Prof. Dr. Christoph Karg Hochschule Aalen. Klausur zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Wintersemester 2016/2017

Transkript

1 Prof. Dr. Christoph Karg Hochschule Aalen Klausur zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Wintersemester 2016/2017 Name: Unterschrift: Klausurergebnis Aufgabe 1 (10 Punkte) Aufgabe 3 (10 Punkte) Aufgabe 5 (15 Punkte) Aufgabe 7 (15 Punkte) Gesamt (100 Punkte) Aufgabe 2 (10 Punkte) Aufgabe 4 (15 Punkte) Aufgabe 6 (15 Punkte) Aufgabe 8 (10 Punkte) Note Bearbeitungshinweise: Die Bearbeitungsdauer der Klausur beträgt 120 Minuten. Überprüfen Sie bitte sofort nach Erhalt die Vollständigkeit der Unterlagen (18 Seiten). Bitte lassen Sie die Klausur zusammengeheftet. Schreiben Sie bitte auf jedes Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer. Falls notwendig, dann benutzen Sie die Rückseite des jeweiligen Aufgabenblatts für Notizen und Entwürfe. Geben Sie bei Ihren Berechnungen Zwischenschritte und die benutzten Formeln an. Geben Sie alle Ergebnisse auf 6 Stellen hinter dem Komma gerundet an. Viel Erfolg! Klausur: Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik (HS Aalen), Seite 1 von 18

2 Aufgabe 1. (10 Punkte) Die Aalener Filiale der Random Sandwich Factory hat ein interessantes Angebot im Programm: den Zufallswecken für Studis (kurz: ZWS). Ein ZWS besteht aus einem Brötchen, einem Belag und ein wenig Grünzeug. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Brötchen eine Vollkornsemmel ist, liegt bei 30%. Anderenfalls wird eine Kümmelseele verkauft. Der Belag ist mit 50%-iger Wahrscheinlichkeit Schinken, mit 35%-iger Wahrscheinlichkeit Käse und mit 15%-iger Wahrscheinlichkeit ein leckeres Schnitzel. Die Chance, zwei Scheiben Tomaten als Grünzeug zu bekommen, liegt bei 40%.. Ansonsten wird der ZWS mit drei Gurkenscheibchen garniert. Der Student Theodor Feinschmecker ist ein ausgesprochener Liebhaber von Schnitzelwecken. Bevor er einen ZWS bestellt, will er wissen, wie seine Chancen stehen, ein Schnitzel als Belag zu erhalten. Leider hat Theodor keine Ahnung, wie er die Berechnung durchführen soll. a) Helfen Sie Theodor, indem Sie einen Entscheidungsbaum für das obige Zufallsexperiment erstellen. Klausur: Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik (HS Aalen), Seite 2 von 18

3 b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Theodor als ZWS einen mit einem Schnitzel und Tomaten belegten Vollkornsemmel erhält? c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird ein ZWS mit Käse aber ohne Gurken geliefert? Klausur: Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik (HS Aalen), Seite 3 von 18

4 Aufgabe 2. (10 Punkte) Gegeben ist die stetige Zufallsvariable X, die gleichverteilt über dem Intervall [2.5; 4.5] ist. a) Geben Sie die Dichtefunktion von X an. b) Geben Sie die Verteilungsfunktion von X an. Klausur: Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik (HS Aalen), Seite 4 von 18

5 Aufgabe 3. (10 Punkte) Gegeben ist die normalverteilte Zufallsvariable X mit dem Erwartungswert µ = 10 und der Varianz σ 2 = 25. Berechnen Sie die folgende Wahrscheinlichkeit: P r [ 8 X 15 ]. Nutzen Sie zur Berechnung die Wertetabelle der Standardnormalverteilung. Klausur: Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik (HS Aalen), Seite 5 von 18

6 Aufgabe 4. (15 Punkte) Gärtner Grünerdaumen hat im Internet 100 Samen des leckeren und bei seinen Kunden sehr begehrten Weißen Prachtrettichs gekauft. Laut Hersteller ist die Chance, dass ein Samen keimt und einer der köstlichen Rettiche heranwächst bei 73.5%. Die Samen keimen unabhängig von einander. Die Zufallsvariable X steht für die Anzahl der Rettiche, die Gärtner Grünerdaumen erntet. Es wird angenommen, dass X binomialverteilt ist. a) Wie lautet die Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit P r [ X = k ]? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erntet Gärtner Grünerdaumen X = 70 Rettiche? Klausur: Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik (HS Aalen), Seite 6 von 18

7 c) Berechnen Sie den Erwartungswert von X. d) Berechnen Sie die Varianz von X. Klausur: Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik (HS Aalen), Seite 7 von 18

8 e) Berechnen Sie näherungsweise die Wahrscheinlichkeit, dass X 80 Rettiche heranwachsen, indem sie die Binomialverteilung geeignet approximieren. Klausur: Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik (HS Aalen), Seite 8 von 18

9 Aufgabe 5. (15 Punkte) Das Königreich von König Kasimir dem Schnäuzbärtigen liegt abgeschieden hinter den sieben Bergen weit weg von den sieben Zwergen. König Kasimir schätzt die Ruhe und Abgeschiedenheit seines Königreichs, aber ab und zu will er doch die Neuigkeiten aus der großen weiten Welt erfahren. Aus diesem Grund hat er ein Abonnement des Wochenblatts für Könige und andere Adelige blauen Bluts bestellt. Das Abonnement wird per Kurier an das Schloss von König Kasimir geliefert. Der Transport durchläuft drei Abschnitte. Die Transportdauer eines jeden Abschnitts wird in Stunden gemessen und ist normalverteilt mit folgenden Parametern: Abschnitt Erwartungswert Varianz Die Transportdauer eines Abschnitts ist unabhängig von den anderen. a) Berechnen Sie den Erwartungswert der Gesamtdauer der Zustellung des Wochenblatts. Klausur: Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik (HS Aalen), Seite 9 von 18

10 b) Wie hoch ist die Standardabweichung der Gesamtdauer der Zustellung des Wochenblatts? c) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Dauer der Zustellung um mindestens 20% von der mittleren Lieferzeit abweicht, im schlimmsten Fall? Klausur: Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik (HS Aalen), Seite 10 von 18

11 Aufgabe 6. (15 Punkte) Ein Spamfilter teilt s in die Kategorien Spam und Ham ein. Erfahrungsgemäß sind 85% der s Spam-Mails. Spam-Mails enthalten mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% das Wort Pille. In einer Ham-Mail kommt das Wort Pille mit einer Wahrscheinlichkeit von 15% vor. Für eine gegebene werden folgende Ereignisse untersucht: S Die ist Spam. H Die ist Ham. P Die enthält das Wort Pille. N Die enthält nicht das Wort Pille. a) Ein Nutzer erhält eine . Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist es eine Spam-Mail, die das Wort Pille enthält? Klausur: Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik (HS Aalen), Seite 11 von 18

12 b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte das Wort Pille enthält. Klausur: Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik (HS Aalen), Seite 12 von 18

13 c) Ein Nutzer erhält eine , die das Wort Pille enthält. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist dise eine Spam-Mail? Klausur: Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik (HS Aalen), Seite 13 von 18

14 Aufgabe 7. (15 Punkte) Alice und Bob studieren an der Hochschule Aalen Informatik und leben in einer gemeinsamen Wohnung. Da weder Alice noch Bob gerne Geschirr spülen, spielen sie regelmäßig Stein-Papier-Schere, um diese Aufgabe zu verteilen. Alice und Bob wählen gleichzeitig eines der drei Symbole Stein, Papier und Schere. Der Gewinner wird anhand der folgenden Regeln ermittelt: Stein schlägt Schere. Schere schlägt Papier. Papier schlägt Stein. Der Verlierer muss sich um den Abwasch kümmern. Wenn beide das selbe Symbol auswählen, endet das Spiel unentschieden und das Geschirrspülen wird um einen Tag vertagt. Alice wählt mit einer Wahrscheinlichkeit von 35% Stein, mit 25% Papier und mit 40% Schere. Bob wählt mit einer Wahrscheinlichkeit von 25% Stein, mit 30% Papier und mit 45% Schere. a) Modellieren Sie das Spiel als diskreten Wahrscheinlichkeitsraum. Benutzen Sie hierzu folgende Abkürzungen: s = Schere, p = Papier, r = Stein. Hinweis: Nutzen Sie die nächste Seite zum Schreiben, wenn der Platz nicht ausreicht. Klausur: Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik (HS Aalen), Seite 14 von 18

15 Klausur: Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik (HS Aalen), Seite 15 von 18

16 b) Geben Sie die Ereignisse Alice gewinnt, Bob gewinnt und Unentschieden an und berechnen Sie die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten. Klausur: Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik (HS Aalen), Seite 16 von 18

17 c) Angenommen, Bob wählt Schere aus. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt dann Alice? d) Nachdem seit drei Tagen das Spiel mit Unentschieden geendet hat und sich das Geschirr in der Küche stapelt, beschließen Alice und Bob, das Spiel solange zu wiederholen, bis ein Sieger feststeht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden das Spiel viermal wiederholen müssen, bis die Arbeitsteilung geklärt ist? Klausur: Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik (HS Aalen), Seite 17 von 18

18 Aufgabe 8. (10 Punkte) Gegeben sind die diskreten Zufallsvariablen X und Y, wobei X Bin(50, 0.2) und Y Geo(0.7). Die Zufallsvariable Z ist definiert als Z = 3 X + 8 Y. Berechnen Sie Exp[Z]. Klausur: Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik (HS Aalen), Seite 18 von 18