Simulationen mit SAS, dargestellt für die Erzeugung der Prüfgröße des David-Tests

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1 Statistik Simulatioe mit SAS, dargestellt für die Erzeugug der Prüfgröße des David-Tests Berd Jäger, Michael Wody Paul Eberhard Rudolph Uiversität Greifswald, Istitut für Biometrie ud Mediziische Iformatik Forschugsistitut für die Biologie ladwirtschaftlicher Nutztiere Walther-Ratheau-Str. 48 Wilhelm-Stahl-Allee Greifswald Dummerstorf jaeger@biometrie.ui-greifswald.de rudolph@fb-dummerstorf.de Zusammefassug Im Statistiksystem SAS stehe viele Grudfuktioe zur Erzeugug vo Pseudozufallszahle zur Verfügug. Mit ihrer Hilfe geligt es, das Ziehe vo Stichprobe zu simuliere. Parameterschätzuge ud Prüfgröße statistischer Tests sid Stichprobefuktioe. Damit ist es möglich, sich Realisieruge eier Schätzug bzw. eier Prüfgröße aus gezogee Stichprobe zu verschaffe. Mit ausreiched großem Simulatiosumfag lässt sich auf diese Art eie Häufigkeitsverteilug gewie, die der zu beschreibede Schätz- bzw. Testverteilug ahe kommt. Die Prüfgröße des David-Tests für verschiedee Stichprobeumfäge werde auf diese Weise erzeugt, ihre empirische Quatile ermittelt ud mit de Tabellewerte vergliche. Keywords: David-Test, Simulatio mit SAS, Simulatio der Testgröße, Vergleich exakte ud simulierte Testgröße 1 Eileitede Beispiele Im Techikbereich werde die Parameter der N(µ,σ²)-Verteilug aus kleie Stichprobe (2 10) oftmals icht durch die erwartugstreue Maximum-Likelihood-Schätzug m1 = xi / für µ ud die Schätzug i= 1 81

2 B. Jäger, M. Wody, P. E. Rudolph 2 s1 = ( 1 ) /( 1) xi m für σ bestimmt. Die Schätzug s 1 ist erwartugstreu ud asymptotisch der Maximum-Likelihood-Schätzug äquivalet. i= 1 Ma bestimmt Mittelwert µ ud Streuug σ häufig durch die wesetlich leichter zu berechede m 2 = ( x + x( ) )/ 2 ud s2 = ( x( ) x )/ α. Dabei bedeute x (i) der i-te Wert der der Größe ach geordete Messreihe ud α ei tabellierter Korrekturfaktor. I der Literatur heiße m 2 auch Spaweitemitte bzw. midrage ud x( ) x(1 ) Spaweite bzw. statistical rage. (2) Der David-Test, ei Eistichprobetest auf Normalverteilug, hat als Prüfgröße D = ( X ( ) X )/ S ud bemisst damit das Verhältis vo Spaweite ud Streuug. (3) Der Zusammehag des Schätzproblems 1. ud des Testproblems 2. wird durch die Gleichug für s 2 vermittelt. Wird diese ach α umgestellt, α = ( X ( ) X )/ S, erhält ma auf der rechte Seite der Gleichug die Prüfgröße des David-Tests. Die i der Literatur mitgeteilte Tabellewerte α = E D) = E X X S, d.h. der Korrekturfaktor sid daach ( ) ) 82 ( ( ) / α ist der Erwartugswert der Prüfgröße des David-Tests. 2 Theoretische Beschreibug Aus eier Grudgesamtheit mit stetiger Verteilug wird eie Stichprobe ( X 1, X 2,..., X ) vom Umfag gezoge. Diese wird aufsteiged geordet ( X ( 1) X (2)... X ( ) ). We die Zufallsgröße X i, (i=1,2,,), die Dichtefuktio f(x) ud die Verteilugsfuktio F(x) besitze, so sid die Dichtefuktioe der so geate Ordugsstatistike X (i) gegebe durch! i 1 i f X ( x) F( x) (1 F( x)) f ( x) ( i = ) ( i 1)!( i)! ud die Verteilugsfuktioe der Ordugsstatistike durch

3 Statistik r r FX i ( x) = F( x) (1 F( x)) ( ) r= i r. Die Abbilduge 1 ud 2 illustriere für eie Stichprobe vom Umfag = 7 aus eier N(0,1)-verteilte Grudgesamtheit Dichte- ud Verteilugsfuktioe der Ordugsstatistike X ( 1), X (2),..., X (7). Isbesodere besitze die Dichtefuktioe der Zufallsgröße X = MIN X, X,..., X ) ud X = MAX X, X,..., X ), die für ( 1) ( 1 2 ( ) ( 1 2 die Spaweite beötigt werde, die Darstellug 1 f ( x) = f ( x) = (1 F( x)) f ( ) ud f X x ( 1) MIN 1 ( x) = f ( x) = F( x) f ( ). X x ( ) MAX Für die Verteilugsfuktioe gelte F ( x) = F ( x) = 1 (1 F( x)) ud X ( 1) MIN F ( x) ) X = FMAX ( x) F( x. = ( ) Abb. 1: Dichtefuktioe der Ordugsstatistike X ( 1), X (2),..., X ( ) für Stichprobe des Umfags = 7 aus N(0,1)-verteilter Grudgesamtheit 83

4 B. Jäger, M. Wody, P. E. Rudolph Abb. 2: Verteilugsfuktioe der Ordugsstatistike X ( 1), X (2),..., X ( ) für Stichprobe des Umfags = 7 aus N(0,1)-verteilter Grudgesamtheit Daraus ka ma auf die Dichte ud Verteiluge vo M 2, S 2 ud D schließe, die ihrerseits Fuktioe vo X ud X () sid. Für die Spaweite W = X () - X erhält ma ach Balakrisha ud Cohe (1991) die Dichte g( w) 2 = ( 1) ( F( x + w) F( x)) f ( x) f ( x + w) dx ud die Verteilug G( w) 1 = ( F( x + w) F( x)) f ( x) dx, i beide Fälle für 0 w. Diese Formel erlaube i spezielle Fälle weitere Vereifachuge. Im betrachtete Beispiel hadelte es sich um 84

5 Statistik die Normalverteilug N(0,1), bei der bereits die Verteilugsfuktio F(x) ur durch umerische Itegratio zu erhalte ist, ud ma ist leider auf Näherugsverfahre der Itegratio agewiese. Mit dem eifachste Summatiosverfahre (SAS-Programm im Ahag) sid Dichte- ud Verteilugsfuktio bestimmt ud i de Abbilduge 3 ud 4 dargestellt. Abb. 3: Dichte der Spaweite aus Stichprobe vom Umfag = 10 aus eier Stadardormalverteilug Darüber hiaus ist für die Berechug des Erwartugswertes α = E( D) = E( X ( ) X )/ S ) = E( W / S) die Dichte des Quotiete der Zufallsgröße W ud S zu bestimme, eie weitere Schwierigkeit bei der Kalkulatio. Auf die vollstädige Herleitug der Dichte ud Verteilug der David-Prüfgröße soll hier verzichtet werde mit dem Hiweis auf die Origialarbeit vo David u. a. (1954). 85

6 B. Jäger, M. Wody, P. E. Rudolph Abb. 4: Verteilug der Spaweite aus Stichprobe vom Umfag = 10 aus eier Stadardormalverteilug 3 Das Simulatiosexperimet Das Simulatiosexperimet läuft ach folgedem Schema ab: Gebe die Parameter der Normalverteilug µ ud σ vor (o.b.d.a. seie µ = 0 ud σ = 1). (2) Ziehe eie Stichprobe vom Umfag vo N(0,1)-verteilte Zufallszahle mittels der SAS-Fuktio NORMAL(x). Für de Fall µ 0 ud σ 1 liefert die Trasformatio µ + σ NORMAL(x) Zufallszahle, die N(µ, σ²)-verteilt sid. (3) Bereche daraus Realisieruge der Zufallsgröße M = MEAN X, X,..., X ), X = MIN X, X,..., X ), 86 1 ( 1 2 ( ) MAX ( X 1, X 2,..., X STD( X 1, X 2,..., X ) ( 1) ( 1 2 X = ), W = X ( ) X, S = ud D = ( X X )/ S. ( ) (4) Wiederhole die Schritte bis (3) hireiched oft. Der Simulatiosumfag ka so bestimmt werde, dass die Geauigkeitsforderug bezüglich

7 Statistik der Differez zwische empirischer Häufigkeitsverteilug ud Verteilug mit hoher Wahrscheilichkeit eigehalte wird. Das liefert der Satz vo Kolmogorov ud Smirov. Es wurde ei Simulatiosumfag vo = festgelegt. Die Wahrscheilichkeit ist 0.05, dass das Supremum der absolute Differez der exakte Verteilug ud der empirische Verteilug uterhalb liegt. 37 Der data step des Simulatiosprogramms ist im Ahag 2 zu fide. 4 Ergebisse Die Schätzug M 1 ist erwartugstreu ud hat die Miimalvariaz ach der Rao-Cramer-Ugleichug. Sie ist als Maximum-Likelihood-Schätzug (asymptotisch) ormalverteilt. Da im Simulatiosexperimet die Stichprobe vom Umfag = 10 aus eier Stadardormalverteilug stammte, hat die Zufallsgröße Mittelwert M 1 folglich eie Normalverteilug N(µ,σ 2 /) = N(0,0.1) = N(0, ). Die erwartete (asymptotische) Normaldichte ist i der Abbildug 5 markiert. Die Zufallsgröße M 2 hat demgegeüber eie deutlich größere Variaz (siehe Abbildug 6). Die gleiche Miimaleigeschafte sieht ma i Abbildug 7 bei de Schätzuge der Stadardabweichuge. Maximum-Likelihood-Schätzuge habe asymptotisch stets die Miimalvariaz ach der Rao-Cramer-Ugleichug. Über die Verteilug vo S 1 weiß ma darüber hiaus, dass S 1 2 Chi²-verteilt mit dem Freiheitsgrad ist. 38 Abbildug 9 gibt diese simulierte Chi²-Verteilug wieder. 37 We S (x) die empirische Verteilugsfuktio, ermittelt aus eier Stichprobe vom Umfag, ud F(x) die uterliegede exakte Verteilug bezeichet, so gilt für die Prüfgröße D = sup F ( x) S ( x) < x < + des Kolmogorov-Smirov-Testes, dass sie wie folgt verteilt ist λ 2 2 lim ( ) lim ( ) k Q λ = P = = ( 1) exp ( 2 ). D < Q λ k λ k = 38 Selbstverstädlich kovergiert die Schätzug S 1 ebefalls asymptotisch gege eie Normalverteilug. We die Stichprobe aus eier N(µ,σ²)- Verteilug stammt, ist S 1 ach N(µ,σ 2 mi ) verteilt, wobei, σ 2 mi =1/( I) mit I als so geater Fisher-Iformatio. 87

8 B. Jäger, M. Wody, P. E. Rudolph Abb. 5: Simulierte Größe M 1 88 Abb. 6: Simulierte Größe M 2

9 Statistik Abb. 7: Simulierte Größe S 1 S 2 = X X / α Abb. 8: Simulierte Größe ( ( ) ) 89

10 B. Jäger, M. Wody, P. E. Rudolph Abb. 9: Zufallsgröße S 1 2 ist Chi²-verteilt mit dem Freiheitsgrad =10 Abb. 10: Simulierte Hf-verteilug (Stere) u. exakte Dichte (Liie) der Spaweite bei Stichprobeumfag = 10 aus N(0,1)-vert. Grudgesamtheit 90

11 Statistik Die Abbildug 10 stellt die Ergebisse der Simulatio i Bezug auf die Spaweite dar. Ma vergleiche diese Häufigkeitsverteilug mit der zugehörige exakte Dichte der Spaweite i Abbildug 3. Mit der PROC UNIVARIATE lasse sich die Quatile der simulierte David-Testgröße ermittel. Diese stimme sehr gut mit de i der Literatur mitgeteilte exakt berechete Quatile überei. Programmtechisch wurde das Simulatiosprogramm ud die PROC UNIVARIATE i ei Macro eigebaut. Eigabevariable ist der Stichprobeumfag ud Ausgabevariable der Vektor der Quatile. Tabelle 1 gibt i Abhägigkeit vom Stichprobeumfag die empirische Q 0.005, Q 0.01, Q 0.025, Q 0.05, Q 0.10, Q 0.90, Q 0.95, Q 0.975, Q 0.99 ud Q a. Die exakte Quatile aus der Literatur sid dabei de simulierte gegeübergestellt. Abweichuge trete i weige Fälle a der zweite Dezimalstelle auf, die Regel sid Abweichuge a der dritte Dezimalstelle. Die Vorgehesweise bei der Berechug der Tabellewerte ach David u.a. (1954) wurde referiert vo M.P. Geppert im Zetralblatt für Mathematik, vol.56, p.366 wie folgt: Zu dem Zwecke werde aus de bekate Momete vo W (Spaweite) ud S (Streuug) diejeige vo D exakt berechet ud Pearso-Kurve, dere erste vier Momete mit dejeige vo D übereistimme, zur Approximatio der ubekate exakte Verteilug vo D beutzt. Bei Dichte aus dem Pearso-System besteht eie eieideutige Beziehug zwische de Koeffiziete der beschreibede Differetialgleichug ud de erste vier Momete. Ab füfte Momet aufwärts sid die Verteiluge vo D ud ihrer Pearso-Approximatio i der Regel differet. Deshalb ist die Bezeichug exakte Quatile i der Literatur vermesse. Die exakte Quatile sid icht die vo D, soder die der zugehörige Pearso- Verteilug. Bedekt ma darüber hiaus, dass der Fehler zwische der simulierte ud der exakte David-Verteilug mittels des Satzes vo Kolmogorov ud Smirov quatifiziert ud durch Vergrößer des Simulatiosumfags beliebig verkleiert werde ka, sollte ma die Simulatiosmethode favorisiere, weil im Gegesatz zur klassische Vorgehesweise ihre Approximatio kalkulierbar ist. 91

12 B. Jäger, M. Wody, P. E. Rudolph Tabelle 1: Exakte ud simulierte Quatile des David-Tests für Stichprobeumfäge = 3 bis 20, 25, 30, 35, 40 ud 50 Stich- Quatile Q probeumfag simuliert simuliert simuliert simuliert simuliert simuliert simuliert simuliert simuliert simuliert simuliert simuliert

13 Statistik Stich- Quatile Q probeumfag simuliert simuliert simuliert simuliert simuliert simuliert simuliert simuliert simuliert simuliert simuliert

14 B. Jäger, M. Wody, P. E. Rudolph Literatur [1] Balakrisha, N., Cohe, A. C. (1991). Order Statistics ad iferece, Academic Press,Ic., Sa Diego [2] David, H. A., Hartley, H. O., Pearso, E. S. (1954). The distributio of the ratio i a sigle ormal sample of rage to stadard deviatio. Biometrika 41, [3] Efro, B., Tibshirai, R.J. (1993). A itroductio to the bootstrap, Chapma & Hall, Ic., New York, Lodo, [4] Fisz, M.: Wahrscheilichkeitsrechug ud mathematische Statistik, Dt. Verl. d. Wiss., Berli,1989 [5] Pearso, E. S., Stephes, M. A. (1964). The ratio of rage to stadard deviatio i the same ormal sample. Biometrika 51, [6] SAS Istitute Ic. (1989), SAS/STAT User s Guide, Versio 6, Fourth Editio, Volume 1, Cary, NC: SAS Istitute Ic. [7] Ahag Ahag 1: Programm zur Berechug vo Dichte ud Verteilug der Ordugsstatistike /* Dichtefuktioe ud Verteilugsfuktioe der Ordugsstatistike vo Normalverteiluge Balakrisha, N. ud Cohe, A.C.: Order statistics ad iferece, Academic Press,Ic. Bosto (1990) */ data balakrisha; =7; /* Stichprobeumfag */ Pi= ; do x=-4 to 4 by 0.05; /* Defiitiosbereich */ do r=1 to ; fr=gamma(+1)/(gamma(r)*gamma(-r+1)) *Proborm(x)**(r-1)*(1-Proborm(x))**(-r) 94

15 Statistik *1/SQRT(2*Pi)*EXP(-x**2/2); /* Dichte */ gr=0; do rr=r to ; gr=gr+gamma(+1)/(gamma(rr+1)*gamma(-rr+1)) *Proborm(x)**rr*(1-Proborm(x))**(-rr); ed; /* Verteilugsfuktioe */ output; ed; ed; ru; Ahag 2: data-step für die Simulatio data simul; my=0; sigma=1; =10; do i=1 to 10000; x1=my+sigma*normal(-1); x2=my+sigma*normal(-1); x3=my+sigma*normal(-1); x4=my+sigma*normal(-1); x5=my+sigma*normal(-1); x6=my+sigma*normal(-1); x7=my+sigma*normal(-1); x8=my+sigma*normal(-1); x9=my+sigma*normal(-1); x10=my+sigma*normal(-1); Ma=MAX(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10);/* Maximum */ Mi=MIN(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10);/* Miimum */ m1=mean(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10); /* MLH-Schätzug für my */ m2=(ma+mi)/2; /* alterative Schätzug für my */ S1=STD(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10); /* s1 MLH-Schätzug für sigma, */ s2=(ma-mi)/3.077;/* alterative Schätzug für sigma */ chi=*s1**2; /* *s1**2 ist CHI²-verteilt, df=*/ d=(ma-mi)/s1; /* Prüfgröße des David-Tests */ Spaweite=Ma-Mi;/* Schätzug der Spaweite */ output; ed; ru; 95

16 B. Jäger, M. Wody, P. E. Rudolph Ahag 3: Berechug vo Dichte ud Verteilug der Spaweite /* Berechug der Dichte- ud der Verteilugsfuktio der Stichprobespaweite aus N(0,1)-Verteilug */ data rage; keep w g f; pi= ; =10; /* Stichprobeumfag */ F=0; sw1=0.005; /*Schrittweite bei der Spaweite */ sw2=0.005; /*Schrittweite bei umer.itegratio*/ do w=0 to 12 by sw1; /* Spaweite wird als vo 0 bis 10 variiered ageomme */ itegral=0; do x=-20 to 20 by sw2;/* Stützstelle Itegratio*/ y1=1/sqrt(2*pi)*exp(-x**2/2); y2=1/sqrt(2*pi)*exp(-(x+w)**2/2); y3=(probnorm(x+w)-probnorm(x))**(-2); z=y1*y2*y3; itegral=itegral+z*sw2; /* Berechug des Itegrals durch Streifesummatio */ ed; g=*(-1)*itegral; F=F+g*sw1; output;ed; ru; 96