Mehrdimensionale Zufallsvariablen

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1 Mehrdimensionale Zufallsvariablen 3 Inhaltsverzeichnis 3. Problemstellung Univariate Zufallsvariablen Zufallsmatrizen und Zufallsvektoren Multivariate Normalverteilung Problemstellung In Ka. 2 haben wir einfache Verfahren zur Darstellung hochdimensionaler Datensätze kennengelernt. Bei diesen Datensätzen handelt es sich in der Regel um Stichroben aus Poulationen, wie sie bei Kauermann & Küchenhoff (2) detailliert beschrieben werden. Poulationen werden auch Grundgesamtheiten genannt. Um Schlüsse von einer Stichrobe über die zugrunde liegenden Poulationen ziehen zu können, muss man Annahmen über die Merkmale machen. Hierzu benötigen wir das Konzet der Zufallsvariablen. Wir werden in diesem Kaitel zunächst univariate Zufallsvariablen betrachten. Anschließend werden wir die wesentlichen Eigenschaften von mehrdimensionalen Zufallsvariablen herleiten, die wir im weiteren Verlauf des Buches immer wieder benötigen werden. 3.2 Univariate Zufallsvariablen Beisiel 8 In Beisiel 2 wurden die 2 Studenten unter anderem danach befragt, ob sie den Leistungskurs Mathematik besucht haben. Kodiert man j mit und n mit, so erhält man folgende Daten. Sringer-Verlag GmbH Deutschland 27 A. Handl, T. Kuhlenkaser, Multivariate Analysemethoden, Statistik und ihre Anwendungen, DOI.7/ _3 7

2 72 3 Mehrdimensionale Zufallsvariablen In Ka. 2 haben wir gesehen, wie wir diesen Datensatz beschreiben können. Hier wollen wir die Daten als Zufallsstichrobe aus einer Grundgesamtheit auffassen, über die man Aussagen treffen will. In der Regel will man Parameter schätzen oder Hyothesen testen. Um zu sinnvollen Schlussfolgerungen zu gelangen, muss man für das Merkmal eine Wahrscheinlichkeitsverteilung unterstellen. Das Merkmal wird dann zu einer Zufallsvariablen. Man unterscheidet diskrete und stetige Zufallsvariablen. Definition 3. Eine Zufallsvariable Y, die höchstens abzählbar viele Werte annehmen kann, heißt diskret. Dabei heißt P.Y D y/ die Wahrscheinlichkeitsfunktion von Y. Für die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen Y gilt X P.Y D y/ D und für alle y 2 IR. y P.Y D y/ Beisiel 8 (Fortsetzung) Es liegt nahe, die Zufallsvariable Y zu betrachten, die wir Leistungskurs nennen wollen. Sie kann die Werte und annehmen. Die Wahrscheinlichkeit des Wertes sei. Somit ist die Wahrscheinlichkeit des Wertes gleich. Wir erhalten somit die Wahrscheinlichkeitsfunktion P.Y D / D ; P.Y D / D Definition 3.2 Die Zufallsvariable Y heißt Bernoulli-verteilt mit dem Parameter,wenn gilt P.Y D / D ; P.Y D / D Man kann die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Bernoulli-Verteilung auch komakter schreiben. Es gilt P.Y D y/ D y. / y für y D ; Oft ist die Frage von Interesse, ob eine Zufallsvariable Y Werte annimmt, die kleiner oder gleich einem vorgegebenen Wert y sind.

3 3.2 Univariate Zufallsvariablen 73 Definition 3.3 Sei Y eine Zufallsvariable. Dann heißt F Y.y/ D P.Y y/ die Verteilungsfunktion von Y. Betrachten wir stetige Zufallsvariablen. Definition 3.4 Eine Zufallsvariable Y heißt stetig, wenn eine Funktion f Y existiert, sodass für die Verteilungsfunktion F Y.y/ von Y gilt W IR! IR F Y.y/ D Z y f Y.u/ du Die Funktion f Y.y/ heißt Dichtefunktion der Zufallsvariablen Y. Die Dichtefunktion f Y.y/ erfüllt folgende Bedingungen. 2. f Y.y/ für alle y 2 IR ; Z f Y.y/ dy D Man kann zeigen, dass jede Funktion, die diese Bedingungen erfüllt, als Dichtefunktion einer stetigen Zufallsvariablen aufgefasst werden kann. Das wichtigste Verteilungsmodell für eine stetige Zufallsvariable ist die Normalverteilung. Definition 3.5 Die Zufallsvariable Y heißt normalverteilt mit den Parametern und 2, wenn ihre Dichtefunktion gegeben ist durch f Y.y/ D 2 ex.y /2 2 2 für y 2 IR (3.) Wir schreiben Y N.; 2 /. Abb. 3. zeigt die Dichtefunktion der Normalverteilung mit D und D, die Standardnormalverteilung heißt. harakteristika von Verteilungen werden durch Maßzahlen beschrieben. Die beiden wichtigsten sind der Erwartungswert und die Varianz. Der Erwartungswert ist die wichtigste Maßzahl für die Lage einer Verteilung.

4 74 3 Mehrdimensionale Zufallsvariablen f(y) y Abb. 3. Dichtefunktion der Standardnormalverteilung Definition 3.6 Sei Y eine Zufallsvariable mit Wahrscheinlichkeitsfunktion P.Y D y/ beziehungsweise Dichtefunktion f Y.y/. Der Erwartungswert E.Y / von Y ist definiert durch E.Y / D X y yp.y D y/; falls Y diskret ist, und durch falls Y stetig ist. Z E.Y / D yf Y.y/ dy;

5 3.2 Univariate Zufallsvariablen 75 Schauen wir uns die Bernoulli-Verteilung und die Normalverteilung an. Für eine mit Parameter Bernoulli-verteilte Zufallsvariable Y gilt Dies sieht man folgendermaßen E.Y / D (3.2) E.Y / D. / D Für eine mit den Parametern und 2 normalverteilte Zufallsvariable Y gilt E.Y / D (3.3) Der Beweis ist bei Mood et al. (974) gegeben. Der ErwartungswertE.g.Y//einer Funktion g.y / der Zufallsvariablen Y ist definiert durch E.g.Y//D X y g.y/ P.Y D y/ ; falls Y diskret ist, und durch E.g.Y//D Z g.y/ f Y.y/ dy ; falls Y stetig ist. Der Erwartungswert besitzt folgende wichtige Eigenschaft E.a Y b/ D ae.y/ b (3.4) Wir zeigen dies für eine diskrete Zufallsvariable Y mit Wahrscheinlichkeitsfunktion P.Y D y/ E.a Y b/ D X y.a y b/p.y D y/ D X y.a y P.Y D y/ bp.y D y// D X y ayp.y D y/ X y bp.y D y/ D a X y yp.y D y/ b X y P.Y D y/ D ae.y/ b Definition 3.7 Sei Y eine Zufallsvariable. Dann ist die Varianz von Y definiert durch Var.Y / D E.Y E.Y // 2 (3.5)

6 76 3 Mehrdimensionale Zufallsvariablen Für eine mit Parameter Bernoulli-verteilte Zufallsvariable Y gilt Dies sieht man folgendermaßen Var.Y / D. / Var.Y / D. / 2. /. / 2 D. /. / D. / Für eine mit den Parametern und 2 normalverteilte Zufallsvariable Y gilt Var.Y / D 2 Der Beweis ist bei Mood et al. (974) gegeben. Die Parameter und 2 sind also gerade der Erwartungswert und die Varianz einer normalverteilten Zufallsvariablen. Die Varianz besitzt folgende Eigenschaft Var.a Y b/ D a 2 Var.Y / (3.6) Dies sieht man mit (3.4) folgendermaßen Var.a Y b/ D E h.a Y b E.a Y b// 2i h D E.a Y b ae.y/ b/ 2i D E h.a.y E.Y /// 2i h D a 2 E.Y E.Y // 2i D a 2 Var.Y / 3.3 Zufallsmatrizen und Zufallsvektoren Wir wollen nun mehrere Zufallsvariablen gleichzeitig betrachten. Beginnen wir mit einem Theorem, dessen Aussage wir im Folgenden immer wieder benötigen. Theorem 3. Seien Y ;;Y univariate Zufallsvariablen. Dann gilt E! X X Y i D E.Y i / (3.7) id id Der Beweis des Theorems ist bei Rice (26) zu finden. Man kann mehrere Zufallsvariablen zu einer Zufallsmatrix oder einem Zufallsvektor zusammenfassen.

7 3.3 Zufallsmatrizen und Zufallsvektoren 77 Definition 3.8 Seien W ;;W n ;;W m ;;W mn univariate Zufallsvariablen. Dann heißt W W n W W D 2 W 2n A W m W mn Zufallsmatrix. Wie auch bei univariaten Zufallsvariablen ist bei Zufallsmatrizen der Erwartungswert von Interesse Definition 3.9 Sei W eine Zufallsmatrix. Dann heißt E.W / E.W n / E.W E.W/ D 2 / E.W 2n / E.W m / E.W mn / A der Erwartungswert von W. Der Erwartungswert einer Zufallsmatrix besitzt eine wichtige Eigenschaft Theorem 3.2 Seien W eine.m; n/-zufallsmatrix, A eine.l; m/-matrix und B eine.n; /- Matrix, dann gilt E.AWB/ D AE.W/B (3.8) Beweis Das Element in der i-ten Zeile und j -ten Salte von AWB erhält man, indem man das innere Produkt der i-ten Zeile von AW und der j -ten Salte der Matrix B bildet. Die i-te Zeile der Matrix AW ist! mx mx a ir W r ; ; a ir W rn rd rd und die j -te Salte von B ist b j b nj A

8 78 3 Mehrdimensionale Zufallsvariablen Bildet man das innere Produkt dieser beiden Vektoren, so erhält man b j m X a ir W r b nj m X rd rd a ir W rn D D Nun gilt mx mx a ir W r b j a ir W rn b nj rd nx sd mx a ir W rs b sj rd rd E! nx mx nx a ir W rs b sj D sd rd sd mx a ir E.W rs /b sj rd Dies ist aber gerade das Element in der i-ten Zeile und j -ten Salte der Matrix AE.W/B. Diese Eigenschaft von Zufallsmatrizen werden wir gleich verwenden. Wir werden uns im Folgenden aber nicht mit Zufallsmatrizen, sondern mit Zufallsvektoren beschäftigen, die wir auch als mehrdimensionale Zufallsvariablen bezeichnen. Definition 3. Seien Y ;;Y univariate Zufallsvariablen. Dann heißt -dimensionale Zufallsvariable. Y D In Analogie zum Erwartungswert einer Zufallsmatrix definieren wir den Erwartungswert einer -dimensionalen Zufallsvariablen. Y Y A Definition 3. Sei Y eine -dimensionale Zufallsvariable. Dann heißt Erwartungswert von Y. E.Y/ D E.Y / E.Y / Wir haben bei univariaten Zufallsvariablen Y gesehen, dass der Erwartungswert einer Lineartransformation von Y gleich der Lineartransformation des Erwartungswertes ist. Eine entsrechende Eigenschaft gilt für mehrdimensionale Zufallsvariablen. A

9 3.3 Zufallsmatrizen und Zufallsvektoren 79 Theorem 3.3 Sei Y eine -dimensionale Zufallsvariable, A eine.m; /-Matrix, b ein m-dimensionaler Vektor. Dann gilt Beweis Die i-te Komonente des Vektors AY b ist Nun gilt E.AY b/ D AE.Y/ b (3.9) X a ik Y k b i kd E! X X a ik Y k b i D a ik E.Y k / b i kd kd Dies ist aber gerade die i-te Komonente von AE.Y/ b. Wie das folgende Theorem zeigt, gilt die Aussage von Theorem 3. auch für - dimensionale Zufallsvariablen. Theorem 3.4 Seien Y ;;Y n -dimensionale Zufallsvariablen mit Dann gilt Y i D Y i Y i A E! nx nx Y i D E.Y i / (3.) id id Beweis E 2 P 3! n nx id Y i Y i D E 6B 7 4@ A5 id P D n id Y i E. P n P n id E.Y i/ E.Y nx i / D A P D n id E.Y id i/ E.Y i / E. P n id Y i/ id Y i/ A D A nx E.Y i / id

10 8 3 Mehrdimensionale Zufallsvariablen In Ka. 2 haben wir die emirische Kovarianz als Maß für den linearen Zusammenhang zwischen zwei Merkmalen kennengelernt. Sie ist definiert durch s ij D n nx.x ki Nx i /.x kj Nx j / Diesen Ausdruck können wir direkt auf zwei Zufallsvariablen übertragen. kd Definition 3.2 Seien Y und Z univariate Zufallsvariablen. Dann ist die Kovarianz ov.y; Z/ zwischen Y und Z definiert durch Offensichtlich gilt ov.y; Z/ D EŒ.Y E.Y //.Z E.Z// (3.) ov.y; Z/ D ov.z; Y / (3.2) Setzen wir in (3.) Z gleich Y, so ergibt sich die Varianz von Y Var.Y / D ov.y; Y / (3.3) Das folgende Theorem gibt wichtige Eigenschaften der Kovarianz an. Theorem 3.5 Seien U, V, Y und Z univariate Zufallsvariablen und a, b, c und d reelle Zahlen. Dann gilt und Beweis Wir beweisen zunächst (3.4) ov.u V;Y Z/ D ov.u; Y / ov.u; Z/ ov.v; Y / ov.v; Z/ (3.4) ov.a V b; c Y d/ D acov.v; Y / (3.5) ov.u V;Y Z/ D EŒ.U V E.U V//.Y Z E.Y Z// D EŒ.U V E.U/ E.V //.Y Z E.Y / E.Z// D EŒ.U E.U/ V E.V //.Y E.Y / Z E.Z// D EŒ.U E.U //.Y E.Y //.U E.U //.Z E.Z//.V E.V //.Y E.Y //.V E.V //.Z E.Z//

11 3.3 Zufallsmatrizen und Zufallsvektoren 8 (3.5) gilt wegen D EŒ.U E.U //.Y E.Y // EŒ.U E.U //.Z E.Z// EŒ.V E.V //.Y E.Y // EŒ.V E.V //.Z E.Z// D ov.u; Y / ov.u; Z/ ov.v; Y / ov.v; Z/ ov.a V b; c Y d/ D EŒ.aV b E.a V b//.c Y d E.c Y d// D EŒ.aV b ae.v/ b/.c Y d ce.y/ d/ D aceœ.v E.V //.Y E.Y // D acov.v; Y / Setzen wir in (3.4) U gleich Y und V gleich Z, so gilt ov.y Z;Y Z/ D ov.y; Y / ov.y; Z/ ov.z; Y / ov.z; Z/ D Var.Y / 2 ov.y; Z/ Var.Z/ Es gilt also Entsrechend kann man zeigen Var.Y Z/ D Var.Y / Var.Z/ 2 ov.y; Z/ (3.6) Var.Y Z/ D Var.Y / Var.Z/ 2 ov.y; Z/ (3.7) (3.5) zeigt, dass die Kovarianz nicht skaleninvariant ist. Das haben wir auch schon in Ka. 2 gesehen. Misst man die Körergröße in Zentimetern und das Körergewicht in Gramm und bestimmt die Kovarianz zwischen diesen beiden Zufallsvariablen, so ist die Kovarianz -mal so groß, als wenn man die Körergröße in Metern und das Körergewicht in Kilogramm bestimmt. Eine skaleninvariante Maßzahl für den Zusammenhang zwischen zwei Zufallsvariablen erhält man, indem man die beiden Zufallsvariablen standardisiert. Wir bilden Y D Y E.Y / Var.Y / (3.8) und Z D Z E.Z/ Var.Z/ (3.9)

12 82 3 Mehrdimensionale Zufallsvariablen Wie man mit (3.4) und (3.6) leicht zeigen kann, gilt und Für die Kovarianz zwischen Y und Z gilt E.Y / D E.Z / D (3.2) Var.Y / D Var.Z / D (3.2) ov.y ;Z / D ov.y; Z/ Var.Y / Var.Z/ (3.22) Dies sieht man mit (3.5) folgendermaßen ov.y ;Z / D ov D D! Y E.Y / Z E.Z/ ; Var.Y / Var.Z/ Var.Y / Var.Z/ ov.y E.Y /;Z E.Z// ov.y; Z/ Var.Y / Var.Z/ Definition 3.3 Seien Y und Z Zufallsvariablen. Der Korrelationskoeffizient Y;Z zwischen Y und Z ist definiert durch Y;Z D ov.y; Z/ Var.Y / Var.Z/ (3.23) Der Korrelationskoeffizient ist skaleninvariant. Sind a undc ositive reelle Zahlen, so gilt ay;cz D Y;Z Mit (3.6) und (3.5) sieht man dies folgendermaßen ov.a Y; c Z/ acov.y; Z/ ay;cz D D Var.a Y / Var.c Z/ a2 Var.Y / c 2 Var.Z/ acov.y; Z/ D ac Var.Y / Var.Z/ D ov.y; Z/ D Y;Z Var.Y / Var.Z/ Das folgende Theorem gibt eine wichtige Eigenschaft des Korrelationskoeffizienten an.

13 3.3 Zufallsmatrizen und Zufallsvektoren 83 Theorem 3.6 Für den Korrelationskoeffizienten Y;Z zwischen den Zufallsvariablen Y und Z gilt Y;Z (3.24) Dabei ist j Y;Z jd genau dann, wenn Konstanten a und b existieren, sodass gilt P.Z D a by/d Beweis Seien Y und Z die standardisierten Variablen. Dann gilt wegen (3.6) Var.Y Z / D Var.Y / Var.Z / 2 ov.y ;Z / D 2 2 Y;Z Da die Varianz nichtnegativ ist, gilt und somit Außerdem gilt wegen (3.7) Hieraus folgt Also gilt Ist so gilt 2 2 Y;Z Y;Z Var.Y Z / D Var.Y / Var.Z / 2 ov.y ;Z / D 2 2 Y;Z Y;Z Y;Z Y;Z D ; Var.Y Z / D

14 84 3 Mehrdimensionale Zufallsvariablen Somit gilt siehe dazu Rice (26). Also gilt mit P.Y Z D / D ; P.Y D a bz/d a D E.Y / Var.Y / Var.Z/ E.Z/ und b D Var.Y / Var.Z/ Eine analoge Beziehung erhält man für Y;Z D. Das Konzet der Kovarianz kann auch auf mehrdimensionale Zufallsvariablen übertragen werden. Definition 3.4 Sei Y eine -dimensionale Zufallsvariable und Z eine q-dimensionale Zufallsvariable, dann heißt ov.y ;Z / ov.y ;Z q / ov.y; Z/ D A (3.25) ov.y ;Z / ov.y ;Z q / die Kovarianzmatrix von Y und Z. Man kann die Kovarianzmatrix von Y und Z auch mithilfe des äußeren Produkts darstellen ov.y; Z/ D E.Y E.Y//.Z E.Z// (3.26)

15 3.3 Zufallsmatrizen und Zufallsvektoren 85 Dies sieht man folgendermaßen ov.y ;Z / ov.y ;Z q / ov.y; Z/ D A ov.y ;Z / ov.y ;Z q / EŒ.Y E.Y //.Z E.Z // EŒ.Y E.Y //.Z q E.Z q // D A EŒ.Y E.Y //.Z E.Z // EŒ.Y E.Y //.Z q E.Z q //.Y E.Y //.Z E.Z //.Y E.Y //.Z q E.Z q // D E A.Y E.Y //.Z E.Z //.Y E.Y //.Z q E.Z q // 2 3 Y E.Y /.Z E.Z / Z q E.Z q // D E 6B 7 4@ A 5 Y E.Y / D E.Y E.Y//.Z E.Z// InTheorem3.5wurdenEigenschaftenvonov.Y; Z/ bewiesen. ov.y; Z/ besitzt analoge Eigenschaften. Theorem 3.7 Seien U und V -dimensionale Zufallsvariablen, Y und Z q-dimensionale Zufallsvariablen, A eine.m; /-Matrix, eine.n; q/-matrix, b ein m-dimensionaler Vektor und d ein n-dimensionaler Vektor. Dann gilt und ov.u V; Y Z/ D ov.u; Y/ ov.v; Y/ ov.u; Z/ ov.v; Z/ (3.27) Beweis Wir zeigen zunächst (3.27) ov.av b; Y d/ D A ov.v; Y/ (3.28) ov.u V; Y Z/ D EŒ.U V E.U V//.Y Z E.Y Z// D EŒ.U V E.U/ E.V//.Y Z E.Y/ E.Z// D EŒ.U E.U/ V E.V//.Y E.Y/ Z E.Z// D EŒ.U E.U//.Y E.Y//.U E.U//.Z E.Z//.V E.V//.Y E.Y//.V E.V//.Z E.Z//

16 86 3 Mehrdimensionale Zufallsvariablen (3.28) ist erfüllt wegen D EŒ.U E.U//.Y E.Y// EŒ.U E.U//.Z E.Z// EŒ.V E.V//.Y E.Y// EŒ.V E.V//.Z E.Z// D ov.u; Y/ ov.u; Z/ ov.v; Y/ ov.v; Z/ ov.av b; Y d/ D EŒ.AV b E.AV b//.y d E.Y d// D EŒ.AV AE.V//.Y E.Y// D EŒ.A.V E.V//..Y E.Y/// D EŒA.V E.V//.Y E.Y// (3.29) D AEŒ.V E.V//.Y E.Y// (3.3) D A ov.v; Y/ Der Übergang von (3.29)zu(3.3) gilt aufgrund von (3.8). Definition 3.5 Sei Y eine -dimensionale Zufallsvariable. Dann nennt man ov.y; Y/ die Varianz-Kovarianz-Matrix Var.Y/ von Y. Für die Varianz-Kovarianz-Matrix schreiben wir auch. Sie sieht folgendermaßen aus Var.Y / ov.y ;Y 2 / ov.y ;Y / ov.y D 2 ;Y / Var.Y 2 / ov.y 2 ;Y / A ov.y ;Y / ov.y ;Y 2 / Var.Y / Wegen ov.y i ;Y j / D ov.y j ;Y i / ist die Varianz-Kovarianz-Matrix symmetrisch. Diese Eigenschaft wird im Folgenden von zentraler Bedeutung sein. Theorem 3.8 Sei Y eine -dimensionale Zufallsvariable, A eine.m; /-Matrix und b ein m-dimensionaler Vektor. Dann gilt Beweis Wegen (3.28) gilt Var.AY b/ D AVar.Y/A (3.3) Var.AY b/ D ov.ay b; AY b/ D A ov.y; Y/A D A Var.Y/A

17 3.3 Zufallsmatrizen und Zufallsvektoren 87 Ist in (3.3) A eine.; /-Matrix, also ein -dimensionaler Zeilenvektor a, und b D,so gilt Var.a Y/ D a Var.Y/ a D a a (3.32) Da die Varianz nichtnegativ ist, gilt für jeden -dimensionalen Vektor a a Var.Y/ a Also ist eine Varianz-Kovarianz-Matrix immer nichtnegativ definit. Setzen wir in (3.32)füra den Einservektor ein, erhalten wir Var! X X Y i D Var. Y/ D Var.Y/ D Var.Y i / X id i j id ov.y i ;Y j / Sind die Zufallsvariablen Y ;;Y also unkorreliert, so gilt Var! X X Y i D Var.Y i / id id Die Varianz-Kovarianz-Matrix der standardisierten Zufallsvariablen nennt man auch Korrelationsmatrix P Dabei gilt 2 P D 2 2 A (3.33) 2 ij D ov.y i ;Y j / Var.Yi / Var.Y j / Wir bezeichnen E.Y i / mit i und Var.Y i / mit i.sei QY die zentrierte -dimensionale Zufallsvariable Y. Es gilt also Y QY D A (3.34) Y

18 88 3 Mehrdimensionale Zufallsvariablen Die standardisierte -dimensionale Zufallsvariable Y bezeichnen wir mit Y. Es gilt Y D Y Y A (3.35) Bilden wir die Diagonalmatrix D D 2 A ; so gilt Y D D QY Da Korrelationen gerade die Kovarianzen zwischen den standardisierten Zufallsvariablen sind, folgt Diese Beziehung werden wir in Ka. 9 benötigen. P D Var.D QY/ (3.36) 3.4 Multivariate Normalverteilung Die wichtigste stetige Verteilung ist die Normalverteilung. Die Dichtefunktion einer mit den Parametern und 2 normalverteilten Zufallsvariablen ist gegeben durch f Y.y/ D 2 ex.y /2 2 2 für y 2 IR Wir können diesen Ausdruck direkt übertragen auf eine -dimensionale Zufallsvariable Y. Definition 3.6 Die -dimensionale Zufallsvariable Y heißt -variat normalverteilt mit den Parametern und, falls die Dichtefunktion von Y gegeben ist durch f Y.y/ D.2 / =2 j j 5 exf 5.y /.y /g (3.37)

19 3.4 Multivariate Normalverteilung 89.5 f(y) Abb. 3.2 Dichtefunktion der bivariaten Standardnormalverteilung Abb. 3.2 zeigt die Dichte einer bivariaten Standardnormalverteilung. Es gilt also D! und D! Das folgende Theorem gibt den Erwartungswert und die Varianz-Kovarianz-Matrix einer -dimensionalen Normalverteilung an.

20 9 3 Mehrdimensionale Zufallsvariablen Theorem 3.9 Sei Y eine mit den Parametern und -variat normalverteilte Zufallsvariable. Dann gilt und E.Y/ D Var.Y/ D Ein Beweis dieses Theorems ist bei Seber (977) gegen.das folgende Theorem benötigen wir in Ka. 9. Theorem3. Sei Y eine mit den Parametern und -variat normalverteilte Zufallsvariable, A eine (m,)-matrix vom Rang m und b ein m-dimensionaler Vektor. Dann ist AY b m-variat normalverteilt mit den Parametern A b und A A. Ein Beweis dieses Theorems ist ebenfalls bei Seber (977) enthalten.

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