretel: Umfang > 2π Radius = gekrümmter Raum

132 Wie ist das mit dem Radius? Radius senkrecht zur Bewegungsrichtung = keine Lorentzkontraktion = gleicher Radius von außen und innen betrachtet Gretel: Umfang > 2π Radius = gekrümmter Raum

133 4.5. Krümmung der Zeit Beschleunigte Bewegung = nicht nur Verzerrung des Raums, sondern auch Verzerrung der Zeit.

134 4.5. Krümmung der Zeit Beschleunigte Bewegung = nicht nur Verzerrung des Raums, sondern auch Verzerrung der Zeit. Aber, was ist verzerrte Zeit?

135 4.5. Krümmung der Zeit Beschleunigte Bewegung = nicht nur Verzerrung des Raums, sondern auch Verzerrung der Zeit. Aber, was ist verzerrte Zeit? Zeitdilatation abhängig vom Radius = Zeitdilatation abhängig von Beschleunigung

136 4.5. Krümmung der Zeit Beschleunigte Bewegung = nicht nur Verzerrung des Raums, sondern auch Verzerrung der Zeit. Aber, was ist verzerrte Zeit? Zeitdilatation abhängig vom Radius = Zeitdilatation abhängig von Beschleunigung Zeit gekrümmt heißt: Zeit vergeht an verschiedenen Orten verschieden schnell.

137 4.5. Krümmung der Zeit Beschleunigte Bewegung = nicht nur Verzerrung des Raums, sondern auch Verzerrung der Zeit. Aber, was ist verzerrte Zeit? Zeitdilatation abhängig vom Radius = Zeitdilatation abhängig von Beschleunigung Zeit gekrümmt heißt: Zeit vergeht an verschiedenen Orten verschieden schnell. größere Beschleunigung größere Zeitdilatation

138 4.5. Krümmung der Zeit Beschleunigte Bewegung = nicht nur Verzerrung des Raums, sondern auch Verzerrung der Zeit. Aber, was ist verzerrte Zeit? Zeitdilatation abhängig vom Radius = Zeitdilatation abhängig von Beschleunigung Zeit gekrümmt heißt: Zeit vergeht an verschiedenen Orten verschieden schnell. größere Beschleunigung größere Zeitdilatation Beschleunigung Gravitation

139 4.5. Krümmung der Zeit Beschleunigte Bewegung = nicht nur Verzerrung des Raums, sondern auch Verzerrung der Zeit. Aber, was ist verzerrte Zeit? Zeitdilatation abhängig vom Radius = Zeitdilatation abhängig von Beschleunigung Zeit gekrümmt heißt: Zeit vergeht an verschiedenen Orten verschieden schnell. größere Beschleunigung größere Zeitdilatation Beschleunigung Gravitation Gravitation ist Krümmung von Raum und Zeit

140 also: größere Beschleunigung größere Zeitdilatation

141 also: größere Beschleunigung größere Zeitdilatation mit: Beschleunigung Gravitation

142 also: größere Beschleunigung größere Zeitdilatation mit: Beschleunigung Gravitation folgt: je näher Hänsel der Erde kommt, desto langsamer geht die Zeit

143 4.6. Gleichungen der ART

144 4.6. Gleichungen der ART Newton Gravitationsgesetz F = Gm m r r r r 3

145 4.6. Gleichungen der ART Newton Gravitationsgesetz F = Gm m r r r r 3 ART Feldgleichungen R ik 1 2 g ikr = κ (T ik + Λg ik )

146 4.6. Gleichungen der ART Newton Gravitationsgesetz F = Gm m r r r r 3 Bewegungsgln. m d2 dt 2r = F ART Feldgleichungen R ik 1 2 g ikr = κ (T ik + Λg ik )

147 4.6. Gleichungen der ART Newton Gravitationsgesetz F = Gm m r r r r 3 Bewegungsgln. m d2 dt 2r = F ART Feldgleichungen R ik 1 2 g ikr = κ (T ik + Λg ik ) Geodäten d 2 x i ds 2 + dx k dx l Γi kl ds ds = 0

148 4.6. Gleichungen der ART Newton Gravitationsgesetz F = Gm m r r r r 3 Bewegungsgln. m d2 dt 2r = F ART Feldgleichungen R ik 1 2 g ikr = κ (T ik + Λg ik ) Geodäten d 2 x i ds 2 + dx k dx l Γi kl ds ds = 0 Feldgleichungen für Metrik g ik T ik : Energie-Impuls Tensor Masse, Energie Krümmung Metrik

149 4.7. Was ist Krümmung?

150 4.7. Was ist Krümmung? Carl Friedrich Gauß ( ) Theorema Egregium: Gaußsche Krümmung K 3 K = lim (2πr U(r)) r 0 πr 3 in der Fläche meßbar

151 4.7. Was ist Krümmung? Carl Friedrich Gauß ( ) Theorema Egregium: Gaußsche Krümmung K 3 K = lim (2πr U(r)) r 0 πr 3 in der Fläche meßbar Bernhard Riemann ( ) Riemannscher Krümmungstensor: R α βγδ folgt aus Metrik

152 4.8. Geometrie der Kräfte

153 4.8. Geometrie der Kräfte

154 4.8. Geometrie der Kräfte

155 4.8. Geometrie der Kräfte

156 4.8. Geometrie der Kräfte

157 4.8. Geometrie der Kräfte

158 4.8. Geometrie der Kräfte

159 4.8. Geometrie der Kräfte

160 4.8. Geometrie der Kräfte

161 4.8. Geometrie der Kräfte

162 4.8. Geometrie der Kräfte

163 4.8. Geometrie der Kräfte

164 4.8. Geometrie der Kräfte

165 4.8. Geometrie der Kräfte

166 4.8. Geometrie der Kräfte Paralleltransport Krümmung

167 Riemannscher Krümmungstensor: w 2 w 1 lim = R(u, v)w ɛ 0 ɛ 2 R(ɛu, ɛv)w = Rβγδu α β v γ w δ

168 Riemannscher Krümmungstensor: w 2 w 1 lim = R(u, v)w ɛ 0 ɛ 2 R(ɛu, ɛv)w = Rβγδu α β v γ w δ

169 Riemannscher Krümmungstensor: w 2 w 1 lim = R(u, v)w ɛ 0 ɛ 2 R(ɛu, ɛv)w = Rβγδu α β v γ w δ

170 Riemannscher Krümmungstensor: w 2 w 1 lim = R(u, v)w ɛ 0 ɛ 2 R(ɛu, ɛv)w = Rβγδu α β v γ w δ

171 Riemannscher Krümmungstensor: w 2 w 1 lim = R(u, v)w ɛ 0 ɛ 2 R(ɛu, ɛv)w = Rβγδu α β v γ w δ

172 Riemannscher Krümmungstensor: w 2 w 1 lim = R(u, v)w ɛ 0 ɛ 2 R(ɛu, ɛv)w = Rβγδu α β v γ w δ Krümmung Drehung SO(3, 1)

173 Also: Drehung SO(3, 1) Krümmung ART

174 Also: Drehung SO(3, 1) Krümmung ART Weyl (1918): Eich-Theorie (ART+Maxwell)

175 Also: Drehung SO(3, 1) Krümmung ART Weyl (1918): Eich-Theorie (ART+Maxwell) Weyl, Fock, London, ( ) Yang, Mills (1954) + Quantisierung: Paralleltransport kovariante Ableitung

176 Also: Drehung SO(3, 1) Krümmung ART Weyl (1918): Eich-Theorie (ART+Maxwell) Weyl, Fock, London, ( ) Yang, Mills (1954) + Quantisierung: Paralleltransport kovariante Ableitung Drehung Drehung Drehung U(1): Maxwell SU(2): schwache Wechselwirkung SU(3): starke Wechselwirkung

177 Also: Drehung SO(3, 1) Krümmung ART Weyl (1918): Eich-Theorie (ART+Maxwell) Weyl, Fock, London, ( ) Yang, Mills (1954) + Quantisierung: Paralleltransport kovariante Ableitung Drehung Drehung Drehung U(1): Maxwell SU(2): schwache Wechselwirkung SU(3): starke Wechselwirkung Geometrie von Faserbündeln

178 5. Aldi (oder Lidl oder...)

179 5. Global Positioning System - GPS

180 5. Global Positioning System - GPS

181 5. Global Positioning System - GPS oder Real, Vobis, Saturn, Mediamarkt, Acer, HP, Compaq, Yakumo, Asus, Mitac, Palm, Sony,...

182 5.1. Positionsbestimmung mit GPS Vogelkäfig aus 24 Satelliten Umlaufzeit ca. 12 Stunden Bahnradius: ca km (4 Erdradien) Lebensdauer eines Satelliten ca. 10 Jahre Bahnen der Satelliten sind bekannt Positionsbestimmung durch Triangulation

183 5.1. Positionsbestimmung mit GPS Vogelkäfig aus 24 Satelliten Umlaufzeit ca. 12 Stunden Bahnradius: ca km (4 Erdradien) Lebensdauer eines Satelliten ca. 10 Jahre Bahnen der Satelliten sind bekannt Positionsbestimmung durch Triangulation Theoretisch notwendig für Triangulation: Gleichzeitiger Abstand zu 2 Satelliten für Position in der Ebene oder auf Erdoberfläche ( 2D-Fix ) Abstand zu 3 Satelliten für Position im Raum ( 3D-Fix )

184 5.1. Positionsbestimmung mit GPS Vogelkäfig aus 24 Satelliten Umlaufzeit ca. 12 Stunden Bahnradius: ca km (4 Erdradien) Lebensdauer eines Satelliten ca. 10 Jahre Bahnen der Satelliten sind bekannt Positionsbestimmung durch Triangulation Theoretisch notwendig für Triangulation: Gleichzeitiger Abstand zu 2 Satelliten für Position in der Ebene oder auf Erdoberfläche ( 2D-Fix ) Abstand zu 3 Satelliten für Position im Raum ( 3D-Fix ) Wie bestimmt man den Abstand vom GPS-Empfänger zu den Satelliten?

185 Abstandsbestimmung durch Messung der Signallaufzeit Gewitter: Schallsignal Zeitpunkt des Absendens als Blitz sichtbar Schallgeschwindigkeit c s 340 m s d = 340 m s t 1 Sekunde Laufzeit entspricht 340 m

186 Abstandsbestimmung durch Messung der Signallaufzeit Gewitter: Schallsignal Zeitpunkt des Absendens als Blitz sichtbar Schallgeschwindigkeit c s 340 m s d = 340 m s t GPS: Funksignal (Lichtgeschwindigkeit) Zeitpunkt des Absendens und Position des Satelliten im Funksignal codiert Lichtschwindigkeit c m s d = m s t 1 ns = s Laufzeit entspricht 30 cm 1 Sekunde Laufzeit entspricht 340 m Absendezeitpunkt muss für Navigation bis auf Nanosekunden genau sein! Atom-Uhren an Bord der Satelliten. Aber: GPS-Empfänger hat keine Atomuhr, nur Quarz-Uhr! Ankunftszeit zunächst nicht genau genug Zeitdifferenz unbrauchbar!

187 Lösung durch Messung eines zusätzlichen Satelliten (3 für 2D-Fix, 4 für 3D-Fix): Beispiel: Empfänger-Uhr geht nach, Kreise schneiden sich nicht. Signale inkonsistent, damit Korrekturberechnung im GPS-Empfänger

188 Lösung durch Messung eines zusätzlichen Satelliten (3 für 2D-Fix, 4 für 3D-Fix): Korrektur, so dass Laufzeiten konsistent sind Eichung der Empfänger-Uhr!

189 Lösung durch Messung eines zusätzlichen Satelliten (3 für 2D-Fix, 4 für 3D-Fix): Korrektur, so dass Laufzeiten konsistent sind Eichung der Empfänger-Uhr! Was hat das alles mit Relativität zu tun?

190 Relativistische Effekte: Satellit funkt Absendezeitpunkt t S GPS-Empfänger misst Ankunftzeitpunkt t E und bildet Differenz t = t E t S aber: t E und t S sind in verschiedenen Bezugssystemen gemessen!

191 Relativistische Effekte: Satellit funkt Absendezeitpunkt t S GPS-Empfänger misst Ankunftzeitpunkt t E und bildet Differenz t = t E t S aber: t E und t S sind in verschiedenen Bezugssystemen gemessen! 1. Satellit bewegt sich relativ zum Beobachter mit 2π 26600km/12h 4km/s Satelliten-Uhr scheint langsamer zu laufen (7200ns pro Tag), SRT-Effekt 2. Satellit befindet sich auf höherem Gravitationspotential als Beobachter Satelliten-Uhr scheint schneller zu laufen (45900ns pro Tag), ART-Effekt

192 Relativistische Effekte: Satellit funkt Absendezeitpunkt t S GPS-Empfänger misst Ankunftzeitpunkt t E und bildet Differenz t = t E t S aber: t E und t S sind in verschiedenen Bezugssystemen gemessen! 1. Satellit bewegt sich relativ zum Beobachter mit 2π 26600km/12h 4km/s Satelliten-Uhr scheint langsamer zu laufen (7200ns pro Tag), SRT-Effekt 2. Satellit befindet sich auf höherem Gravitationspotential als Beobachter Satelliten-Uhr scheint schneller zu laufen (45900ns pro Tag), ART-Effekt Die Atomuhr im Satelliten scheint in der Summe ca ns pro Tag schneller zu laufen als Uhren auf der Erde

193 Relativistische Effekte: Satellit funkt Absendezeitpunkt t S GPS-Empfänger misst Ankunftzeitpunkt t E und bildet Differenz t = t E t S aber: t E und t S sind in verschiedenen Bezugssystemen gemessen! 1. Satellit bewegt sich relativ zum Beobachter mit 2π 26600km/12h 4km/s Satelliten-Uhr scheint langsamer zu laufen (7200ns pro Tag), SRT-Effekt 2. Satellit befindet sich auf höherem Gravitationspotential als Beobachter Satelliten-Uhr scheint schneller zu laufen (45900ns pro Tag), ART-Effekt Die Atomuhr im Satelliten scheint in der Summe ca ns pro Tag schneller zu laufen als Uhren auf der Erde Zeitsignale sind hochpräzise, aber sie senden die falsche Zeit Technische Lösung: Uhren verstimmt

194 Weitere Einflüsse: Auch Beobachter bewegt sich aufgrund der Erdrotation ( Sagnac-Effekt, Äquator: ca. 500 m/s), Gravitationsfeld der Erde an Polen stärker als am Äquator (Geoid ist keine Kugel) Diese Effekte heben sich praktisch gegenseitig auf. Satellitenbahnen besitzen (geringe) Elliptizität, notwendige Korrekturen werden im GPS-Empfänger berechnet. Bahnen werden durch Mond etc. gestört. Beeinflussung der Wellenausbreitung in der Atmosphäre etc.... bisher unbekannte Effekte, die die Übereinstimmung der Satelliten- Uhren mit Erd-Uhren stören Uhren werden hin und wieder gegen Erd-Uhren synchronisiert ( gestellt ).

195 Weitere Einflüsse: Auch Beobachter bewegt sich aufgrund der Erdrotation ( Sagnac-Effekt, Äquator: ca. 500 m/s), Gravitationsfeld der Erde an Polen stärker als am Äquator (Geoid ist keine Kugel) Diese Effekte heben sich praktisch gegenseitig auf. Satellitenbahnen besitzen (geringe) Elliptizität, notwendige Korrekturen werden im GPS-Empfänger berechnet. Bahnen werden durch Mond etc. gestört. Beeinflussung der Wellenausbreitung in der Atmosphäre etc.... bisher unbekannte Effekte, die die Übereinstimmung der Satelliten- Uhren mit Erd-Uhren stören Uhren werden hin und wieder gegen Erd-Uhren synchronisiert ( gestellt ). GPS ist nicht nur praktisch, sondern auch eine ausgezeichnete Bestätigung von SRT und ART

196 ... und jede(r) kann sie im Laden kaufen.

197 ... und jede(r) kann sie im Laden kaufen. 80 Jahre nach ART = GPS (Hätte Einstein das gedacht?)

198 ... und jede(r) kann sie im Laden kaufen. 80 Jahre nach ART = GPS (Hätte Einstein das gedacht?) Was kommen dann erst aus Quantenchromodynamik Quantengravitation Spin-Netzwerken und Superstrings für Anwendungen hervor???

199 Doppelspalt und Pfadintegral

200 Doppelspalt und Pfadintegral

201 Doppelspalt und Pfadintegral

202 Doppelspalt und Pfadintegral

203 Doppelspalt und Pfadintegral

204 Doppelspalt und Pfadintegral

205 Doppelspalt und Pfadintegral

206 Doppelspalt und Pfadintegral Feynmansches Pfadintegral: ψ alle Pfade exp ((i/ )S[x]) (Summe über alle Wege)

207 6.2. Vakuumfluktuationen Heisenbergsche Unschärfe: x p /2 Feldtheorie: das Vakuum bebt!!! = Krümmung

208 6.2. Vakuumfluktuationen Heisenbergsche Unschärfe: x p /2 Feldtheorie: das Vakuum bebt!!! = Krümmung

209 6.2. Vakuumfluktuationen Heisenbergsche Unschärfe: x p /2 Feldtheorie: das Vakuum bebt!!! = Krümmung

210 6.2. Vakuumfluktuationen Heisenbergsche Unschärfe: x p /2 Feldtheorie: das Vakuum bebt!!! = Krümmung

211 6.2. Vakuumfluktuationen Heisenbergsche Unschärfe: x p /2 Feldtheorie: das Vakuum bebt!!! = Krümmung

212 Schwarzschild-Radius = Compton-Wellenlänge r S = GM c 2 = λ C = Mc

213 Schwarzschild-Radius = Compton-Wellenlänge r S = GM c 2 = λ C = Mc = c Planck-Masse M = G g GeV Planck-Länge Planck-Zeit m s

214 Schwarzschild-Radius = Compton-Wellenlänge r S = GM c 2 = λ C = Mc = c Planck-Masse M = G g GeV Planck-Länge Planck-Zeit m s Singularitäten: Schwarze Löcher, Urknall Planck-Länge

215 Schwarzschild-Radius = Compton-Wellenlänge r S = GM c 2 = λ C = Mc = c Planck-Masse M = G g GeV Planck-Länge Planck-Zeit m s Singularitäten: Schwarze Löcher, Urknall Planck-Länge Quantengravitation

216 6.3. Wege zu einer Quantengravitation Superstring- und M-Theorie Schleifen Quantengravitation Kausale dynamische Triangulation Ist ART doch renormierbar? AdS/CFT

217 Superstring- und M-Theorie Motivation: Teilchenphysik Perturbative Superstringtheorie: punktförmige Teilchen werden zu Strings Strings bewegen sich in D-dimensionalen Minkowski Hintergrund Teilchen = Schwingungsanregungen des Strings allgemeiner D-Branes Highlights: Dualität Hawking-Bekenstein Entropie schwarzer Löcher Randall-Sundrum Modelle Branes und Kosmologie, Anti-deSitter AdS 5 Gravitation in 5D, Standard-Modell in 4D Branespannung = Kosmologische Konstante

218 Schleifen Quantengravitation Protagonisten: Ashtekar, Smolin, Rovelli, Baez,... Raumzeit quantisiert durch Planck-Länge und Planck-Zeit: Spin-Netzwerk

219 Highlights:

220 Highlights: Raumzeit nicht störungstheoretisch um flache Minkowski- Welt

221 Highlights: Raumzeit nicht störungstheoretisch um flache Minkowski- Welt Hawking-Bekenstein Entropie schwarzer Löcher

222 Highlights: Raumzeit nicht störungstheoretisch um flache Minkowski- Welt Hawking-Bekenstein Entropie schwarzer Löcher braucht keine Supersymmetrie (kann aber)

223 Highlights: Raumzeit nicht störungstheoretisch um flache Minkowski- Welt Hawking-Bekenstein Entropie schwarzer Löcher braucht keine Supersymmetrie (kann aber) Raumstruktur körnig = dispersives Verhalten für Licht Lichtgeschwindigkeit von der Farbe abhängig (überprüfbar mit Gamma Ray Bursts?)

224 Highlights: Raumzeit nicht störungstheoretisch um flache Minkowski- Welt Hawking-Bekenstein Entropie schwarzer Löcher braucht keine Supersymmetrie (kann aber) Raumstruktur körnig = dispersives Verhalten für Licht Lichtgeschwindigkeit von der Farbe abhängig (überprüfbar mit Gamma Ray Bursts?) Inflation durch Quanteneffekte erklärbar

225 Highlights: Raumzeit nicht störungstheoretisch um flache Minkowski- Welt Hawking-Bekenstein Entropie schwarzer Löcher braucht keine Supersymmetrie (kann aber) Raumstruktur körnig = dispersives Verhalten für Licht Lichtgeschwindigkeit von der Farbe abhängig (überprüfbar mit Gamma Ray Bursts?) Inflation durch Quanteneffekte erklärbar keine TOY (theory of everything)

226 Ist ART doch renormierbar? Graviton: Spin 2 = nicht renormierbar Reuter und Saueressig (2002): Renormierung von Gravitations- und kosmologischer Konstante nicht Gausscher Fixpunkt = kleines Λ > 0

227 Kausale dynamische Triangulation Ambjørn, Junkiewicz, Loll (2004) Lorentz Pfad-Integral Monte Carlo über Geometrien: (erhält kausale Struktur) glatte 3+1D Raumzeit mit Λ > 0

228 7. Spannend!!!

229 7. Spannend!!! augenblickliche Phase mindestens so interessant wie vor QM

230 7. Spannend!!! augenblickliche Phase mindestens so interessant wie vor QM Ideen: besser als jeder Science Fiction Roman

231 7. Spannend!!! augenblickliche Phase mindestens so interessant wie vor QM Ideen: besser als jeder Science Fiction Roman Einstein gegenüber Heisenberg: Erst die Theorie entscheidet darüber, was man beobachten kann. siehe W. Heisenberg, Der Teil und das Ganze

232 8. Prof. Dr. Brain Greene (Columbia): Das elegante Universum (Siedler 2000) PD Dr. Ute Kraus (Tübinger Gruppe um Herrn Prof. Dr. Hanns Ruder) Planetarium Bochum Mittwoch, 18.5., 19:30 Uhr Schwarze Löcher und fast lichtschnelle Flüge: Einsteins Physik im Computer Prof. Dr. Bernard F. Schutz (AIP Potsdam)

233 Prof. Dr. C.W. Francis Everitt (Stanford) Gravity B Probe Prof. Dr. Claus Kiefer (Köln) Quantum Gravity (Oxford 2004) Prof. Dr. Jan Louis (Hamburg)

234 DPG-Fortbildungskurse für Physiklehrer im Physikzentrum Bad Honnef Kurs 1: 13. bis 17. Juni 2005 Zum Einstein-Jahr 2005: Spezielle und allgemeine Relativitätstheorie Wissenschaftliche Leitung: Prof. Dr. Karl-Heinz Lotze, Friedrich Schiller-Universität Jena PD Dr. Ute Kraus, Eberhard-Karls-Universität Tübingen und noch etwas für die Schüler und Studenten Prof. K. Goeke: Einführung in die Kosmologie SS05 montags, NB 2/99 und etwas für die Studenten R.G. WS05/06 Allgemeine Relativitätstheorie

235 DPG-Fortbildungskurse für Physiklehrer im Physikzentrum Bad Honnef Kurs 1: 13. bis 17. Juni 2005 Zum Einstein-Jahr 2005: Spezielle und allgemeine Relativitätstheorie Wissenschaftliche Leitung: Prof. Dr. Karl-Heinz Lotze, Friedrich Schiller-Universität Jena PD Dr. Ute Kraus, Eberhard-Karls-Universität Tübingen und noch etwas für die Schüler und Studenten Prof. K. Goeke: Einführung in die Kosmologie SS05 montags, NB 2/99 und etwas für die Studenten R.G. WS05/06 Allgemeine Relativitätstheorie Danke für Ihre Aufmerksamkeit