2. Übungsblatt zur Vorlesung Systemtheorie. 1. Übungsblatt zur Vorlesung Systemtheorie. Rechnen mit komplexen Zahlen (zu Vorlesungsbeiblatt 1.

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1 zur Vorlesug Reche mi komplexe Zahle (zu Vorlesugsbeibla -) zur Vorlesug Eigeschafe ud Maipulaio vo Sigale Aufgabe : Darsellug i karesische Koordiae ( z x jy, x, y ) Bereche Sie i karesische Koordiae: Aufgabe : Trasformaio der Zei Zeiche Sie die Sigalverläufe auf, die sich ach der Ausführug der agegebee Zei-Trasformaioe aus dem abgebildee Sigal ergebe x( ( j ) ( j ) x( a) x( ) j Aufgabe : Darsellug i Polarkoordiae ( z z e ) b) x( Trasformiere Sie vo karesische i Polarkoordiae: a) j, 5 b), j c) x( ) d x( ( )) Trasformiere Sie vo Polar- i karesische Koordiae: Aufgabe : Gerade/ugerade Sigale a) 5 e j j b) 5 e, e j Prüfe Sie formal mahemaisch ob die folgede Sigale gerade oder ugerade sid a) x( Bereche Sie folgede Ausdrücke i Polarkoordiae: a) b) j j e e??? j e j e c) j e j e d) ( e ) 5 j b) c) x (,5 5 x( cos( Aufgabe 5: Periodiziä vo Sigale Uersuche Sie die achfolgede Sigale jeweils auf Periodiziä ud gebe Sie gegebeefalls die fudameale Periode T a a) x( si( j b) x( Ae, A cos c) x( e ( j)

2 zur Vorlesug Darsellug vo reelle Sigale als komplexe Zeiger Wichige Sigale zur Vorlesug Wichige Sysemeigeschafe Aufgabe 6: Reelles Sigal als komplexer Zeiger Gegebe sei das reelle Sigal x( Acos( ) A,, a) Trage Sie das Sigal x( i eier Prizipskizze über der Zei auf Welche Bedeuug habe die Parameer A, ud? b) Zeige Sie, dass das Sigal der Realeil eier Expoeialfukio is, die ebefalls durch die Parameer A, ud fesgeleg is c) Fasse Sie A ud i der komplexe Darsellug des Sigals aus b) so zusamme, dass sich eie eue, komplexe Ampliude A ergib d) Mulipliziere Sie die i Aufgabepuk c) erhalee Sigaldarsellug mi der Expoeialfukio Ce j, C, e) Erseze Sie im Muliplikaiosergebis vom vorhergehede Aufgabeschri die komplexe Ampliude A wieder durch ihre ursprügliche Ausdruck Ermiel Sie da das reelle Sigal y(, das dem Realeil des erhalee Ausdrucks esprich Aufgabe 7: Sprug- ud Impulsfukio ( : Eiheis-Sprugfukio, : Dirac-Impuls) Selle Sie die agegebee Sigale grafisch dar: a) x( ( ) ( ) b) x[ [ ] Aufgabe 9: Uersuche Sie die Syseme a) y ( u( ) b) y( cos( u( ) c) y( u( ) d bezüglich der Krierie i) Kausaliä ii) Saisch oder dyamisch? iii) Lieariä iv) Zeiivariaz c) x[ [ Aufgabe : Aufgabe 8: Wirkug der Impulsfukio Bereche Sie folgede Ausdrücke: a) si( ) ( ) d b) m [ m ],5 [ m ] m Sid die agegebee Syseme sabil? ( (: Sprugfukio) a) y[ u [ b) ( ) u a y ( c) y( ( e u(, a d) y[ a u[, a

3 5 zur Vorlesug Modellbildug 5a zur Vorlesug Modellbildug mechaischer Syseme Aufgabe : Elekrisches Nezwerk Gegebe: Aufgabe : Selle Sie die Zusadsgleichuge für die abgebildee Syseme auf: a) a) Besimme Sie ei Zusadsraummodell mi de Zusadsvariable i ud u C Eigagssigal sei die Spaug u, Ausgagssigal die Spaug u b) Besimme Sie eie Dgl zwische Eigag ud Ausgag u u Aufgabe : Mechaisches Sysem Gegebe: Eigagssigal: F, Ausgagssigal: v x, x : Posiio v, v : Geschwidigkei b) F c : Federkraf F d : Dämpferkraf c: Federkosae d: Dämpferkosae m: Masse a) Besimme Sie ei Zusadsraummodell mi de Zusadsvariable v ud F v Eigagssigal sei die Geschwidigkei, Ausgagssigal die Geschwidigkei c v Eigagssigal: F, Ausgagssigal: v b) Besimme Sie eie Dgl zwische Eigag ud Ausgag v v c) Vergleiche Sie die Ergebisse vo a) ud b) mi dee der Aufgabe 5 5a

4 6 zur Vorlesug Zeikoiuierliche ud zeidiskree Falug Aufgabe : Zeikoiuierliche Falug Bereche Sie das Falugsproduk y( g( * u( der gegebee Sigale für g( für sos für u( sos 7 zur Vorlesug Eigeschafe der Falug; Sabiliä; Lösug der Zusadsgleichuge im Zeibereich Aufgabe 5: Falugseigeschafe I de ue dargeselle zusammegeseze Syseme sid g ( ) ud g ( die Impulsawore der Eizelsyseme Zeige Sie mi Hilfe der Eigeschafe der Falug, dass die beide Gesamsyseme äquivale sid: Aufgabe : Ausgagsberechug eies zeidiskree Sysems Durch b g [ [ [ a a mi a, b,5 sei die Impulsawor eies zeidiskree Sysems gegebe Bereche Sie die Ausgagsgröße y[ g[ * u[ des Sysems speziell für de füfe Abasschri, also y[5] Das Eigagssigal sei u[ [ Aufgabe 6: Sabiliä Is ei Sysem mi der Impulsawor g( cos si überragugssabil? Aufgabe 7: Löse eier Dgl über die Zusadsraumdarsellug Löse Sie die Differeialgleichug y( y( u( (Achug: I der Übugssude wurde für y ( y( u( gereche!) für die Afagswere y( ) ud y ( ) im Zeibereich Gehe Sie dazu ach de folgede Schrie vor: a) Überführe Sie die obesehede Dgl ach Abschi (Vorlesug) i eie Darsellug im Zusadsraum Als Zusadsvariable ergebe sich hierbei x y ud x y A b) Für die Lösug der Zusadsdgl beöige Sie die Trasiiosmarix Bereche Sie diese gemäß Abschi über die Taylorreiheewicklug 5 (Hiweis: si ud cos )! 5!!! c) Besimme Sie mi de Ergebisse vo a) ud b) die Lösug x( der Zusadsdiffereialgleichug sowie die Ausgagsgröße y( Nehme Sie dabei ei verschwidedes Eigagssigal a ( u ( ) e 6 7

5 8 zur Vorlesug Umgag mi Zusadsraumsyseme Aufgabe 8: Impulsawor im Zusadsraum Gegebe sei ei Zusadsraumsysem x Ax bu y c T x x A cos si mi der Trasiiosmarix e si cos a) Wie muss der Vekor b des Sysems laue, we die Impulsawor g( cos si is? b) Wie laue die Impulsawor x ( des Zusadsvekors? 9 zur Vorlesug Laplace-Trasformaio Aufgabe : a) Bereche Sie die Laplace-Trasformiere zur Recheckfukio im Bild b) Zeige Sie: f ( ) d F s ( s) Hiweis: Parielle Iegraio beuze c) Zeige Sie: Die Laplace-Trasformaio is eie lieare Operaio Aufgabe 9: Sabiliä, über Eigewere Zeige Sie ahad eier Eigewerberachug, dass das Sysem x x u, 7 y x überragugssabil is Aufgabe : Gebe Sie die Laplace-Trasformiere zu a) g ( e ) b) g ( si a, ohe Auswerug des Laplace-Iegrals, ur durch Verwedug der Beibläer ud Aufgabe : Umformug auf Zusadsdarsellug Brige Sie die folgede Modelle i Zusadsdarsellug: a) y y y 5u u b) y[ ] y[ ] y[ 5u[ ] u[ c) y[ y[ ] y[ ] 5u[ ] Aufgabe : Richigkei der Umformug Zeige Sie, dass [ ] a [ u[ a x b x, y[ x[ eie Zusadsdarsellug vo y ] a y[ ] a y[ b u[ ] is [ 8 9

6 zur Vorlesug Laplace-Trasformaio i der Modellbildug (Löse vo Dgls) Aufgabe : Mechaisches Sysem Ei Schwugrad is über eie elasische Welle fixier, siehe Bild Zum Zeipuk sei das Schwugrad i Ruhe ud um aus seier Ruhelage ausgelek, das Sysem wird da sich selbs überlasse Bereche Sie ( Aleiug: Selle Sie eie Dgl für das Sysem auf, führe Sie die Laplace- Trasformaio aus, ermiel Sie soda (s) ud schließlich ( Aufgabe 5: Elekrisches Nezwerk Gegebe: J : Trägheismome : Wikelauslekug c : Federkosae M c c : Feder -Mome der elasische Welle zur Vorlesug Eiführug der Überragugsfukio Aufgabe 6: Sysembeschreibug durch die Überragugsfukio Durch die Differeialgleichug y y y u u is ei LTI-Sysem gegebe a) Besimme Sie die Zusadsdarsellug des Sysems b) Ermiel Sie - ausgehed vo der obe sehede Differeialgleichug - die Überragugsfukio G(s) des Sysems (Erierug: Bei Berachug des Überragugsverhales werde alle Afagswere zu Null ageomme) c) Erreche Sie aus dem Ergebis vo b) die Impulsawor g( des Sysems Aufgabe 7: Sabiliä Uersuche Sie die Sabiliä des i Aufgabe 6 gegebee Sysems ahad a) der Zusadsdarsellug b) der Überragugsfukio c) der Impulsawor a) Selle Sie für das Sysem die Dgl Zwische u i ud uou auf b) Für spezielle Were R, L, C ud mi y uou, u ui ergib sich y ( y( u (, dabei sei y ( ) u( ) Löse sie diese Dgl für folgede Eigagssigale: u U ( ) U u cos( ( )

7 zur Vorlesug Überragugsfukio G (s) ud Frequezgag G( j) zur Vorlesug z-trasformaio Aufgabe 8: Überragugsfukio, Afags- ud Edwersaz Gegebe: x () x bu () x ax ax y c () x c x Afagswere: x ) x ( ) ( a) Bereche Sie G(s) durch Auswerug der Beziehug G( s) c T ( si A) b) Bereche Sie Y ( s) G( s) U ( s) durch Laplace-Trasformaio der Gleichuge () bis () ud Elimiaio vo X ( s ) ud ( ) Für welche Were vo ud a herrsch Überragugssabiliä? X s a c) Besimme Sie lim y ( ) mi dem Edwersaz der Laplace-Trasformaio für ei sprugförmiges Eigagssigal u( ( Is das Ergebis allgemeigülig? d) Besimme lim y( mi dem Afagswersaz der Laplace-Trasformaio für das Eigagssigal u( ( Aufgabe 9: Frequezgag im Bode-Diagramm Zeiche Sie das Bode-Diagramm zu der Überragugsfukio s G( s) s s b Aufgabe : Eiführug der z-trasformaio a) Besimme Sie die z-trasformiere G z (z) der agegebee zeidiskree Fukio uer Verwedug der Defiiio der z-trasformaio g[ [ ] [ ] [ ] b) Ermiel Sie die z-trasformiere der gegebee Sigale mihilfe der Korrespodezabelle (s Vorlesugsbeibläer) g [ a e [ ] g [ ( [ ) * [ ] Aufgabe : Löse vo Differezegleichuge Löse Sie mihilfe der z-trasformaio die Differezegleichug y [ ] y[ u[ ] u[ ], Afagswere: y[ ] y[ ] u[] u[] Eigagssigal: u [ 5 [ Aufgabe : Berechug der z-überragugsfukio Gegebe sei die Differezegleichug y[ ] y[ ],5 y[ u[ ] u[ a) Besimme Sie die zugehörige z-überragugsfukio Is das Sysem Überragugssabil? b) Ermiel Sie die zu der gegebee Differezegleichug gehörige Zusadsdarsellug ud bereche Sie aus dieser - uer Verwedug der Formel T Gz ( z) c ( zi A) b - die z-überragugsfukio Welche Wer imm der Ausgag des Sysems bei Aufschale eies Sprugs u[ [ für a?

8 zur Vorlesug Fourier-Trasformaio Aufgabe : Defiiio Bereche Sie die Fourier-Trasformiere vo f ( e ( ( ) durch Auswerug der Defiiiosgleichug der Fourier-Trasformaio Aufgabe : Regel ud Korrespodeze Besimme Sie die Fourier-Trasformiere der gegebee Sigale uer Verwedug der Korrespodezabelle sowie der Eigeschafe der Fourier- Trasformaio a) f ( ( ) j b) f ( e ( ) j c) f ( e ( ) Aufgabe 5: Eergie eies Sigals Vo eiem Sigal f ( sei beka, dass sei Ampliudespekrum F ( j) beschräk is durch die Obergreze im Bild Aufgabe 7: Weiere Eigeschafe j a) Besäige Sie die Richigkei der Korrespodez ) e mihilfe ( ) ud der Dualiä der Fourier-Trasfor- der Korrespodez maio j e ( b) welche Spekraldiche X i ( j) gehör zu welchem Zeisigal x i (? (ohe Rechug, aber mi Begrüdug) x ( ) 8 6 x ( ) : x ( ) : X ( ) : X ( j) : j X ( j) : Bereche Sie eie obere Schrake für die Eergie E f ( d des Sigals f ( Aufgabe 6: Sigal-Abasug Das Zeisigal f ( si( cos(5 soll mi der Rae 5 A s abgease werde Wird bei dieser Abasug das Sigal f ( vollsädig erfass?