Reflexion an festem oder losem Ende. Reflexion und Transmission wenn sich die Eigenschaft des Mediums ändert

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1 16b Wellen 1

2 Zusammenassung transersale Wellen longitudinale Wellen Wellenunktion (,t)(-t) Releion an estem oder losem Ende Zeit Periode Länge des Weges im Einheitskreis : π Ort: Wellenlänge ω ; k π k : Wellenzahl (im Ortsraum) π ω : Kreisrequenz (im Zeitraum) (,t) sin( k ωt), k,ω Releion und ransmission wenn sich die Eigenschat des Mediums ändert Energie einer Seilwelle E PE PE KE + KE 1 ω 4 1 ω Energie ist quadradisch in requenz und mplitude E E ω P ΔE Leistung 1 ω P~ω P~ usbreitungsgeschwindigkeit m / L

3 Pendelwelle Periode des mathematischen Pendels π L g esonderheit keine Kopplung zwischen den schwingenden Körpern Unterschied in der Pendellänge ührt zu Phasenunterschieden 3

4 Lineare Wellengleichung kurz und schmerzlos Zugspannung in einem einen eilstück des Seil wird erglichen mit der dadurch herorgeruenen eschleunigung u dieser Seite steht die Zeitabhängigkeit der Welle t Wellengleichung u dieser Seite steht die Ortsabhängigkeit der Welle öter mal in Gebrauch: partielle bleitungen d.h. die unktion wird nur nach einer bestimmten Variablen abgeleitet. lle anderen Variablen werden in diesem Moment wie Konstante behandelt 4

5 5 Lineare Wellengleichung Herleitung ür Interessierte ( ) ( ) tan tan sin sin sin sin tan sin klein Δ Δ t ma m Zugspannung eschleunigung t t Δ Δ t o Δ + Δ Δ + Δ ) ( ) ( ) ( ) ( lim 0 Ähnlichkeit bemerkt? Wellengleichung a, tan partiellebleitung

6 Sinuswelle erüllt die Wellengleichung Sinuswelle zweite bleitung nach der Zeit zweite bleitung nach dem Ort Einsetzen in die Wellengleichung allgemein t m / L ω sin (, t) emerkung eweis der Gleichung ür die Geschwindigkeit einer Welle sin ω sin t k sin ( k ωt) ( k ωt) ( k ωt) ( k ωt) k sin( k ωt) k ω ω / k ω ² k Mechanische Welle au Seil kustische Welle (Schall) Elektromagnetische Welle (u.a. Licht) Wellengleichung 1 ² t Wellengleichung wurde hergeleitet aus der Newtonschen ewegungsgleichung ( ± t) unktionen dieser orm erüllen die Wellengleichung 6

7 usbreitungsgeschwindigkeit bhängigkeit om Medium Seilwelle l Schallwelle im lüssigkeit : Kompressionsmodul der lüssigkeit ρ l l ρ : Dichte der lüssigkeit l l Y K : Youngsches Elastizitätsmodul des estkörpers ρ Schallwelle im estkörper K Y ρ : Dichte des estkörpers gas Schallwelle in Gas gas : Kompressionsmodul des Gases ρ gas gas ρ gas gas : Dichte des Gases : emperatur des Gases 7

8 sunami-katastrophe Weihnachten 004: Eine Katastrophe apokalptischen usmaßes brach über Südostasien herein: u ausenden Küstenkilometern egte eine lutwelle ganze Dörer und Hotelanlagen weg. Zehntausende kamen um, Millionen wurden obdachlos. m 6. Dezember 004 erschütterte ein Seebeben der Stärke 9,1 au der Richter- Skala den Meeresboden or der indonesischen Insel Sumatra. Dabei ausgelöste sunamis haben ganze Küstenstreien au Sumatra, in Sri Lanka, Indien sowie zahlreichen weiteren Staaten Südasiens und Ostarikas erwüstet und weit mehr als ote geordert. 8

9 Entstehung einer sunami-welle eile der Erdkruste brechen ein Dezember 004: au einer Länge on l1500 km Wassersäule mit einer Höhe on h5000 m stürzt au einer reite on b300 m ein uslöser einer Welle ΔPE Potentielle Energie einer solchen sunami-welle sunami 10 3 kg m³ ΔPE ρ ( lbh) 5 3 m ( m)( 3 10 m)( 5 10 m) 9.81 ( 50 m) bschätzung :10 ΔPE ΔPE ΔPE sunami sunami sunami sunami ρ mgδh H O H O VΔh gδh J 110 J J s² 9

10 Entstehung einer sunami-welle usbreitungsgeschwindigkeit einer sunamiwelle Welle hat augrund der großen Masse, die bewegt wird eine große Wellenlänge ( km!, >>h) und nur eine geringe Dämpung h : iee des Meeresbodens sunami sunami sunami 198 m 9.81 s m s gh 4000 m km 713 h Energieerhaltung! mplitude der Welle erhöht sich drastisch! ΔE r Δh Kugelwelle: 1/r Verhalten mplitude der Welle nimmt mit dem bstand zum Epizentrum ab ΔE P geringe mplitude au See Küste See m See In Küstennähe ω See Küste h 0 m sunami sunami gh 0 eobachtete mplituden on 150 m bis 500 m 10

11 sunami-welle usbreitungsgeschwindigkeit km sunami 713 h sunamiwelle wandert innerhalb on agen über den gesamten Erdball 11

12 sunami-welle 1