Vermessung von elektrostatischen Feldern mithilfe einer Feldmühle

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1 Vermessung von elektrostatischen Feldern mithilfe einer Feldmühle Hendrik Wiese, Michael Spychala, Janik von Rath, Philipp Papenbreer, Fabian Notaro 11. August 2009 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Theorie 2 3 Bau der E-Feldmühle 4 4 Messreihe mit dem provisorischen Aufbau 9 5 Bau der Feldmühle in der Bierdose 14 6 Messreihe mit dem endgültigen Bierdosen-Aufbau 16 7 Zusammenfassung 21 1

2 1 Einleitung Ziel dieses Versuches ist es die Feldstärke statischer E-Felder, insbesondere dem E-Feld der Erde zu bestimmen. Das E-Feld der Erde wird aufgebaut zwischen Erdoberäche und Ionosphäre, in der Ladungstrennung durch die ionisierende kosmische Strahlung stattndet. Zusätzlich sind Wolken elektrostatisch aufgeladen, sodass je nach Wetterlage zusätzliche E-Felder auftreten. Der Literaturwert für das elektrische Feld der Erde beträgt bei schönem Wetter ca V/m, kurz vor einem Blitzeinschlag das ca. 100-fache dieses Wertes (vgl. [2]). Um die E-Feldstärke zu messen soll eine E-Feldmühle gebaut werden, mit deren Hilfe die Feldstärke ohne Energieentnahme bestimmt werden kann. Um ein Referenzfeld zu haben wird auÿerdem ein Plattenkondensator aufgebaut mit dem Vergleichsmessungen in einem bekannten E-Feld stattnden können. Im Verlauf dieses Projekts wird zunächst ein Prototyp gebaut, dessen Schaltungen mit Hilfe des vorhandenen Leybold-Stecksystems gesteckt werden und der mechanische Teil des Aufbaus nur provisorisch aufgebaut wird. Ist mit diesem System eine erfolgreiche Messung gelungen, wird das System soweit verkleinert werden, dass es in eine Bierdose passt und somit auch tragbar wird. Zunächst wollen wir das theoretische Konzept der E- Feldmühle besprechen und danach die Konstruktion eines vorläugen Prototyps mit anschlieÿender Messung und Auswertung betrachten. Schlieÿlich besprechen wir die Konstruktion des endgültigen Experiments, der E-Feldmühle in einer Bierdose, und die darauÿ resultierende Messung. 2 Theorie Bei einer E-Feldmühle wird eine kreisförmige Metallplatte in vier Viertel unterteilt, die sogenannten Sektorelektroden, wobei jeweils die gegenüberliegenden miteinander verbunden sind. Nun werden durch einen, mit einem Motor angetriebenen, Drehügel jeweils zwei Sektorelektroden verdeckt. Durch diesen Aufbau erhält man also prinzipiell eine sich periodisch verändernde Kapazität C(φ), die vom zu messenden E-Feld durchdrungen wird. Durch diese sich verändernde Kapazität ndet periodisch Inuenz auf den Sektorelektroden statt. Werden die Elektroden über einen Widerstand geerdet, so lässt sich ein Strom messen, der proportional zum zu messenden E-feld und zur Kapazitätsänderung (also der Winkelgeschwindigkeit des Motors) ist, wie die folgende Rechnung zeigt (mit U = Spannung, E = elektrisches Feld, d = Plattenabstand, Q = elektrische Ladung, C = Kapazität des Kondensators, I = Strom) U = Ed (1), Q = CU (2), I = Q (3) 2

3 Abbildung 1: Aufbauskizze [1] I = Q = ĊU = ĊEd (4) Die Auf- und Entladezeiten des Kondensators sind hierbei vernachlässigbar, da der Motor in einem Frequenzbereich von f = 100Hz dreht. Zum Vergleich wird die Entladungskonstante berechnet: mit C = ɛ 0 A d (5), A = 14 cm2, d = 3 mm, R = 10 MΩ τ = 1 RC = 4, s (6) Um das Signal auf den Platten messbar zu machen wird ein Instrumentenverstärker verwendet. Dieser hat einen sehr hohen Eingangswiderstand, sodass das Signal ohne Ladungsentnahme gemessen werden kann. Ferner hat er den Vorteil, dass durch Dierenzbildung eventuelle Störsignale, die auf alle Platten einwirken eliminiert werden. Der Instrumentenverstärker besteht aus drei Operationsverstärken (in Abb. 2 OV1, OV2, OV3), von denen zwei jeweils vor die Eingänge des dritten geschaltet werden. Diese haben den Verstärkungsfator 1 und dienen lediglich dazu den Eingangswiderstand wesentlich zu erhöhen, während der Dritte dann das Signal verstärkt. 3

4 Abbildung 2: Schaltplan Instrumentenverstärker (U1 und U2 sind die Eigangsspannungen, Ua die Ausgangsspannung, über R1 und R2 lässt sich der Verstärkungsfaktor von OV3 einstellen) [4] 3 Bau der E-Feldmühle Der erste Schritt beim Aufbau war die Realisierung des Sensorbereichs der E-Feldmühle, also der Sektorelektroden und der Flügel die sich mit Hilfe eines Motors drehen. Wir haben zuerst die Sektorelektroden auf eine Pappe montiert. Diese Pappe bendet sich zwischen Motorrumpf und den Dreh- ügeln. Damit die Drehügel geerdet sind haben wir die Motornabe mit einem ausgefransten Kabel an den Erde-Anschluÿ des Oszilloskops angeschlossen. Zum Ermöglichen von Vergleichsmessungen haben wir 2 Metallplatten Abbildung 3: Motorrumpf mit Pappe und Flügeln waagerecht übereinander angeordnet und somit einen relativ groÿen Plattenkondensator hergestellt. Die Platten haben wir an eine Hochspannungsquelle angeschlossen. In der Mitte der beiden Platten bendet sich die E- Feldmühle. Ohne zusätzliche Elektronik haben wir überprüft, ob man schon mit diesem simplen Aufbau sichtbare Änderungen in der Amplitude des In- uenzstromes zu sehen vermag. Es ist aber nur Rauschen und alle möglichen Radio-Signale zu erkennen, sichtbare Änderungen bei verschiedenen E-Feldern sind nicht festzustellen. Der nächste gröÿere Schritt im Aufbau 4

5 Abbildung 4: Plattenkondensator Abbildung 5: Hintergrundrauschen, links für niedriges und rechts für groÿes äuÿeres E-Feld der Feldmühle war die Elektronik. Um ablesbare Signale aus dem Messaufbau zu bekommen, die die Feldänderung sichtbar machen und die störenden herauszu ltern, haben wir eine Instrumentenverstärker-Schaltung aufgebaut. Die Instrumentenverstärker-Schaltung ist eine Operationsverstärker- Abbildung 6: Instrumentenverstärker-Schaltung, links Schaltplan [4], rechts Aufbau Schaltung mit sehr hochohmigen Eingängen, was ideal zum Abgri der Span5

6 nungen auf den Sektorelektroden geeignet ist, da der dort auftretende Verschiebungsstrom sehr gering ist. Zusätzlich unterdrückt diese Schaltung den Gleichspannungsanteil, sodass wir ein gut ablesbares, da auf 0V genormtes, Signal auf dem Oszilloskop erhalten. Interessanterweise haben wir nach dem Aufbau und Anschluÿ eines einzigen Kabels eine Auf- und Entladekurve eines Kondensators beobachten können. Die Frequenz der Auf- und Entladungen betrug 50 ± 0, 1Hz. Dieses Signal wurde durch die Stromversorgung über die Steckdose eingekoppelt. Da dieses Störsignal alle Signale stark überlagerte mussten wir es heraus ltern. Um das Mess-Signal nicht zusätzlich abzuschwächen musste die Filterschaltung aktiv sein. Für diesen Zweck verwendeten wir die aktive Doppel-T-Bandsperre. Wie man in Abbildung 8 erkennen kann, Abbildung 7: Bandsperre, links Schaltplan [4], rechts Aufbau (Ue ist die Eingangsspannung, Ua die Ausgangsspannung. Über R und C bestimmt man die Filterfrequenz, mit R1 wird über den Operationsverstärker die Güte des Filters bestimmt) ltert die Bandsperre abhängig von der Güte den eingestellten Frequenzbereich heraus. In unserem Fall sind dies die 50 Hz des Netzstromes. Wir haben folgende Werte für die Schaltung verwedendet: C = 0.1µF R = 32kΩ Nachdem wir die Ausgänge der Instrumentenverstärker-Schaltung an die Eingänge der Bandpaÿ-Sperrschaltung angeschlossen hatten, konnten wir die ersten Veränderungen im Signalverlauf bei unterschiedlichen E-Feldern messen. Man kann entweder das Ausgangssignal betrachten und die Spitze-zu-Spitze Spannungen vergleichen, oder das Signal wird im Oszilloskop nach dem FFTVerfahren (fast Fourrier-Transformation) angezeigt, welches die Frequenzanteile in einem Histogramm darstellt. 6

7 Abbildung 8: Frequenzgang und Phasenverlauf der Bandsperre [4] (Im oberen Graphen ist die Signalabschwächung in db in Abhängigkeit von der Frequenz bei unterschiedlichen Güten Q zu sehen. Der untere Graph zeigt die Phasenverschiebung des Signals, wieder für unterschiedliche Güten Q.) 7

8 Abbildung 9: Oszilloskopbilder für Motorspannung U M = 10.1V (bei einer Drehfrequenz von ca. 54Hz +- 3Hz) und an den Kondensator angelegte Spannung U E ; links oben: Signal für U E = 0V ; rechts oben: Signal für U E = 300V links unten: FFT für U E = 0V ; rechts unten: FFT für U E = 300V 8

9 4 Messreihe mit dem provisorischen Aufbau Wir legen ein äuÿeres Feld an, um zu testen wie genau unser Aufbau auf von uns ausgelöste Veränderungen des Feldes reagiert. Dabei gibt es verschiedene frei wählbare Parameter. Unser Spannung der Platten kann zwischen 0 V und 300 V variiert werden. Die beiden Platten haben einen Abstand von 30 cm. Wir können also ein E-Feld von 1000 V m anlegen Die maximale Spannung für unseren Motor darf höchstens 16 V betragen Zuerst haben wir bei konstantem Feld die Drehfrequenz unseres Rotorblattes verändert um zu ermitteln bei welcher Frequenz die Schwingung auf dem Oszilloskop am besten zu beobachten ist (das heiÿt wenig Rauschen und ein sauberes periodisches Signal), um eine möglichst gute Messgenauigkeit zu erhalten. Auÿerdem sollte bei dieser Frequenz dann auch eine gut zu erkennende Veränderung der Amplitude zu sehen sein. Messreihe: E-Feld konstant ( U E = 300V) Ausgangsspannung unseres Aufbaus, also die verstärkte und gelterte Spannung zwischen den Plattenpaaren, U A von Spitze zu Spitze gemessen Motorspannung U M variiert U M in V U A in V U M in V U A in V Tabelle 1: Messreihe: U A in Abhängigkeit von U M Man sieht dass die Ausgangsspannung mit zunehmender Drehfrequenz ansteigt, jedoch nicht linear und nicht kontinuierlich. Das beste Signal ist jedoch nicht bei der höchsten Ausgangsspannung, sondern bei einer Motorspannung von 10V. Hier erhält man Abbildung 11 auf dem Oszilloskop, im Vergleich dazu das Ausgangssignal bei zwei anderen Spannungen in Abbildung 12. Die 9

10 Abbildung 10: Ausgangsspannung U A in Abhängigkeit von der Motorspannung U M Abbildung 11: Signal bei U M = 10V Erklärung für dieses Verhalten ist unserer Meinung nach die Vibration der Pappe durch den Motor. Durch diese Vibrationen in unterschiedlichen Frequenzen entstehen jeweils konstruktive oder destruktive Interferenzen, die den Spannugsaufbau auf den Sektorerlektroden und dem Rotorügel überlagern. Da die besten Ergebnisse bei einer Motorspannung von ungefähr 10 V aufgetreten sind haben wir die nächste Messung bei konstanter Motorspannung von 10.1V gemacht und dabei das äuÿere E-Feld variiert. Man erkennt den linearen Zusammenhang zwischen der Spannung des angelegten E-Feldes und der Ausgangsspannung in Abbildung 2. Auÿerdem erkennt man, dass die 10

11 Abbildung 12: Oszilloskopbilder: links U M = 6V; rechts U M = 15V U E in V U A in V Tabelle 2: gemessene Amplituden für gegebene Kondensator-Spannung bei U M = 10.1V Abbildung 13: Plot der Werte aus Tabelle 2 Gerade nicht durch den Ursprung geht, sondern die y-achse bei einem positiven Wert schneidet. Dies ist der Fall, weil das Erd-E-Feld zusätzlich additiv zu 11

12 unserem angelegten Feld wirkt und daher auch bei unserer E-Feld-Spannung von 0V noch zu sehen ist. Dadurch dass wir das externe Feld angelegt haben, können wir nun darauf zurückschlieÿen, welche Ausgangsspannung welchem E-Feld entspricht. Diese Beziehung erhalten wir aus der Steigung der Graden. Es gilt: 1V entspricht 1bm V, wobei b die Steigung der Geraden ist. Mit unserer fertig aufgebauten Mühle werden wir diese eben gemachte Messreihe mehrmals durchführen, um einen genaueren Wert für die Steigung zu ermitteln. Da das Erd-E-Feld additiv zu unserem angelegten Feld wirkt, entspricht der y-achsenabschnitt schon der Erd-E-Feld-Spannung. Um durch den Graphen direkt auf den Wert des Erd-E-Feldes schlieÿen zu können, kann man auch direkt die Feldstärke auf der x-achse auftragen und den Schnittpunkt der x-achse und der aufgetragenen Graden betrachten. Wie man hier sieht und Abbildung 14: Plot mit Regressionsgeraden auch schon beim ersten Graphen gesehen hat, ist unser erster Wert nicht ganz in der Reihe und verändert dadurch die gettete Gerade sehr. Wir haben für den Fehler der Spannung eine Ungenauigkeit von ±0.1V angenommen, da es etwas schwierig war die Amplitude der Sinusschwingung abzulesen, da die Höhe oft um einen kleinen Wert geschwankt hat. Für die Steigung ergibt sich ein Wert von b = und für den y-achsenabschnitt ein Wert von a = Die Fehler der beiden Werte sind in der Tabelle des Graphen in Abbildung 14 abzulesen. Die Gerade wird von der Funktion y = a + bx (7) 12

13 beschrieben. Der Wert des E-Feldes der Erde ist der Schnittpunkt mit der x-achse. x = a b (8) Es ergibt sich ein Wert von x = m V. Der Fehler ergibt sich nach der Fehlerfortpanzung zu: ( 1 x = x = V m (10) b a) 2 + ( a b 2 b ) 2 (9) x = V m ± V m (11) Die Ungenauigkeit entspricht ungefähr 5%. Dieser Wert vernachlässigt allerdings noch einige systematische Fehler, die in diesem provisorischen Aufbau vorhanden, aber nicht genauer bestimmbar sind. Durch die endlichen Abmessungen unseres Plattenkondensators ist das E-Feld nicht wirklich homogen, wodurch sich ein Groÿteil des systematischen Fehlers ergibt. Nach [3] hatten wir einen Wert um 100m V erwartet. Jedoch kann unser Wert durchaus im Rahmen des Möglichen liegen, was Tabelle 3 zeigt. Da wir uns im Prakti- Quelle Feldstärke in m V Ungestörtes Schönwetterfeld 130 Bei Gewitter Fernsehgerät ohne geiegnete Beschichtung in 30cm Abstand In Wohnräumen durch elektrostatische Auadung bis zu Tabelle 3: Feldstärken für verschiedene E-Felder kumsraum aufgehalten haben und viele elektrische Geräte in der Umgebung waren, kann die Messung aber auch verfälscht worden sein, was zu einem systematischen Fehler führen würde. Da unsere Messwerte wie erwartet annähernd linear verlaufen, würde dieser Fehler unsere Grade in y-richtung verschieben, sich also nur auf den y-achsenabschnitt auswirken. Durch Vergleich unserer Messdaten mit unabhängigen Daten einer anderen Messung in Wuppertal, etwa einer Wetterstation, könnte dieser systematische Fehler beseitigt werden. 13

14 5 Bau der Feldmühle in der Bierdose Nachdem nun die ersten Messungen mit dem provisorischen Aufbau als erfolgreich bezeichnet werden konnten, hatten wir den Anspruch eine kompakte Feldmühle zu bauen, die nach Möglichkeit auch transportabel sein sollte. Als Aufgabe stellten wir uns, die Feldmühle in eine Bierdose zu bauen, da diese gut tragbar ist und auÿerdem leitfähig, sodass die Messelektronik im Innern von möglichen Störfeldern abgeschirmt wird. Auÿerdem ersparte uns diese Entscheidung die zusätzliche Konstruktion eines Gehäuses. Als Nachteil hat sich im nachhinein herausgestellt, dass man sehr Vorsichtig beim Anschluss der Stecker an die in Dose eingelassenen Buchsen seien muss, da das dünne Blech sehr leicht nachgibt, wie man in Abbildung 15 sehen kann. Um die Abbildung 15: links: Halterung für Platinen und Motor; rechts oben: Riss an der Buchse; rechts unten: Bierdose von Innen gelöteten Platinen und den Motor in der Bierdose zu positionieren haben wir uns das Gestell in Abbildung 15 einfallen lassen. Dieses kann man leicht aus der Dose ziehen um eventuell nötige Änderungen vornehmen zu können. Die Platinen wurden mit Isolierband überklebt um sie vor Kontakt mit den Buchsen im Innern (siehe Abbildung 15 rechts unten) zu schützen. Um systematische Fehlerquellen durch Asymmetrien zu vermeiden wurden der Rotor und die Sektorelektroden neu angefertigt. Die Bauteile bestehen nun wegen 14

15 der besseren Leitfähigkeit aus Kupfer und die Sekorelektroden wurden mit Klebeband voneinander abgeschirmt. Die montierten Bauteile sind auf Abbildung 16 zu sehen. Da der Motor höher als zunächst angenommen ausgefallen Abbildung 16: Rotor und Sektorelektroden ist musste die Bierdose zusätzlich erhöht werden. Die fertige Endkonstruktion ist auf Abbildung 17 zu sehen. Abbildung 17: fertiger Aufbau 15

16 6 Messreihe mit dem endgültigen Bierdosen- Aufbau In einem ersten Versuchsteil haben wir die Abhängigkeit der Ausgangsspannung (U A ) von der Motorspannung (U M ), also der Drehfrequenz, beobachtet. Es ergaben sich die Werte aus Tabelle 4. Diese wurden nun in Abbildung 18 gegeneinander aufgetragen. Die Amplitude steigt mit gröÿerer Motor- U M in V U A in V Tabelle 4: Amplitude in Abhängigkeit von der Motorspannung Abbildung 18: Plot zu Tabelle 4 frequenz an, allerdings nur näherungsweise linear, während ein linearer zusammenhang von der Theorie vorhergesagt wird. Auÿerdem ist das Signal sehr unregelmäÿig, bei unterschiedlichen Motorspannungen erhält man die Signale aus Abbildung 19 auf dem Oszilloskop. Da die Amplitude immer gröÿer wird, aber ab einem Wert von ca. 6.5V Motorspannung keine regelmäÿige Schwingung mehr als Ausgangssignal angezeigt wird, nehmen wir für die E-Feld-Bestimmung eine Motorspannung von 5.5 Volt. Dass bei gröÿeren Motorspannungen kein brauchbares Signal angezeigt wird liegt vermutlich 16

17 Abbildung 19: Signale für unterschiedliche Motorspannungen daran, dass der Motor bei höheren Frequenzen nicht mehr ruhig schwingt, sondern auch das Gehäuse zu Schwingungen anregt. Da man aber trotzdem auch schon bei diesen kleineren Frequenzen eine gute Abhängigkeit zwischen angelegten E-Feld und der Ausgangsspannung beobachten kann, wird dieser Bereich zum Messen gewählt. Da unser Signal jetzt anders aussah und man die Amplitude nicht mehr so gut ablesen konnte, mussten wir uns ein anders Verfahren als in der ersten Messreihe mit der provisorischen Schaltung einfallen lassen. Als wir dann ein äuÿeres E-Feld anlegten verbesserte sich die Signalform und man konnte viel besser die Amplitude ablesen. Um durch zwei Messwerte dann auf das E-Feld der Erde schlieÿen zu können, legten wir eine äuÿere Spannung von 152V an, polten diese einmal um und nahmen wiederum einen Messwert. Die Platten zur E-Felderzeugung sind 34cm auseinander, was dann einem angelegten Feld von E = ± 152V 0.34m = ± V m entspricht. Die gemessenen Werte sind ziemlich genau und der Fehler durch Ableseungenauigkeiten für unsere Maÿstäbe nicht zu berücksichtigen. Allerdings gehen 17

18 wir von einem homogenen Feld zwischen den Platten aus. Diese Näherung kann man jedoch nur bei einem Plattenkondensator machen, dessen Abstand zwischen den Platten viel kleiner als die Plattendiagonale ist, was bei uns nicht zutrit. Daher nehmen wir einen geschätzten Fehler von E = ±5 V m an. Wir messen jetzt bei beiden beschriebenen Einstellungen (U E = ±152V) die Amplitude der Ausgangsspannung (U A ) und zwar von Spitze zu Spitze mit Hilfe der Cursorfunktion am Oszilloskop. Dabei erhalten wir die Werte aus Tabelle 5 und auf dem Oszilloskop ergeben sich die Signale aus Abbildung 20. Da das E-Feld der Erde dieses angelegte Feld immer additiv überlagert, U E in V U A in V Tabelle 5: Messwerte bei maximaler Kondensator-Spannung Abbildung 20: Signale zu Tabelle 5 muss dies in der Rechnung berücksichtigt werden. Es ergeben sich die beiden folgenden Gleichungen E E Erde = U 1 (12) E + E Erde = U 2 (13) 18

19 Unter der annahme eines linearen Zusammenhangs von E-Feld zu Ausgangsspannung ergibt sich damit E E Erde U 1 = E + E Erde U 2 (14) U 2 U 1 (E E Erde ) = E + E Erde (15) x= U 2 U 1 EErde = E (x 1) x + 1 (16) Fehlerrechnung: mit x = U 2 (17) U 1 ( ) 2 ( ) 2 1 U2 x = U 2 + U 1 (18) U 1 mit E Erde = E Erde = E (x 1) (19) x + 1 (x ) 2 1 x + 1 E + U 2 1 ( ) 2 E [(x + 1) (x 1)] x (20) (x + 1) 2 Aufgrund von Schwankungen und der Ableseungenauigkeit wird für die Spannungen ein Fehler von U 1 = U 2 = 0.2V angenommen. Aus den gemessenen Werten ergeben sich die Gröÿen zu E Erde x = 20.2V 7.6V = = V m x = E Erde = 28.6 V m Das heist wir haben das E-Feld der Erde zu E Erde = V m ± 28.6 V m bestimmt. Dieser Wert liegt durchaus im Rahmen des Möglichen für schönes bis bewölktes Wetter, der Fehler beträgt ungefähr 15%. Wir hätten gerne 19

20 noch Werte bei Gewitter aufgenommen, um festzustellen, ob die Werte dann stark erhöht sind, oder ob man bei einem Blitz direkt eine Signaländerung auf dem Oszilloskop sehen kann. Leider blieb im Rahmen des Praktikums kein Zeit mehr um eine Messung bei Gewitter durchzuführen. 20

21 7 Zusammenfassung Im Verlauf dieses Versuchs ist es uns gelungen wie geplant das Elektrische Feld der Erde zu messen. Ebenso konnte die Empndlichkeit des provisorischen Aufbaus durch den Neubau in der Bierdose wie erhot wesentlich verbessert werden.die gewünschte Transportabilität konnte nicht erreicht werden. Um diese zu gewährleisten hätte man den provisorischen Aufbau nicht eins zu eins neu aufbauen dürfen, da Elemente wie das Oszilloskop die Mobilität stark einschränken, ebenso wie der Plattenkondensator, welcher in der Planungsphase nur zum Eichen der Feldmühle eingesetzt werden sollte. Insgesamt ist der Versuch jedoch als gelungen zu betrachten, da unser Hauptziel, nämlich die Vermessung des E-Felds der Erde, erreicht wurde. Unsere Messung ergab ein E-Feld von: E Erde = V m ± 28.6 V m 21

22 Literatur [1] feldmuehle/feldmuehle.htm [2] Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik I; Adalbert Precht;Wien 1999; erschienen: Springer Verlag [3] [4] Halbleiter-Schaltungstechnik 12. Auage; von: Ulrich Tietze, Christoph Schenk; erschienen: Springer Verlag