Das Geburtstagsparadoxon

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1 Das Geburtstagsparadoxon Leonard Clauÿ 16. November 2017

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 2 Vereinfachtes Problem ohne Schalttag mit Schalttag 3 Verallgemeinerung 4 Beweis einer unteren Schranke 5 Referenzen Leonard Clauÿ Das Geburtstagsparadoxon 16. November / 31

3 Einführung Das Geburtstagsparadoxon Frage Beipiel dafür, dass Wahrscheinlichkeiten häug falsch geschätzt werden Antwort zunächst verblüend, erscheint daher paradox Es benden sich 23 Personen in einem Raum. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei (beliebige) Personen am gleichen Tag Geburtstag haben? Leonard Clauÿ Das Geburtstagsparadoxon 16. November / 31

4 Einführung Das Geburtstagsparadoxon Frage Beipiel dafür, dass Wahrscheinlichkeiten häug falsch geschätzt werden Antwort zunächst verblüend, erscheint daher paradox Es benden sich 23 Personen in einem Raum. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei (beliebige) Personen am gleichen Tag Geburtstag haben? oft zwischen 1% und 5% geschätzt tatsächliche Wahrscheinlichkeit ca. 50%! Leonard Clauÿ Das Geburtstagsparadoxon 16. November / 31

5 Einführung Darstellung 1 Wahrscheinlichkeit Anzahl Personen Leonard Clauÿ Das Geburtstagsparadoxon 16. November / 31

6 Einführung Formalisierung Denitionen Ein Wahrscheinlichkeitsvektor p = (p 1,..., p n ) ist ein n-tupel von Wahrscheinlichkeiten der n Geburtstage mit n i=1 p i = 1. Leonard Clauÿ Das Geburtstagsparadoxon 16. November / 31

7 Einführung Formalisierung Denitionen Ein Wahrscheinlichkeitsvektor p = (p 1,..., p n ) ist ein n-tupel von Wahrscheinlichkeiten der n Geburtstage mit n i=1 p i = 1. P k (p) ist die Wahrscheinlichkeit, dass von k Personen zwei den gleichen Geburtstag haben. Leonard Clauÿ Das Geburtstagsparadoxon 16. November / 31

8 Einführung Formalisierung Denitionen Ein Wahrscheinlichkeitsvektor p = (p 1,..., p n ) ist ein n-tupel von Wahrscheinlichkeiten der n Geburtstage mit n i=1 p i = 1. P k (p) ist die Wahrscheinlichkeit, dass von k Personen zwei den gleichen Geburtstag haben. Weiterhin sei Q k (p) = 1 P k (p) die Wahrscheinlichkeit, dass alle k Personen an unterschiedlichen Tagen ihren Geburtstag haben. Leonard Clauÿ Das Geburtstagsparadoxon 16. November / 31

9 Vereinfachtes Problem ohne Schalttag Vereinfachtes Problem ohne Schalttag Annahmen Personen unabhängig (keine Zwillinge etc.) kein Schalttag, n = 365 gleichverteilte Geburtstage, p 1 = ( 1 365,..., ) Leonard Clauÿ Das Geburtstagsparadoxon 16. November / 31

10 Vereinfachtes Problem ohne Schalttag Erste Formel Behauptung Die Wahrscheinlichkeit, dass es einen gemeinsamen Geburtstag gibt, ist P k (p 1 ) = 1 k 1 i=1 ( 1 i ) 365 Leonard Clauÿ Das Geburtstagsparadoxon 16. November / 31

11 Vereinfachtes Problem ohne Schalttag Erste Formel Behauptung Die Wahrscheinlichkeit, dass es einen gemeinsamen Geburtstag gibt, ist Beweis P k (p 1 ) = 1 Es wird gezeigt, dass Q k (p 1 ) = k 1 i=1 k 1 i=1 ( 1 i ) 365 ( 1 i 365). Leonard Clauÿ Das Geburtstagsparadoxon 16. November / 31

12 Vereinfachtes Problem ohne Schalttag Beweis der Formel Beweis von Q k (p 1 ) = ( ) k 1 i=1 1 i 365 Vollständige Induktion über die Anzahl der Personen k: Induktionsanfang k = 2: Q 2 (p 1 ) = ( 1 i=1 1 i 365 ) = korrekt, da die erste Person an einem bestimmten Tag Geburtstag hat und die zweite in 364 von 365 Fällen nicht an dem gleichen Leonard Clauÿ Das Geburtstagsparadoxon 16. November / 31

13 Vereinfachtes Problem ohne Schalttag Beweis der Formel Beweis von Q k (p 1 ) = ( ) k 1 i=1 1 i 365 Vollständige Induktion über die Anzahl der Personen k: Induktionsanfang k = 2: Q 2 (p 1 ) = ( 1 i=1 1 i 365 ) = korrekt, da die erste Person an einem bestimmten Tag Geburtstag hat und die zweite in 364 von 365 Fällen nicht an dem gleichen Induktionsschritt: WK für unterschiedliche Geburtstage bei k Personen Q k (p 1 ) Wahrscheinlichkeit, dass weitere Person nicht an einem der k Tage Geburtstag hat (1 k ) 365 Q k+1 (p 1 ) = Q k (p 1 ) (1 k ) 365 Wegen IV folgt Q k+1 (p 1 ) = k ( ) i=1 1 i 365 Leonard Clauÿ Das Geburtstagsparadoxon 16. November / 31

14 Vereinfachtes Problem mit Schalttag Vereinfachtes Problem mit Schalttag Annahmen Personen unabhängig (keine Zwillinge etc.) kein Schalttag, n = 366 gleichverteilte Geburtstage, 29. Februar jedoch unwahrscheinlicher, da nur einmal alle vier Jahre p 260 = 1, p i = 4 i {1, 2,..., 366}\{60} 1461 Leonard Clauÿ Das Geburtstagsparadoxon 16. November / 31

15 Vereinfachtes Problem mit Schalttag Herleitung der Formel Beobachtung Von k Personen kann entweder keine, genau eine oder mehrere am 29. Februar Geburtstag haben. Leonard Clauÿ Das Geburtstagsparadoxon 16. November / 31

16 Vereinfachtes Problem mit Schalttag Herleitung der Formel Beobachtung Von k Personen kann entweder keine, genau eine oder mehrere am 29. Februar Geburtstag haben. Fall 1: keine Person Wahrscheinlichkeit: ( )k Wahrscheinlichkeit, dass mehrere Personen den gleichen Geburtstag haben: P k (p 1 ) Leonard Clauÿ Das Geburtstagsparadoxon 16. November / 31

17 Vereinfachtes Problem mit Schalttag Herleitung der Formel Fall 2: genau eine Person Wahrscheinlichkeit: ( k 1 ) ( )k 1 Wahrscheinlichkeit, dass mehrere Personen den gleichen Geburtstag haben: P k 1 (p 1 ) Leonard Clauÿ Das Geburtstagsparadoxon 16. November / 31

18 Vereinfachtes Problem mit Schalttag Herleitung der Formel Fall 2: genau eine Person Wahrscheinlichkeit: ( k 1 ) ( )k 1 Wahrscheinlichkeit, dass mehrere Personen den gleichen Geburtstag haben: P k 1 (p 1 ) Fall 3: mehrere Personen Wahrscheinlichkeit: 1 ( )k k 1461 ( )k 1 Wahrscheinlichkeit, dass mehrere Personen den gleichen Geburtstag haben: 1 Leonard Clauÿ Das Geburtstagsparadoxon 16. November / 31

19 Vereinfachtes Problem mit Schalttag Herleitung der Formel Zusammengefasst P k (p 2 ) =( )k P k (p 1 ) + k 1461 ( )k 1 P k 1 (p 1 ) + 1 ( )k k 1461 (1 1 =1 k 2 i=1 ( 1 i 365 ) ( ) k 1 ( )k 1 1 3k ) Leonard Clauÿ Das Geburtstagsparadoxon 16. November / 31

20 Vereinfachtes Problem mit Schalttag Darstellung Vergleich Wahrscheinlichkeit Anzahl Personen k P k (p 1 ) P k (p 2 ) Leonard Clauÿ Das Geburtstagsparadoxon 16. November / 31

21 Vereinfachtes Problem mit Schalttag Darstellung Dierenz 4 Pk(p 1 ) Pk(p 2 ) Anzahl Personen k Leonard Clauÿ Das Geburtstagsparadoxon 16. November / 31

22 Verallgemeinerung Verallgemeinerung Annahmen Personen unabhängig (keine Zwillinge etc.) kein Schalttag, n beliebig gleichverteilte Geburtstage, Wahrscheinlichkeitsvektor p beliebig Leonard Clauÿ Das Geburtstagsparadoxon 16. November / 31

23 Verallgemeinerung Allgemeine Formel für Q k Herleitung ( n ) k Möglichkeiten, k Geburtstage aus n für die k Personen auszuwählen k! verschiedene Reihenfolgen ( n k) k! Sequenzen Sei eine Sequenz i = (i 1,..., i k ) mit i j {1,..., n} j {1,..., k} Eintrittswahrscheinlichkeit: k j=1 p i j = p i1... p ik Sei I die Menge aller Sequenzen, dann gilt: k Q k (p) = i I j=1 p ij Leonard Clauÿ Das Geburtstagsparadoxon 16. November / 31

24 Beweis einer unteren Schranke Untere Schranke Denition Sei u = ( 1 n,..., 1 n) der Wahrscheinlichkeitsvektor (n-tupel) mit gleichverteilten Wahrscheinlichkeiten. Leonard Clauÿ Das Geburtstagsparadoxon 16. November / 31

25 Beweis einer unteren Schranke Untere Schranke Denition Sei u = ( 1 n,..., 1 n) der Wahrscheinlichkeitsvektor (n-tupel) mit gleichverteilten Wahrscheinlichkeiten. Behauptung ("Geburtstagsungleichung") P k (p) P k (u) äquivalent: Q k (p) Q k (u) Leonard Clauÿ Das Geburtstagsparadoxon 16. November / 31

26 Beweis einer unteren Schranke Elementarsymmetrische Polynome Denition Das k-te elementarsymmetrische Polynom von x = (x 1,..., x n ) ist k E k (x) = x ij. 1<i 1 <...<i k <n j=1 Leonard Clauÿ Das Geburtstagsparadoxon 16. November / 31

27 Beweis einer unteren Schranke Elementarsymmetrische Polynome Denition Das k-te elementarsymmetrische Polynom von x = (x 1,..., x n ) ist k E k (x) = x ij. 1<i 1 <...<i k <n j=1 Beispiel (n = 4) E 1 ((x 1, x 2, x 3, x 4 )) = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 E 2 ((x 1, x 2, x 3, x 4 )) = x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 1 x 4 + x 2 x 3 + x 2 x 4 + x 3 x 4 E 3 ((x 1, x 2, x 3, x 4 )) = x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 4 + x 1 x 3 x 4 + x 2 x 3 x 4 E 4 ((x 1, x 2, x 3, x 4 )) = x 1 x 2 x 3 x 4 Leonard Clauÿ Das Geburtstagsparadoxon 16. November / 31

28 Beweis einer unteren Schranke Umformung des Problems Beobachtung Das k-te elementarsymmetrische Polynom von p = (p 1,..., p n ) ist E k (p) = i I k p ij, wobei I I die Menge der Sequenzen ist, bei denen die ausgewählten Tage in ihrer Reihenfolge streng monoton steigend sind. j=1 Leonard Clauÿ Das Geburtstagsparadoxon 16. November / 31

29 Beweis einer unteren Schranke Umformung des Problems Folgerung ( n ) k Sequenzen Je Sequenz in I gibt es k! (umgeordnete) Sequenzen in I Alle haben die gleiche Wahrscheinlichkeit Damit gilt: Q k (p) = k! E k (p) Also genügt es zu zeigen, dass: E k (p) E k (u) Leonard Clauÿ Das Geburtstagsparadoxon 16. November / 31

30 Beweis einer unteren Schranke Eigenschaften elementarsymmetrischer Polynome erste Eigenschaft Elementarsym. Polynome sind symmetrisch, d.h., sie bleiben bei Umordnung von x = (x 1,..., x n ) zu x = (x π(1),..., x π(n) ) unverändert. Leonard Clauÿ Das Geburtstagsparadoxon 16. November / 31

31 Beweis einer unteren Schranke Eigenschaften elementarsymmetrischer Polynome erste Eigenschaft Elementarsym. Polynome sind symmetrisch, d.h., sie bleiben bei Umordnung von x = (x 1,..., x n ) zu x = (x π(1),..., x π(n) ) unverändert. Beweis Genügt zu zeigen, dass E k (x) bei Vertauschung von x i und x j unverändert bleibt Ausklammern ergibt ( x ist der Wahrscheinlichkeitsvektor x ohne p i und p j, also ein n 2-Tupel): E k (x) = x i x j (...) + x i (E k 1 ( x)) + x j (E k 1 ( x)) + (...) = x j x i (...) + x j (E k 1 ( x)) + x i (E k 1 ( x)) + (...) = E k (x ) Leonard Clauÿ Das Geburtstagsparadoxon 16. November / 31

32 Beweis einer unteren Schranke Eigenschaften elementarsymmetrischer Polynome zweite Eigenschaft Die elementarsym. Polynome von x tauchen in folgendem Polynom auf: (x +x 1 )(x +x 2 ) (x +x n ) = x n +E 1 (x)x n E k (x)x n k +...+E n (x) Leonard Clauÿ Das Geburtstagsparadoxon 16. November / 31

33 Beweis einer unteren Schranke Eigenschaften elementarsymmetrischer Polynome zweite Eigenschaft Die elementarsym. Polynome von x tauchen in folgendem Polynom auf: (x +x 1 )(x +x 2 ) (x +x n ) = x n +E 1 (x)x n E k (x)x n k +...+E n (x) Beweis (Induktion über n) Induktionsanfang n = 1: (x + x 1 ) = x 1 + E 1 ((x 1 )) Leonard Clauÿ Das Geburtstagsparadoxon 16. November / 31

34 Beweis einer unteren Schranke Eigenschaften elementarsymmetrischer Polynome zweite Eigenschaft Die elementarsym. Polynome von x tauchen in folgendem Polynom auf: (x +x 1 )(x +x 2 ) (x +x n ) = x n +E 1 (x)x n E k (x)x n k +...+E n (x) Beweis (Induktion über n) Induktionsanfang n = 1: (x + x 1 ) = x 1 + E 1 ((x 1 )) Induktionsschritt: Nach IV gilt (x = (p 1,..., p n ) und x = (x 1,..., x n+1 )): (x + x 1 ) (x + x n+1 ) = (x n + E 1 (x)x n E n (x))(x + x n+1 ) =x n+1 + (E 1 (x) + x n+1 )x n + (E 2 (x) + x n+1 E 1 (x))x n x n+1 E n (x) =x n+1 + E 1 (x )x n + E 2 (x )x n E n+1 (x ) Leonard Clauÿ Das Geburtstagsparadoxon 16. November / 31

35 Beweis einer unteren Schranke T-Transformation Denition Sei ein Wahrscheinlichkeitsvektor p = (p 1,..., p n ) und 1 i < j n gegeben. Dann ist T eine T-Transformation, wenn T p = (p 1,..., p i d,..., p j + d,..., p n ) (falls p i > p j ) bzw. T p = (p 1,..., p i + d,..., p j d,..., p n ) (falls p i < p j ) und p i p j d > 0 Leonard Clauÿ Das Geburtstagsparadoxon 16. November / 31

36 Beweis einer unteren Schranke T-Transformation Beispiel (n = 5) p = (.28,.16,.41,.11,.04) p = T 1 p = (.20,.24,.41,.11,.04) p = T 2 p = (.20,.20,.41,.15,.04) p = T 3 p = (.20,.20,.20,.36,.04) u = T 4 p = (.20,.20,.20,.20,.20) Leonard Clauÿ Das Geburtstagsparadoxon 16. November / 31

37 Beweis einer unteren Schranke T-Transformation Behauptung Jeder Wahrscheinlichkeitsvektor p lässt sich mit einer Folge von m n 1 T-Transformationen in u umformen. Leonard Clauÿ Das Geburtstagsparadoxon 16. November / 31

38 Beweis einer unteren Schranke T-Transformation Behauptung Jeder Wahrscheinlichkeitsvektor p lässt sich mit einer Folge von m n 1 T-Transformationen in u umformen. Beweis Falls p u, dann hat p zwei Stellen p i, p j mit p i > 1 n > p j, sonst wäre n p l=1 l > 1 Sei T die Transformation, die d = p i 1 n von der i-ten Stelle subtrahiert und d auf die j-te Stelle addiert (d < p i p j ) Leonard Clauÿ Das Geburtstagsparadoxon 16. November / 31

39 Beweis einer unteren Schranke T-Transformation Beweis (Fortsetzung) Für p = T p gilt nun: p i = p i (p i 1 n ) = 1 n p i > p j = p j + (p i 1 n ) > p j p an einer Stelle (p i ) mehr 1 n zu stehen als p So lange wiederholt, bis überall 1 n steht Maximal n 1 Transformationen, da zum Schluss beide Stellen auf 1 n gesetzt werden Leonard Clauÿ Das Geburtstagsparadoxon 16. November / 31

40 Beweis einer unteren Schranke Weitere Umformung Behauptung Für eine T-Transformation T und einen Wahrscheinlichkeitsvektor p gilt: E k (p) E k (T p) Leonard Clauÿ Das Geburtstagsparadoxon 16. November / 31

41 Beweis einer unteren Schranke Weitere Umformung Behauptung Für eine T-Transformation T und einen Wahrscheinlichkeitsvektor p gilt: E k (p) E k (T p) Folgerung Falls die Behauptung gilt, folgt: E k (p) E k (T 1 p) E k (T 2 T 1 p)... E k (T m T 1 p) = E k (u), also insbesondere: E k (p) E k (u) Leonard Clauÿ Das Geburtstagsparadoxon 16. November / 31

42 Beweis einer unteren Schranke Beweis der Geburtstagsungleichung Beweis Es werden die beiden Eigenschaften elementarsym. Polynome ausgenutzt: 1 E k (p) symmetrisch Genügt zu zeigen, dass E k (p) E k (T p) für p 1 > p 2 und T p = (p 1 d, p 2 + d,..., p n ) 2 Tauchen als Koezienten in folgendem Polynom auf: (x + p 1 ) (x + p n ) = x n + E 1 (p)x n E k (p)x n k E n (p) Leonard Clauÿ Das Geburtstagsparadoxon 16. November / 31

43 Beweis einer unteren Schranke Beweis der Geburtstagsungleichung Beweis (Fortsetzung) Betrachte die beiden Polynome (x + p 1 )(x + p 2 ) (x + p n ) und (x + p 1 d)(x + p 2 + d) (x + p n ) Unterscheiden sich nur in ersten beiden Faktoren: (x + p 1 )(x + p 2 ) = x 2 + (p 1 + p 2 )x + p 1 p 2 (x + p 1 d)(x + p 2 + d) = x 2 + (p 1 + p 2 )x + (p 1 p 2 + (p 1 p 2 )d d 2 ) Leonard Clauÿ Das Geburtstagsparadoxon 16. November / 31

44 Beweis einer unteren Schranke Beweis der Geburtstagsungleichung Beweis (Fortsetzung) Alle Faktoren auÿer den konstanten Termen gleich Aber: p 1 p 2 p 1 p 2 + (p 1 p 2 )d d 2, da 0 < d p 1 p 2 ( d 2 (p 1 p 2 )d 0 (p 1 p 2 )d d 2 ) Da p i 0: alle Koezienten des Polynoms von p kleiner oder gleich den entsprechenden im Polynom von T p Insbesondere E k (p) E k (T p) Leonard Clauÿ Das Geburtstagsparadoxon 16. November / 31

45 Quellen Quellen & Literatur Martin Aigner, Günther M. Ziegler; Das BUCH der Beweise, Clevenson_and_William_Watkins.pdf Leonard Clauÿ Das Geburtstagsparadoxon 16. November / 31