de Moivre-Laplace Kolloquium zur Bachelorarbeit 28. August 2013 Hochschule München Fakultät für Informatik und Mathematik

Transkript

1 vo vo Kolloquium zur Bachelorarbeit Parete Hochschule Müche Fakultät für Iformatik ud Mathematik Parete Eileitug Satz vo de Kommetar Beweis für ugerades 28. August 2013

2 Ihalt Eileitug Satz vo vo Parete Eileitug Satz vo de Kommetar Beweis für ugerades Kommetar Beweis für ugerades

3 Ihalt Eileitug Satz vo vo Parete Eileitug Satz vo de Kommetar Beweis für ugerades Kommetar Beweis für ugerades

4 Wahrscheilichkeitsfuktio: ( ) B(, p)(k) = p k (1 p) k k Erwartugswert: p Variaz: p(1 p) Gebirge für p = 1 2 : p 0.20 =16 vo Parete Eileitug Satz vo de Kommetar Beweis für ugerades k

5 Dichtefuktio: Erwartugswert µ Variaz σ f f (x) = 1 σ 1 2π e 2( x µ σ ) 2 μ=0,σ 2 =1 μ=1,σ 2 =1.5 μ=2,σ 2 =2 vo Parete Eileitug Satz vo de Kommetar Beweis für ugerades x

6 Satz vo I S biomialverteilt mit N ud 0 < p < 1 Z ormalverteilt mit µ = p ud σ 2 = p(1 p) Aussage: lim P(S < t) = F (t) mit F (t) als Verteilugsfuktio vo Z 0.4 = =16 vo Parete Eileitug Satz vo de Kommetar Beweis für ugerades

7 S biomialverteilt Z ormalverteilt Error Fehler := [Z(k) S (k)] k=0 vo Parete Eileitug Satz vo de Kommetar Beweis für ugerades

8 Ihalt Eileitug Satz vo vo Parete Eileitug Satz vo de Kommetar Beweis für ugerades Kommetar Beweis für ugerades

9 I O.B.d.A. p = 1 2 S B(, 1 2 ) E(S ) = 2, Var(S ) = 4 Z := S 2 Nachweis (Tafel) (zetriert ud kostate Variaz) vo Parete Eileitug Satz vo de Kommetar Beweis für ugerades

10 II Hoffug: Für a < b kovergiert P(a < Z < b) mit Trasformatio der Variable k: y k := k 2, y k+1,? + wichtige Eigeschaft Tafel k = 0, 1,..., vo Parete Eileitug Satz vo de Kommetar Beweis für ugerades

11 III vo = Rote Pukte: Nicht-kostate Variaz Blaue Pukte: Kostate Variaz Grud für das Zusammerücke der blaue Pukte ist die kostate Variaz Parete Eileitug Satz vo de Kommetar Beweis für ugerades

12 IV Ziel: Gewöhliche Differetialgleichug mit Gaußkurve als Lösug Verhältis vo P(S = k) ud P(S = k + 1) Tafel Beötigt: k = y k + 2 f (y k ) := P(S = k) vo Parete Eileitug Satz vo de Kommetar Beweis für ugerades

13 -.I vo Parete φ (y k ) = c e 2y 2 k as? Eileitug Satz vo de Kommetar Beweis für ugerades

14 -.II f (x) = e 2y 2 g(x) = 2y 2 f g vo Parete Eileitug Satz vo de Kommetar Beweis für ugerades

15 -.III g(x) = 2y 2 vo Parete =32 k Eileitug Satz vo de Kommetar Beweis für ugerades

16 -.IV Vom steil: Tafel 2 f (y k+1, ) = f (y k ) y k yk f (y k+1, ) f (y k ) = 2 y k yk vo Parete Eileitug Satz vo de Kommetar Beweis für ugerades

17 -.V Krylov s Idee: Neue Trasformatio x k x k = 2y k = 2k + 1 Berechug vo g (y k+1, ) g (y k ) mit euer Trasformatio Tafel Beötigt: k = 2 x k + 2 vo Parete Eileitug Satz vo de Kommetar Beweis für ugerades x k+1, = x k + 2

18 -.I Tschebyscheff-Ugleichug: Falls X Zufallsgröße, da gilt für jedes ɛ > 0 P( X E(X ) ɛ) Var(X ) ɛ 2. vo Parete Eileitug Satz vo de Kommetar Beweis für ugerades

19 -.II Fläche uter der Gaußkurve: vo Parete y k- 1, A B y k C y k+1, Eileitug Satz vo de Kommetar Beweis für ugerades

20 Ihalt Eileitug Satz vo vo Parete Eileitug Satz vo de Kommetar Beweis für ugerades Kommetar Beweis für ugerades

21 Beweis für ugerades für = 15: vo Parete p =15 Eileitug Satz vo de Kommetar Beweis für ugerades k