Grundoperationen der Verfahrenstechnik. Berechnung idealer Reaktoren II

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1 Grundoperationen der Verfahrenstechnik 9. Übung, WS 2016/2017 Betreuer: Maik Tepper M.Sc., Morten Logemann M.Sc., Johannes Lohaus M.Sc., Jan-Bernd Vennekötter M.Sc., Berechnung idealer Reaktoren II Eine Anlage zur Herstellung eines Produktes P wird entsprechend der steigenden Nachfrage im Laufe der Zeit vergrößert. Die Qualität des Eduktes (Einsatzmaterial) A und des Produktes soll immer gleich bleiben. Art und Anordnung der einzelnen Ausbaustufen sind der nachfolgenden Tabelle zu entnehmen. Ausbau- Durchsatz Schematische Darstellung Definition stufe V [m 3 /s] der einzelnen Stufen Reaktoren c Aα c Pα 1 0,1 V R1 (RKK) c Aω c Pω c Aα c Pα V R2 = V R1 + V R 2 0,2 V R1 aus Ausbaustufe 1 V R1 c * A V * R Kaskade N = 2 c * P c Aω c Pω 3 1,0 c Aα c Pα V R3 c Aω c Pω V R3 (SRK)

2 Folgende reversible Reaktion soll betrachtet werden: A k 1 k 2 P a) Bestimmen Sie V R1 in Ausbaustufe 1. b) Bestimmen Sie VR und V R2 in Ausbaustufe 2. c) Bestimmen Sie V R3 in Ausbaustufe 3. d) Vergleichen Sie die volumenspezifischen Leistungen L der drei Reaktionsanlagen definiert als ṅ p /V R! Welche Anlage ist am besten? e) Wie stellt sich der Leistungsvergleich zwischen den drei Varianten im ( 1/R j, ζ j ) - Diagramm dar? Angaben und Vereinfachungen: - Konzentrationen am Zulauf: c Aα = 6 kmol/m 3 c P α = 1,2 kmol/m 3 - Endkonzentration Komp. A: c Aω = 1,2 kmol/m 3 - Geschwindigkeitskonstanten: k 1 = 0,35 s 1 k 2 = 0,05 s 1 - Die Hin- und Rückreaktionen seien erster Ordnung - Die Reaktoren arbeiten stationär - Die Reaktion verlaufe isobar, isochor und isotherm Hinweise: dx a x + b = 1 a ln(a x + b) 2

3 Musterlösung a) A Bestimmung des Reaktorvolumens V R1 Ges.: V R1 Geg.: c Aα V 1α c P α c Aω k 1 k 2 V 1ω isobar, isotherm, isochor stationär Reaktion 1. Ordnung Skizze: c Aα. V 1α c Pα c A, c p V R1. V 1ω c Aω c Pω Berechnung: Aufstellen der Stoffbilanz: Die allg. Stoffbilanz lautet: zeitl. Änderung der Bilanzgröße = Ein - Aus + Quelle Für den vorliegenden Fall gilt: dn A dt = ṅ A,α ṅ A,ω + ṅ A,Reaktion (1) Dabei n A beschreibt die Molmenge der Komponente A im Bilanzraum, also im Reaktor. Beschreibung über die Konzentration: 3

4 Wegen n = c V folgt für die Stoffbilanz: d dt (V R1c A ) = V R1 dc A V R1 =const. dt = V α c Aα V 1ω c Aω + V R1 (2) Dabei ist die Reaktionsgeschwindigkeit in kmol, mit der A im Reaktor umgesetzt wird. m3 s Stationarität des RKK und Volumenbeständigkeit der Reaktion: dc A = 0 dt (3) V 1α = V 1ω V 1 (4) Reaktionskinetik zur Bestimmung der unbekannten Reaktionsgeschwindigkeit : = k 1 c A + k 2 c P (5) Ideal durchmischter RKK: Zusammensetzung im Kessel und am Austritt ist gleich: c A = c Aω, c P = c P ω (6) Das Einsetzen von Gl. 3, Gl. 4, Gl. 5 und Gl. 6 in Gl. 2 für die Stoffbilanz: 0 = V 1 (c Aα c Aω ) + V R1 ( k 1 c Aω + k 2 c P ω ) (7) Bestimmung von c P ω über die Reaktionslaufzahl λ: Bevor V R1 ermittelt werden kann, ist c P ω zu bestimmen. Da c P α sowie c Aα und c Aω bekannt sind, liegt c P ω über die Stöchiometrie fest. Diese wird mit Hilfe der Reaktionslaufzahl λ eingeführt. Da die Reaktion volumenbeständig abläuft, können Konzentrationseinheiten verwendet werden. λ = c A,ω c A,α = c P,ω c P,α ν P (8) Auflösen der Gl. 8 nach c P ω führt zu: Einsetzen in die Gl. 7: Auflösen nach V R1 : c P ω = c P α + ν P (c Aω c Aα ) = 6 kmol m 3 (9) 0 = V 1 (c Aα c Aω ) + V R1 ( k 1 c Aω + k 2 (c P α + ν P (c Aω c Aα ))) (10) V R1 = V 1 (c Aα c Aω ) k 1 c Aω k 2 (c P α + ν P (c Aω c Aα )) = 4 m3 (11) 4

5 b) Nun soll durch Nachschalten eines zweiten Reaktors der doppelte Durchsatz erzielt werden. Ges.: V R Geg.: c Aα V 2 V R2 c P c A c P α c Aω k 1 k 2 V R1 isobar, isotherm, isochor stationär Reaktion 1. Ordnung Skizze: c. Aα V 2 c Pα V R1 V R* c Aω c A* c P* c Pω Berechnung: Die Gl. 10 aus Teil a) kann mit veränderten Indizes für beide Reaktoren übernommen werden. Daraus folgt für R1: 0 = V 2 (c Aα c A) + V R1 ( k 1 c A + k 2 (c P α + ν P (c A c Aα ))) (12) für R*: Bestimmung von c A : 0 = V 2 (c A c Aω ) + V R( k 1 c Aω + k 2 (c P + ν P (c Aω c A))) (13) Neben V R sind c A und c P unbekannt. c A erhält man durch Auflösen der Gl. 12: c A = V 2 c Aα + V R1 k 2 (c P α ν P c Aα ) ( V = 1,467 kmol 2 + k 1 V R1 V R1 k 2 νp ) m 3 (14) Bestimmung von c P : 5

6 Zur Ermittlung von V R2 muss c P berechnet werden. Die Stöchiometrie legt c P über die Reaktionslaufzahl fest: Daraus folgt: λ = c A c Aα Bestimmung von V R durch das Einsetzen c P = c P c P α ν P (15) c P = c P α + ν P (c A c Aα ) = 5,733 kmol m 3 (16) in die Gl. 13: V R = V 2 (c A c Aω) k 1 c Aω k 2 (c P + ν P (c Aω c A )) = 0,445 m3 (17) Gesamtvolumen der Reaktoren: V R2 = V R1 + V R = 4,445 m 3 (18) c) Nun soll der Durchsatz V in einer neu konzipierten Anlage verzehnfacht werden. Es wird ein Rohrreaktor verwendet. Welches Volumen muss der Rohrreaktor (Strömungsrohr, kontinuierlich = SRK ) haben? Ges.: V R3 Geg.: c Aα V 3 c P α c Aω k 1 k 2 V R1 isobar, isotherm, isochor stationär Reaktion 1. Ordnung Skizze: z z+dz. c Aα V c 3 Aω c Pα c Pω c A (z) z z+dz c A (z+dz) dz dz Berechnung: Die Bilanzierung setzt sich aus den drei Schritten zusammen: 1. Festlegung der Bilanzgröße: Stoffmenge 2. Festlegung der Bilanztyp/-hülle: Im Gegensatz zum RKK ändert sich die Größe der Stoffbilanz im SRK stetig über die Länge des Reaktors. Daher muss die Bilanz in dieser Richtung differenziell gewählt werden. Die Bilanzhülle ist folglich eine in axialer Richtung infinitesimal kurze Scheibe des Reaktors. 6

7 3. Formulierung der Stoffbilanz: dn A dt = ṅ A (z) ṅ A (z + dz) + dṅ A,Reaktion (z) (19) Dabei ist dn A die Stoffmenge der Komponente A im differenziell kurzen Bilanzraum. Einführen der Konzentration (n = c V ) und Volumenbeständigkeit der Reaktion ( V 3 (z) = V 3 (z + dz) V ): d dt (V c A(z)) = V 3 (c A (z) c A (z + dz)) + dv (z) (20) Stationarität des SRK (d/dt = 0) und Anwendung der Taylorreihenentwicklung auf der rechten Seite: Mit dv = A dz sowie der Reaktionskinetik folgt: 0 = V 3 c A z dz + dv (z) (21) 0 = V 3 c A z dz + A dz ( k 1 c A (z) + k 2 c P (z)) (22) Bestimmung von c P (z) mit Hilfe der Reaktionslaufzahl: λ = c A(z) c Aα = c P (z) c P α ν P (23) c P (z) = c P α + ν P (c A (z) c Aα ) (24) Einsetzen der Gl. 24 in Gl. 22: V 3 c A z dz = A( k 1 c A (z) + k 2 (c P α + ν P (c A (z) c Aα ))) dz (25) Trennung der Variablen und Integration über den gesamten Reaktor (dabei gilt A L = V R3 ): c Aω c Aα dc A c A ( k 1 + k 2 νp ) + k 2 (c P α ν P c Aα ) = L 0 A V 3 dz (26) Hinweis aus der Aufgabenstellung: dx a x + b = 1 a ln(a x + b) (27) 1 ln( c ν Aω( k 1 + k 2 P ) + k 2 (c P α ν P c Aα ) k 1 + k 2 νp c Aα ( k 1 + k 2 νp ) + k 2 (c P α ν P c Aα ) ) = V R3 (28) V 3 Einsetzen der Zahlenwerte ergibt: V R3 = 7,083 m 3 7

8 d) Vergleich der volumenspezifischen Leistung Ges.: L vom RKK Geg.: V der einzelnen Reaktoren L von 2 RKK V R der einzelnen Reaktoren L vom SRK c P α c P ω Berechnung: L = ṅ V R = V (c P,ω c P,α ) V R (29) RKK : L = 0,12 kmol/(m 3 s) (30) 2 RKK : L = 0,216 kmol/(m 3 s) (31) SRK : L = 0,678 kmol/(m 3 s) (32) e) Wozu nutzt uns die Darstellung einer Reaktion im ( 1, ζ A )-Diagramm? Dazu hier eine kurze Überlegung: Zunächst soll das Diagramm gezeichnet werden: ( 1, ζ A )- Diagramm: = k 1 c A + k 2 c P (33) c A folgt über den Umsatzgrad ζ A (bei volumenbeständiger Reaktion): c A = c Aα (1 ζ A ) (34) c P folgt aus der Definition der Reaktionslaufzahlen: c A c Aα = c P c P α ν P (35) c P = c P α + ν P (c A c Aα ) (36) = c P α + ν P (c Aα (1 ζ A ) c Aα ) (37) = c P α ν P (c Aα ζ A ) (38) Einsetzen in die Gl. 33 liefert: = k 1 c Aα (1 ζ A ) + k 2 (c P α ν P c Aα ζ A ) (39) 8

9 Damit kann nach Invertierung der obigen Gleichung und Umkehrung des Vorzeichens der vorliegende Fall im ( 1, ζ A )-Diagramm gezeichnet werden (siehe Abb.). Nun soll gezeigt werden, dass in diesem Diagramm die Reaktionsvolumina abzulesen sind. Zunächst wird der RKK betrachtet. Die Stoffbilanz aus Teil a) lautete: 0 = V (c Aα c A ) + V R1 (40) Mit Gl. 34 und der Umstellung nach V R1 folgt: V R1 = 1 ζ A V c Aα (41) Damit ist das Volumen eines RKK proportional zu der Fläche eines Rechteckes zwischen dem Ursprung und dem Betriebspunkt in einem ( 1, ζ A )-Diagramm. Analog ist das Volumen einer Kaskade von zwei Rührkesseln proportional zu der Fläche, die sich aus den Rechtecken des jeweilgen Betriebspunktes der einzelnen Kessel ergibt. Und nun für den SRK: Analog lässt sich die differenzielle Stoffbilanz des SRK umformen: 0 = V c A z dz + A (z) dz (42) Mit c A = c Aα (1 ζ A ) folgt: Einsetzen in die Stoffbilanz liefert: c A z = c Aα ζ A z (43) Auflösen nach A dz und Integrieren lieferen: 0 = V c Aα ζ A z dz + A (z) dz (44) L 0 A dz = V R3 = ω α V c Aα dζ A (45) Damit ist beim SRK das Volumen des Reaktors proportional zur Fläche unter der Kurve 1 über ζ A. Für beiden Reaktortypen ist der Proportionalitätsfaktor identisch: V caα Fazit: Im ( 1, ζ A )-Diagramm lassen sich die Größe von SRK und RKK graphisch vergleichen. Man erkennt, dass in diesem Fall die Verwendung eines SRK die kompakteste und somit voraussichtlich kostengünstigste Ausführung ermöglicht. Für die Verschaltung mehrerer RKK (Rührkesselkaskade) ist das benötigte Reaktorvolumen proportional zu der Summe der Flächen der entsprechenden Rechtecke. Man erkennt, dass der SRK dem Grenzfall der Kaskade aus unendlich vielen RKKs entspricht. 9

10 Abhängigkeit zwischen Reaktionsgeschwindigkeit, Umsatzgrad und Reaktorvolumen 10 negative inverse Reaktionsgeschw. -1/ [m 3. s/kmol] RKK Umsatzgrad ζ A [-] Abhängigkeit zwischen Reaktionsgeschwindigkeit, Umsatzgrad und Reaktorvolumen 10 negative inverse Reaktionsgeschw. -1/ [m 3. s/kmol] RKK RKK-Kaskade Umsatzgrad ζ A [-] Abhängigkeit zwischen Reaktionsgeschwindigkeit, Umsatzgrad und Reaktorvolumen 10 negative inverse Reaktionsgeschw. -1/ [m 3. s/kmol] RKK RKK-Kaskade SRK Umsatzgrad ζ A [-] 10