Klausur zu den Mathematischen Methoden in der Physik

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Valentin Winkler
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1 Klausur zu den Mathematischen Methoden in der Phsik Regeln: i.) Außer Schreibutensilien sind keine weiteren Hilfsmittel erlaubt. Verwenden Sie dokumentenechtes Schreibwerkzeug (kein Bleistift!). ii.) Bitte jeden Bogen mit Namen und Matrikelnummer versehen und für jede Aufgabe eine neue Seite beginnen. Anmerkungen, Rechnungen, etc. auf den Aufgabenblättern werden nicht gewertet. iii.) Für Lehramtsstudenten sind nur die Aufgaben ohne Stern?, für Bachelor-Studenten sind alle Aufgaben zu bearbeiten. Kreuzen Sie Ihr Fach bitte auf dem Deckblatt an, ansonsten legen wir automatisch die Bachelorklausur zugrunde. iv.) Die Bearbeitungszeit für die Klausur beträgt 180 Minuten für Bachelorstudenten und 135 Minuten für Lehramtsstudenten. v.) Bitte auch die bearbeiteten Aufgaben in der Tabelle ankreuzen! vi.) Insgesamt können für Bachelorstudenten 100 und für Lehramtsstudenten 70 Punkte erreicht werden. vii.) Pro bestandenem Zwischentest wird die erreichte Punktzahl um 10 % aufgestockt. Nachname: Vorname: Matrikelnr.: Studiengang: Fachsemester: Geburtsdatum: Bachelor Lehramt Aufgabe bearbeitet Punkte möglich Korrektor /23? 5 12? 6 12? Summe 70/100? Bonus 210% Gesamtergebnis 70/100? Note:

2 Hiermit bestätige ich, dass ich verbindlich zur Klausur zu den Mathematischen Methoden der Phsik WS2013/2014 angemeldet bin. Ich wurde darüber in Kenntnis gesetzt, dass ein Nichtbestehen der Klausur offiziell als Fehlversuch gewertet wird. Saarbrücken, Anmerkungen: Fast alle Aufgabenteile sind unabhängig voneinander lösbar, die Schwierigkeit der einzelnen Aufgabenteile kann aber stark variieren. Kennzeichnen Sie die Benutzung von Formeln aus der Vorlesung oder den Aufgabenteten. Definieren Sie Ihre Abkürzungen, falls Sie welche benutzen. Viel Erfolg!

Universität des Saarlandes Fakultät 7 Phsik und Mechatronik Fachrichtung 7.1 Theoretische Phsik Prof. Dr. L. Santen Dr. C. Arita P. Hudalla Saarbrücken, den 12.02.

3 Universität des Saarlandes Fakultät 7 Phsik und Mechatronik Fachrichtung 7.1 Theoretische Phsik Prof. Dr. L. Santen Dr. C. Arita P. Hudalla Saarbrücken, den Hauptklausur zu den Mathematischen Methoden in der Phsik WS2013/2014 Aufgabe 1 Mathematische Grundlagen [ = 13 Punkte] a) Bestimmen Sie die folgende komplee Zahl in Polarform und geben Sie den Hauptwert des Arguments an: p 2 2 3(1 + i) 1+i b) Berechnen Sie die folgenden beiden Integrale: i) Z e 0 log d ii) Z apple1, 0 ( )d d c) Lösen Sie dieses Gleichungssstem 8 >< 2 + z = z = 8 >: + +2z = 5 Aufgabe 2 Rechnen mit Matrizen [ = 24 Punkte] a) Es sei eine Matri A = i) Berechnen Sie tr A und det A. 4 2i i gegeben. 1+i 1 ii) Finden Sie die transponierte Matri A T, die komple konjugierte Matri A und die hermitesch konjugierte Matri A von A. b) Sei ein Eigenwert einer beliebigen n n Matri A. Zeigen Sie, dass mit der n n Einheitsmatri Id gilt. det( Id A) =0 S. 1 von 4

4 2 3 c) Sei nun A =. 4 2 i) Die Matri A hat zwei Eigenwerte 1, 2 2 Z ( 1 < 2 ). Berechnen Sie die Eigenwerte und die a c Eigenvektoren v 1 =, v b 2 = Av d j = j v j (j =1, 2). [Hinweis: Sie müssen die Eigenvektoren nicht normieren.] a c ii) Sei S =. Berechnen Sie S b d 1 und S 1 AS. iii) Berechnen Sie A n (n 2 N) und e A. iv) Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme: ( a n+1 =2a n +3b n ) b n+1 =4a n 2b n 8 d >< (t) =2(t)+3(t) ) dt >: d (t) =4(t) dt 2(t) ( a 0 =1 b 0 = 1 ( (0) = 1 (0) = 2 Aufgabe 3 Vektoranalsis [ = 16 Punkte] a) Sei u =( + z) i + z j + z 2 k. Berechnen Sie die Divergenz r u und die Rotation r u. b) Sei f eine Funktion definiert durch f(, ) = i) Berechnen Sie den Gradienten rf und finden Sie zwei kritische Punkte. ii) Berechnen Sie nun die Etremwerte (Maima oder Minima) bzw. die Werte an den Sattelpunkten und geben Sie jeweils an, um welchen Tp es sich dabei handelt. c) Berechnen Sie f f für die Funktion f(,, z) = p z 2. Hier ist der Laplace-Operator. S. 2 von 4

5 Aufgabe 4 Weg- und Flächenintegrale [ = 23 Punkte] Achtung: Die Aufgabenteile 4b) und 4c) zählen auch für Lehrämtler und sind lösbar ohne 4a) zu bearbeiten!?a) Gegeben sei eine geschlossene Kurve C in der - Ebene (z =0). ZZ Zeigen Sie, dass der Flächeninhalt F = d d der Region S, die von C eingeschlossen wird, als ( ) F = 1 Z ( d + d) 2 S ausgedrückt werden kann. [Hinweis: Nutzen Sie den Satz von Stokes.] C z S C b) Betrachten Sie die Kurve C n (n =2, 3, 4,...) 8 >< = cos t + 1 n cos(nt) t=4 /5 t=2 /5 >: =sint 1 n sin(nt) (0 apple t apple 2 ). t=0;2 t=6 /5 t=8 /5 n =4 n =9 n = 20 i) Berechnen Sie den Flächeninhalt F n des von C n eingeschlossenen Gebiets und zeigen Sie, dass gilt: [Hinweis: Nutzen Sie die Formel ( ) aus a).] lim F n =. n!1 ii) Berechnen Sie die Länge `n der Kurven C n, und zeigen Sie, dass `n unabhängig von n und größer als 2 ist. [Hinweis: Bedenken Sie, dass die Kurve C n aus n +1Stücken mit jeweils gleicher Länge besteht (s. Skizze für n =4). Sie müssen das Integral dann nur für ein solches Stück berechnen. Überlegen Sie sich dazu, wie sich die passenden Integralgrenzen ergeben.] Formelsammlung zu 4b): (I) cos( + ) = cos cos sin sin (II) cos =1 2sin 2 2 S. 3 von 4

6 ?Aufgabe 5 Satz von Gauß [6 + 6 = 12 Punkte] Sei r = i + j + z k. Wir betrachten das Oberflächenintegral: ZZ r n I := r 3 da. Berechnen Sie I für n o a) S = z 2 = R 2 (R>0) [Hinweis: Parametrisieren Sie S als = R sin cos ', = R sin sin ', z = R cos mit 0 apple apple, 0 apple ' apple 2.] n o b) S = ( a) z 2 = R 2 (a>r>0) [Hinweis: Nutzen Sie den Satz von Gauß.] S?Aufgabe 6 Differentialgleichungen [6 + 6 = 12 Punkte] Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme für (): a) =0,(0) = 1, 0 (0) = 1 b) 0 2 = 2 3,(0) = 2 [Hinweis: Verwenden Sie als Ansatz () =e 2 u().] S. 4 von 4

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