Wellen und Wellen. Mechanische Wellen. Propagation einer Störung durch ein Medium z.b. Schall benötigt Luftmoleküle um sich auszubreiten

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1 16a Wellen 1

2 Wellen und Wellen Mechanische Wellen Propagation einer Störung durch ein Medium z.b. Schall benötigt Luftmoleküle um sich auszubreiten Elektromagnetische Wellen Propagation einer Störung auch ohne die Anwesenheit eines Mediums z.b. Radiowellen, sichtbares Licht, Röntgenstrahlung Materiewellen Propagation on Materie zeigt Eigenschaften einer Welle z.b. Elementarteilchen, Elektronen, Atome oder auch Moleküle Charakteristikum einer Welle Energie wird transportiert über eine gewisse Entfernung dabei erfolgt aber kein Materietransport Louis debroglie ( Alle Wellen transportieren Energie, aber die Betrag kann um Größenordnungen oneinander abweichen z.b. menschliche Stimme und Ozeanwelle

3 Seismische Wellen Der Untergang der Kursk am 1. August 000 Wasseroberfläche Zeitinterall der detektierten Pulse Δt Schallgeschwindigkeit in Wasser H O 0.11s 1500 m s 134 s d Kursk d Kursk HO Δt m s s 8.5 m 0.11s d Kursk Meeresboden 3

4 Helioseismologie Sonnenfleck Die rote Färbung gibt Abweichungen der mittleren Schallgeschwindigkeit an 4

5 Ausbreitung einer Störung transersale Wellen Schnappschüsse der Ausbreitung einer Störung in einem Seil Jede mechanische Welle benötigt - eine Quelle die eine Störung erursacht - ein Medium, das erformbar ist - einen Mechanismus, durch den die Bestandteile des Mediums kommunizieren Puls wird geformt und breitet sich mit definierter Geschwindigkeit aus 5

6 Ausbreitung einer Störung transersale Wellen Wichtig: Bestandteile des Seils bewegen sich senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle Der Bereich des Seils P bewegt sich nur nach oben und nach unten. Mehr noch: Kein Bestandteil des Seils bewegt sich in Richtung der Welle Es erfolgt also kein Materietransport Man nennt eine Welle, die sich in dieser Weise ausbreitet eine ransersalwelle 6

7 Ausbreitung einer Störung longitudinale Wellen Im Gegensatz zu einer Seilwelle bewegt sich die Störung in einer Feder longitudinal aus. Die eile der Feder bewegen sich parallel zur Ausbreitungsrichtung der Welle Schallwellen sind Beispiele für longitudinale Wellen Abfolge on komprimierten und dekomprimierten Zonen, die sich entlang der Ausbreitungsrichtung bewegen 7

8 Wasserwellen Beispiel für Mischung on longitudinaler und transersaler Propagation Wasser am höchsten Punkt der Welle bewegt sich in Richtung der Welle Wasser am tiefsten Punkt der Welle bewegt sich in entgegen gesetzter Richtung 8

9 Seismische Wellen Raumwellen longitudinale Primärwellen (P-Wellen) transersale Sekundärwellen (S-Wellen) fest flüssig Änderung der Ausbreitungsgeschwindigkeit durch unterschiedliche Druckund emperaturerhältnisse Ausbreitung einer seismischen Welle nach einem Erdbeben Die Ausbreitung on Stoßwellen nach einem Erdbeben hat sowohl longitudinalen als auch transersalen Charakter 9

10 Seismische Wellen Abschätzung des Geschwindigkeitserhältnisses on P- und S-Welle P s ~ 1 μ 1 ( μ) μ : Schermodul (~ 0.8) P s Ausbreitungsgeschwindigkeit P-Welle 7000 bis 8000 m/h S-Welle 4000 bis 5000 m/h zum Vergleich: Schallwelle 300 m/s Primärwellen werden aufgrund ihrer höheren Geschwindigkeit on einem Seismographen als erstes detektiert. Aus dem Abstand der Signale on P- und S-Welle kann auf die Entfernung zum Epizentrum zurück geschlossen werden. Die Messung einer Station bestimmt eine imaginäre Kugel auf dem das Ereignis passiert sein könnte. Zusätzlich treten Oberflächenwellen auf Durch den Vergleich mehrerer Messstationen kann der Ort des Erdbebens bestimmt werden. A. E. H. Loe Lord Raleigh

11 Ausbreitungsgeschwindigkeit Welle breitet sich mit der Geschwindigkeit nach rechts aus. Nach der Zeit t hat sich das Maximum der Amplitude um t nach rechts bewegt Welle zum Zeitpunkt t0 Maximum bei x0 ( x,0) f ( x) Wenn man die Welle zum Zeitpunkt t Maximum bei xt ( x, t) ( x t,0) f ( x t) Form der Welle hat sich nicht geändert (keine Dispersion) Position des Maximums hat sich geändert und zwar zum Ort xt Abbild der Welle ist um den Betrag t auf der x-achse erschoben 11

12 Wellenfunktion mathematische Beschreibung ( x, t) ( x t,0) Wellenfunktion Abhängigkeit on zwei Variablen (Ort x und Zeitpunkt t) Auslenkung am Ort x zum Zeitpunkt t entspricht der Auslenkung am Ort xx-t zum Zeitpunkt t0 Nach rechts laufende Welle ( x, t) f ( x t) Nach links laufende Welle ( x, t) f ( x + t) halte den Ort x fest (x,t) die zeitliche Entwicklung der Amplitude an dieser Position wieder halte die Zeit t fest (x,t) einen Schnapschuss der Welle zu diesem Zeitpunkt (auch Wellenform genannt) 1

13 Beispielwelle eingefrorene Zeit Wellenfunktion (x,t) ( x-3t ) + 1 wenn x in cm angegeben Geschwindigkeit der Welle 3 cm/s Allgemeine Form ( x, t) f ( x t) cm ( x, t) f ( x 3 t) s Maximum der Amplitude bei x 0 cm cm Amplitude der Welle bei erschiedenen Orten aber fester Zeit t0 (x 0 cm,t (x 1cm,t (x cm,t 0 s) 0 s) 0 s) ( 0) () 1 ( ) + 1 1cm cm 5 cm 13

14 Beispielwelle zeitliche Entwicklung Maximum der Amplitude bei x 3 cm, t 1s (x 1,t 0 ) 1 Wellenfunktion (x,t) ( x-3t ) + 1 Schnappschuss der Welle zu unterschiedlichen Zeiten (x,t 0 s) (x,t 1s) (x,t s) x + 1 ( x-3) + 1 ( x-6) + 1 Maximum der Amplitude bei x 6 cm, t s 14

15 Ausbreitung gegenläufiger Wellen Überlagerung der Amplituden Ausbreitung einer Welle Minimum Wellenzüge löschen sich aus Maximum Wellenzüge erstärken sich Überlagerung zweier Wellen pos/ pos Überlagerung zweier Wellen pos/ neg Experimentelle Beobachtung: Amplituden addieren sich 15

16 Harmonisch angeregte Welle einfachste Version einer Welle Eindimensionale Sinuswelle, die sich mit der Geschwindigkeit nach rechts bewegt Einzelne eilstücke der Welle bewegen sich auf und ab wie bei einer einfachen harmonischen Schwingung Wellen haben oft die Form einer Sinuswelle. Durch die Addition erschiedener Sinuswellen können kompliziertere Wellenerläufe approximiert werden (Stichwort Fourieranalse) Form der Welle zu Beginn Form der Welle zu einem späteren Zeitpunkt 16

17 Sinuswellen Der Abstand zwischen den Maxima der Sinuswelle nennt man Wellenlänge Ort a) Allgemeine Form der Wellengleichung ( x, t 0) est Asin ax (0,0) Asin(konst x 0) 0 Der Abstand zwischen zwei Punkt der Welle mit gleicher Amplitude definiert die Periode der Welle bzw die Frequenz f 1 f 3 Zeit b),0 Asin konst 0 π ( x,0) Asin x konst π konst mit Zeitabhängigkeit π π ( x, t) Asin ( x t) 17

18 18 Sinuswellen Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit, Periode und Wellenlänge der Welle Einsetzen in die Wellengleichung eine Periode eine Wellenlänge ( ) ( ) t kx A t x t x A t x t x A t x ω π π sin ), ( sin ), ( sin ), ( Definition (Kreis-)Wellenzahl Einheit [1/m] Definition Kreisfrequenz Einheit [1/s] f k k ω π ω π π k f π π ω Geschwindigkeit dimensionslos! Ort Zeit

19 Getriebene Oszillation Betrachte Welle zu unterschiedlichen Zeiten t/4 Anregung der Welle harmonisch harmonische Oszillation aller Komponenten t/ t 0 sin( ωt kx) t3/4 t Berechnung der transersalen Geschwindigkeit der Welle, d.h. in -Richtung partielle Ableitung notwendig, da Auslenkung sowohl om Ort x als auch on der Zeit t abhängt! andere Variablen (hier t) werden wie Konstanten behandelt a d dt d dt x const x const t t ωacos Geschwindigkeitsamplitude ω² Asin ( kx ωt) ( kx ωt) a imale Werte ωa (imal bei 0) ω² A (imal bei A) ergleiche auch zu Ergebnis bei Beschleunigungsamplitude harmonischer Schwingung 19

20 Geschwindigkeit einer Welle gespanntes Seil Vermutung 1 Je höher die Zugbelastung ist, desto höher ist die resultierende Beschleunigung wenn man die Saite loslässt Definition : Zugspannung Vermutung Je schwerer ein eilstück der Saite ist, desto geringer sollte die Beschleunigung ausfallen. Vermutung 3 Damit sind alle Parameter erfasst, die die Geschwindigkeit der Welle auf der Saite bestimmen μ : Definition Masse Einheitslänge Voraussage µ est: Dimensionsbetrachtung [ ] ML [ µ ] L M ML M L L [ ] L on dieser Seite aus betrachtet stimmt die Vermutung 0

21 Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle gespanntes Seil Voraussage µ Erinnerung an Vorlesung Dnamik Die Newtonschen Gesetzte gelten in jedem Bezugssstem das entweder ruht oder sich mit gleichförmiger Geschwindigkeit bewegt Deshalb der rick um die Beziehung zu beweisen: Statt den Puls zu betrachten, der sich mit einer Geschwindigkeit fortbewegt, setzt man sich in ein Bezugssstem in dem der Puls ruht. Die beiden Horizontalkomponenten der Zugspannung x ergeben zusammen NULL Geschwindigkeit der Welle x x Zentripedalbeschleunigung ² R kleines Element der Saite sin Θ annähernd ein Kreis mit Radius R Die Vertikalkomponenten ( sin θ) weisen auf den Kreisursprung 1

22 Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle Voraussage µ Masse des Kreissegments Δs R ( Θ) m µ Δs m µrθ Bei der Berechnung wurde KEINE Annahme über die Form des Pulses gemacht Konsequenz Jeder beliebig geformte Puls bewegt sich entlang des Seils ohne Änderung seiner Form und mit der Geschwindigkeit ²/μ Zentripedalkraft m² F radial ma R Gleichgewicht der Kräfte ² µrθ Θ R µ qed Näherung für geringe Auslenkung F sin Θ Θ klein radial F radial sin Θ Θ sin Θ Θ Weitere Annahme Zugspannung nicht durch die Propagation des Pulses beeinflusst, d.h. ist konstant für jeden Punkt des Seils

23 Geschwindigkeit eines Pulses auf einem Seil Masse des Seils 300 g Gewicht des Seils ernachlässigbar gegenüber der angehängten Masse m ( kg) N s² Lineare Massendichte µ m L Zugspannung mg 0.3 kg 6 m µ N kg 0.05 m m s kg 0.05 m Geschwindigkeit der Welle Allgemeiner in diesem Fall m 3

24 Ausbreitungsgeschwindigkeit bei eränderlicher Belastung min Summe aller Kräfte F min mg cosθ Minimale Zugspannung h h und Θ Θ mg cos Θ + mg cos Θ Energieerhaltung Potentielle Energie in Position A Potentielle + kinetische Energie in Position B ( h h ) L mgh Block mgh + g ( h h) mg mg cos Θ mg cos Θ + 1 m einsetzen ( h h) L ( h h) L Block auflösen nach Block Zentripedalbeschleunigung a Block L F ma Maximale Zugspannung h 0 und Θ 0 m L ( h 0) mg cos L h mg + 1 L Block 4

25 Ausbreitungsgeschwindigkeit bei eränderlicher Belastung mg cos Θ + ( h h) L Θ0 Maximale Zugspannung h mg 1 + L Zusammenhang zwischen h, L und Θ h L 1 ( cos Θ) Wähle Θ 0 µ min min Geschwindigkeit einer Welle auf dem Seil ändert sich um fast 10% Minimale Zugspannung min µ mg cos Θ m s² kg 0.05 m m 19. s ( kg) 9.81 ( cos0 ) min min hh mg cos Θ µ L mg 1+ µ ( 1 cos Θ ) ( 3 + cos Θ ) m s² kg 0.05 m m 1 s ( kg) 9.81 ( 3 + cos0 ) mg h mg 1 + L µ µ µ L 5

26 Eigenschaften des Mediums Reflektion Fall A: Ende des Seils fest Fall B: Ende des Seils frei Newton 3 Actio reactio Kraftwirkung durch Seil nach oben auf die Wand Reflektion Kraftwirkung durch Seil nach oben Ring beschleunigt nach oben Reflektion Ring fällt wieder nach unten Puls ist inertiert Puls ist nicht inertiert WICHIG: Reflektierter Puls ändert seine Form nicht 6

27 Eigenschaften des Mediums ransmission Fall 1: Eingehender Puls hinterer eil des Seils ist dicker dünnes Seil dickes Seil Ausbreitungsgeschwindigkeit µ Reflektierter Puls inertiert gl Reflektion an starrem Ende Geringere Amplitude ransmittierter Puls nicht inertiert Puls propagiert langsamer μ < links μ rechts hinterer eil des Seils ist dünner Fall : Eingehender Puls dickes Seil dünnes Seil Geringere Amplitude der reflektierten Welle resultiert aus der Energieerhaltung Reflektierter Puls nicht inertiert gl Reflektion an losem Ende Geringere Amplitude ransmittierter Puls nicht inertiert Puls propagiert schneller μ links > μ rechts 7

28 Energietransfer Anregung mit Sinusschwingung Durch eine Welle wird Energie transportiert Experimentelle Beobachtung Gewicht wird nach oben beschleunigt Kinetische Energie 1 KE m² Betrachte kleines Massenelement ΔKE betrachte geringe Änderung der kinetischen Energie dke 1 1 ( Δx, Δm) ( Δm) ( µ Δx) Δx 0 dx, dke ( µdx) µ dx 1 1 Massenelement Δm µ Δx 8

29 Energietransfer Anregung mit Sinusschwingung Kinetische Energie in kleinem Volumenelement 1 dke µ dx 1 dke µ 1 dke µ ω A Schnappschuss bei t 0 dke 1 ohne Herleitung ( ωacos( kx ωt) ) µ ω A cos cos Potentielle Energie einsetzten des bekannten Zusammenhangs für einfache harmonische Anregung ( kx ωt) kx dx PE d sin dx dx dx ( A ( kx ωt) ) k 1 µ ω A 4 π KE KE KE KE KE KE Sinusschwingung Jedes Volumenelement Δm bewegt sich ertikal und enthält dieselbe Energie dke 1 µ ω A µ ω A µ ω A 0 Integration über eine Wellenlänge, d.h. on 0-1 cos cos kx dx kx dx 4 x + sin kx k 1 µ ω A 1 µ ω A kinetische Energie 4 0 sin cos x 1- cos x sin x - cosx cos x 1/(1+ cosx) x π sin sin ( 0) 0 9

30 Energietransfer Anregung mit Sinusschwingung Potentielle Energie PE 1 µ ω A 4 KE 1 µ ω A 4 kinetische Energie Gesamtenergie E PE + KE P P 1 µ ω A Leistung ΔE E 1 µ ω A 1 µ ω A ransportierte Energie proportional zu ω² proportional zu A² Leistungsabgabe an eine schwingende Saite kg μ 0.05, 80 N m f 60 Hz, A 0.06 m 1 P 0.05 P 51 W kg m s ( 0.06 m) m 40 s 30