A robust algorithm for point set registration using mixtures of gaussians

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1 A robust algorthm for pont set regstraton usng mxtures of gaussans von Robert Pyttel Inhalt 1 Enletung Regstrerung Zusammenhang/Verwendung n der Medzn Verfahren zur Regstrerung ICP Algorthmus Regstrerungs Algorthmus auf Grundlage des Gauß schen Mxture Modells GMM Modell Evaluerung der multvaraten Normalvertelung Φ(X) Bestmmung der Varanz nnerhalb der Punktmenge n Form ener Kovaranzmatrx L2 Dstanz zwschen 2 Gaussan Mxtures Rgde Regstrerung Affne Regstrerung Ncht rgde Regstrerung Analyse anhand enger Bespelkonfguratonen Verhalten be exakter Überenstmmung Verhalten be Nose nsbesondere Outlern

2 54 Robert Pyttel Zusammenfassung In den ersten Kapteln wrd auf den Begrff Regstrerung engegangen und der Zusammenhang mt der Medzn erläutert. Es werden mt dem Iteratve Closest Pont Algorthmus und der Methode über das Gaussan Mxture Modell zwe Verfahren zur Regstrerung vorgestellt. Anschleßend wrd näher auf das Konzept der Modellerung von Punktmengen über Kompostonen von multvaraten Normalvertelungen engegangen, sowe auf den Verglech der mt den Punktmengen korresponderenden Wahrschenlchketsvertelungsfunktonen über de L2 Dstanz mthlfe der Densty Power Dvergence. Anschleßend werden mt der rgden, affnen und ncht rgden Regstrerung dre möglche Matchngalgorthmen bzgl. deses Modells vorgestellt. Ene Analyse anhand von engen Bespeldaten zegt de Robusthet der Modellerung sowe der Regstrerung über rgde Transformatonen und verschafft en geometrsches Verständns für Gaussan Mxtures. Keywords: Gaussan Mxture Model, Iteratve Closest Pont, Regstrerung 1 Enletung 1.1 Regstrerung Mt Regstrerung bezechnet man n der Bldverarbetung en Verfahren zur Identfzerung gemensamer Komponenten von zwe oder mehreren Objekten. De Regstrerung fndet sowohl n 2D Berech be Bldern als auch m dredmensonalen Kontext be Polygonnetzen Anwendung. Se besteht m Wesentlchen aus der Bestmmung ener Transformaton, welche de zu Grunde legenden Objekte mthlfe redundanter Informatonen auf enander abbldet. Zwe zu untersuchende 3D Polygonnetze bespelswese snd n der Regel n unterschedlchen Koordnatensystemen dargestellt. Aufgabe der Regstrerung st es ene Transformaton zu fnden, de bede Koordnatensysteme adäquat abstmmt bzw. n Enklang brngt. Des erfolgt baserend auf redundanten Informatonen n Form von sch überlappenden Regonen n beden Datenmodellen, de zumndest partell vorhanden sen müssen. Je grösser dese Regonen snd, desto effzenter und genauer snd de Resultate des Regstrerungsprozesses. De Überschnedungen können auch total sen, d.h. man hat zwe dentsche oder ähnlche Objekte, de n zwe unterschedlchen Koordnatensystemen legen und ene abwechende relatve Poston sowe Ausrchtung bestzen. De Aufgabe der Regstrerung st es ene Transformaton zu fnden de bede Aufnahmen nach Möglchket optmal ausrchtet. 1.2 Zusammenhang/Verwendung n der Medzn In der Medzn wrd deses Verfahren z.b. be der Verarbetung von Daten aus 3D Laserscannern benötgt. Dese müssen en Objekt aus der Umwelt, z. B. en Körpertel, bauartbedngt von verschedenen Seten abtasten bzw. enscannen um das gesamte Objekt erfassen zu können. Das Scannen des menschlchen Körpers oder von Körpertelen st auch unter dem Begrff Bodyscannng bekannt. Oft muss auch de Dstanz zum Objekt angepasst werden um sowohl Selbstverdeckungen an konkaven Stellen des Objekts auszuschleßen als auch de numersche Stabltät des Verfahrens zu gewährlesten. Es snd mehrere partelle Aufnahmen des Objekts aus verschedenen Blckwnkeln notwendg, de mehrere Datenmodelle n Form von Polygonnetzen oder Punktmengen n unterschedlchen Koordnatensystemen lefern. Dese müssen mthlfe des Regstrerungsprozesses abgestmmt und n enem enhetlchen Koordnatensystem zusammengefasst werden um en elektronsches dredmensonales Abbld genereren zu können. De Regstrerung fndet auch n der Chrurge Anwendung. Es snd verschedene zwedmensonale Aufnahmen von menschlschem Gewebe oder Organen, bspw. des menschlchen Gehrns über Röntgenaufnahmen, abzustmmen. 2 Verfahren zur Regstrerung 2.1 ICP Algorthmus Der Iteratve Closest Pont Algorthmus st das populärste Verfahren auf dem Gebet der Regstrerung. Es st ene semautomatsche Methode, de Punktkorrespondenzen zwschen zwe gegebenen 3D Netzen bzw. Punktmengen dentfzert und anhand deser Korrespondenzen ene optmale affne Transformaton

3 A robust algorthm for pont set segmentaton usng mxtures of gaussans 55 zwschen den beden 3D Objekten berechnet. Dese besteht aus ener Translaton, Skalerung und entsprechenden Rotatonen der 3D Punktmengen. Das Verfahren st teratv und wrd solange fortgesetzt bs bede Punktmengen konvergeren. Der gesamte Regstrerungsprozees beruht auf Überschnedungen n den Punktmengen, anhand derer de entsprechenden Punktkorrespondenzen über de eukldsche Dstanz zweer Punkte bestmmt werden. Snd dese partellen Überlappungen gerng, we z.b. be Input aus Laserscannern, so st ene manuelle Vorausrchtung der beden 3D Netze für de Konvergenz des Algorthmus notwendg. Dese erfolgt für gewöhnlch über en vsuelles Interface, über das der Benutzer enes der beden Netze grob anhand der partellen Überschnedungen an das andere bewegt und ausrchtet. Alternatv könnte man auch geegnete Punktkorrespondenzen z.b. be Featurepunkten we Kanten- oder Eckpunkten m Vorfeld markeren und baserend darauf ene vorläufge Vorabausrchtung durchführen, bevor dann der Iteratve Closest Pont Algorthmus angewendet wrd. Der Prozess lässt sch n 3 Schrtte entelen: 1. Intalserung der Punktkorrespondenzen Für ene Menge A von Samples des ersten Scans und ene Menge B, bestehend aus Samples des zweten Scans, wrd zuerst für jeden Punkt a A der bzgl. der eukldschen Dstanz nächstgelegene Punkt b B dentfzert. Dese sog. Dstanzmethode berechnet also de mnmale Dstanz enes Punktes a zu ener Punktmenge B. d(a,b) = mn a b 2 (4.1) Deser Schrtt entsprcht ener Intalserung der Punktkorrespondenzen. Man erhält ene Menge von Tupeln (a,b ), de unter der beschrebenen Zuordnundgsvorschrft m Allgemenen werder njektv noch surjektv snd. De Implementerung deses Schrttes lässt sch z.b. über Heapsort effzent lösen. 2. Heurstsche Elmnerung Im zweten Schrtt werden alle Tupel entfernt, de mt hoher Wahrschenlchket falsch snd. Dese Entschedungen erfolgen mthlfe enger Heurstken, de m Enzelnen folgende Operatonen beenhalten: Boundary Operator: Her werden alle Tupel unter denen sch en Randpunkt enes der beden Netze befndet, gelöscht. Denn Randpunkte wesen neben numerschen Inkonsstenzen ene ungünstge Dchte auf. Dese st durch de Konfguratonen bzw. Setup der mesten Messgeräte we 3D Laser-Scannern bedngt. Aus desem Grund exsteren mnmale Dstanzen zu ene grösseren Menge von Zelpunkten. Dese Tatsache brgt ene hohe Fehlerwahrschenlchket hnschtlch ener falschen Zuordnungsrelaton. Dstanz Threshold Operator: Punktetupel, deren Dstanz enen bestmmten vorher festgelegten Schwellenwert hnschtlch hrer Entfernung zuenander überschretet werden ebenfalls elmnert, da es bem Überschreten des Werts, der en Parameter des Algorthmus st, unwahrschenlch st, dass se tatsächlch n korrekter Bezehung stehen. Normalen Operator: Alle Punktetupel, deren Oberflächennormalen zu stark von enander dvergeren werden entfernt. De Informaton über de Oberflächenormale enes 3D-Punktes nnerhalb enes Polygonnetzes muss dabe vorher bestmmt werden. Des kann bespelswese enfach als Durchschntt oder als gewchteter Durchschntt (hnschtlch des Oberflächennhalts der enzelnen angrenzenden Oberflächen) der Normalen der an desem Punkt adjazenten Oberflächen approxmert werden. De Normale enes Polygons st mthlfe des Kreuzproduktes lecht zu berechnen. De Idee dahnter st, dass Bereche mt stark dvergerenden Oberflächenormalen und damt unterschedlcher Oberflächenorenterung ncht deselbe Geometre repräsenteren können. 3. Absolute Orenterung In desem Schrtt werden de Punkte der zweten Punktmenge teratv an de Punktmenge A ausgerchtet. Des erfolgt mthlfe ener affnen Transformaton bestehend aus Translatonen, Skalerungen und Rotatonen, de bede Punktmengen m Idealfall optmal zuenander anordnet. Baserend auf ener Menge von Punktetupeln T := (a,b ) wrd also ene Abbldung M gesucht, welche de Samples des zweten Scans n das Koordnatensystem des ersten Scans transformert. Für dese Transformaton kann offenschtlch nur der sch überlappende Berech n Betracht gezogen werden. Nach desem Schrtt sollten de partellen Überschnedungen beder Netze optmal ausgerchtet sen, d. h. m glechen Koordnatensystem ene Enhet blden. De sch überlappenden

4 56 Robert Pyttel Bereche stellen also geometrsch nterpretert deselbe Fläche dar. Mathematsch gesehen kann man desem Sachverhalt z.b. mt der Methode der klensten Restfehlerquadrate (method of least squares) nachwesen und als Summaton über dese approxmeren. Für en optmales Algnment glt es dese zu mnmeren. a M(b ) 2 mn (4.2) Da de Engabedaten n Form von dskreten Messdaten vorlegen, st für den Nachwes ener Überenstmmung der Punktmengen dese Methode zweckmäßg und ausrechend, da ene exakte Überenstmmung bzw. Anordnung aufgrund von Messungenaugketen der verwendeten Geräte und numerscher Inkonsstenzen n der Regel ohnehn ncht realserbar st. De Fehlertoleranz der verwendeten Messgeräte kann be der Bestmmung der zu verwendenden heurstschen Parameter als Orenterung denen. We berets erwähnt kann de affne Transformaton M n de dre Komponenten Translaton, Skalerung und Rotaton zerlegt werden. Da bede Punktmengen geometrsch betrachtet deselbe Oberfläche repräsenteren haben Se auch den glechen geometrschen Schwerpunkt. Ene Translaton, de bede Netze abstmmt, kann deshalb realsert werden, ndem de geometrschen Schwerpunkte a und b beder Netze unabhängg von enander berechnet und n den Ursprung des Koordnatensystems verschoben werden. Dese Abbldungsvorschrft wrd dann entsprechend auf der jewelgen Gesamtpunktmenge durchgeführt. a = 1 a b = 1 b A B a A b B Fernerhn haben bede Netze mt obger Argumentaton auch de gleche Grösse, was ene Skalerung auf ene Enhetsgrösse um den Ursprung rechtfertgt. Dabe wrd mthlfe der durchschnttlchen Dstanz zum geometrschen Schwerpunkt en entsprechender Formfaktor bestmmt. De Abbldungsvorschrft herzu lautet: a 1 s (a a) b 1 t (b b) mt s = 1 a a 2 t = 1 b b 2 A B a A b B Unter deser Abbldungsvorschrft werden z.b. grosse Objekte, genauer gesagt jene de ene grosse durchschnttlche Dstanz zum Schwerpunkt s bzw. t aufwesen adäquat um desen Skalerungsfaktor verklenert. Umgekehrt verhält es sch entsprechend. Somt steht de Abbldungsvorschrft für de Translaton und Skalerung fest, und der enzge Frehetsgrad st nur noch de Rotaton. Es gbt verschedene Möglchketen Drehungen m Raum zu beschreben. Häufg werden Rotatonsmatrzen der Form Drehung um x Achse = Drehung um y Achse = Drehung um z Achse = cos α sn α 0 sn α cos α cos α 0 sn α sn α 0 cos α cos α sn α 0 snα cos α verwendet. Da es sch be der Bestmmung der absoluten Orenterung um en Optmerungsproblem handelt, wrd de Rotaton n den ICP-Implementerungen aus Effzenzgründen über Quaternonen defnert, de man als ene Erweterung der komplexen Zahlen nterpreteren kann. Da ene Rotaton m Raum über dre Frehetsgrade verfügt, st de korresponderende konventonelle Rotatonsmatx

5 A robust algorthm for pont set segmentaton usng mxtures of gaussans 57 ene 3 3 Matrx mt 9 Engabeparametern(sehe oben). Ene Optmerung deser Matrx unter der Gewährlestung, dass das de resulterende Matrx auch ene korrekte Rotatonsmatx, also u. a. orthonormal st, st offenschtlch relatv aufwendg. Im Gegensatz dazu haben Rotatonen, de über Quaternonen defnert werden ledglch 4 Parameter und als zusätzlche Bedngung nur jene, dass de resulterende Quaternon weder ene Enhetsquaternon sen muss, welches wesentlch effzenter überprüft werden kann. We n [7] detallert beschreben, kann ene Konverterung von Quaternonen n Rotatonsmatrzen und umgekehrt jederzet problemlos realsert werden. Aus desem Grund st de Verwendung von Quaternonen als Beschrebung der Rotaton zu bevorzugen, obwohl se Kenntnsse des ncht gebräuchlchen Raumes H der Quateronen bzw. deren Algebra voraussetzt. De Rotaton stellt also den letzten Frehetsgrad m vorlegenden ICP Algorthmus dar und kann über Quateronen effzent gelöst werden. Dazu formulert man de Rotatonsabbldung als en Quaternonenprodukt. Für enen Punkt x R 3 lefert folgende Glechung ene mplzte Darstellung der Koordnaten des roterten Punktes als Quaternon X: X = Q X Q = M L (Q) M R (Q) x = q q 2 1 q 2 2 q 2 3 2(q 1 q 2 q 0 q 3 ) 2(q 1 q 3 + q 0 q 2 ) 2(q 2 q 1 + q 0 q 3 ) q 2 0 q q 2 2 q 2 3 2(q 2 q 3 q 0 q 1 ) 2(q 3 q 1 q 0 q 2 ) 2(q 3 q 2 + q 0 q 1 ) q 2 0 q 2 1 q q 2 3 x mt Q = cos β 2 + sn β 2 (c x + jc y + kc z ) (4.3) Des spezfzert ene Drehung um den Wnkel β bzgl. ener Drehachse (c x,c y,c z ). Das Zechen steht her für de Multplkaton zweer Quaternonen. Aufgrund der fehlenden Kommutatvtät der Quaternonen-Algebra muss unterscheden werden, ob von lnks oder rechts multplzert wrd. De entsprechende Multplkaton ener Quaternon kann auch (we oben verwendet) n ener Matrxform M L bzw. M R ausgedrückt werden. De Rotatonsquaternon Q st n desem Verfahren das maßgebende Element. Für ene gültge Rotaton muss Q ene Enhetsquaternon sen. Der Drehachsen Vektor (c x,c y,c z ) T muss dabe durch den Ursprung verlaufen und zusätzlch normert sen. Das n Glechung (4.1) formulerte Mnmerungsproblem kann auch mthlfe des Skalarprodukts äquvalent umgeschreben werden. De Abbldung kann jetzt auf ene Rotatonsabbldung R reduzert werden. Das Skalarprodukt der Form a, a beschrebt n Glechung (4.4) de Länge des Dfferenzvektors zwschen a und R(b ). Ist deser mnmal, m besten Fall 0, dann erfüllt de Rotatonsabbldung de geforderten Egenschaften. a R(b ) 2 mn a R(b ),a R(b ) mn (4.4) a 2 2 } {{ } 1 a,r(b ) + R(b ) 2 } {{ } 1 mn a,r(b ) max (4.5) Wegen der Translaton des Schwerpunkts n den Ursprung und der anschleßenden Skalerung auf Enhetsgrösse, ergbt de Summaton über de de Beträge der Punktvektoren a und b den Wert 1. Letztendlch kann das Optmerungsproblem dahngehend umformulert werden, dass man den Wnkel zwschen dem Punktvektor a und dem Punktvektor R(b ) mnmert, also das Skalarprodukt der Vektoren a und R(b ), welches über de Länge und den Wnkel der Vektoren defnert st, maxmert: a,r(b ) := a R(b ) cos (a,r(b )). De Umformulerung über das Skalarprodukt st möglch, da es be ener Rotatonsabbldung nvarant st. Skalarprodukte zwschen Vektoren bleben be Drehungen m Raum durch den Ursprung erhalten, da sch weder de Länge von

6 58 Robert Pyttel Vektoren, noch der Wnkel, der zwe Vektoren umschleßt, ändert. Da sch wegen der Summaton, we oben gezegt, de Länge der Vektoren zu 1 addert, beschrebt a,r(b ) ausschleßlch den Wnkel zwschen den Vektoren. Deser st mnmal, wenn das Skalarprodukt maxmal st. Ausgehend davon kann man de Rotaton nun über ene Quaternon ausdrücken: a,r(b ) = A,Q B Q Deses kann mthlfe des Dot-Product-Equvalence Theorems A Q,B = A,B Q folgermaßen umformulert werden: a,r(b ) = A Q,Q B M L (A ) Q,M R (B ) Q Q T M T L (A ) M R (B ) Q ( ) Q T ML T (A ) M R (B ) Q := Q T N Q De n der obgen Formel aufgeführte Matrx N hat nun folgende Form: N = S xx + S yy + S zz S yz S zy S zx S xz S xy S yx S yz S zy S xx S yy S zz S xy + S yx S zx + S xz S zx S xz S xy + S yx S xx + S yy S zz S yz + S zy S xy S yx S zx + S xz S yz + S zy S xx S yy + S zz mt S xx = a (x)b (x), S xy = a (x)b (y),... Herbe kennzechnet a (x) de x Komponente des Punktvektors a. Um Glechung (4.5) zu maxmeren muss nun der Egenvektor zum grössten Egenwert der Matrx N bestmmt werden. Normert repräsentert deser dann de optmale Rotatons Enhetsquaternon Q n der Glechung des Optmerungsproblems. Ausgehend davon kann man nun den Drehwnkel und de Drehachse als de Rotatonsparameter aus Q gemäß Glechung (4.3) extraheren und de Rotaton ausführen. Das Verfahren st teratv, und wrd solange fortgeführt bs bede Netze konvergeren oder der Restfehler vernachlässgbar klen st. En Maß dafür st de durchschnttlche Dstanz nnerhalb ens Tupels nach der Transformaton. 2.2 Regstrerungs Algorthmus auf Grundlage des Gauß schen Mxture - Modells Deses Verfahren west Ähnlchketen zum ICP Algorthmus auf, verfolgt jedoch enen etws anderen Ansatz. Herbe werden Punktmengen über gewchtete Summen von Normalvertelungen dargestellt. Dese Summen ergeben m Resultat wederum Wahrschenlchketsdchtefunktonen. Baserend darauf wrd ene Transformaton gesucht, de de Dvergenz zwschen den Vertelungsfunktonen mnmert.

7 A robust algorthm for pont set segmentaton usng mxtures of gaussans GMM Modell Der Begrff Mxture Model bezechnet n der Mathematk en Modell, dass aus mehreren unabhänggen Varablen besteht, de Tele enes Ganzen snd. Dabe kommt es ncht so sehr auf de Mächtgket der enzelnen Komponenten an, sondern velmehr auf deren Zusammensetzung, verglechbar mt enem Fruchtcocktal, be dem de Mschung bzw. der Antel der jewelgen Zutaten entschedend st. Darüberhnaus gbt es auch ndrekte Anwendungen enes Mxture Models, we se auch m n [1] vorgestellten Verfahren Anwendung fnden. Es wrd ene Komposton aus Normalvertelungen (Gaussans) gebldet, über de ene gegebene Punktmenge modellert wrd. Deses Modell wrd n der Statstk auch mt dem Oberbegrff Probablty Mxture Model bezechnet und repäsentert ene Wahrschenlchketsdchtefunkton, de ene konvexe Kombnaton von anderen Wahrschenlchketsvertelungen st. Betrachtet man bespelswese ene dskreten Zufallsvektor X, der sch aus mehreren Zufallsvarablen Y zusammensetzt, so st sene Wahrschenlchketsvertelung durch ene gewchtete Summe der enzelnen durch de Komponenten bestmmten Wahrschenlchketsvertelungen defnert: f X (x) = I a f Y (x) =1 mt a 1 +a a n = 1 a > 0 als Verhältnsparameter nnerhalb der Komposton. Dese Defnton st n ähnlcher Wese auch auf kontnuerlche Zufallsvarablen mt enem oder mehreren Parametern Θ anwendbar: h(θ)f Y (x;θ)dθ Θ mt 0 h(θ) 1 θ Θ und h(θ)dθ = 1. In dem n deser Semnararbet thematserten Verfahren Θ werden Punktmengen über en solches Mxture Modell modellert. Dabe snd de Komponentenwahrschenlchketsvertelungen über Gauß sche Normalvertelungen Φ defnert (Gaussan Mxture Model). Für jede der zu verglechenden Punktmengen wrd genau en Gaussan Mxture Model erstellt, mt dessen Hlfe dann über dese Art der Approxmerung en Evaluerungskrterum für de Überenstmmung zweer endlcher Punktmengen nach ener optmalen Transformaton ener der Punktmengen defnert st. Anhand der Überenstmmung der über Gaussan Mxtures defnerten Wahrschenlchketsdchtefunktonen wrd de Überenstmmung der korresponderenden Punktmengen bzw. Polygonnetze bemessen. Für enen belebgen Zufallsvektor X kann dann dese Funkton als gewchtete Summe explzt angeben werden: P(X) := I ω Φ(X µ,σ) =1 De Autoren betrachteten de Gewchte ω jeder Komponente n ener verenfachten Annahme als glech gewchtet, sofern kene zusätzlchen Informatonen, de dem wdersprechen würden, exsteren. Bespelwese würde de Kenntns über Feature-Punkte ene andere Gewchtung rechtfertgen. Dese Informaton st aber n Regel ncht bekannt, was dese Annahme begründet. Man könnte jedoch m Vorfeld bestmmte Verfahren zur Feature Extrakton anwenden um an de Daten zu gelangen. Bespelswese über ene Berechnung und anschleßender Auswertung der Normalennformaton zu jedem Punkt. Ene adäquate Skalerung der Gewchte wäre problemlos n das Modell zu ntegreren. In ener weteren verenfachten Annahme entsprcht de Anzahl der Komponenten des Mxture-Modells der Anzahl der Punkte n der Menge. En Punkt wrd über ene Normalvertelung dargestellt und de gesamte Punktmenge als Mxture. Besteht ene Punktemenge also aus n Punkten, so st de korresponderende Gaussan Mxture Funkton ene gewchtete Summe aus n Normalvertelungen mt n Erwartungswerten µ und ener bestmmten Varanz, de über ene Kovaranzmatrx angegeben wrd. Der Erwartungswert µ der Normalvertelung wrd über de Poston des jewelgen Punktvektors repräsentert. In [5] verwenden de Autoren Rangahan et. al. n hrem Regstrerungsframework, das Punktmengen ebenfalls über en Gaussan Mxture Modell approxmert, noch enen zusätzlchen Cluster bzw. Komponente für unechte Punkte, sog. Outler. Deser fällt aber be ener ausrechend grossen Menge von Komponenten ncht weter ns Gewcht. Fernerhn verwenden dese Autoren en asymmetrsches Schema be der Modellerung zweer Punktmengen, das sch m Kontext von renen Pont-Matchng Problemen, de dort behandelt werden, als nützlch erwest. Jan und Vermur haben de dort vorgestellte Art der Punktmengenmodellerung aufgegrffen und um en symmetrsches Schema erwetert, das o.b.d.a be der Regstrerungsproblematk ntutver und flexbler st. Da es sch be der Regstrerung von Punktmengen m Allgemenen um enen mehrdmensonalen Raum

8 60 Robert Pyttel handelt, snd de zu verwendenden Normalvertelungen Φ dementsprechend multvarat. Ene bvarate Normalvertelung bespelswese, de enen Zufallsvektor X mt zwe Zufallsvarablen X und Y enthält, lässt sch folgendermaßen formuleren: Dabe st µ = ( µx µ y 1 Φ(X) = 2π Σ 1/2 ê 1 2 (x µ) T Σ 1 (x µ) ) ( ) σ 2 der Erwartungswertvektor und Σ = x σ xy de dazugehörge Kovaranzmatrx, de als symmetrsch und postv defnt angenommen wrd. Dese Bedngung kann durch entsprechende Umformungen garantert werden (s. u.). Σ bezechnet de Determnante der Matrx. We berets erwähnt entsprcht der Erwartungswertvektor den jewelgen Punktkoordnaten. De Kovaranzmatrx Σ bestmmt en Maß für de Varanz nnerhalb der Punktmenge und wrd mthlfe aller paarwesen Kovaranzen der Zufallsvarablen enes Zufallsvektors gebldet. Es handelt sch also m vorlegenden Kontext um Kovaranzen von Punktkoordnaten. De Kovaranzmatrx enthält auf der Hauptdagonalen de Varanzen der enzelnen Zufallsvarablen. Somt snd alle Elemente auf der Hauptdagonalen postv und de Matrx damt postv semdefnt. Aufgund der Symmetre der Kovaranz zweer Zufallsvarablen st de Kovaranzmatrx mmer symmetrsch. Damt st jede Kovaranzmatrx mttels Hauptachsentransformaton dagonalserbar. De resulterende Dagonalmatrx st ebenfalls ene Kovaranzmatrx, auf deren Hauptdagonalen nur noch de Varanzen stehen. Jede m Allgemenen postv semdefntte Kovaranzmatrx kann damt mttels enes geegneten Dagonalserungsverfahrens n ene postv defnte Form gebracht werden. Fernerhn kann man wegen der Dagonalserbarket de Kovaranzmatrx als Ellpsoden darstellen. σ yx σ 2 y Evaluerung der multvaraten Normalvertelung Φ(X) Begnnend mt enem festgelegten Erwartungswertvektor µ und enem belebgen Punktvektor x wrd zunächst ene de eukldsche Dstanz δ = x µ bestmmt. Als nächstes wrd de Anzahl der Konturen D der durch de Kovaranzmatrx Σ 1 bestmmten Ellpsoden, de von δ geschntten werden, berechnet. Dese st konstant und entsprcht δ T Σ 1 δ. D st de sog. Mahalanobs Dstanz zwschen µ und x. Abbldung 4.1: Durch δ geschnttene Konturen, Quelle: [6] Wrd dann w = ê D2 /2 defnert, so erhält jeder Punktvektor x, der bezüglch der mahalanobschen Dstanz nahe dem Erwartungswertvektor µ legt, en relatv starkes Gewcht. Wet entfernte Punkte hngegen werden entsprechend schwach gewchtet. Zuletzt muss dann man dann noch n enem Skalerungsschrtt w 1 mt multplzeren um zu gewährlesten, dass 1 P(X)dz = 1 st und Φ(X) = ê D2 /2 = 2π Σ 1/2 2π Σ 1/2 1 ê 1 2π Σ 1/2 2 (x µ)t Σ 1 (x µ) damt ene gültge Wahrschenlchketsdchtefunkton darstellt.

9 A robust algorthm for pont set segmentaton usng mxtures of gaussans 61 Abbldung 4.2: Gewchtung bzgl. der mah. Dstanz D, Quelle: [6] Bestmmung der Varanz nnerhalb der Punktmenge n Form ener Kovaranzmatrx Im Folgenden werden aus Gründen der Enfachhet 2D Punktmengen n Betracht gezogen. Ene Übertragung auf höhere Dmensonen st ohne weteres analog nachzuvollzehen. Da m Zusammenhang mt Punktmengen de Vertelungsparameter deser multvaraten Vertelung n aller Regel ncht bekannt snd, müssen se geschätzt werden. Im Untersched zur Kovaranz zweer Zufallsgrössen muss her de emprsche Kovaranz zweer Stchproben Anwendung fnden. Herbe wrd be Vorlegen von n Stchprobenpaaren (x 1,y 1 ),...,(x n,y n ), de den gesampelten Charakter (z.b. Output enes 3D-Laser-Scanners) ener Punktmenge wderspegeln, de Kovaranz der x- und y - Stchprobe we folgt berechnet: K xy = 1 n 1 n (x k x)(y k y) k=1 Dabe snd x und y de Mttelwerte der x- und y -Stchprobe. Formt man desen Ausdruck um, so erhält man: [( K xy = 1 n ) ] (x k y k ) nxy n 1 k=1 K yx Auf der Hauptdagonalen der Kovaranzmatrx stehen de Kovaranzen mt sch selbst, also de Varanzen K xx =: Kx 2 und K yy =: Ky 2 Insgesamt ergbt sch für den zwedmensonalen Fall ene Menge von 2 2 = 4 ( ) Kxx K solcher Kovaranzen, de man zu ener Matrx xy zusammenfassen kann. De Kovaranzmatrx bestmmt damt de durchschnttlche Abwechung vom Mttelwert ener Punktmenge bzgl. der jewelgen Zufallsvarablen enes mehrdmensonalen Zufallsvektors. In Vektor- bzw. Matrxschrebwese überführt, berechnet sch de Kovaranzmatrx Σ durch komponentenweses Ensetzen we folgt: K yy Σ = 1 [ µ T µ n µ µ T] ( x1... x µ := n n 1 y 1... y n Σ st we weter oben beschreben offenschtlch symmetrsch und postv semdefnt. Bng Jan und Baba C. Vermur gehen n hren Berechnungen davon aus, dass jede Normalvertelung sphärsch vertelt st. Demzufolge muss de Kovaranzmatrx dagonalsert werden und de Varanzen auf der Hauptdagonalen, welche den Grad der Streuung n ene jewelge Rchtung bestmmen, enhetlch sen. Es wrd ncht gesagt auf welche Art und Wese deser Wert gebldet werden soll. En enhetlcher Varanzbetrag könnte aber z.b. über ene Durchschnttsbldung der Dagonalen Varanzen erfolgen. De Kovaranzmatrx soll n Dagonalform vorlegen, was de weteren Berechnungen beträchtlch verenfacht. We des errecht werden soll, wrd von den Autoren ncht erwähnt. Zum Enen wäre ene Dagonalserung der Matrx mttels ener Hauptachsentransformaton denkbar und möglch. Anderersets st es für de weteren Berechnungen ) (4.6)

10 62 Robert Pyttel ausrechend, dass de Matrx n Dagonalform vorlegt. Alternatv könnte man also de Werte für de Kovaranzen ausserhalb der Hauptdagonalen auf Null setzen bzw. gar ncht erst berechnen. Jan und Vermur grefen n hrer Arbet also das Konzept von Rangahan n [5] auf und modelleren Punktmengen über en Gaussan Mxture Modell. Im Gegensatz zur ursprüglchen Umsetzung wrd für jede Punktmenge en egenes unabhängges Modell kreert. De Idee des Algorthmus basert nun auf der Abstrakton der Punktmengen über dese Vertelungsfunktonen, deren Überenstmmung dann en Maß für Qualtät der Transformaton darstellt. Der verwendete Regstrerungsalgorthmus setzt darauf, dass nach ener optmalen Transformaton bzw. Regstrerung, de Modelle der Punktmengen m Idealfall dentsch snd. Da de Modelle aus Wahrschenlchketsvertelungsfunktonen bestehen, st de Dvergenz zwschen den Funktonen das Entschedungs- bzw. Evaluerungskrterum für de Glechartgket. Dese glt es über de L2 Dstanz zu mnmeren. Damt handelt es sch we bem ICP um Optmerungsproblem. De L2-Dstanz zwschen zwe Gaussan Mxtures kann her als Pendant zum m ICP Algorthmus verwendeten Evaluerungskrterumum über de quadrerten Abwechungsdstanzen angesehen werden. Es gbt mehrere Möglchketen de Dvergenz zwschen zwe zufällgen Vertelungsfunktonen zu berechnen. Jan und Vermur verwenden aus Gründen der Robusthet de L2 Dstanz für hre Berechnungen und formuleren se n ener geschlossenen Form, was se als enen der Hauptbeträge hrer Arbet bezechnen: The man contrbutons of our paper are: () We suggest the dea of [... ] () A closed form expresson for the L2-Dstance between two Gaussan Mxtures s derved, whch n turn leads to a computatonally effcent regstraton algorthm L2 Dstanz zwschen 2 Gaussan Mxtures Betrachtet man de Densty Power Dvergence, ene von Basu et al. n [2] vorgestellte Klasse von Funktonen, de Abwechungen zwschen 2 Wahrschenlchketsdchtefunktonen msst, so st de L2 Dstanz d α=1 (f,g) := (f(z) g(z)) 2 dz bzgl. 2 Vertelungsfunktonen f und g en Kompromss zwschen Robusthet und asymtotscher Effzenz, der durch den Parameter α kontrollert wrd. ( 1 d α (f,g) := α f1+α (1 + 1 ) α f gα ) + g 1+α dz Dese Formel hat ledglch für α = 1, was der L2 Dstanz entsprcht, ene geschlossene Form. Dese kann über de folgende von Wand und Jones (1995) gezegte Identtät erfüllt werden: Φ(X µ 1,Σ 1 ) Φ(X µ 2,Σ 2 )dx = Φ(0 µ 1 µ 2,Σ 1 + Σ 2 ) (4.7) Rgde Regstrerung Im Regstrerungsalgorthmus werden de gegebenen Punktmengen zunächst über Mxtures aus Normalvertelungen n der n Kaptel beschrebenen Art und Wese modellert. Für zwe Punktmengen A := a 1,...,a k und B := b 1,...,b n erhält man de beden korresponderenden Vertelungsfunktonen g(x) := P(A) und f(x) := P(B). g(x) = n m β j Φ(X ν j,γ) f(x) = α Φ(X µ,σ) j=1 Nun kann man das Regstrerungsproblem als Optmerungsproblem formuleren, ndem man versucht enen Parameter zu fnden, der de Dstanz zwschen den beden entstandenen Vertelungsfunktonen mnmert. Deser Parameter Θ besteht m Fall ener rgden affnen Transformaton aus ener Rotatonsmatrx und enem Translatonsvektor. Der Parameter st also ene Menge von räumlchen Transfomatonen und gbt den Suchraum des Optmerungsproblems an. Nach Anwendung ener optmalen räumlchen Transformaton Θ auf ene der beden Punktmengen, sollten de beden Punktmengen nach Möglchket optmal anenander ausrchtet sen. Anhand der Dfferenz hrer korresponderenden Gaussan Mxtures kann nach der Transformaton de Güte der Transformaton evaluert werden. Formulert man desen Sachverhalt als ene Kostenfunkton K = (P(A) P(T(B,Θ))) 2, so wrd de Paralelle zum m ICP-Algorthmus verwendeten Evaluerungskrterum der kumulatv adderten Restfehlerquadrate deutlch. Der Untersched st, dass de Punktmengen her über en stochastsches Modell abstrahert werden. Bezechnet man de Rotaton mt R und de Translaton mt t, so kann de Dfferenz der beden Vertelungsfunktonen f und =1

11 A robust algorthm for pont set segmentaton usng mxtures of gaussans 63 g über de berets erwähnte Densty Power Dvergence bestmmt werden. Für α = 1 ergbt sch mt der transformerten Vertelung f R,t (X) = m =1 α Φ(X Rµ + t,r Σ R T ) de folgende L2 Dstanz: d(f,g,r,t) = {fr,t 2 2f R,t g + g 2 } (4.8) Be ener rgden Transformaton muss ledglch de Orenterung der Kovaranzmatrx entsprechend über R Σ R T angepasst werden. Der Integrand der Glechung st stets postv für f R,t g. Da de L2 Norm unter ener rgden Transformaton nvarant st, glt f 2 R,t = f 2. Das Integral g 2 blebt ebenfalls glech, da es von Transformaton ncht betroffen st. Demnach genügt es den mttleren Term aus Glechung (4.8) auszuwerten, wobe de Konstante vor das Integral gezogen und vernachlässgt werden kann. Der mttlere Term, der ene Art Kreuzprodukt zwschen den beden Vertelungsfunktonen darstellt, st also ausrechend um ene mnmale Dvergenz der Vertelungsfunktonen bzgl. ener Transformaton θ zu bestmmen. Wegen des negatven Vorfaktors glt es den Term f R,t g zu maxmeren um ene mnmale Dvergenz zu erzelen. m n f R,t g α Φ(X Rµ + t,r Σ R T ) b j Φ(X ν j,γ j ) max =1 j=1 m n = α β Φ(X Rµ + t,r Σ R T ) Φ(X ν j,γ j ) max m =1 j=1 n =1 j=1 m α β =1 j=1 Φ(X Rµ + t,r Σ R T )Φ(X ν j,γ j ) max } {{ } cf.(4.7) n α β j Φ(0 Rµ + t ν j,r Σ R T + Γ) max Es genügt nun dese Doppelsumme, de ene multvarate Funkton n geschlossener Form mt den Rotatons- und Translatonsparametern als Varablen ergbt, bzgl. hres Maxmums zu untersuchen. Dazu können bspw. bekannte Verfahren der Analyss bzw. der Dffertalrechnung angewendet werden. Genauer gesagt könnte man deses Optmerungsproblem lösen ndem man über alle Parameter partell dfferenzert. Auf dese Art und Wese erhält man enen Vektor, dessen Komponenten de partellen Abletungen snd. Um das Maxmum zu bestmmen, st deser dem Nullvektor glechzusetzen um entsprechende Extremwertpunkte ermtteln zu können. Des kann u.a. mthlfe ener Hesse Matrx erfolgen. An den Extrempunkten nmmt der Gradent, der ene Verallgemenerung der Abletung für Funktonen von mehreren Varablen st und n de Rchtung des stelsten Ansteges nnerhalb enes Skalarfeldes zegt, den Wert 0 an. De oben genannte Kostenfunkton st überall dfferenzerbar, da hre Faktoren Wahrschenlchketsdchtefunktonen und damt stetg und dfferenzerbar snd. Fernerhn st de Funkton offenschtlch konvex m Umfeld der optmalen Konfguraton (Hochpunkt). Es blebt jedoch anzumerken, dass de drekte Auswertung der Kostenfunkton bzgl. der rgden und affnen Regstrerung für grosse Datensätze ungeegnet und ncht praktkabel st, da se mt enem Aufwand von O(m n) velen Summanden wächst, de man algebrasch ncht effzent zusammenfassen kann. Es gbt jedoch enge numersche Verfahren we de n [10] von J. Greengard vorgestellte Lösung Fast Gauss Transform, welche aus der gegebenen Kostenfunkton ene Summe von Hermte-Polynomen erzeugt, deren Fehler mt stegender Summandenanzahl gegen Null konvergert. De Mächtgket deser Summe beträgt dann nur noch O(m + n), was das Verfahren mt enem höheren Implemterungsaufwand dann auch für grössere Datenmengen praktkabel macht Affne Regstrerung Auf ähnlche Art und Wese kann man auch ene affne Regstrerung durchführen. Dabe verwendet man als Parameter ene ncht-snguläre d d Matrx A, über de dann ene affne Abbldung realsert werden kann. Mt deser Abbldung st es möglch de zu transformerende Punktmenge u.a. zu skaleren. De Setenverhältnsse bleben be ener affnen Abbldung glech. De Matrx A kann man dann noch mttels Polardekomposton zu A = QS faktorseren, wobe Q ene orthogonale Matrx st und de Drehung m

12 64 Robert Pyttel Raum wedergbt. De Matrx S st ene postv defnte Matrx. De entsprechende Kostenfunkton lautet dann: (f 2 d(f,g,a,t) = A,t 2f A,t g + g 2) (4.9) mt f A,t = m =1 α φ(x Aµ + t,q Σ Q T ). Da es sch um ene belebge affne Abbldung handelt und dese de Ausprägung bzw. Form der Vertelungsfunkton ändern kann, glt fa,t 2 = f 2 m Allgemenen ncht mehr. Folglch muss deser Integralterm n de Berechung der Glechung (4.9) nvolvert werden. Damt das Integral mnmal wrd, muss der zwete Term f A,t g we eben beschreben maxmert und der erste Term fa,t 2 mnmert werden. De entsprechende Kostenfunkton legt erneut n geschlossener Form vor und kann deshalb effzent berechnet werden Ncht rgde Regstrerung Deses Framework kann auch für ene ncht rgde bzw. ncht affne Regstrerung angewendet werden. Man repräsentert dabe de ncht rgde Transformaton über enen Thn-Plate-Splne (TPS), der das zwedmensonale Pendant zum kubschen Splne n ener Dmenson st. Anhand ener gegebenen Menge von Datenpunkten formt ene gewchtete Kombnaton von Splnes, de jeden Datenpunkt zentrert, ene nterpolerende Funkton, de exakt durch dese Punkte verläuft während se de sog. Begeenerge mnmert. Das Verhalten ähnelt dem ener dünnen Metallplatte, de an bestmmen Aufhängepunkten gebogen wrd. Ausgehend von n Kontrollpunkten x 1,...,x n R 4 kann ene allgemene Abbldung u : R d R d, welche durch enen Thn-Plate-Splne beschreben wrd, folgendermaßen analytsch angegeben werden: u(x) = WU(x) + Ax + t Dabe st Ax+t der lneare Antel von u. Der ncht lneare Antel st durch de d d Matrx W bestmmt. U(x) st en n 1 Vektor, der aus n Bassfunktonen U (x) = U(x,x ) = U( x x ) besteht. Dabe st U(r) de Kernfunkton des Thn-Plate-Splnes. Wenn bespelswese de Dmenson d = 2 st, und der Regularsatonsoperator durch de zwete Abletung von u bestmmt st, ergbt sch U(r) = (8π) 1 r 2 lnr. Damt kann de Kostenfunkton für ncht rgde Transformatonen als en Energeoperator für en Regularsatonsframework ausgedrückt werden. Im Spezellen werden also zwe neue Terme hnzugefügt, en Datenterm, der de L2 Dstanz zwschen der Zel- und transformerten Vertelungsfunkton defnert und en Glättungsoperator, der de Begeenerge der Krümmung des Thn-Plate-Splnes bestmmt. Insgesamt erhält man nun de folgende Kostenfunkton: E(u) = (f u g) 2 dx + λ Bendng(u) (4.10) Dabe bezechnet f u (x) de Vertelung der transformerten Punktmenge, de durch u(x) verzerrt wrd. Der gewchtete Parameter λ st ene postve Konstante und de Begeenerge Bendng(u) wrd explzt über de Spur der Matrx WKW T angegeben. Dabe beschrebt K = (K j ), K j = U(p,p j ) de nterne Struktur der Menge der Kontrollpunkte enes Splnes. 3 Analyse anhand enger Bespelkonfguratonen In desem Abschntt soll de Korrekthet und Qualtät der Modellerung sowe des Regstrerungsalgorthmus über das Gaussan Mxture Modell anhand von Bespeldatensätzen überprüft werden. Fernerhn soll gewsses geometrsches Verständns über ene Vsualserung der multvaraten Gaussan Mxtures geweckt werden. De verwendeten Bespeldatensätze snd her Punktmengen m R 2, was ener bvarten Normalvertelung nnerhalb des Mxtures entsprcht. Deses Kaptel beschränkt sch auf den Regstrerungsalgorthmus über rgde Transformatonen. Deser wurde n Kaptel (2.2.5) erläutert. De folgende Berechnungen wurden mt der Software Derve 5.1 von Texas Instruments Incorporated durchgeführt.

13 A robust algorthm for pont set segmentaton usng mxtures of gaussans Verhalten be exakter Überenstmmung Betrachtet werden de folgenden Punktmengen A := {(5,1),(4,1),(3,1),(2,1),(1,1),(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)} B := {(7,7)(6,7)(7,7)(8,7)(9,7)(9,6)(9,5)(9,4)(9,3)} Dese snd n Abbldung 4.3 dargestellt. Modellert man dese als Gaussan Mxture, so erhält man folgende Wahrschenlchketsdchtefunktonen P(A) = ( 85 )) 9 =1 1 9 ((x,y),a Φ, ( = ê 18x2 2ê 85 36x 17 18y y π P(B) entsprechend. + + ) 36y 2ê π Abbldung 4.3: Datensatz A,B In den Abbldungen 4.4 und 4.5 seht man de multvarate Vertelung über 2 Dmensonen. De roten Flächen kennzechnen de Bereche mt maxmaler Stegung deser an ene Hügellandschaft ernnernden Vertelung sowe Paralellen n der Ausprägung der Topographe zum egentlchen Datensatz. Ene Auswertung des Integrals über dese Funkton lefert den erwarten Wert 1. Es handelt sch also um ene wohldefnerte Wahrschenlchketsdchtefunkton: P(A)dxdy = 1. Herbe wurden de n Kaptel (2.2.1) gemachten Annahmen beachtet. Alle Punkte snd glech gewchtet, d. h. α = 1 n. De Kovaranzmatrx wurde n ene Dagonalform gebracht, ndem de Kovaranzen ausserhalb der Hauptdagonalen auf Null gesetzt und de Varanzen auf der Hauptdagonalen verenhetlcht wurden, also ene sphärsche Normalvertelung angenommen wurde. De Annahme ener sphärschen Normalvertelung bzw. de entsprechende Kovaranzmatrxform st für ene effzente Berechnung des Algorthmus für rgde Transformatonen Voraussetzung. Da de Punktmenge B um 180 Grad gedreht (um den Ursprung) und anschleßend um den Translatonsvektor (10,8) T verschoben st, müsste demzufolge de Kostenfunkton für rgde Transformatonen := m n =1 j=1 α β j Φ(0 Rµ + t ν j,r Σ R T + Γ) ( ) ( ) cos 90 sn 90 für de Parameter R = 10 sn90 cos 90 und t = maxmal sen. Setzt man dese Parameter 8 n en, so erhält man mt , we man auch n der Abbldung 4.8, de ene Vsualserung der Kostenfunkton = m n =1 j=1 α β j Φ(0 R(180 )µ + (t x,t y ) T ν j,r(180 ) Σ R(180 ) T + Γ)

14 66 Robert Pyttel Abbldung 4.4: Vertelung des Datensatzes A Abbldung 4.5: Vertelung des Datensatzes B anhand enes 3D Graphen repräsentert, sehen kann, das Maxmum der Funkton und damt en Indz dafür, dass der Algorthmus korrekt funktonert bzw. de Modellerung robust st. Berechnet man auf herkömmlche Art und Wese das Dvergenzntegral aus Glechung (4.8), so ergbt sch für de optmalen Rotatons- und Translatonsparameter der erwartete Wert 0 für de L2 Dstanz der mt den Punktmengen korresponderenden Wahrschenlchketsdchtefunktonen. 3.2 Verhalten be Nose nsbesondere Outlern Betrachtet man ene Punktmenge mt vel Rauschen, das bem Enlesen oder Enscannen der Engangsdaten entstanden st, so exsteren Punkte, de offenschtlch falsch snd. De folgende Punktmenge enthält enen Ausreßer, der de Regstrerung negatv beenflußt. En guter Regstrerungsalgorthmus sollte möglchst resstent dagegen sen. Der ICP Algorthmus st n enem höheren Maß für solche Ausreßer anfällg, da es n deser Konstellaton kenen mt dem Ausreßer korresponderenden Punkt n der Nähe gbt. Dementsprechend geht en hoher Wert n de Summe der

15 A robust algorthm for pont set segmentaton usng mxtures of gaussans 67 Abbldung 4.6: Datensatz mt Nose/Outler Abbldung 4.7: Vertelung des Datensatzes mt Nose/Outler quadrerten Dstanzen en, der das Ergebns entsprechend verfälscht. De n Kaptel 2 beschrebenen Heurstken snd en notwendges Hlfsmttel um dem entgegen zu wrken. Modellert man dese Punktmenge über Gaussan Mxtures, so wrd der Enfluss der Ausreßer berets m Modellbldungsprozess gesenkt, da dese Punkte ene grosse Dvergenz zu allen anderen Punkten aufwesen und wegen der Normalvertelung sehr schwach bewertet werden. De resulterende Vertelungsfunkton der Punktmenge st der folgenden Abbldung 4.7 zu entnehmen. Man erkennt an der nord östlchen Poston des Ausreßers ene sehr schwache rötlche Verfärbung bzw. enen schwache Ausprägung des Peaks. Damt spelt deser Punkt be der Evaluerung über de L2 Dstanz der Vertelungsfunktonen ene sehr gernge Rolle. In deser Hnscht st das Verfahren dem ICP-Algorthmus überlegen. Je nachdem we gut oder schlecht de Heurstkparameter festgelegt werden,

16 68 Robert Pyttel Abbldung 4.8: Kostenfunkton kann man bem GMM Algorthmus be Datensätzen mt vel Rauschen und Outlers auf en besseres Regstrerungsresultat schleßen. Lteratur [1] B. Jan, B. C. Vemur: A robust algorthm for pont set regstraton usng mxture of gaussans, 2005 [2] A. Basu, I. R. Harrs, N. L. Hjort, M.C. Jones: Robust and effcent estmaton by mnmzng the densty power dvergence, Bometrka, vol. 85, no. 3, pp , 1998 [3] D. Scott: Parametrc statstcal modelng by mnmum ntegrated square error, Technometrcs, vol. 43 no. 3, pp , 2001 [4] P. J. Besl, N. D. McKay: A method for regstraton of 3D-shapes, 1992 [5] H. Chu, A. Rangarajan: A feature regstraton framework usng mxture models, 2000 [6] Andrew W. Moore: Gaussans, awm [7] Berthold K. P. Horn: Closed-form soluton of absolute orentaton usng unt quaternons, 1986 [8] S. Rusnkewcz, M. Levoy: Effcent varants of the ICP Alogorthm, 2001 [9] H. Fujsawa, S. Eguch: Robust Estmaton n the Normal Mxture Model, 2002 [10] J. Greengard: Fast Gauss Transform, 1991