The most important questions of life are, for the most part, really only problems of probability.

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1 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG It is remarkable that a science which began with the consideration of games of chance should have become the most timportant tobject of fhuman knowledege... The most important questions of life are, for the most part, really only problems of probability. Pierre Simon de Laplace Theorie Analytique des Probabilities, 1812 Statistik für SoziologInnen 1 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Zufall und Erkenntnis Klassischer wissenschaftstheoretischer Fortschrittsglauben: Unsicherheit und Unschärfe (Zufall) können durch fortschreitende wissenschaftliche Erkenntnis reduziert werden Demokrit: Die Natur ist in ihrer Grundlage streng determiniert Zufälliges entspricht dem Nichterkannten Epikur: Der Zufall ist immanenter Bestandteil der Natur der Erscheinungen unserer Welt Statistik für SoziologInnen 2 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung 1

2 Zweifel am deterministischen Weltbild Das Gewebe dieser Welt ist aus Notwendigkeit und Zufall gebildet; die Vernunft des Menschen stellt sich zwischen beide und weiß sie zu beherrschen; sie behandelt das Notwendige als den Grund ihres Daseins; das Zufällige weiß sie zu lenken, zu leiten und zu nutzen,... Johann Wolfgang von Goethe Dissertation von Karl Marx (1841) über den Unterschied in der Naturphilosophie Demokrits und Epikurs Statistik für SoziologInnen 3 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Paradigmenwechsel im 20.Jahrhundert Erkenntnisse der theoretischen Physik "Existenz der Wahrscheinlichkeit in der Natur" Thermodynamik (Boltzmann) Bewegungen von Molekülen werden nicht durch Gesetze der Newtonschen Mechanik sondern durch Wahrscheinlichkeitsgesetze gesteuert Quantenmechanik (Heisenberg) Radioaktivität: freie Neutronen zerfallen zufällig Ihre Anzahl gehorcht jedoch einem bestimmten Gesetz Einstein: "Gott würfelt nicht" Statistik für SoziologInnen 4 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung 2

3 Unschärferelation der Quantenmechanik Grundpostulat der modernen Physik: Die Elementarvorgänge im materiellen Geschehen entziehen sich grundsätzlich einer exakten raum- zeitlichen Darstellung. Voraussagen über Ort und Geschwindigkeit der kleinsten Partikeln haben immer nur den Charakter von Wahrscheinlichkeitsaussagen. Werner Heisenberg Statistik für SoziologInnen 5 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeit und Biologie Evolution: umweltbedingt kommt es zu zufälligen Änderungen des Genotyps crossing over Mutuation ti Evolution ist keine Entwicklung von primitiven zu komplexen Lebensformen sondern eine Entwicklung von weniger angepaßten Arten zu besser angepaßten Die Rolle des Zufalls für moderne Biologie und Genetik ==> M. Eigen "Das Spiel Die Rolle des Zufalls für moderne Physik und Biologie ==> L. Tarassow Wie der Zufall will? - Vom Wesen der Wahrscheinlichkeit Statistik für SoziologInnen 6 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung 3

4 Angela Merkel in einem Interview 12/2006 Unsere Gesellschaft muss stärker lernen, Risiken zu bewerten, ganz generell gesprochen. Das Leben mit der Chance und dem Risiko ist ein wichtiges gesellschaftliches Problem. Ich finde es in einer komplexer werdenden Welt auch wichtig, Kinder bereits frühzeitig an solche Abwägungen heranzuführen, die sie später immer wieder vornehmen müssen. Im Kindergarten und in der Schule können Kinder spielerisch lernen, was Wahrscheinlichkeit und Risiko bedeuten. Statistik für SoziologInnen 7 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Definitionen - 1 Kalkulatorische Erfassung des Phänomen Zufalls Zufallsvorgang Vorgang mit ungewissem Ausgang Zufallsexperiment Es gibt mehrere mögliche Ergebnisse des Vorgangs Das Ergebnis bei einer Durchführung ist nicht mit Sicherheit vorhersehbar Der Vorgang ist unter den gleichen Randbedingungen wiederholbar Statistik für SoziologInnen 8 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung 4

5 Bestimmung der Wahrscheinlichkeit Statistische Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses ist jener Wert bei dem sich die relative Häufigkeit bei einer wachsenden Zahl von Versuchswiederholungen h stabilisiert i t (Mises) Das Prinzip "günstige Fälle" dividiert durch alle "mögliche Fälle" im Rahmen eines Modells gleicher Wahrscheinlichkeiten für die Einzelereignisse (Laplace) Das Konzept subjektiver Wahrscheinlichkeiten (de Finetti) Statistik für SoziologInnen 9 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Definitionen Ein möglicher Ausgang (mögliches Ergebnis) eines Zufallsexperiments wird als Elementarereignis bezeichnet. e1, e2,... Die Menge aller Elementarereignisse eines Zufallsexperiments wird als Ergebnismenge oder Stichprobenraum bezeichnet. E={e1, e2,...} Eine Teilmenge A der Ergebnismenge heißt Ereignis. Ein Ereignis A tritt ein, wenn ein Ergebnis beobachtet wird, das zu A gehört. A E Statistik für SoziologInnen 10 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung 5

6 Ereignis A als Teilmenge von E: A E Teil von Statistik für SoziologInnen 11 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung B ist ein Teilereignis von A : B A E Statistik für SoziologInnen 12 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung 6

7 Komplementärereignis A' A A' = E Nicht Statistik für SoziologInnen 13 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Durchschnitt von A und B A B={e e A und e B} sowohl als auch Statistik für SoziologInnen 14 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung 7

8 Vereinigung von A und B A B={e e A oder e B}oder (aber nicht exklusiv) Statistik für SoziologInnen 15 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Differenzmenge A ohne B A \ B={e e A und nicht e B} ohne Beachte: E \ A = A' Statistik für SoziologInnen 16 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung 8

9 Exklusives Oder (A B') (A' B) = (A B) \ (A B) entweder oder Statistik für SoziologInnen 17 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeitsmaß Ein Wahrscheinlichkeitsmaß P ist eine Abbildung, die allen möglichen Elementarereignissen eines Zufallsexperiments eine Zahl zuordnet und dabei den Axiomen von Kolmogorov genügt. Die Wahrscheinlichkeit eines beliebigen Ereignisses A ergibt sich durch die Summe der Wahrscheinlichkeiten jener Elementarereignisse, die in A enthalten sind. Positivität 0 P(A) 1 Normierung P(E) = 1 Additivität P(A 1 A 2 )=P(A 1 )+P(A 2 ) falls A 1 A 2 = Statistik für SoziologInnen 18 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung 9

10 Einfache Beispiele Eine Münze wird einmal geworfen Elementarereignisse: Kopf, Adler P(K) = 1/2 P(A) = 1/2 E=K A P(K A) = 1/2 + 1/2 = 1 Eine Münze wird zweimal geworfen Elementarereignisse: KK, KA, AK, AA P(KK) = P(KA) = P(AK) = P(AA) = 1/4 Zusammengesetztes Ereignis: X = "zwei gleiche Ergebnisse" X = {KK, AA} = P(X) = 1/4 + 1/4 = 1/2 Statistik für SoziologInnen 19 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Beispiel: Würfelwurf mögliche Elementarereignisse 1, 2, 3, 4, 5, 6 P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = 1/6 P(E)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6= = 1 (Zusammengesetzte) Ereignisse A... gerade Augenzahl A={2, 4, 6} P(A) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 B... Augenzahl < 3 B={1, 2} P(B) = 1/6 + 1/6 = 2/6 Statistik für SoziologInnen 20 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung 10

11 Komplementbildung beim Würfelwurf-Beispiel A'... ungerade Augenzahl A' = {1, 3, 5,} A' =E\ A P(A') = P(E) - P(A) = 1-3/6 = 3/ A' E A 5 Statistik für SoziologInnen 21 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Durchschnittsbildung beim Würfelwurf-Beispiel A B... gerade Augenzahl und Augenzahl kleiner 3 A B = {2} P(A B) = 1/ B 2 1 E A 5 Statistik für SoziologInnen 22 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung 11

12 Differenzmenge beim Würfelwurf-Beispiel A \ B... gerade Augenzahl ohne den Augenzahlen kleiner 3 A \ B = {4, 6} P(A \ B) = P(A) - P(A B) = 2/ B 2 1 E A 5 Statistik für SoziologInnen 23 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Vereinigung beim Würfelwurf-Beispiel Gerade Augenzahl oder Augenzahl kleiner als 3 A B = {1, 2, 4, 6} P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) P(A B) = 3/6 + 2/6-1/6 = 4/ B 2 1 E A 5 Statistik für SoziologInnen 24 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung 12

13 Exklusives Oder beim Würfelwurf-Beispiel Entweder gerade Augenzahl oder Augenzahl kleiner als 3 (A B) \ (A B) = {1,2,4,6}\ {2} = {1, 4, 6} P(A B) - P(A B) = 4/6-1/6 = 3/ B 2 1 E A 5 Statistik für SoziologInnen 25 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Beispiel zur Ereignisalgebra Sex Alter <=25 >25 Gesamt männlich weiblich Gesamt Merkmale: Geschlecht, Alter A...(Geschlecht = männlich)... n(a)=50...h(a)=0,50 A...(Geschlecht = nicht männlich) (Geschlecht = weiblich)... n(a )=50... h(a )=0,50 B...(Alter <= 25)... n(b)=60... h(b)=0,60 B...(Alter > 25)... n(b )=40... h(b )=0,40 Statistik für SoziologInnen 26 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung 13

14 Beispiel zur Ereignisalgebra Sex Alter <=25 >25 Gesamt xmännlich weiblich Gesamt Durchschnitt A B (Geschlecht = männlich) und (Alter <= 25) n(a B )=20...h(A B )=0,20 Statistik für SoziologInnen 27 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Beispiel zur Ereignisalgebra Se ex Alter <=25 >25 Gesamt männlich weiblich Gesamt Vereinigung A B (Geschlecht = männlich) oder (Alter <= 25) n(a B )=90 (ergibt sich aus ) h(a B )=0,90 Statistik für SoziologInnen 28 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung 14

15 Beispiel zur Ereignisalgebra Sex Alter <=25 >25 Gesamt xmännlich weiblich Gesamt Differenzmenge A \ B (Geschlecht = männlich) ohne (Alter <= 25) n(a \ B )=30...h(A \ B )=0,30 Statistik für SoziologInnen 29 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Beispiel zur Ereignisalgebra Se ex Alter <=25 >25 Gesamt männlich weiblich Gesamt Exklusives Oder (A B) \ (A B) = (A B) (A B ) entweder (Geschlecht = männlich) oder (Alter <= 25) n(a B )=70 (ergibt sich aus 30+40) h(a B )=0,70 Statistik für SoziologInnen 30 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung 15

16 Einfache Regeln der Mengenalgebra (A B)' = A' B' Gesetz von de Morgan Nicht (A oder B) = (Nicht A) und (Nicht B) A B (A B)' = A' B' A B A' B' Statistik für SoziologInnen 31 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Anwendung von De Morgan im Würfelbeispiel A = {2, 4, 6 } B = {1, 2} (A B)' =A' B' Nicht (gerade Augenzahl oder Zahl kleiner 3) = Nicht (gerade Augenzahl) und Nicht (Zahl kleiner 3) linke Seite: (A B)' = {1, 2, 4, 6}' = {3, 5} rechte Seite: A' B' = {1, 3, 5} {3, 4, 5, 6} = {3, 5} Statistik für SoziologInnen 32 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung 16

17 Anwendung von De Morgan Sex Alter <=25 >25 Gesamt männlich weiblich Gesamt Negation der Vereinigung Nicht(A B) = Nicht((Geschlecht = männlich) oder (Alter <= 25))= ((Geschlecht = nicht männlich) und (Alter > 25)) n(nicht(a B))=10...h(Nicht(A B))=0,10 n(a B ) =10 Statistik für SoziologInnen 33 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Anwendung von De Morgan Sex Alter <=25 >25 Gesamt xmännlich weiblich Gesamt Negation des Durchschnitts Nicht(A B) = Nicht((Geschlecht = männlich) und (Alter <= 25))= ((Geschlecht = nicht männlich) oder (Alter > 25)) n(nicht(a B))=80...h(Nicht(A B))=0,80 n(a B ) =80 (ergibt sich aus ) Statistik für SoziologInnen 34 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung 17

18 Zufallsauswahlen aus endlichen Grundgesamtheiten In der statistischen Praxis kommt dem Ziehen von Stichproben größte Bedeutung zu, da in vielen Fällen die Untersuchung der Grundgesamtheit zu teuer oder prinzipiell unmöglich ist. Ziel ist es dabei aus der Analyse der Stichprobe auf die Grundgesamtheit zu schließen Statistik für SoziologInnen 35 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Stichprobenmodelle Grundgesamtheit mit N unterscheidbaren Objekten Stichprobe von n Objekten Ziehen mit Zurücklegen bzw. Ziehen ohne Zurücklegen Berücksichtigung der Anordnung bzw. keine Berücksichtigung der Anordnung Statistik für SoziologInnen 36 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung 18

19 Überblick über Stichprobenmodelle Mit Zurücklegen Ohne Zurücklegen Mit N* = Nn N* = N (N-1)... (N-(n-1)) I II falls n=n: N! (Permutation) Berücksichtigung der Anordnung (Variationen) Ohne Berücksichtigung der Anordnung (Kombinationen) N+ n 1 N* = N (N-1)... (N-(n-1))/n! N* = n N * = N III n IV Statistik für SoziologInnen 37 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung 19