Vorkurs Informatik SoSe 15

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1 Algorithmen 2 Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit, Technische Universität Braunschweig, IPS

2 Inhaltsverzeichnis Vorüberlegungen Ameisen-Prinzip Dijkstra-Algorithmus Schilda-Rallye Was steckt dahinter? Darstellung von Graphen Zusammenfassung Datenstrukturen Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 2

3 Einführung Routenplaner Wie finde ich den günstigsten Weg? Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 3

4 Einführung Routenplaner Wie finde ich den günstigsten Weg? Eine Möglichkeit: Alle Weg durchprobieren Kürzesten Weg wählen Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 3

5 Einführung Routenplaner Wie finde ich den günstigsten Weg? Eine Möglichkeit: Alle Weg durchprobieren Kürzesten Weg wählen Bei Computern heißt dieser Ansatz Brute-Force : Rechner haben keine Intelligenz Müssen alle Möglichkeiten durchprobieren Menschen können absurde und unwahrscheinliche Möglichkeiten verwerfen Hier schon viele Möglichkeiten, man denke an Karten mit 1000 Städten Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 3

6 Überblick Vorüberlegungen Ameisen-Prinzip Dijkstra-Algorithmus Schilda-Rallye Was steckt dahinter? Darstellung von Graphen Zusammenfassung Datenstrukturen Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 4

7 Vorüberlegungen Methode der Abstraktion Wie kommt man in der Informatik zu einer besseren Lösung? Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 5

8 Vorüberlegungen Methode der Abstraktion Wie kommt man in der Informatik zu einer besseren Lösung? In zur Verfügung stehender Informationen stecken sowohl relevante als auch unwesentliche Anteile. Durch Abstraktion reduzieren Sie die Informationen auf das für die aktuelle Problemlösung Wesentliche: Dadurch können Sie sich besser auf die Aufgabe konzentrieren Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 5

9 Vorüberlegungen Informationen der Karte Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 6

10 Vorüberlegungen Informationen der Karte Namen der Städte Position der Städte Größe der Städte Verlauf der Straßen Länge der Straßen Namen und Nummern der Straßen Straßentyp Straße führt von... nach Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 6

11 Vorüberlegungen Informationen der Karte Name der Städte Position der Städte Größe der Städte Verlauf der Straßen Länge der Straßen Namen und Nummern der Straßen Straßentyp Straße führt von... nach... Wichtig! Wenn man nicht weiß, welche Stadt wie heißt, kann auch nicht der kürzeste Weg zwischen Imstadt und Oppenheim bestimmt werden. Unwichtig! Es ist uns egal, wo sich die Städte genau befinden. Relevant sind nur die Straßen zwischen den Städten. Unwichtig! Kommt in unserer Aufgabenstellung nirgendwo vor. Unwichtig! Es kommt nur auf die Länge der Strecke an, nicht auf den Verlauf. Wichtig! Um die Reisestrecke zu bestimmen, brauchen wir die einzelnen Strecken zwischen den Orten. Unwichtig! Zumindest zur Bestimmung der kürzesten Strecke irrelevant. Unwichtig! Da es nur auf die Entfernungen, nicht auf die Zeit ankommt, ist es egal, ob Autobahn oder Feldweg gefahren wird. Wichtig! Wir benötigen die Informationen, von welcher Stadt zu welcher anderen eine Straße führt.

12 Vorüberlegungen Informationen der Karte Name der Städte Position der Städte Größe der Städte Verlauf der Straßen Länge der Straßen Namen und Nummern der Straßen Straßentyp Straße führt von... nach... Wichtig! Wenn man nicht weiß, welche Stadt wie heißt, kann auch nicht der kürzeste Weg zwischen Imstadt und Oppenheim bestimmt werden. Unwichtig! Es ist uns egal, wo sich die Städte genau befinden. Relevant sind nur die Straßen zwischen den Städten. Unwichtig! Kommt in unserer Aufgabenstellung nirgendwo vor. Unwichtig! Es kommt nur auf die Länge der Strecke an, nicht auf den Verlauf. Wichtig! Um die Reisestrecke zu bestimmen, brauchen wir die einzelnen Strecken zwischen den Orten. Unwichtig! Zumindest zur Bestimmung der kürzesten Strecke irrelevant. Unwichtig! Da es nur auf die Entfernungen, nicht auf die Zeit ankommt, ist es egal, ob Autobahn oder Feldweg gefahren wird. Wichtig! Wir benötigen die Informationen, von welcher Stadt zu welcher anderen eine Straße führt.

13 Vorüberlegungen Abstrakte Form der Landkarte Karte wurde anhand der relevanten Daten neu gezeichnet. Die Städte wurden der Übersicht wegen durch deren Anfangsbuchstaben ersetzt. Jedoch noch Spezialitäten vorhanden: An vier Stellen kreuzen sich die Straßen, ohne Auf- und Abfahrten (Bogen) An drei Stellen schneiden sich die Straßen mit Auf- und Abfahrten (Punkt) Ein Problem sollte möglichst gleichförmig sein, um das Denken zu erleichtern Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 8

14 Vorüberlegungen Methode der Gleichformung Versuchen Sie, die verschiedenen Facetten eines Problems auf die gleichen Grundelemente zurückzuführen. Dadurch wird einerseits das Problem übersichtlicher und andererseits benötigt man weniger Lösungsansätze: Für gleichförmige Teilprobleme kann der gleiche Lösungsansatz verwendet werden Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 9

15 Vorüberlegungen Anwendung der Gleichformung Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 10

16 Vorüberlegungen Anwendung der Gleichformung Auf der Karte sind Städte als Kreise eingezeichnet. Hier kann man offenbar problemlos von einer Straße auf eine angrenzende Straße wechseln. Genau das soll auch an den mit einem Punkt gekennzeichneten Stellen möglich sein. Also tun wir einfach so, als wenn sich dort auch Städte befinden. Um eine Verwechselung mit den anderen Städten zu vermeiden, kennzeichnen wir sie mit X, Y und Z. An allen anderen Stellen ist ein Wechsel nicht möglich, daher kann auch die Kennzeichnung durch einen Bogen entfallen Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 10

17 Vorüberlegungen Anwendung der Gleichformung Sehen wir uns noch einmal die Tabelle mit den ursprünglich vorhandenen Informationen an Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 10

18 Vorüberlegungen Anwendung der Gleichformung Die Städte sind immer noch an ihrer geographischen Position eingezeichnet: Ballungszentren vorhanden Straßenführung wird unübersichtlich Wir haben die Position der Städte jedoch als irrelevant eingestuft: Karte kann daher entzerrt werden Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 11

19 Vorüberlegungen Entzerrte Landkarte Es wurde lediglich die Darstellung geändert. Die Verbindungen zwischen den Städten und deren Längenangaben bleiben unverändert Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 12

21 Ameisen-Prinzip Lernen von der Natur Wie kommen wir denn nun zum kürzesten Weg von Imstadt nach Oppenheim? Der direkte Ansatz, alle vollständigen Wege zu betrachten, ist ja bereits gescheitert. Vielleicht können wir von der Natur lernen: Ein Stamm Ameisen hat auf der Suche nach Futter ein ähnliches Problem: Eine Kundschafterin findet ein großes Stück Fleisch. Welchen Weg sollen die Arbeiterinnen nehmen, um die Beute am schnellsten zu sichern? Setzen wir also den Stamm Ameisen auf unseren Ausgangspunkt Imstadt (I): Fünf Wege führen von dort weg, also teilen sich unzählige Ameisen auf, um diese zu erkunden Wir nehmen an, dass alle Ameisen gleich schnell sind: Gedopt schaffen sie einen km pro Minute Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 14

22 Ameisen-Prinzip Der Aufbruch Auf der Landkarte verfolgen wir den Weg der Ameisen: Nach 34 Minuten haben sie B erreicht. Was haben wir dadurch gelernt? Um von I nach B zu kommen, gibt es garantiert keinen günstigeren Weg als den mit 34 km. Denn die Ameisen haben ja sämtliche bisher für sie möglichen Wege ausprobiert und sind nach 34 km zuerst bei B angekommen Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 15

23 Ameisen-Prinzip Die Erkundung geht weiter Wie geht es jetzt weiter? Die Ameisen, die bisher nirgendwo angekommen sind, setzen ihren Weg fort. Die Ameisen bei B teilen sich erneut auf: wieder sind fünf Wege möglich. Den Erfolg dokumentieren sie, indem sie den bisherigen Weg markieren und die Entfernung notieren Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 16

24 Ameisen-Prinzip Ameisen auf Kollisionskurs Nach 40 Minuten kommt ein Trupp bei C an: Sie sind die Ersten. Daher: Strecke markieren, Entfernung notieren und auf die weiteren Wege aufteilen. In der 43. Minute kommt der Trupp auch als Erster bei M an: Somit stehen die kürzesten Strecken zu B, C und M fest. Die Ameisen sind sowohl von M als auch von C unterwegs und somit auf Kollisionskurs. Bringt ihnen das etwas für ihr Ziel, das Gelände zu erkunden? Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 17

25 Ameisen-Prinzip Erste Trupps kehren zurück Der Trupp von C weiß, dass dieses Ziel bereits erreicht ist, die kürzeste Strecke also schon feststeht. Der Trupp von M weiß das Gleiche von seinem Ausgangspunkt zu berichten: Also wird die Strecke als unbrauchbar markiert. Die Ameisen können zurück zu ihrem Stamm, da es sinnlos wäre noch weiter zu marschieren Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 18

26 Ameisen-Prinzip Und es geht weiter Als nächstes kommen zwei Trupps gleichzeitig an: In der 55. Minute erreichen sie P und X: Wieder teilen sie sich auf. Von X gibt es nur einen Erfolg versprechenden Weg. Bei den anderen Treffen sie recht schnell auf Kameraden. Die von P ausgehenden Strecken sind alle noch nicht als unbrauchbar markiert Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 19

27 Ameisen-Prinzip Idee Statt immer nur einen Weg auszuprobieren und wieder zu verwerfen, wenn sich ein besserer gefunden hat, erkunden die Ameisen gleichzeitig alle sich bietenden Möglichkeiten. Kommen sie bei einer Stadt als Erste an, wissen sie, dass der genommene Weg der kürzeste ist, denn sonst wäre ja schon ein anderer Trupp da. Treffen die Ameisen irgendwo auf Artgenossen, wissen sie, dass ihre Reise zu Ende ist. Andere haben also das Ziel früher erreicht. Am Ende des Verfahrens erhalten wir die folgende Karte Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 20

28 Ameisen-Prinzip Vollständig erschlossene Karte Was für Informationen haben wir dadurch eigentlich gewonnen? Um von Imstadt zu einem beliebigen anderen Ort zu kommen, folgen sie dem Pfad der Ameisen. Von Imstadt nach Oppenheim kommt man so am günstigsten über Pappstadt, Krupsing und Flughafen (123km). Es wurde nicht nur die ursprüngliche Aufgabe gelöst, sondern auch die kürzesten Wege von Imstadt zu allen anderen Städten ermittelt Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 21

29 Ameisen-Prinzip Zusammenfassung Warum ist das Ameisen-Prinzip für einen Informatiker interessant? Es führt in absehbarer Zeit zum Ziel. Da die Ameisen ständig in Bewegung sind und keine Wege doppelt gehen, müssen sie recht bald alle Wege erkundet haben (maximal nach der Zeit, die dem kürzesten Weg zur am weitesten entfernten Stadt entspricht) Es werden immer wieder die gleichen, sehr einfachen Anweisungen benutzt, um die Ameisen zu steuern: 1. Teile den Trupp auf und folge allen Routen 2. Wenn ein Ort erreicht wird: günstigste Strecke dorthin gefunden, weiter bei Wenn man einem anderen Trupp begegnet: Strecke verwerfen. Ende Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 22

30 Ameisen-Prinzip Übertragung auf den Computer Wie könnten also unsere Routenplaner im Auto das Problem des kürzesten Weges lösen? Ein Simulieren der vorgestellten Vorgehensweise wäre gegenüber der Brute-Force-Methode von Vorteil. Trotzdem ist der Informatiker hier gefragt, das gefundene Verfahren für den Computer zu optimieren. Überlegen Sie, welche Teile des Ameisenprinzips für die Problemlösung relevant sind Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 23

32 Dijkstra-Algorithmus Erste Schritt Die Ameisen liefen in alle direkt erreichbaren Städte, um zu ermitteln, wie lange sie unterwegs sind: Ein Computer muss diese Zeiten nicht ermitteln. Er kennt sie bereits, da die Längen zwischen den Strecken an den Pfaden verzeichnet sind. Um die Entfernung zuordnen zu können, wird die dazugehörige Strecke markiert. Die Ameisen, die zuerst bei einer Stadt ankamen, markierten die Strecke als günstig und teilten sich auf: Der Computer muss nur die Stadt mit der kleinsten Zahl bestimmen Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 25

33 Dijkstra-Algorithmus Fortsetzung (1) In diesem Beispiel also B: Von B aus werden alle Entfernungen zu allen Nachbarn bestimmt. Über B wurden schon 34 km zurückgelegt, daher müssen diese dazu addiert werden. Bei H steht schon ein Wert. Von I direkt sind es 65, über B jedoch nur 64 km. Der Ameisen Trupp über B würde also zuerst ankommen. Daher gilt für das Dijkstra-Verfahren: Wenn die neue Zahl kleiner ist, wird die alte durch diese ersetzt und der Weg entsprechend markiert. Wenn die neue Zahl größer ist, passiert nichts Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 26

34 Dijkstra-Algorithmus Fortsetzung (2) Wie geht es nun weiter? Prinzipiell wie am Anfang: Aus allen mit Zahlen markierten Städten, die noch nicht von Ameisen besucht wurden, wird die mit der kleinsten Zahl herausgesucht. Dort kommen die Ameisen als Nächstes an. In diesem Fall ist das C Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 27

35 Dijkstra-Algorithmus Fortsetzung (3) Von C werden wieder alle benachbarten Städte betrachtet: Nach M käme man in 71 km, nach X in 63 km. Beides wird jedoch von der bereits vorhandenen Zahl unterboten, also passiert nichts Die nächste nicht markierte Stadt mit der kleinsten Zahl wird gesucht Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 28

36 Dijkstra-Algorithmus Fortsetzung (4) Jetzt also M: Es werden wieder alle benachbarten Städte betrachtet. Hier zeigt sich, dass sowohl die Strecke zu A als auch zu X kürzer ist. Die alten Markierungen und Entfernungen werden gestrichen. Die neuen Wege und Entfernungen markiert bzw. notiert Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 29

37 Dijkstra-Algorithmus Fortsetzung (5) Die Stadt mit der kleinsten Zahl ist jetzt P: Es gibt Verbindungen zu H, K, F und O. Bei K, F und O wird jeweils wieder die Summe der Entfernungen notiert und die Strecke markiert. Bei H steht schon eine Entfernung kleiner der Summe von I zu P zu H. Daher passiert hier nichts Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 30

38 Dijkstra-Algorithmus Fortsetzung (6) Nun ist X die Stadt mit der kleinsten Zahl: Wieder werden die Entfernungen zu den Nachbarstädten ermittelt. C und B sind bereits markiert, die kürzesten Wege dorthin sind also bereits gefunden. Strecke zu N wird markiert und die Entfernung notiert Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 31

39 Dijkstra-Algorithmus Fortsetzung (7) Die noch nicht markierte Stadt mit der kleinsten Zahl ist jetzt H: Nachbarstädte I und P sind bereits markiert. Die Zahl an K ist kleiner als die Summe der Entfernungen von B aus. Die Strecken L und Z werden markiert und die Entfernung notiert Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 32

40 Dijkstra-Algorithmus Fortsetzung (8) Jetzt folgt Y: Die Summe der Entfernungen zu L und Z sind kleiner als die bisherigen. Daher Streichung der bisherigen Markierungen und Zahlen. Neue Strecken werden markiert bzw. deren Entfernungen notiert. Da die bisherige Summe bei N kleiner ist, passiert hier nichts Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 33

41 Dijkstra-Algorithmus Fortsetzung (9) Die nächste nicht markierte Stadt mit der kleinsten Zahl ist A: Die Nachbarstadt B ist schon markiert. Stadt D und N haben kleinere Zahlen, hier passiert nichts Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 34

42 Dijkstra-Algorithmus Fortsetzung (10) Nun wird K markiert: Summe der Entfernungen über K zu F ist kleiner als die bisherige. Strecke zu F wird markiert und die neue Zahl notiert. Strecken zu den Nachbarstädten G und E werden markiert und deren Zahlen zugewiesen. Nachbarstadt Z hat schon eine Zahl kleiner der Summe der Entfernungen über K, daher passiert hier nichts Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 35

43 Dijkstra-Algorithmus Fortsetzung (11) Jetzt ist N die Stadt mit der kleinsten Zahl: Nachbarstädte A und Y sind bereits markiert. Zahl von D ist kleiner als die Summe der Entfernungen über N Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 36

44 Dijkstra-Algorithmus Fortsetzung (12) Als nächstes folgt Z: H und K sind schon markiert. Summe der Entfernungen über Z zu G ist jedoch kleiner als die bisherige. Strecke wird markiert und die neue Zahl notiert Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 37

45 Dijkstra-Algorithmus Fortsetzung (13) Nun wird die Stadt D markiert: Nachbarstädte A und N sind bereits markiert. L hat eine kleinere Zahl als die von D aus berechnete Entfernung Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 38

46 Dijkstra-Algorithmus Fortsetzung (14) Die nächste noch unmarkierte Stadt mit der kleinsten Zahl ist L: Nachbarstädte D, H und Y sind bereits markiert. Summe der Entfernungen zu G ist jedoch größer als die bisher notierte Summe Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 39

47 Dijkstra-Algorithmus Fortsetzung (15) Nun kommt F an die Reihe: Nachbarstadt P ist schon markiert. bei E ist die bisherige Summe kleiner. bei O ist die Summe der Entfernungen kleiner als die bisherige und wird daher ersetzt und die Strecke zu O markiert Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 40

48 Dijkstra-Algorithmus Fortsetzung (16) Jetzt ist E die noch nicht markierte Stadt mit der kleinsten Summe: In diesem Schritt ändert sich nichts. F ist schon markiert. Summe der Entfernungen von G und O ist kleiner Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 41

49 Dijkstra-Algorithmus Fortsetzung (17) Die noch nicht markierte Stadt mit der kleinsten Summe ist G: Alle Nachbarstädte sind schon markiert. Hier passiert nichts weiter Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 42

50 Dijkstra-Algorithmus Ende Die letzte unmarkierte Stadt ist O: Alle Nachbarstädte sind schon markiert Hier passiert also nichts mehr Und da es keine verbliebenen Städte mehr gibt, ist hier der Algorithmus zu Ende. Der kürzeste Weg von Imstadt nach Oppenheim führt also über Pappheim, Krupsing und Flughafen und ist 123 km lang Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 43

51 Dijkstra-Algorithmus Edsger Wybe Dijkstra Geboren 1930 in Rotterdam Professor an der Universität in Eindhoven Vorstellung des Algorithmus zur Berechnung des kürzesten Weges in einem Graphen im Jahr 1959 Wechsel an die Universität von Texas im Jahr 1984 Beitrag zur Einführung der strukturierten Programmierung Erhielt den Turing-Preis 1972 Verstarb 2002 in seiner Heimat Nuenen Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 44

52 Dijkstra-Algorithmus Algorithmus Markiere die Startstadt rot, weise ihr die Kennzahl 0 zu. Bezeichne diese als aktuelle Stadt. Gehe von der aktuellen Stadt zu allen direkt erreichbaren Nachbarstädten... führe das Folgende fpr jede Nachbarstadt durch: Errechne die Summe aus der Kennzahl an der aktuellen Stadt und der Länge der Strecke dorthin - ist die Nachbarstadt bereits rot markiert, mache nichts. - hat die Nachbarstadt keine Kennzahl, weise ihr die Summe als Kennzahlzu. Markiere die Strecke zur aktuellen Stadt. - hat die Nachbarstadt eine Kennzahl kleiner der Summe, mache nichts. - hat die Nachbarstadt eine Kennzahl größer der Summe, streiche die dortige Kennzahl sowie die Markierung. Weise ihr danach die Summe als neue Kennzahl zu. Markiere die Strecke zur aktuellen Stadt Betrache alle Städte, die zwar eine Kennzahl haben, aber noch nicht rot markiert sind. Suche die Stadt mit der kleinsten Kennzahl. Bezeichne diese als aktuelle Stadt. Weisen mehrere Städte die kleinste Kennzahl auf, wähle eine beliebige davon als aktuelle Stadt. Markiere die aktielle Stadt rot, zeichne die dort markierte Strecke in rot ein. Falls es noch Städte gibt, die nicht rot marktiert sind weiter bei (1.) Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 45

54 Schilda-Rallye Stadtplan Der Stadtrat hat vor kurzem beschlossen, alle Straßen zu Einbahnstraßen zu machen Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 47

55 Schilda-Rallye Problemstellung Die Fahrzeuge von Schilda-Taxi warten auf den Hotels Adler und Gozo sowie auf dem Parkplatz der Pension Kapitol: Aufgrund der neuen Verkehrsführung benötigen die Fahrer einen Plan, wie sie auf dem kürzesten Weg von ihrem Standort zu allen anderen Hotels kommen. Eine Entfernungstabelle ist auch zur Berechnung der neuen Tarife notwendig Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 48

56 Schilda-Rallye Markierung der Kreuzungen Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 49

57 Schilda-Rallye Abstrakte Stadtplan Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 50

58 Schilda-Rallye Erste Schritt Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 51

59 Schilda-Rallye Fortsetzung (1) Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 52

80 Schilda-Rallye End Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 73

81 Schilda-Rallye Entfernungstabelle Hotel Entfernung (km) Adler 0,0 Bogart 11,5 Club 9,7 Doge 8,1 Emilio 3,7 Fromm 6,5 Gozo 6,2 Holunder 7,6 Iliona 11,4 Jorge 9,8 Kapitol 10,7 Lundt 7, Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 74

83 Was steckt dahinter? Einleitung Die besprochenen Probleme gehören in das Umfeld der so genannten Graphenalgorithmen. Ein Graph besteht hierbei aus einer Menge von Knoten und einer Menge von Kanten, die zwischen den Knoten verlaufen. Die Knoten (Vertices) werden oft als Kreise und die Kanten (Edges) als Linien oder Pfeile dazwischen dargestellt. Man unterscheidet ungerichtete Graphen (ohne Pfeil), bei denen die Verbindung zweier Konten in beide Richtungen geht und gerichtete Graphen (mit Pfeil). Wozu ist aber ein Graph gut? Wie andere Modelle in der Informatik kann er ein Ausschnitt der Wirklichkeit modellieren, um diese einfacher zu verstehen und zu analysieren Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 76

84 Was steckt dahinter? Anforderungen an Algorithmen Aufgrund der vielfältigen Anwendungen gibt es auch eine Menge von Algorithmen auf Graphen. Der Dijkstra-Algorithmus ist hier ein sehr bekannter Vertreter. Was zeichnet einen guten Algorithmus aus? Er muss zuerst einmal die gestellte Aufgabe lösen. Wichtiges Kriterium ist außerdem, dass dieser die Aufgabe möglichst schnell löst und auch bei großen Problemen nicht in die Knie geht Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 77

85 Was steckt dahinter? Berechnung des Zeitbedarfs Wir betrachten wie stark der Zeitbedarf mit der Problemgröße ansteigt. Am Beispiel der Landkarte kann dies sehr gut demonstriert werden. Eine Problemgröße ist zum Beispiel die Anzahl der Städte auf der Landkarte. Betrachten wir jetzt noch einmal den Brute-Force-Ansatz zur Bestimmung des kürzesten Weges: Bestimme alle möglichen Wege vom Start zum Ziel und suche davon den kürzesten Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 78

86 Was steckt dahinter? Brute-Force-Methode Im schlechtesten Fall müssen also alle von einem Punkt ausgehenden Wege bestimmt werden. Außerdem sind im schlechtesten Fall alle Knoten mit allen anderen Knoten verbunden (vollständiger Graph). Für drei Knoten ist es noch kein Problem, die Anzahl möglicher Wege vom Startpunkt S aus zu bestimmen Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 79

87 Was steckt dahinter? Brute-Force-Methode Mit jedem zusätzlichen Knoten steigt die Anzahl der möglichen Wege stark an. Zeichnerisch die Lösung zu bestimmen ist dann nicht mehr praktikabel. Man kann die Anzahl der Knoten auch rechnerisch bestimmen. Für den Graphen mit vier Knoten gilt, dass man ihn aus zwei Komponenten zusammensetzen kann: ein einzelner Knoten S plus ein Graph mit drei Knoten. Da der bekannte Graph drei Knoten besitzt, kann vom neuen Knoten S auf drei Arten ein Weg zum bekannten Graphen begonnen werden Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 80

88 Was steckt dahinter? Brute-Force-Methode Im 3er Graphen wird dann auf die bereits ermittelte Weise ein Weg gesucht. Daher ist die Anzahl möglicher Wege im 4er-Graphen 3 2 = 6. Für einen 5er-Graphen gibt es vier Möglichkeiten, Wege vom neuen Knoten zum 4er-Graphen zu beginnen. Die Anzahl der Wege beträgt daher 4 6 = 24. Auf diese Weise kann man ableiten, dass in einem vollständigen Graphen mit n Knoten (n 1)! verschiedene Wege von einem gesetzten Startpunkt ausgehen. Da für jeden der Wege n 1 Streckenabschnitte eingerechnet werden müssen, bedarf es für die Brute-Force-Methode ungefähr (n 1)(n 1)! Berechnungen, um den kürzesten Weg zu finden Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 81

89 Was steckt dahinter? Brute-Force-Methode # Knoten Schritte Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 82

90 Was steckt dahinter? Brute-Force-Methode Für 100 Knoten sind im schlimmsten Fall bereits Berechnungen nötig. Wenn auch nur alle Gemeinden Deutschlands als Knoten in die Suche einbezogen werden, sind 9, Berechnungen nötig Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 83

92 Darstellung von Graphen Überlegung Computer kennt keine graphische Darstellung Insbesondere keine Kanten und Knoten Abstraktion notwendig Überführung der graphischen Darstellung in eine Datenstruktur Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 85

93 Darstellung von Graphen Adjazenzmatrix Idee für ungerichtete Graphen: Sei n die Anzahl der Knoten. Benutze eine n n Matrix. Wenn eine Kante zwischen Knoten a und b existiert, dann trage in Zeile a und Spalte b eine 1 ein, andernfalls eine 0. Verfahre ebenso mit Zeile b und Spalte a Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 86

94 Darstellung von Graphen Adjazenzmatrix Beispiel für ungerichteten Graphen mit Gewichten: Symmetrie bleibt erhalten. Anstelle von einer 1 trage das Kantengewicht ein Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 87

95 Darstellung von Graphen Adjazenzmatrix Beispiel für gerichteten Graphen mit Gewichten: Keine Symmetrie mehr Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 88

96 Darstellung von Graphen Adjazenzmatrix Anstatt einer Matrix wird eine verkettete Liste benutzt. Besonders geeignet für gerichtete Graphen Die Basisstruktur bildet die Liste aller Knoten. Für jeden Knoten wird eine Liste der Nachfolger entlang gerichteter Kanten abgespeichert Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 89

97 Darstellung von Graphen Inzidenzmatrix Anstatt Verbindungen von Knoten zu Knoten darzustellen, wird hier die Nachbarschaft der Kanten zu den Knoten dargestellt. Jede Spalte enthält 2 von Null verschiedene Einträge e1 e2 e3 e4 e5 e6 e Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 90

99 Zusammenfassung Datenstrukturen Listen Array s (zusammenhängender Speicher) (doppelt) Verkettete Listen Stapel Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 92

100 Zusammenfassung Datenstrukturen Graphen Bäume Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 93

101 Danke Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Marvin Priedigkeit Seite 94