Mathematische Anwendersysteme Einführung in MuPAD
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- Emil Hofmeister
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1 Mathematische Anwendersysteme Einführung in MuPAD Tag 3 Mengen, Zahlen Ungleichungen Gerd Rapin grapin@math.uni-goettingen.de Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p.1/41
2 Mengen Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p.2/41
3 Mengen Eine Menge ist eine beliebige Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten zu einem Ganzen (nach Cantor). Die Objekte heißen Elemente der Menge. Ist ein Element der Menge, so schreibt man. Man sagt, eine Menge enthalten, wenn für alle Man schreibt. ist in einer Menge auch gilt. Gilt und, so sind die beiden Mengen gleich. Man schreibt. Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p.3/41
4 Mengen in MuPAD Mengen in MuPAD haben den Typ DOM_SET. Es ist eine ungeordnete Menge von beliebigen Objekten. Mengen werden in geschweiften Klammern angegeben. Leere Mengen werden durch leere_menge:={} definiert. Einträge werden durch Kommata getrennt. Die interne Sortierung entspricht nicht unbedingt der Reihenfolge auf dem Bildschirm. Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p.4/41
5 Beispiele für Mengen >> M1:={x, 2,3,PI,sqrt(2)} 1/2 {x, PI, 2, 3, 2 } >> M2:={y,1,{1,y},2,x} {{y, 1}, x, y, 1, 2} >> op(m2) x, 2, {y, 1}, 1, y Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p.5/41
6 Befehle für Mengen I Die Anzahl der Elemente in einer Menge >> nops(m1), nops(m2) 5, 5 Zugriff auf Elemente: >> op(m2,1), op(m2,1..4) x, x, 2, {y, 1}, 1 Ändern von Einträgen >> op(m2,3), subsop(m2,3=neu) {y, 1}, {x, y, neu, 1, 2} Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p.6/41
7 Befehle für Mengen II Vereinigungen, Differenzen und Schnitte von Mengen >> L1:={1,2,3,a,b}: L2:={a,b,c,4,5}: >> L1 union L2, L1 minus L2, L1 intersect L2 {a, b, c, 1, 2, 3, 4, 5}, {1, 2, 3}, {a, b} Prüfen, ob Elemente enthalten sind >> contains(l1,a), contains(l1,c) TRUE, FALSE >> contains(l1,{a}), contains(l1,{1,2}) FALSE, FALSE Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p.7/41
8 Befehle für Mengen III Auswählen von Elementen mit best. Eigenschaften >> M:={{a,x,b},{a},{x,1}}: >> select(m,contains,x) {{x, 1}, {a, b, x}} Erzeugen der Potenzmenge >> combinat::powerset(l1) Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p.8/41
9 Zahlen Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p.9/41
10 natürliche Zahlen (nach Peano) Die Menge ist definiert durch Es gibt eine Nachfolgerabbildung Ist das ist injektiv. mit und folgt für alle gilt, so ist. Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p.10/41
11 Bemerkungen Man stelle sich die Nachfolgefunktion vor. als Es besteht ein enger Zusammenhang zwischen den natürlichen Zahlen und vollständiger Induktion. Man identifiziert die so erzeugte Folge von Zahlen als. Sie haben keinen eigenen Datentyp in MuPAD. Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p.11/41
12 Äquivalenzrelation Sei eine Menge. Eine Äquivalenzrelation auf ist eine Teilmenge von mit den folgenden Eigenschaften. Für schreibt man auch. 1. Reflexivität: für alle 2. Symmetrie: für alle. 3. Transitivität: für alle folgt. gilt. folgt aus und, das Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p.12/41
13 Äquivalenzklasse Sei. eine Äquivalenzrelation auf einer Menge Eine Teilmenge falls gilt: (a), (b) (c),,, heißt Äquivalenzklasse, Eine Äquivalenzrelation zerlegt eine Menge in disjunkte Äquivalenzklassen. Ein ist ein Repräsentant der Äquivalenzklasse. Man schreibt auch. für. Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p.13/41
14 ganze Zahlen Formale Einführung der ganzen Zahlen Äquivalenzrelation auf : genau dann, wenn gilt. Die Tupel der Form sind paarweise nicht äquivalent zueinander. Dies sind die nichtnegativen Zahlen. Die negativen Zahlen werden durch identifiziert. Die ganzen Zahlen sind gegeben durch die Menge der Äquivalenzklassen. Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p.14/41
15 Verknüpfungen Addition: Multiplikation:! Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p.15/41
16 ganze Zahlen in MuPAD Ganze Zahlen in MuPAD haben den Datentyp DOM_INT. Man kann sie addieren, subtrahieren und multipliziern. Das Ergebnis ist wieder vom Typ DOM_INT. Problem: Division. >> domtype(5), domtype(0),domtype(-5) DOM_INT, DOM_INT, DOM_INT >> domtype(5*4), domtype(5/4) DOM_INT, DOM_RAT Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p.16/41
17 " " # ( &' & ) Division mit Rest Seien, bestimmte Zahlen so dass, ) >> k:= x mod a: >> l:= x div a: >> x:=45: a:=7: k,l 3, 6 >> x:=-34: a:=8: k,l 6, -5 %. Dann gibt es eindeutig mit. (Beispiele:, # ", und Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p.17/41
18 " " - + rationale Zahlen Die rationalen Zahlen sind gegeben durch die folgende Äquivalenzrelation auf : genau dann, wenn gilt. Statt schreibt man * +. Die Äquivalenzklasse Mit, ist die gehören auch alle Erweiterungen zu einer Ä.-klasse. Addition, Multiplikation: * + +., -*, -, * +, - + -, -. in. Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p.18/41
19 rationale Zahlen in MuPAD Rationale Zahlen in MuPAD haben den Datentyp DOM_RAT. Man kann sie in MuPAD beliebig addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren. Das Ergebnis ist wieder eine rationale Zahl. Die rationalen Zahlen bilden einen Körper. Problem: Grenzprozesse >> a/b+c/d=normal(a/b+c/d), a/b*c/d=normal(a/b*c/d) a c a d + b c a c a c = , --- = --- b d b d b d b d Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p.19/41
20 / / / / / Gruppe Eine Gruppe ist ein Paar bestehend aus einer Menge und einer Verknüpfung auf, d.h. einer Abbildung mit folgenden Eigenschaften (G1) % (G2) Es existiert ein für alle existiert ein. 2 3 / für alle 10 % / (neutrales Element) mit und zu jedem (inverses Element) mit. Gilt zusätzlich die Gruppe abelsch. / für alle so heißt Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p.20/41
21 Eigenschaften einer Gruppe Für ein neutrales Element gilt auch alle. Es gibt genau ein neutrales Element % Zu jedem ist das inverse Element eindeutig und wird durch bezeichnet. Es gilt auch %.. für Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p.21/41
22 / / / Körper Ein Körper ist ein Tripel bestehend aus einer Menge und zwei Verknüpfungen und folgenden Eigenschaften: (K1) (K2) mit ist eine abelsche Gruppe. (Das neutrale Element heiße. Das inverse Element zu sei.) sei eine abelsche Gruppe. (Das neutrale Element dazu sei.) (K3) Distributivgesetze / für alle / Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p.22/41
23 Beispiele Gruppen:., Die rationalen Zahlen mit den Verknüpfungen und bilden einen Körper. Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p.23/41
24 7 8 9 Anordnung Sei ein Körper. Er heißt angeordnet, wenn es einen Positivbereich gibt mit Die Mengen, sind disjunkt., und Ihre Vereinigung ist. Aus 6 folgt Man definiert: genau dann, wenn genau dann, wenn (analog und ) und... Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p.24/41
25 Begriffe Sei ein angeordneter Körper. heißt obere Schranke von für alle die Relation gilt., wenn Hat eine Teilmenge von eine obere Schranke, so heißt nach oben beschränkt. (analog untere Schranke) Eine obere Schranke heißt Maximum von Minimum) einer Teilmenge von, wenn. (analog Die kleinstmögliche obere Schranke einer Teilmenge von heißt Supremum. (analog Infimum) Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p.25/41
26 reelle Zahlen Sei die Menge aller Teilmengen von mit oberer Schranke. Zwei Elemente aus seien äquivalent, wenn sie dieselben Mengen von oberen Schranken haben. Auf diese Weise kann eine Äquivalenzrelation definiert werden. Die entstehenden Äquivalenzklassen nennt man reelle Zahlen und die Menge dieser Zahlen bezeichnet man mit. Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p.26/41
27 Bemerkungen Es lassen sich die üblichen Verknüpfungen auf definieren. Die reellen Zahlen können auch als Vervollständigung von definiert werden oder durch den Dedekindschen Schnitt. Die rationalen Zahlen sind als Äquivalenzklassen der einelementigen Mengen, enthalten. In MuPAD gibt es keinen eigenen Datentyp für reelle Zahlen. Beispiele wie oder werden als Ausdrücke (DOM_EXPR) gespeichert. :<;= Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p.27/41
28 Gleitkommazahlen Problem: Die reellen Zahlen werden nicht exakt im Computer abgebildet. Es wird nur eine bestimmte Anzahl von Nachkommastellen betrachtet und die letzten Stellen gerundet. Computer arbeiten also in der Regel nur mit Approximationen an die gesuchte reelle Zahl. Beispiel: >> DIGITS:=100: >> float(sqrt(2)) Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p.28/41
29 > / / E F 4 / 5 / / Gleitkommazahlen 5 /C 5 ist die Basis ( 5 Es sei Binärdarstellung). erzwingt Eindeutigkeit der determiniert das Vorzeichen. / ist die Anzahl der signifikanten Stellen. hat den Wert /C >. A FBG Man spricht auch von einer Darstellung (zur Basis ). F. -adischen Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p.29/41
30 J L 5? K I H ( M L 5? ( ) ) ) K ) Gleitkommazahlen Warnung! Die Subtraktion zweier fast gleichgroßer Gleitkommazahlen ist zu vermeiden. Beispiele: Binärdarstellung. Oktaldarstellung. Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p.30/41
31 J I K? 5 L 5 &' J I K? 5 L &' N & Beispiele Binärdarstellung 4 ) 4 ) 4 ) N 4 ) & 4 ) ) Oktaldarstellung Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p.31/41
32 5 K MuPAD Gleitkommazahlen haben in MuPAD den Datentyp DOM_FLOAT. G.-zahlen werden zur Basis berechnet. Die Anzahl der signifikanten Stellen kann man durch die globale Variable DIGITS steuern (Default: ). Möglich sind Werte zwischen und. Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p.32/41
33 Rechnen mit Zahlen I Approximation durch float. Berechnen einer numerischen Näherung zu einem Ausdruck. >> DIGITS:=5: float(pi), float(exp(1)) , MuPAD rechnet näherungsweise, sobald mind. eine Zahl in G.-darstellung gegeben ist >> (1.0+(5/2*3))/(1/7+7/9)ˆ >> (1+(5/2*3))/(1/7+7/9)ˆ /6728 Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p.33/41
34 Rechnen mit Zahlen II Ausdrücke werden i.a. nicht automatisch umgewandelt >> 2/3*sin(2), *sin(2) 2 sin(2) , sin(2) 3 >> float(2/3*sin(2)) Viele MuPAD Funktionen liefern numerische Werte beim Einsetzen von G.-zahlen >> sqrt(64.0), sin(3.14), sin(7/5) 8.0, , sin(7/5) Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p.34/41
35 Wichtige Funktionen für Zahlen abs ceil floor frac trunc round sign sqrt Absolutbetrag Aufrunden Abrunden Abschneiden der Vorkommastellen Abschneiden der Nachkommastellen Runden Vorzeichen Wurzel Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p.35/41
36 ? " # # " " #? O Komplexe Zahlen Die Menge versehen mit der Addition # " und der Multiplikation # " ist der Körper Das Element O der komplexen Zahlen. hat die Eigenschaft Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p.36/41
37 Q?? Q P V V V?? O Eigenschaften von Fundamentalsatz der Algebra Polarkoordinaten P zu RTS U Betrag V 6 ist nicht angeordnet! Jedes hat die Eigenschaft (MuPAD: abs) 6 Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p.37/41
38 O in MuPAD I Datentyp in MuPAD: DOM_COMPLEX Die imaginäre Einheit >> sqrt(-1), Iˆ2 I, -1 Rechnen mit komplexen Zahlen ist in MuPAD I. >> (1+2*I)*(4+I), (1/2+I)*(0.1+I/2) I, I Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p.38/41
39 in MuPAD II Ergebnisse werden nicht automatisch bzgl. Realteil und Imaginärteil getrennt; kann erzwungen werden durch rectform 1/(sqrt(2)+I),rectform(1/(sqrt(2)+I)) 1/ , (-1/3) I 1/ I Mittels Re und Im erhält man Real- und Imaginärteil. >> Re(1/(sqrt(2)+I)),Im(1/(sqrt(2)+I)) Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p.39/41
40 Ungleichungen Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p.40/41
41 Ungleichungen MuPAD kann mittels des Befehls solve auch Ungleichungen lösen. >> solve(xˆ2<1,x) ]-1, 1[ >> domtype(%) Dom::Interval >> solve({exp(x)<=4, exp(x)>=1},x) [0, ln(4)] Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p.41/41
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