Computer und Software 1

Transkript

1 Computer und Software 1 Maple Grundkonzepte, Graphische Darstellung von Funktionen Christof Köhler, WiSe 2013/2014; Folien: Balint Aradi

2 Organisatorisches Computer und Software 1 wird nicht benotet (Studienleistung). Die Modulbeschreibung ist falsch, es gilt die Bachelorordnung! Es gibt eine Klausur am Computer: Es müssen 2 3 kleinere Aufgaben mit Maple am Computer gelöst werden. Je nach Teilnehmerzahl wird es mehrere Prüfungsgruppen geben (max. 20 Studenten pro Gruppe). Prüfungstermin: noch festzulegen, je nach Teilnehmerzahl 2

3 Computer-Algebra-Systeme Gut geeignet für Manipulation von mathematischen Ausdrücken Analytisches Lösen von Gleichungen, Ungleichungen, Gleichungssystemen Analytisches Rechnen mit Vekoren, Matrizen Grenzwertberechnung (Reihen, Folgen, mathematische Ausdrücke) Differenzieren, Auswertung von (nicht zu komplizierten) unbestimmten Integralen Lösen von einfachen Differentialgleichungen bzw. Differentialgleichungssystemen Visualisierung diverser Funktionen/Lösungen Rechnen mit beliebiger Genauigkeit Schritt für Schritt Dokumentation einer Berechnung 3

4 Computer-Algebra-Systeme Weniger geignet für: Numerisches Rechnen Verarbeitung und Analyse von größeren Datenmengen Erstellung komplexer (mathematischer) Programme Erzeugung von publikationsreifen Abbildungen 4

5 Maple-Alternativen Alternativen Mathematica (kommerziell) Maxima, Yacas (relativ neu) 5

6 Maple-Dokumentation Vorlesungsfolien Online Help in Maple Maple Webseite (z.b. Maple for Physics Students) Frank Y. Wang, Physics with MAPLE (breites Spektrum an fortgeschrittenen physikalischen Problemen, keine Programmdokumentation an sich) 6

7 Aktueller Inputtyp Startbildschirm Abbrechen einer Berechnung Arbeitsbereich Formatierungshilfen 7

8 Zurücksetzen Maple als Taschenrechner Jeder Befehl wird mit ; abgeschlossen Anzahl der Stellen Numerische Auswertung erzwingen Komplexe Einheitswurzel Anzahl der Stellen, wenn abweichend von Digits 8

9 Arbeitsbereich Einheiten können zu- und aufgeklappt werden Gliederung (Kapitel, Unterkapitel, etc.) Kommentare/Dokumentation MAPLE-Projekte sollten immer ausreichend Dokumentiert werden! Eingabe Maples Antwort 9

10 Wiederverwendung von Ergebnissen Achtung! Letztes Ergebnis = Ergebnis der zuletzt ausgeführten Berechnung, die nicht unbedingt die davor stehende Berechnung ist! Verwendung von '%' sollte eher vermieden werden Wichtige Berechnungen sollten in Variablen gespeichert und über die Variablennamen wiederverwendet werden. 10

11 Maple versucht die Auswertung in Dezimalformat (Genauigkeitsverlust), soweit wie möglich zu vermeiden: Auswertung von Ausdrücken Explizite Auswertung kann über evalf() erfolgen bzw. erzwungen werden. Operationen mit Dezimalzahlen werden automatisch ausgewertet: Anzahl der Stellen explizit beim Aufruf Anzahl der Stellen global setzen 11

12 Eingabe Eingabe von Text oberhalb des Prompts: Strg-Shift-K bzw. Insert Paragraph Before cursor Eingabe von Text unterhalb des Prompts: Strg-Shift-J bzw. Insert Paragraph After cursor Eingabe von mathematischen Formel während Texteingabe: Strg-R 12

13 Mathematische Zeichen können links angeklickt werden. Einzelne Positionen (''?'') werden via TAB selektiert und ausgefüllt werden. Eingabe für ausgewähltes Feld Ausgewähltes Feld Eingabehilfen Alternativ können Formeln in Maple-Notation eingegeben werden: [Strg R]int(sin(x)^2, x=a..b[enter] 13

14 Ausführungsgruppe = Eingabe und (wenn ausgeführt) Ergebnis und evtl. Dokumentation Ausführungsgruppen Ausführungsgruppe Ausführungsgruppe Grenzen der Ausführungsgruppe 14

15 Benachbarte Ausführungsgruppen werden mit F4 (Edit Split or Join Join Exec. Group) zusammengeführt (nachstehende mit aktueller vereint) Ergebnisse erst wenn alle Befehle der Ausführungsgruppe ausgeführt: Alternativ: Zeilen mit [Shift-Enter] (statt [Enter]) abschließen, dann kann eine weitere Zeile eingegeben werden: [Shift-Enter] [Enter] Vereinte Gruppen können mit F3 (Edit Split or Join Split Exec. Group) getrennt werden. 15

16 Unterdrückung des Ergebnisses / Hilfe Mit Doppelpunkt kann die Darstellung des Ergebnisses unterdrückt werden: Ergebnis unterdrückt (Operation trotzdem ausgeführt!) Hilfe zu einem Befehl kann mit vorangestelltem Fragezeichen angezeigt werden Weitere Hilfe über das Help-Menü 16

17 Wichtigste Eingabebefehle Ctrl-J Ctrl-K F4 F3 Shift-Ctrl-J Shift-Ctrl-K Ctrl-Del Einfügen einer neuen Befehlsgruppe nach der aktuellen Gruppe Einfügen einer neuen Befehlsgruppe vor der aktuellen Gruppe Zusammenführen zweier Befehlsgruppen Befehlsgruppe aufteilen Einfügen eines (Text-)Kommentars vor dem Cursor Einfügen eines (Text-)Kommentars nach dem Cursor Ausgewählte Gruppe/Kommentar/Eingabe/Ausgabe löschen. Insert Section Neues Kapitel anlegen Insert Subsection Neues Unterkapitel anlegen Ctrl-R Ctrl-T Wechseln zur Math.mode während der Texteingabe Wechseln zur Textmode während mathematischer Eingabe 17

18 Konstanten Wichtigste Konstanten: Pi e Eulersche Zahl I Komplexe Einheitswurzel infinity Unendlich Konstanten (und Maple im Allg.) sind gegen Groß- und Kleinschreibung empfindlich: Komplexe Zahlen werden als Realteil + I * Imaginärteil eingegeben: 18

19 Variablen Variablen sind Namen, die ein Objekt/Ausdruck repräsentieren Der Wert einer Variable (im Gegensatz zu einer Konstante) läßt sich verändern Variablen werden mit ':=' zugewiesen (Bitten nicht mit '=' verwechseln!) Variable steht links, Wert steht rechts OK Falsch 19

20 Variablentypen Typ einer Variable kann mit der Funktion whattype abgefragt werden: 20

21 Variablenzuweisung rückgängig machen restart (alle Variablenzuweisungen) explizite Zuweisung (nur ausgewählte Zuweisungen) Gute Praxis: restart als ersten Befehl eines Maple-Arbeitsblattes 21

22 Sequenz (Folge) Sequenz: Eine Abfolge von Objekten (Typ willkürlich) Wird eine Sequenzvariable verwendet, so hat das den selben Effekt, als hätte man die einzelnen Einträge explizit hingeschrieben: Eine Sequenz nach fester Regel kann mit der Funktion seq erzeugt werden 22

23 Liste Eine festgelegte Abfolge von Elementen (Typ willkürlich) Maple behält die Reihenfolge, wie sie im Input eingegeben wurde. Ein Element kann mehrmals vorkommen Die Elemente der Liste können auch einzeln manipuliert werden: Erstes Element wird mit 1 indiziert! 23

24 Eine Menge von Objekten Menge Reihenfolge nicht relevant, und deswegen nicht zwingend beibehalten! Jedes Element kann nur einmal vorkommen (Duplikate ausgefiltert) Auf die einzelnen Elemente kann ähnlich wie bei Listen zugegriffen werden: (Der Index muss der von Maple aufgestellten Reihenfolge entsprechen!) Die einzelnen Elemente können jedoch nicht verändert werden! 24

25 Zusammenhang zw. Menge, Sequenz, Liste Sowohl Liste ([]) als auch Menge ({}) sind Operatoren, die die in ihnen übergebene Operanden zu einer Liste bzw. Menge verknüpfen. { 1, 2, 3}: Operator: {} Operanden: 1, 2, 3 Ergebnis: {1, 2, 3} (Menge) [ 1, 2, 3]: Operator: [] Operanden: 1, 2, 3 Ergebnis: [ 1, 2, 3 ] (Liste) Die Anzahl der Operanden lässt sich via nops ermitteln: Die Operanden können via op als eine Sequenz abgefragt werden: 25

26 Konversion zwischen Menge und Liste Über eine Sequenz lassen sich Listen in Mengen konvertieren und zurück Beispiel: Anzahl der Elemente in einer Liste ohne Duplikate bestimmen: 26

27 Funktionen Die meisten mathematischen Funktionen und Operationen, die man während des Physikstudiums kennen lernt, sind in Maple implementiert. Trig. Funktionen und Inverse sin, cos, tan, asin, acos, atan Hyper. trig. Funktionen: sinh, cosh, tanh, asinh, acosh, atanh Absolutwert: abs Quadratwurzel: sqrt Exponentialfunktion exp Logarithmus (natürlicher, 10): log, log10 Runden, Aufrunden, Abrunden : round, floor, ceil Fakultät factorial oder! (z.b: 4!) Besselfunktionen BesselI, BesselJ, BesselK, BesselY : Bei der Suche nach einer Funktion, einfach im Maple-Help nachschauen. 27

28 Summe / Produkt Summen und Produktoperatoren sind auch implementiert: 28

29 Benutzerdefinierte Funktionen Man kann auch selber Funktionen im Maple definieren. Benutzerdefinierte Funktionen werden mit dem > (zwei Zeichen, und > ) Operator definiert: Bei Funktionen mit mehreren Variablen müssen die Variablen vor dem -> Operator in Klammern stehen: 29

30 Funktionen können auch stückweise definiert werden mit der piecewise Funktion. 30

31 Zweidimensionale Graphiken Funktionen mit einer Variable können mit Hilfe der plot Funktion dargestellt werden: Bereich der freien Variable im Plot Ausdruck zu plotten y Bereich wird automatisch eingestellt, kann jedoch auch manuell eingestellt werden: y-bereich 31

32 Es können verschiedene Optionen angegeben werden, um die Ausgabe zu beinflussen: coords=polar Polarkoordinaten statt kartesischen discont=true Unstetigkeit beachten scaling=constrained Gleiche Skalierung für x-, und y-achsen style=point Punkte statt Kurve symbol=diamond Form der Punkte (auch circle, box, cross, ) color=black Farbe der Kurve/Punkte linestyle=1 Linientyp (durchgezogen, gestrichelt, ) numpoints=1000 Anzahl der Stützpunkte in der Graphik thickness=2 Liniendicke title=name Titel der Abbildung labels=[namex, NameY] Achsenbeschriftung Für weitere Optionen, siehe Maple Hilfe 32

33 Die Optionen werden nach der Spezifikation des X Bereiches (und evtl. des Y Bereiches) in der Form Option=Wert aufgezählt: 33

34 Parametrischer Plot Parametrische Plots: Statt einer Funktion wird eine Liste [ x(t), y(t), t=a..b ] mit jeweils getrennten Funktionen für X und Y Koordinate übergeben. Beide Funktionen müssen von einer Variable abhängen. Laufbereich der Variable muss auch in der Liste übergeben werden. 34

35 Darstellung mehrerer Funktionen Sollten mehrere Funktionen geplottet werden, müssen sie in einer Liste übergeben werden Bei Plot Optionen, die sich auf die Darstellung nur einer Kurve beziehen, kann eine entsprechende Anzahl von Werten in Form einer Liste übergeben werden Global (für alle Kurven gleich) Kurvenspezifisch 35

36 Benötigen erweiterte Plotbibliothek: Weitere Darstellungsarten Implizite Funktion mit zwei Variablen implicitplot Dichtediagramm densityplot 36

37 Höhenlinien contourplot Feldlinien fieldplot 37

38 Befehl plot3d: 3D-Graphiken Ausdruck mit zwei Variablen Bereich 2. Variable Bereich 1. Variable Analog zu plot, viele zusätzliche Optionen (siehe?plot3d) 38

39 Parameterischer Plot in 3D Ähnlich zu 2D, kann man auch in 3D Kurven mit dem Befehl spacecurve als parametrische Abbildungen zeichnen: 39

40 Plotten von Funktionen mit Parametern Plot erwartet einen Ausdruck mit einem einzigen Unbekannten Wenn die Funktion mit unbekannten Parametern definiert wurde, müssen diese vor dem Plotten gesetzt werden: Nachteil: Parameter behalten ihren Wert auch nach dem Plotten 40

41 Substitution via subs Mit der subs Funktion können Parameter temporär substituiert werden. Es werden die angegebenen Werte nur in den angegebenen Ausdruck eingesetzt, aber keine Variablen mit entsprechenden Werten angelegt: Variablensubstitution 41

42 Vielen Dank für die Aufmerksamkeit! Machen Sie bitte mit den Übungsaufgaben weiter!