Ergiebigkeit eines Vertikalbrunnens

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Stephan Becke
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1 Schule Titel Seite 1 von 8 Wolfgang Triebel / Heinz Slepcevic wolfgang.triebel.aon.at Ergiebigkeit eine Vertikalbrunnen Mathematiche / Fachliche Inhalte in Stichworten: Brunnenformel, Grundwaerabenkung, Kontinuitätgleichung (Integralgleichung) Kurzzuammenfaung Die Ergiebigkeit eine Vertikalbrunnen wird nach der Dupuit -Thiemche Brunnenformel unter der Kontinuitätbedingung von Sichardt berechnet. Zunächt wird von theoretichen Anätzen und Überlegungen augegangen. Didaktiche Überlegungen / Zeitaufwand: Die Theorie und da angechloene Beipiel ollen al Anregung dienen. Die Auführungen ind al Untertützung im Fachunterricht gedacht. Ein Selbttudium wäre nur mit Hilfe der genannten Literaturhinweie innvoll. Lehrplanbezug (bzw. Gegentand / Abteilung / gang): Bautechnik (Hoch- und Tiefbau): Grund- und Waerbau, Tiefbaukunde [GW, TK] Mathcad-Verion: Mathcad 8 / 000 Literaturangaben: K. Simmer; Grundbau Teil " Baugruben und Gründungen", 17., neubearbeitete und erweiterte Auflage B.G. Teubner Stuttgart 199 Seite 18 Damrath/ Cord-Landwehr; Waerverorgung, 10., neubearbeitete und erweiterte Auflage B.G. Teubner Stuttgart, Seite 33: Beipiel 3.13 Theoretiche Anätze Betimmung de Durchläigkeitbeiwerte k f a. Die Strömung de Grundwaer it - olange ich da Waer nicht in klüftigem Getein bewegt und da Grundwaerpiegelgefälle nicht zu groß it - auchließlich laminar. Für die Durchganggechwindigkeit gilt dann da Filtergeetz nach Darcy: v = k f J k f it der Durchläigkeitbeiwert Kie (Flußchotter) k f := m/ andiger Kie (Urtromtäler) k f := m/ kieiger Sand (Urtromtäler) k f := m/ mittlerer Sand (Heieand) k f := m/ feiner Sand (Dünenand) k f := m/ chluffiger Ton k f := m/ J it da Grundwaerpiegelgefälle (dimenionlo)

2 Schule Titel Seite von 8 Betimmung de Durchläigkeitbeiwerte k f im Labor b. Im Labor kann der k f -Wert mittel einer Durchflußanalye an einer ungetörten Bodenprobe betimmt werden. Diee Probe wurde au einem homogenen Grundwaerleiter entnommen. Annahmen für da folgende Beipiel: Durchläigkeitbeiwert Länge de zu durchtrömenden Wege k f := m/ l := 150 m Druckhöhenunterchied innerhalb der Strecke h := 1.5 m Grundwaerpiegelgefälle h J := J = l Geamtquerchnitt A := 3.00 m² h Durchflußgechwindigkeit v := k f v = 6.31 m/ d l Die Filtergechwindigkeit wird örtlich gemeen und der k f -Wert rückgerechnet. c. It eine ungetörte Bodenprobe nicht vorhanden, läßt ich der k f -Wert auch au der Siebanalye näherungweie nach der Formel von Hazen ermitteln. Der Korndurchmeer d 60 in mm, bei dem 10 % Siebdurchgang erfolgt, it für den Durchläigkeitbeiwert maßgebend, allerding unter der Einchränkung, daß die Ungleichförmigkeitzahl U (Kornverteilung) kleiner al 5 it. Annahmen für da folgende Beipiel: d 10 := 0.07 d 60 := 1. U d 60 := U = 17.1 > 5 d 10 damit wird k f := d 10 k f = m/

3 Schule Titel Seite 3 von 8 Theoretiche Überlegungen Ableitung der Dupuit-Thiemchen Brunnenformel x-ache Q(x) Ruhewaerpiegel GW Abenkung y H g waerführende Schicht D h x Stauer oder Aquifer x-ache := 1 H g := 1 Kontinuitätgleichung: Q := k f J A R := 3000 k f y := H g R.. Reichweite H g h ( y) dy = Q k f π R r 1 x dx Die Löung dieer Differentialgleichung ergibt nachtehende Dupuit-Thiemche Brunnenformel: Ergiebigkeit eine Vertikalbrunnen (Zahlenbeipiel) Zufallzahl zur Streuung der Eingabedaten im Schulbetrieb: ZZ := 0 Angaben: Mächtigkeit de Aquifer H g := ZZ 0 H g = 9.75 m Durchläigkeitkoefizient de Boden k f := ZZ 10 4 k f = m/ betrachteter Tiefen-Bereich: Brunnendurchmeer D := 0.5 r := D m

4 Schule Titel Seite 4 von 8 Geucht: Wie groß darf die Abenkung maximal ein? Bereich: := 0, 0... H g 1. Faßbare Waermenge Q f : Gewährleitung der Kontinuität de Zuflue. Ergiebigkeitgleichung nach Sichhardt Q( ) := 0 if = 0 Q f ( ) := 15 π D H g ( ) k f ( ) H g π k f ln 3000 r k f otherwie 3. Grafiche Begrenzung durch den Aquifer: Schnittpunkte der Funktionen Q(x) = Q f (x) xg := H g Q( ) = Q f ( ) x0 := 0 Unter Gewährleitung der Kontinuität it max die maximal mögliche GW-Einenkung Die Löung erbibt ich durch Iteration x max := m Q( x max ) = Q f ( x max ) = m³/ oder mit Symbol Diagramm/ Schnittpunkt au X-Y-Koordinaten ableen: Ergiebigkeit eine Vertikalbrunnen Abenkung de GW-Spiegel xg x Q( ), Q f ( ) Ergiebigkeit - fabare Waermenge

5 Schule Titel Seite 5 von 8 = Q( ) = Q f ( ) = Bemerkungen zur Löung von Q( ) = Q f ( ) Die ymboliche Löung it leider nicht möglich Q ( ) = Q f ( ) auflöen, Die numeriche Löung ergibt einen Wert, wenn 0 angenommen wird. := 1 Vorgabe lg := Q( ) = Q f ( ) uchen( ) lg = Q( lg) = Q f ( lg) = Q( lg) Q f ( lg) =

6 Schule Titel Seite 6 von 8 Die Dartellung der Kurven Start := qmin := 0 End := 4 qmax := 0.03 delta := := Start, ( Start + delta).. End Q( lg) Q( ), Q f ( ) Wenn man die Dartellung der Funktionen in dieer Art angiebt werden die Markierungen für die "y" - Ache (in dieem Fall der Wert von lg nixht angezeigt. Will man die Löung markieren, dann mu diee Dartellungform verwendet werden. Start := 0 qmin := 0 End := 10 qmax := 0.03 delta := 0.1 := Start, ( Start + delta).. End Q( ) 0.0 lg Q( lg) Q f ( )

7 Schule Titel Seite 7 von 8 Für den Mathematiker ergibt ich noch eine weiter Löung. Der Schüler ollte lernen eine Funktion auch global zu betrachten. := 0 Vorgabe lg := Q( ) = Q f ( ) uchen( ) lg = Q( lg) = Q f ( lg) = Q( lg) Q f ( lg) = Start := 0 End := 30 delta := 0.1 qmin := 0.1 qmax := 0.03 := Start, ( Start + delta).. End Q( ) Q f ( ) 0.05 lg Q( lg)

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