Lineare Algebra I (WS 12/13)

Transkript

1 Lineare Algebra I (WS 12/13) Bernhard Hanke Universität Augsburg Bernhard Hanke 1 / 13

2 Ablauf der Lehrveranstaltung Vorlesungen (B. Hanke): Dienstag 10:30-11:30 und Mittwoch 8:15-9:45 in 1001/T. Globalübung (J. Bowden): Donnerstag 15:45-17:15 in 1002/T. Tutorübungen. Offener Matheraum (R. Gelb) Klausur: Mi , 14:00-15:30 (90 Minuten). Ein aktuelles Vorlesungsskript finden Sie auf der Webseite der Lehrveranstaltung. Dieses Skript sollten Sie intensiv durcharbeiten und versuchen, jedes Detail genau zu verstehen. Sie finden im Netz auch die aktuellen Tutoriumsaufgaben und Übungsblätter. Bernhard Hanke 2 / 13

3 Übungsbetrieb In den Tutorübungen rechnen Sie in kleinen Gruppen Präsenzaufgaben unter Anleitung eines Tutors. Bitte melden Sie sich im Digicampus in den nächsten Tagen zu einer Tutorübung an. Jede Woche wird ein Übungsblatt online gestellt. Die Lösungen (verfasst von bis zu drei Studierenden) geben Sie bei Ihrem Tutor ab, der sie Ihnen eine Woche später korrigiert zurückgibt. Eine Musterlösung des Übungsblattes wird anschließend ins Netz gestellt. Die aktive, selbständige Auseinandersetzung mit den Übungsblättern ist unerlässlich für Ihren Studienerfolg. Diskutieren Sie mögliche Lösungsansätze mit Ihren Kommilitonen und investieren Sie ausreichend Zeit in die Bearbeitung der Übungsblätter. In der Globalübung können Sie Fragen zum aktuellen Vorlesungsstoff stellen. Es werden außerdem besonders wichtige Übungsaufgaben gesondert besprochen. Im Offenen Matheraum finden Sie regelmäßig Ansprechpartner für Fragen zur Vorlesung. Bernhard Hanke 3 / 13

4 Literatur Gerd Fischer, Lernbuch Lineare Algebra und Analytische Geometrie, Vieweg-Verlag. Dieses Buch ist in der Bibliothek im Semesterapparat mehrfach vorhanden. Sie können auch elektronisch über die Seite unserer Bibliothek darauf zugreifen. Klaus Jänich, Lineare Algebra, Springer-Verlag. Bernhard Hanke 4 / 13

5 Inhalt der Vorlesung Lösung linearer Gleichungssysteme. Dies ist oft durch konkrete Fragestellungen motiviert und hat Anwendungen in allen Wissenschaften, in denen es um die exakte Berechnung von Größen geht. Entwicklung der Theorie der Vektorräume. Hier erarbeiten wir eine algebraische Theorie, die eng mit der Lösungstheorie linearer Gleichungssysteme verbunden ist. Wir werden viele mathematische Sätze beweisen, die für alle Vektorräume gelten und daher in ganz verschiedenen Situationen Anwendung finden. Bernhard Hanke 5 / 13

6 Inhalt der Vorlesung Theorie der linearen Abbildungen Hier geht es um strukturerhaltende Abbildungen zwischen Vektorräumen. Diese sind wichtig, um verschiedene Vektorräume in vernünftiger Weise in Beziehung zu setzen. Matrixrechnung Lineare Abbildungen können vollständig durch sogenannte Matrizen beschrieben werden. In dieser Vorlesung wird der Matrixkalkül einen breiten Raum einnehmen. Analytische Geometrie Aus mathematischer Sicht ist dies einer der attraktivsten und wichtigsten Aspekte der Vorlesung. Untersucht wird die Geometrie von Punkten, Geraden, Ebenen und ihrer höherdimensionalen Verallgemeinerungen. Bernhard Hanke 6 / 13

7 Lineare Gleichungssysteme, der Gauß sche Algorithmus Auf einer Augsburger Semesteranfangsparty soll das Mischgetränk Goaß n Maß zubereitet werden. Die Zutaten sind Weißbier (5% Alkohol), Cola mit Rum (10% Alkohol), Kirschlikör (30% Alkohol), Wir stellen uns folgende Fragen: Welche Menge von jeder Zutat wird benötigt, um ein Liter Getränk ( Maß ) mit einem Alkoholgehalt von 20% zu erhalten? Gibt es mehrere Lösungen dieses Problemes oder nur eine? Wie kann die Gesamtheit der Lösungen beschrieben werden? Bernhard Hanke 7 / 13

8 Wir bezeichnen die Menge von Weißbier (in Litern) mit w, von Kirschlikör mit k und von Cola mit c und erhalten folgendes Gleichungssystem: (I ) w + k + c = 1 (II ) 5w + 30k + 10c = 20. Für unser Problem müssen wir außerdem w, k, c 0 fordern. Subtraktion des Fünffachen der ersten Gleichung von der zweiten und Division durch 5 führt auf 5k + c = 3 und ein Tripel (w, k, c) R 3 = R R R liegt genau dann in der Lösungsmenge des Gleichungssystems, falls (w, k, c) {(4t 2, t, 3 5t) t R}. Hier haben wir k = t R als freien Parameter gewählt und daraus die Werte für k und w aus den vorhergehenden Gleichungen berechnet. Die zusätzliche Bedingung w, k, c 0 führt auf t [ 1 2, 3 5 ]. Bernhard Hanke 8 / 13

9 Wir erhalten also als Lösung des Mischungsproblems die Tripel (w, k, c) aus der Menge {(4t 2, t, 3 5t) t [ 3 5, 2 3 ]} Mögliche Rezepte sehen also wie folgt aus: Man nehme oder 1/2 Liter Kirschlikör. 1/2 Liter Cola mit Rum. 0 Liter Weißbier. 3/5 Liter Kirschlikör. 0 Liter Cola mit Rum. 2/5 Liter Bier. Bernhard Hanke 9 / 13

10 Es ist klar, dass es bei obigem Gleichungssystem nicht auf die Namen der Variablen w, k, c ankommt. Es genügt also, nur die auftretenden Koeffizienten in der sogenannten erweiterten Koeffizientenmatrix ( ) zusammenzufassen. Jede Zeile dieser Matrix steht dabei für eine Gleichung. Bernhard Hanke 10 / 13

11 Wir untersuchen nun allgemeiner Gleichungssysteme der Form a 11 x a 1n x n = b 1 a 21 x a 2n x n = b 2.. a m1 x a mn x n = b m Dies sind m lineare Gleichungen in n Unbekannten x j R mit Koeffizienten a ij R, b i R, wobei 1 i m, 1 j n. Wir sprechen auch von einem linearen Gleichungssystem über R. Dieses Gleichungssystem heißt homogen, falls b 1 = b 2 =... = b m = 0. Folgende Fragen liegen nahe: Unter welchen Voraussetzungen sind derartige Gleichungssysteme lösbar? Falls Lösungen existieren, welche Struktur hat die Lösungsmenge L R n? Wie kann man L effektiv berechnen? Die lineare Algebra gibt auf diese und viele weitere Fragen sehr befriedigende Antworten. Bernhard Hanke 11 / 13

12 Es ist hilfreich, den geometrischen Gehalt obiger Gleichungen zu beleuchten. Zum Beispiel haben wir die Gleichung 2x 1 + x 2 = 1. Die Lösungsmenge ist eine Gerade durch die Punkte ( 1 2, 0) und (0, 1) im R 2. die Gleichung 0x 1 + 0x 2 = 0. Hier ist die Lösungsmenge der ganze R 2. die Gleichung 0x 1 + 0x 2 = 1. Die Lösungsmenge dieser Gleichung ist leer. Bernhard Hanke 12 / 13

13 Wir nennen die Lösungsmenge einer Gleichung a 1 x a n x n = b eine Hyperebene im R n, falls mindestens ein a j 0 (j = 1,..., n). Hyperebenen sind (n 1)-dimensionale Teilräume im R n (d.h. Geraden, falls n = 2, Ebenen, falls n = 3 etc.). Der Begriff der Dimension wird später in der Vorlesung auf eine exakte Grundlage gestellt. Die Lösungsmenge eines Gleichungssystems ist der Schnitt solcher Hyperebenen oder leer. Falls es weniger Gleichungen als Unbekannte gibt, sollte die Dimension dieses Schnittes größer als 0 sein, da (anschaulich gesprochen) mit jeder neuen Gleichung die Dimension der Lösungsmenge um 1 abnimmt, Insbesondere sollte es in diesem Falle mehr als eine Lösung geben. Allgemeiner sollte die Lösungsmenge eines Gleichungssystems aus m Gleichungen und mit n Unbekannten die Dimension n m haben. Die lineare Algebra macht genau diese geometrische Intuition präzise Bernhard Hanke 13 / 13