Informationstheorie. Was ist neu. Allgemeines. Modul 1: Einführung und Wahrscheinlichkeitsrechnung
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- Johann Adenauer
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1 Modul : Eführug ud Wahrschelchketsrechug Iformatostheore Dozet: Prof. Dr. M. Gross E-mal: grossm@f.ethz.ch Assstete: Dael Cottg, Rchard Keser, Mart Wcke, Cyrl Flag, Adrea Fracke, Joas Waefler Web Page: htt://grahcs.ethz.ch Allgemees Was st eu Zur Vorlesug Skrt ud Textbooks Elektrosches Materal Tafel Besele Übugsablauf - Grueetelug Testatbedguge: 8 aus 9 Übuge Klausur: 2 Stude Hlfsmttel: kee Ke Mdterm. Alle frühere Tafelbesele u auf Fole (cht mehr mtschrebe 2. Java-Alets zur Illustrato der wchtgste Algorthme Eführug Iformatostheore Eführug Iformatostheore 4
2 Vorlesugsla Thema Eführug ud Grudlage Stochastsche Prozesse Tag der Lehre Etroe Bedgte Etroe Iformatosquelle Coderug dskreter Quelle Otmalcoderug ud Huffma Codes Arthmetsche Coderug/Itervallläge/ LZ. Tel Arthmetsche Coderug/Itervallläge/ LZ 2. Tel Bäre Kaäle Coderugstheorem ud Fehlerkorrektur Sydromcoderug/ Hammg Codes Polyomevaluatoscodes Vorlesug Uebug Ty Theore Theore kee Praxs Theore Theore kee Theore kee Theore Theore Praxs* kee Ausgabe Abgabe Eführug Iformatostheore 5 Skrt ud Bücher H. Klmat, R. Potraschke, D. Schöfeld: Iformatos- ud Kommukatostheore, 2.Auflage, Teuber, 200. T. Cover, J. Thomas: Elemets of Iformato Theory, Joh Wley, 99. U. Maurer: Skrt zur Vorlesug Iformato ud Kommukato, WS 200/2004. F. Reza: A Itroducto to Iformato Theory, Dover Publcatos, 994. H.D. Lüke: Sgalübertragug, Srger, 6. Auflage, 995. T. Bell, J. Cleary, I. Wtte: Text Comresso, Pretce Hall, 990. A. Oehem, R. Schafer, J. Buck: Zetdskrete Sgalverarbetug, 2. Auflage Pearso, Eführug Iformatostheore 6 Zele der Vorlesug Hstore Eführug de Iformatos- ud Koderugstheore Quatfzerug vo Iformato Abschätzug mathematscher Greze für de Komresso vo Date Verlustfree Koderugsverfahre Redudate, fehlerkorrgerede Koderugsverfahre Praktsche Besele Iformatostheore wurde vo Claude Shao begrüdet ud 948 ublzert Mathematcal theory of commucato, ee der bedeutedste Theore der Iformatk Eführug Iformatostheore 7 Eführug Iformatostheore 8 2
3 Begrff der Iformato Kommukato Iformato bekomme wr, we wr etwas Neues erfahre Altbekates stellt kee Iformato dar Iformato msst also de Neuhetsgrad eer emfagee Meldug Seder Kaal Modell/Wsse Emfäger Der Emfäger erhält da u. U. verfälschte Iformato Fehler köe durch Efüge vo Redudaz gezelt korrgert werde Wess der Emfäger mehr, so muss der Seder weger Iformato übertrage Offebar st der Begrff der Iformato eg mt de Begrff der Kommukato verküft Kommukato st der Austausch vo Iformato zwsche zwe oder mehrere Parter Iformato st also vom Ketsstad des Emfägers abhägg. Eführug Iformatostheore 9 Eführug Iformatostheore 0 Übertragugsmodell Komresso Der Seder stellt ee Iformatosquelle dar Dese ka kotuerlch oder dskret se Der Kaal ka deal (verlustfre, oder chtdeal (verlustbehaftet se I cht-deale Kaäle etstehe durch Störuge Fehler Störug Kaal Zel st de Übertragug vo Iformato mt möglchst weg Iformatosehete Dese werde auch als bts (basc formato uts bezechet. Verhälts aus überschüssge bts zu otwedge bts st de Redudaz Komresso zelt auf de Etferug uötger, redudater bts Komresso ka verlustfre oder verlustbehaftet se Seder Emfäger bts werde grudsätzlch vo Bts (bary dgts uterschede. Be Bärcoderug glt: bts Bts Eführug Iformatostheore Eführug Iformatostheore 2
4 Besele Grudsätzlche Frage Verlustbehaftete Bldkomresso: JPEG: 40 KB Verlustlose Textkomresso: Des st e kleer Text 25 ASCII-Zeche200 Bts JPEG: 25 KB Gbt es ee utere Greze für de mmale Azahl vo bts zur Übertragug eer bestmmte Iformato? Köe wr de Iformatosgehalt eer Nachrcht quattatv erfasse? We ädert sch de Betrachtug, we wr de Verhältsse m statstsche Mttel über ee lage Zetraum betrachte? Gbt es Möglchkete, dese theoretsche utere Schrake zu erreche? Eführug Iformatostheore Eführug Iformatostheore 4 Besel: Würfel Iformatosgehalt Würfelexermet mt 6 glechwahrschelche Eregsse dskret, bärcodert Um e Eregs zu codere, brauche wr offebar log 2 6 Bts Für k Würfe beötge wr demach k log 2 6 Bts Das hesst, Würfe ( 6 26 köe wr mt 8 Bts codere Für k erhalte wr Bts ro Eregs Um ee Zufallsvarable mt N verschedee, glechwahrschelche Zustäde bär zu codere, beötge wr offebar log 2 N Bts Se N /N de Wahrschelchket ees Zustades, so beötge wr also log 2 N Bts De Zustadswahrschelchket selt also be der Coderug ee bedeutede Rolle Eführug Iformatostheore 5 Eführug Iformatostheore 6 4
5 Grezbetrachtug Besel: Textcoderug Wr verallgemeer deses Kozet Se Z ee Zufallsvarable mt N möglche Zustäde {z,...,z N } Se de Wahrschelchket, dass Zz, so köte ma mt folgeder Verallgemeerug de Azahl der beötgte Bts bereche: De folgede Tabelle zegt de Wahrschelchkete ezeler Textzeche Deutscher Srache ( Prozet a 6.44 b.9 c 2.68 d 4.8 e 7.5 f.65 g.06 h k.46 l.49 m 2.58 N log o q 0.02 r 7.54 s 6.8 t 6. u 4.7 v 0.94 w.48 x 0.04 y 0.08 z.4 Erklärug folgt säter Ma deke über de Imlkatoe deser Formel gut ach. Eführug Iformatostheore 7 Eführug Iformatostheore 8 Besel: Textcoderug De Wahrschelchket Mt Hlfe der vorherge Formel bereche wr de Azahl vo Bts zu Coderug ees ezele Zeches: N log Dese Grösse wrd auch Etroe geat. Se stellt ee statstsche Mttelwert dar, d.h. m Mttel braucht ma mdestes 4.07 Bts zur Coderug ees Zeches Deutscher Srache. E Wahrschelchketsmass auf eer Mege Ω st ee Fukto P vo Utermege vo Ω auf R, welche de folgede Axome erfüllt: P(Ω We A Ω, da P(A 0 We A ud A 2 dsukt, da P( A A2 P( A + P( A2 Allgeme (Summeformel: P( U A P( A Eführug Iformatostheore 9 Eführug Iformatostheore 20 5
6 Egeschafte Besel: 2 Müzwürfe Addtosgesetz P( A B P( A + P( B P( A B Praktsche Berechug vo Wahrschelchkete durch Zähle: Azahl Eregsse mt A P( A Gesamtzahl Eregsse P(A: Kof m erste Wurf P(B: Kof m zwete Wurf Ω { kk, kz, zk, zz} P(C: Kof m erste oder zwete Wurf P( C P( A + P( B, P( C P( A + P( B P( A B Eführug Iformatostheore 2 Eführug Iformatostheore 22 Bedgte Wahrschelchket Besel: Ure ( De bedgte Wahrschelchket st de Wahrschelchket vo A gegebe B: P( A B P( A B P( B Daraus folgt das Multlkatosgesetz P( A B P( A B P( B Ure mt rote ud eem blaue Ball. Zwe mal zehe ohe zurücklege. R : rot m erste Zug : rot m zwete Zug R 2 P( R R2 P( R P( R2 R Eführug Iformatostheore 2 Eführug Iformatostheore 24 6
7 Totale Wahrschelchket Besel: Ure (2 See B,,B so, dass U B Ω, ud B B Ø, Sowe P(B > 0 für alle. Da glt für e belebges Eregs A P( A P( A B P( B Wahrschelchket, rot m zwete Zug zu zehe. P( R2 P( R2 R P( R + P( R2 R P( R Eführug Iformatostheore 25 Eführug Iformatostheore 26 Bayessche Regel Besel: Bayes ( De Bayessche Regel st vo fudametaler Bedeutug der Wahrschelchketstheore See B,,B Eregsse so, dass U B Ω, ud B B Ø, Sowe P(B > 0 für alle. Da glt: P( B A P( A B P( B P( A B P( B P( A B P( B P( B A P( A Sam-Flter + : Keyword Mal : Keyword Mal S : Mal st Sam N : Mal st ke Sam Statstsche Auswertuge ergebe: P( + S 0.88 P( S 0.2 P( + N 0.4 P( N 0.86 Eführug Iformatostheore 27 Eführug Iformatostheore 28 7
8 Besel: Bayes (2 Zufallsvarable Formel vo Bayes agewadt: P( + N P( N P( N + P( + N P( N + P( + S P( S P(N 0.5 ud P(S P( N Ee Zufallsvarable st m Wesetlche ee Zufallszahl Se ka etweder kotuerlch oder dskret se Dskrete Zufallsvarable ehme ur edlch vele, oder uedlch vele, aber abzählbare Zustäde a! Besel: Der Würfelwurf als Zufallsvarable mt Werte,2,,4,5,6 Eführug Iformatostheore 29 Eführug Iformatostheore 0 Zufallsvarable Verteluge De Wahrschelchket auf eer (dskrete Zufallsvarable wrd we folgt defert: Zufallsvarable sd oft charakterstsch vertelt Ee bekate Fukto st de Bomalvertelug See x, x 2 de möglche Werte vo, da st de Fukto (x P(x de Häufgketsfukto (frequecy fucto k ( k k Es glt: ( x Zwe Zufallsvarable ud Y sd uabhägg, we P( x, Y y P( x P( Y y Eführug Iformatostheore Eführug Iformatostheore 2 8
9 Verbudverteluge Margalserug Ebeso ka ma de gemesame Wahrschelchketsvertelug mehrerer Zufallsvarable utersuche De Verbudwahrschelchket vo ud Y ( x, y P( x, Y y oder x P( x ( x L De Wahrschelchket ees Zustades x vo ka durch Margalserug (Summato aus Verbudwahrschelchket berechet werde ( x ( x, y Für m Zufallsvarable glt etsreched ( x ( x L x m x2... x m Notato: ( x P( x ( x, x2 ( x Lx 2 m x... x m Eführug Iformatostheore Eführug Iformatostheore 4 Bedgte Verteluge Besel: Bed. Verteluge De bedgte Vertelug vo ud Y De Verbudwahrschelchket vo ud Y st P( x, Y y Y ( x, y P( x Y y P( Y y ( y Vergleche mt Bayesschem Gesetz! Y Gegebe ud Y mt Verteluge: Margalserug: \ y x 0 0 /8 0 2/8 /8 PY ( PY (0, + P Y 2 /8 2/8 (, 0 /8 Oder auch Y ( x, y Y ( x y ( y Y P (0, P ( Y P Y (0 Y 2 Margalserug ( x ( x y Y Y ( y y P (, P ( 8 8 Y P Y ( Y Eführug Iformatostheore 5 Eführug Iformatostheore 6 9
Informationstheorie. Allgemeines. Java-Applets. Skript und Bücher. Vorlesungsplan. Modul 1: Einführung und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Modul : Eführug ud Wahrschelchketsrechug Iformatostheore Dozet: Prof. Dr. M. Gross E-mal: grossm@f.ethz.ch Assstete: Berd Bckel, Dael Cottg, Mchael Waschbüsch, Bors Köf, Adrea Fracke, Uel Peter, Barbara
Informationstheorie. Allgemeines. Java-Applets. Modul 1: Einführung und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Modul : Eführug ud Wahrschelchketsrechug Iformatostheore Dozet: Prof. Dr. M. Gross E-mal: grossm@f.ethz.ch Assstete: Berd Bckel, Dael Cottg, Mchael Waschbüsch, Bors Köf, Adrea Fracke, Uel Peter, Barbara
Modul 1: Einführung und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Modul : Enführung und Wahrschenlchketsrechnung Informatonstheore Dozent: Prof. Dr. M. Gross E-mal: grossm@nf.ethz.ch Assstenten: Danel Cottng, Rchard Keser, Martn Wcke, Cyrl Flag, Andrea Francke, Jonas
Quellencodierung I: Redundanzreduktion, redundanzsparende Codes
Quellecoderug I: Redudazredukto, redudazsparede Codes. Redudaz. Eführug. Defto der Redudaz. allgemee Redudazredukto. redudazsparede Codes. Coderug ach Shao. Coderug ach Fao. Coderug ach Huffma.4 Coderug
( ) ( ) ( ) ( ) è ø. P A Wahrscheinlichkeitsmaß. lim n. Dr. Christian Schwarz 4. KOMBINATORIK Permutationen
BBA Projektsemar Thess Dr. Chrsta Schwarz Formelsammlug Aalytsche Statstk 4. KOMBINATORIK 4.. Permutatoe Azahl der Permutatoe vo N Elemete ohe Wederholug: Multomalkoeffzet: N! = N N- N -... 3 N! N! N!...
Statistische Grundlagen Ein kurzer Überblick (diskret)
Prof. J.C. Jackwerth 1 Statstsche Grudlage E kurzer Überblck (dskret De wchtgste Begrffe ud Deftoe: 1 Erwartugswert Varaz / Stadardabwechug 3 Stchprobevaraz 4 Kovaraz 5 Korrelatoskoeffzet 6 Uabhäggket
5 Reproduktions- und Grenzwertsätze
Reproduktos- ud Grezwertsätze Reproduktos- ud Grezwertsätze. Reproduktossätze Bespel 0: Der Aufzug eer Frma st zugelasse für Persoe bzw. 000 kg. Das Durchschttsgewcht der Agestellte der Frma st µ = 80
Lösungen zum Übungs-Blatt 7 Wahrscheinlichkeitsrechnung
Lösuge zum Übugs-Blatt 7 Wahrschelchketsrechug BMT Bostatstk Prof. Dr. B. Grabowsk ----------------------------------------------------------------------------------------------- Bedgte Wahrschelchket
2. Die Elementarereignisse sind die Kombinationsmöglichkeiten von: Wappen = W und:
1 L - Hausaufgabe Nr. 55 Sotag, 1. Ju 2003 Ee Müze werde dremal geworfe. Was st das Zufallsexpermet, das Elemetareregs, das zusammegesetzte Eregs, der Eregsraum ud de Wahrschelchket? Lösugs kte.: 1 De
Ergebnis- und Ereignisräume
I Ergebs- ud Eregsräume Zufallsexpermete Defto: E Expermet, welches belebg oft uter gleche Bedguge wederholbar st ud desse Ergebs cht mt Bestmmthet vorhergesagt werde ka (d.h. es gbt md. 2 Mgk.), heßt
Einführung Fehlerrechnung
IV Eführug Fehlerrechug Fehlerrechuge werde durchgeführt, um de Vertraueswürdgket vo Meßergebsse beurtele zu köe. Uter dem Fehler eer Messug versteht ma de Abwechug ees Meßergebsses vom (grudsätzlch ubekate
WIB 2 Mathematik und Statistik Formelsammlung. Z Menge der ganzen Zahlen {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
1 Allgeme Geometrsche Rehe: q t = 1 q1 t=0 1 q Mtterachtsformel: ax 2 bxc=0 x 1/ 2 = b±b2 4ac 2a Bomsche Formel: 1. ab 2 =a 2 2abb 2 2. a b 2 =a 2 2abb 2 3. ab a b=a 2 b 2 Wurzel: ugerade 1 Ergebs gerade
Quellencodierung I: Redundanzreduktion, redundanzsparende Codes
Quellecoderug I: Redudazredukto, redudazsparede Codes Quellecoderug Durch de Quellecoderug werde de Date aus der Quelle codert, bevor se ee Übertragugskaal übertrage werde De Coderug det der Verkleerug
Lösungen zum Übungs-Blatt 7 Wahrscheinlichkeitsrechnung
Lösuge zum Übugs-Blatt 7 Wahrschelchketsrechug BMT Bostatstk Prof. Dr. B. Grabowsk ----------------------------------------------------------------------------------------------- Satz vo Bayes ud totale
annehmen, so heißt die Funktion, die jedem atomaren Ereignis { x i } mit i { 1; 2; ;
Wahrschelchet Ee Futo X : Ω R, de edem Ergebs ees zufällge Vorgages ee reelle Zahl zuordet, heßt Zufallsgröße (oder auch Zufallsvarable Ee Zufallsgröße X heßt edlch, we X ur edlch vele Werte x aehme a
Ordnungsstatistiken und Quantile
KAPITEL Ordugsstatste ud Quatle Um robuste Lage- ud Streuugsparameter eführe zu öe, beötge wr Ordugsstatste ud Quatle... Ordugsstatste ud Quatle Defto... Se (x,..., x R ee Stchprobe. Wr öe de Elemete der
Übungen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und Schliessenden Statistik
Übuge zur Wahrschelchketsrechug ud Schlessede Statstk Aufgabe ud Lösuge vo Peter M Schulze, Verea Dexhemer. Auflage Übuge zur Wahrschelchketsrechug ud Schlessede Statstk Schulze / Dexhemer schell ud portofre
Methoden der computergestützten Produktion und Logistik
Methode der comutergestützte Produkto ud Logstk 9. Bedesysteme ud Warteschlage Prof. Dr.-Ig. habl. Wlhelm Dagelmaer Modul W 336 SS 06 Bedesysteme ud Warteschlage Besel: Fahrradfabrk Presse Puffer Lackerere
Lösungen. Häufigkeitsverteilung (Stabdiagramm) Aufgabe 1. Häufigkeit (h) Merkmal (x)
Lösuge Aufgabe Merkmal (x) Häufgket (h) h x,, 3, 3,, 8, 5, 5, 6, 6, 7, 3, 8, 3 5, 9, 38,, 5,, 8 68,, 6 3, 3, 9,, 8, 5, 5 5, 6, 3 78, 7, 5, 8, 8, 3, 3, Summe 5.63, Aufgabe Häufgketsvertelug (Stabdagramm)
Varianzfortpflanzung
5.0 / SES.5 Parameterschätzug Varazortplazug Torste Maer-Gürr Torste Maer-Gürr Dskrete Zuallsvarable Ee dskrete Zuallsvarable mmt edlch vele oder abzählbar uedlch vele Werte a. - Werte: - Wahrschelchket:,,,,,,,,
Statistik. ist die Kunst, Daten zu gewinnen, darzustellen, zu analysieren und zu interpretieren um zu neuem Wissen zu gelangen.
Statstk st de Kust, Date zu gewe, darzustelle, zu aalysere ud zu terpretere um zu euem Wsse zu gelage. Sachs (984) Aufgabe De Statstk hat also folgede Aufgabe: Zusammefassug vo Date Darstellug vo Date
Asymptotische Normalverteilung nach dem zentralen Grenzwertsatz
Asymptotsche ormalvertelug ach dem zetrale Grezwertsatz Erwartugswert eer Summe vo Zufallsvarable mt jewels de Erwartugswert x (Y Y Asymptotsche ormalvertelug ach dem zetrale Grezwertsatz Varaz eer Summe
Erzeugen und Testen von Zufallszahlen
Erzeuge ud Teste vo Zufallszahle Jürge Zumdck Eletug Ee Lergruppe wrd aufgefordert 00 Zufallszahle (0 oder ) ach folgede Methode zu erzeuge: De Hälfte der Gruppe beutzt a) ee Müze oder b) de Zufallszahlefukto
Verteilungen und Schätzungen
Verteluge ud Schätzuge Zufallseperet Grudbegrffe Vorgag ach eer bestte Vorschrft ausgeführt ( Przp) belebg oft wederholbar se Ergebs st zufallsabhägg be ehralge Durchführug des Eperets beeflusse de Ergebsse
Lösungen zu Übungs-Blatt 7 Klassische Wahrscheinlichkeit in Glücksspielen, Bedingte Wkt, Unabhängigkeit, Satz von Bayes
Lösuge zu Übugs-latt 7 Klasssche Wahrschelchet Glücsspele, edgte Wt, Uabhägget, Satz vo ayes Master M Höhere ud gewadte Mathemat rof. Dr.. Grabows De folgede ufgabe löse wr uter Verwedug der bede ombatorsche
Prinzip "Proportional Reduction of Error" (PRE)
Dr. Reate Prust: Eführug quattatve Forschugsmethode Bvarate Maße: Przp "Proportoal Reducto of Error" (PRE) E 1 - E Fehler be Regel 1 - Fehler be Regel = E 1 Fehler be Regel 1 Regel 1: Vorhersageregel ur
FH D WS 2007/08 Prof. Dr. Horst Peters Dezember 2007
FH D WS 007/08 Prof. Dr. Horst Peters Dezember 007 Formelsammlug Wahrschelchetsrechug ud dutve Statst m Bachelor-Studegag Busess Admstrato (Modul BWL B) Sete / 6 Formelsammlug Wahrschelchetsrechug ud Idutve
Statistik. (Inferenzstatistik)
Statstk Mathematsche Hlfswsseschaft mt der Aufgabe, Methode für de Sammlug, Aufberetug, Aalyse ud Iterpretato vo umersche Date beretzustelle, um de Struktur vo Masseerscheuge zu erkee. Deskrptve (beschrebede)
2.2 Rangkorrelation nach Spearman
. Ragkorrelato ach Spearma Wr wolle desem Kaptel de Ragkorrelatoskoeffzete ach Spearma bereche. De erste Daterehe besteht aus Realseruge x, x,..., x der uabhägg ud detsch stetg vertelte Zufallsvarable
Einen Spieler interessiert nicht, wie er gewinnt, sondern ob und wie viel er gewinnt.
III Zufallsgröße Bespel ud Defto Bespel: Dremal Müzwurf Spel: Esatz, we cht zwe gleche htereader 3 Auszahlug. Ω = {(x x x3) x,x,x3 {Z,K}} Retert sch deses Spel? Dabe geht es ur um de Gew! Also: Defto Gew:
Spannweite, Median Quartilsabstand, Varianz und Standardabweichung.
Rudolf Brkma http://brkma-du.de Sete 06.0.008 Spawete, Meda Quartlsabstad, Varaz ud Stadardabwechug. Streuug um de Mttelwert. I de folgede Säuledagramme st de Notevertelug zweer Schülergruppe (Mädche,
Prof. Dr. B.Grabowski. Die Behauptung I folgt aus der Multiplikationsformel: )
Höhere Mathemat KI Master rof. Dr..Grabows E-ost: grabows@htw-saarlad.de Satz vo ayes ud totale Wahrschelchet Zu ufgabe anachwes der Formel I ud II: eh.: I. Formel der totale Wahrschelchet: ewes: Es glt:...
Physikalische Messungen sind immer fehlerbehaftet! Der wahre Wert ist nicht ermittelbar. Der wahre Wert x ist nicht identisch mit dem Mittelwert
Physkalsche Messuge sd mmer fehlerbehaftet! Der wahre Wert st cht ermttelbar. Der wahre Wert st cht detsch mt dem Mttelwert Der Wert legt mt eer gewsse Wahrschelchket (Kofdezahl bzw. Vertrauesveau %) m
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Lohnkosten pro Arbeitsstunde. Wie hoch sind die Lohnkosten pro Arbeitsstunde im Jahresdurchschnitt?
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Grundlagen der Entscheidungstheorie
Kaptel 0 Grudlage der Etschedugstheore B. 0 (Gegestad) De Etschedugstheore befasst sch mt dem Etschedugsverhalte vo Idvdue ud Gruppe. Se besteht aus we Telgebete. Deskrptve Etschedugstheore De deskrptve
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Konzentrationsanalyse
Kaptel V Kozetratosaalyse B. 5.. Im Allgemee wrd aus statstscher Scht zwsche - absoluter ud - relatver Kozetrato uterschede Der absolute ud relatve Aspekt wrd och emal utertelt - statscher ud - dyamscher
19. Amortisierte Analyse
9. Amortserte Aalyse Amortserte Aalyse wrd egesetzt zur Aalyse der Laufzet vo Operatoe Datestrukture. Allerdgs wrd cht mehr Laufzet ezeler Operatoe aalysert, soder de Gesamtlaufzet eer Folge vo Operatoe.
Histogramm / Säulendiagramm
Hstogramm / Säuledagramm Häugkete 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 3,45 3,75 4,05 4,35 4,65 Flüge lläge [mm] Be Hstogramme st soort deutlch, daß es sch um Häugketsauszähluge hadelt. De Postoe der Klasse sowe hre
Formeln für Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie (Dutter)
Formel für tatstk ud Wahrschelchketstheore (Dutter) Fehler a: fpalmater@gmal.com Cotets Beschrebede tatstk... Kegröße vo Verteluge... Verteluge... 3 Wahrschelchketstheore... 3 Grudlage... 4 Erwartug &
Im Wöhlerdiagramm wird die Lebensdauer (Lastwechsel oder Laufzeit) eines Bauteils in Abhängigkeit von der Belastung dargestellt.
Webull & Wöhler 0 CRGRAPH Wöhlerdagramm Im Wöhlerdagramm wrd de Lebesdauer ( oder Laufzet) ees Bautels Abhägget vo der Belastug dargestellt. Kurzetfestget Beaspruchug Zetfestget auerfestget 0 5 3 4 6 0
Einführung in die Stochastik 3. Übungsblatt
Eführug de Stochastk 3. Übugsblatt Fachberech Mathematk SS 0 M. Kohler 06.05.0 A. Fromkorth D. Furer Gruppe ud Hausübug Aufgabe 9 (4 Pukte) Der Mkrozesus st ee statstsche Erhebug. Herbe werde ach bestmmte
Sitzplatzreservierungsproblem
tzplatzreserverugsproblem Be vele Zugsysteme Europa müsse Passagere mt hrem Zugtcet ee tzplatzreserverug aufe. Da das Tcetsystem Kude ee ezele Platz zuwese muss, we dese e Tcet aufe, ohe zu wsse, welche
Definitionen und Aussagen zu Potenzreihen
Deftoe ud Aussage zu Potezrehe User bsherges Repertore a stetge Abblduge basert auf ratoale Fuktoe, also Ausdrücke, dee Addto, Subtrakto, Multplkato ud Dvso vorkomme. Auf dese Wese sd aber Epoetalfukto,
Statistische Kennzahlen für die Streuung
Statstsche Kezahle für de Streuug Ordale Date,..., W X,,..., WX {(j) j,..., J} () < () < < (J) {(),...,(J)} (3) () 3 () Geordete Lste k X (k) () () 3 () Smpso s D ud H() sd awedbar, allerdgs wrd Iformato
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Modul : Einführung und Wahrscheinlichkeitsrechnung Informationstheorie Dozent: Prof. Dr. M. Gross E-mail: grossm@inf.ethz.ch Assistenten: Bernd Bickel, Daniel Cotting, Michael Waschbüsch, Boris Köpf, Andrea
Klausur SS 2005 Version 1
BEMERKUG: für de Rchtgket der Lösuge wrd atürlch kee Garate überomme!! Klausur SS 005 Verso Aufgabe : e Gamma-Quat hat kee Ladug > el. Felder übe kee Kräfte aus > kee Kräfte, kee Äderug der Bewegug (ewto)
( x) eine Funktion definiert, in der nur die i-te Komponente variabel ist. Folgende Schreibweisen werden aufgrund dieser Anmerkungen auch verwendet:
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Z Z, kurz. Zählt die Reihenfolge der Buchstaben (ja/nein) Daraus ergeben sich wiederum vier Möglichkeiten, Wörter der Länge k zu bilden.
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Kaptel VI Korrelatos- ud Regressosaalse B 6 (Gegestad der Korrelatos- ud Regressosaalse) Währed de Korrelatosaalse de Estez, de Stärke ud de Rchtug des Zusammehags zwsche zwe oder mehrere statstsche Varable
Seminar: Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen - Unbegrenzt teilbare und stabile Verteilungen.
Uverstät Ulm, Isttut Stochastk 5. Jul 200 Semar: Stochastsche Geometre ud hre Aweduge - Ubegrezt telbare ud stable Verteluge. Ausarbetug: Stefa Fuke Betreuer: Ju.-Prof. Dr. Zakhar Kabluchko Ubegrezt telbare
Leitfaden zu den Indexkennzahlen der Deutschen Börse
Letfade zu de Idexkezahle der Deutsche Börse Verso.5 Deutsche Börse AG Verso.5 Letfade zu de Idexkezahle der Deutsche Börse Page Allgemee Iformato Um de hohe Qualtät der vo der Deutsche Börse AG berechete
Klausur Statistik IV Sommersemester 2009
Klausur Statstk IV (Lösug) Name, Vorame 013456 Klausur Statstk IV Sommersemester 009 Prof. Dr. Torste Hothor Isttut für Statstk Name: Name, Vorame Matrkelummer: 013456 Wchtg: ˆ Überprüfe Se, ob Ihr Klausurexemplar
Maße zur Kennzeichnung der Form einer Verteilung (1)
Maße zur Kezechug der Form eer Vertelug (1) - Schefe (skewess): Defto I - Ee Vertelug vo Messwerte wrd als schef bezechet, we se der Wese asymmetrsch st, dass lks oder rechts des Durchschtts ee Häufug
Verdichtete Informationen
Verdchtete Iormatoe Maßzahle Statstke be Stchprobe Parameter be Grudgesamthete Maßzahle zur Beschrebug uvarater Verteluge Maßzahle der zetrale Tedez (Mttelwerte) Maßzahle der Varabltät (Streuugswerte)
Grundgesetze der BOOLEschen Algebra und Rechenregeln
5... Grudgesetze der BOOLEsche Algebra ud Recheregel Auf de mathematsch korrekte Eführug der BOOLEsche Algebra ka ch verzchte, da das Ihrer Mathematkausbldug ausführlch behadelt wrd. Ich stelle Ihe zuächst
II. Wahrscheinlichkeitsrechnung
II. Wahrschelchketsrechug Vorlesugsmtschrft - Kurzfassug Prof. Dr. rer. at. B. Grabowsk HTW des Saarlades 005 Ihalt II. Wahrschelchketsrechug INHALTSVERZEICHNIS GRUNDLAGEN / DEFINITION DER WAHRSCHEINLICHKEIT...3.
Alternative Darstellung des 2-Stichprobentests für Anteile. Beobachtete Response No Response Total absolut DCF CF
Alteratve Darstellug des -Stchprobetests für Atele DCF CF Total 111 11 3 Respose 43 6 69 Resp. Rate 0,387 0,3 0,309 Beobachtete Respose No Respose Total absolut DCF 43 68 111 CF 6 86 11 69 154 3 Be Gültgket
Formelsammlung zur Zuverlässigkeitsberechnung
Formelsmmlug zur Zuverlässgetsberechug zusmmegestellt vo Tt Lge Fchhochschule Merseburg Fchberech Eletrotech Ihlt:. Zuverlässget vo Betrchtugsehete.... Zuverlässget elemetrer, chtreprerbrer ysteme... 3.
Mehrdimensionale Häufigkeitsverteilungen (1)
Mehrdmesoale Häufgketsverteluge () - De Begrffe uvarat ud bvarat - Vo uvarate (edmesoale) statstsche Aalyse sprcht ma, we pro Perso ur e Merkmal tabellarsche oder grafsche Häufgketsverteluge oder be der
Einführung 2. Teil: Fehleranalyse
Phskalsch-chesches Praktku I Modul Eführug. Tel: Fehleraalse Ja Helbg, 7.09.08 Uterlage: htt://www.che.uzh.ch/stud/old/docuets/ear/che3.htl Fehlerrechug Gesucht: wahrer Wert eer Grösse Aber: Sere vo Messuge
Aufgaben. 1. Gegeben seien folgende Daten einer statistischen Erhebung, bereits nach Größe sortiert (Rangliste):
Aufgabe. Gegebe see folgede Date eer statstsche Erhebug, berets ach Größe sortert (Raglste): 0 3 4 4 5 6 7 7 8 8 8 9 9 0 0 0 0 0 3 3 3 3 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 8 30 Erstelle Se ee Tabelle, der de Merkmalsauspräguge
Zur Interpretation einer Beobachtungsreihe kann man neben der grafischen Darstellung weitere charakteristische Größen heranziehen.
Rudolf Brkma http://brkma-du.de Sete 0.0.008 Lagemaße der beschrebede Statstk. Zur Iterpretato eer Beobachtugsrehe ka ma ebe der grafsche Darstellug wetere charakterstsche Größe herazehe. Mttelwert ud
Kapitel XI. Funktionen mit mehreren Variablen
Kaptel XI Fuktoe mt mehrere Varable D (Fuktoe vo uabhägge Varable Se R ud D( f R Ist jedem Vektor (Pukt (,,, D( f durch ee Vorschrft f ee reelle Zahl z = f (,,, zugeordet, so heßt f ee Fukto vo uabhägge
Eigenschaften der arithmetischen Mittel. Schätzer für die Varianz. Allgeimeines Method: Likelihood Funktion. Schätzer für die Wahrscheinlichkeit
Statstk. Vorlesug, September 6, 009 Egeschafte er arthmetsche Mttel für alle Fälle wo e Stchprobeelemete habe e selbe Vertelug u s uabhägg: E ( = mvar, ( = / Staarabwechug (Staarfehler: D ( = / Korrektur
Intervallschätzungen geben unter Berücksichtigung des Verteilungstyps von X einen Bereich an, der den Parameter mit vorgegebener Sicherheit enthält.
Parameterschätzuge Fachhochschule Jea Uversty of Appled Sceces Jea Oft st der Vertelugstyp eer Zufallsgröße X bekat, ur de Parameter sd ubekat. Da erfolgt hre Schätzug aus eer Stchprobe. Ma uterschedet
Prof. Dr. H. Rommelfanger: Entscheidungstheorie, Kapitel 3 54
Prof. Dr. H. Rommelfager: tschedugstheore, Katel 3 54 3.2.8 ARROW-PRATT-Maß für de Rskoestellug Rskoverhalte bsher grob kategorsert ach Rskoeutraltät, -symathe ud averso be Rskoaverso: (X) < SÄ Rskoräme
Teil IV Musterklausuren (Univ. Essen) mit Lösungen
Tel IV Musterklausure (Uv. Esse) mt Lösuge Hauptklausur WS 9/9 Aufgabe : a) Revolverheld R stzt m Saloo ud pokert. De Wahrschelchket, daß er dabe ee seer Mtspeler bem Falschspel erwscht (Eregs F), bezffert
DOOH Audience Measurement 2015
DOOH Audece Measuremet 2015 Berechug Kezahle GfK Swtzerlad Hergswl, 2. März 2016 1 Modul A Stadort-Stchrobe (vor Ort) Werbeträger- ud Werbemttel-Kotakt-Chace Stellschraube Modul B Reräsetatve Bevölkerugsstude
Schiefe-, Wölbungs- und Konzentrationsmaße
Statstk für SozologIe Schefe-, Wölbugs- ud Kozetratosmaße Uv.Prof. Dr. Marcus Hudec Höhere Vertelugsmaßzahle E stetges Merkmal wurde 3 Gruppe beobachtet ud Form der folgede Häufgketstabelle berchtet: Klasse
Eigenwerteinschließungen I
auptsemar: Numersche Lösuge für Egewertaufgabe Egewerteschleßuge I Referet: Wolfgag Wesselsky Glederug Eletug Kodto vo Egewerte 3 Eschleßugssätze Bauer-Fke, Gershgor, Wlkso, Bedxo 4 Zusatz: Courat / Weyl
Fehlerrechnung im Praktikum
Fehlerrechug m Pratum Pratum Phsalsche Cheme (A. Dael Boese) I chts zegt sch der Magel a mathematscher Bldug mehr, als eer überbertrebe geaue Rechug. Carl Fredrch Gauß, 777-855 Themegebete Utertelug vo
( ) ( ) ) ( ) 1/ ( ) Beispiel: U = y1. 3. Ergänzungen zur Haushaltstheorie, insbesondere Dualität und Anwendungen
Prof. Dr. Fredel Bolle 3. rgäzuge zur Haushaltstheore, sbesodere Dualtät ud Aweduge (Btte wederhole Se zuächst emal de Haushaltstheore aus Mkro I!!!) komme gegebe errechbare Idfferezkurve festgelegt Güterprese
Grundlagen der Energietechnik Energiewirtschaft Kostenrechnung. Vorlesung EEG Grundlagen der Energietechnik
Prof. Dr. Ig. Post Grudlage der Eergetechk Eergewrtschaft Kosterechug EEG. Vorlesug EEG Grudlage der Eergetechk De elektrsche Eergetechk st e sogeates klasssches Fach. Folglch st deses Fach vele detallert
Codierungstheorie. Prof. Dr.-Ing. Thomas Kürner S.1
Coderugstheore Prof. Dr.-Ig. Thomas Kürer Prof. Dr.-Ig. Thomas Kürer Isttut für Nachrchtetechk Techsche Uverstät Brauschweg Coderugstheore WS 8/9 S. Deses Skrpt basert Tele auf dem Vorlesugsmauskrpt der
Deskriptive Statistik behaftet.
De Statstk beschäftgt sch mt Masseerscheuge, be dee de dahterstehede Ezeleregsse mest zufällg sd. Statstk beutzt de Methode der Wahrschelchketsrechug. Fudametalregel: Statstsche Aussage bezehe sch e auf
Deskriptive Statistik - Aufgabe 3
Desrptve Statst - Aufgabe 3 De Überachtugszahle der Fremdeverehrsgemede "Bachstadt" für de Moate ud zege auf de erste Blc scho deutlche Uterschede de ezele Ortschafte. We seht e etsprecheder Verglech der
Diskrete Zufallsvariablen. Wahrscheinlichkeitsräume Zufallsvariablen Erwartungswert Varianz. Quiz
Dskrete Zufallsvarable Wahrschelchketsräume Zufallsvarable rwartugswert Varaz Quz Im Fall eer Glechvertelug sd glech große Telmege vo Ω glech wahrschelch. Z.B. glt für Ω{0,,}: {0}{}{} 3 {0,}{0,}{,} 3 Aalog
Dr. Jürgen Senger INDUKTIVE STATISTIK. Wahrscheinlichkeitstheorie, Schätz- und Testverfahren
Dr. Jürge Seger INDUKTIVE STATISTIK Wahrschelchetstheore, Schätz- ud Testverfahre ÜBUNG 5 - LÖSUNGEN. Wahrschelchets- ud Vertelugsfuto der Zufallsvarable a. Zufallsepermet: Werfe ees Würfels Zufallsvarable:
Moments and Deviations
Tl dstrbuto Ds Ermttel des Erwrtugswertes, we zuletzt m Coupo Collector's Problem, st zwr oft Auge öffed ber be wetem cht mmer Zel führed ws de gesuchte Whrschelchkete geht. Ws pssert bespelswese we ee
4. Marshallsche Nachfragefunktionen Frage: Wie hängt die Nachfrage nach Gütern
Prof. Dr. Fredel Bolle Vorlesug "Mkroökoome" WS 008/009 III. Theore des Haushalts 0 Prof. Dr. Fredel Bolle Vorlesug "Mkroökoome" WS 008/009 III. Theore des Haushalts 0 4. Marshallsche Nachfragefuktoe Frage:
Der Korrelationskoeffizient ist ein Maß für den linearen Zusammenhang zwischen zwei Variablen X und Y. Er ist durch folgende Formel charakterisiert:
Korrelatoskoeffzet Der Korrelatoskoeffzet st e Maß für de leare Zusammehag zwsche zwe Varable X ud Y. Er st durch folgede Formel charaktersert: r xy corr XY ( x x)( y y) ( ) x x ( y y) x x y x ( ) ( )
Erinnerung: Funktionslernen. 5.6 Support Vector Maschines (SVM) Beispiel: Funktionenlernen. Reale Beispiele
Ererug: Fuktoslere 5.6 Support Vector Masches (SVM) überomme vo Stefa Rüpg, Kathara Mork Uverstät Dortmud Vorlesug Maschelles Lere ud Data Mg WS 2002/03 Gegebe: Bespele X LE de ahad eer Wahrschelchketsvertelug
Wie man für einen Test Peroe testet
Pädagogche Ittut der Uvertät Freburg 996 ALLES ZUFALL - ODER WAS? Eführug de Stattk für Pädagoge ud Pädagoge III Formelammlug Ha-Peter Hotz, Iwa Schrackma Ihaltverzech. Stattche Kewerte. Verglech eer Stchprobe
Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang & LehrerInnenteam Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 7-8 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG UND STATISTIK
Mathematk: Mag. Schmd Wolfgag & LehrerIeteam Arbetsblatt 7-7 7. Semester ARBEITSBLATT 7-8 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG UND STATISTIK STATISTISCHE GRUNDBEGRIFFE Statstk gledert sch zwe Telbereche De Beschrebede
Schiefe- und Konzentrationsmaße
Statstk für SozologIe Schefe- ud Kozetratosmaße Uv.Prof. Dr. Marcus Hudec Höhere Vertelugsmaßzahle E stetges Merkmal wurde 3 Gruppe beobachtet ud Form der folgede Häufgketstabelle berchtet: Klasse m Gruppe
Regressionsrechnung und Korrelationsrechnung
Regressosrechug ud Korrelatosrechug Beschrebede Statstk Modul : Probleme be der Abhäggketsaalyse Problem : Es gbt mest cht ur ee Eflussfaktor (Probleme sd selte mookausal ) A Ursache() Wrkug B C - efache
für j=0,1,...,n Lagrange zur Lösung der Interpolation nicht geeignet, da numerisch problematisch und teuer. 1 n
Aahme: Es gbt zwe Polyome p ud q vom Grad
DIE VAPNIK-CHERVONENKIS THEORIE. Inhaltsverzeichnis
DIE VAPNIK-CHERVONENKIS THEORIE MATHIS KLEPPER, MICHAEL SAß Ihaltsverzechs Tel Vapk-Chervoeks Theore Tel I 2 Eführug 2 2 Glveko-Catell 5 3 Vapk-Chervoeks-Theore 0 Tel 2 Vapk-Chervoeks Theore Tel II 2 4
Der Approximationssatz von Weierstraß
Der Approxmatossatz vo Weerstraß Ja Köster 22. Oktober 2007 1 Eführug Aus der Aalyss wsse wr, dass sch aalytsche Fuktoe durch Potezrehe der Form f(x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... darstelle lasse. Dabe kovergert
Vorkurs, Teil 1. (3) Matrizen, lineare Gleichungssysteme, Determinanten (Lehrbuch Kap )
Vorkurs, Tel Lehrbuch: Sydsaeter / Hammod, Mathematk für Wrtschaftswsseschaftler, Pearso Studum, ISBN 978-3-873-73-9 Skrpt vo Sevtap Kestel Ihalt () Eführug: Zahle, Fuktoe Potezfukto, Expoetalfukto (Lehrbuch
2 42 ). logn, y an, bzw die Information, die y über x enthält. input y besitzt, dann gibt die notwendige Programmlänge, KΦ x y p : Φ p x
TM, KΦ y y y lteratv dazu ka a auch sage, dass der $ (a) koplzerter ( Se seer Beschrebug) als (b) oder (c) st. Das führt zu Begrff der deskrptve oder Kologorov Kopletät edlcher oder uedlcher $s. Zufällgket