3. Konvergenz. a k := ( k2 +1. H.J. Oberle Analysis I WS 2011/12

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1 H.J. Oberle Analysis I WS 2011/12 3. Konvergenz 3.1 Folgen (V, ) sei normierter Vektorraum über R/C Folge: (a k ) k N : N V, k a k ; manchmal auch (a k ) k N0 Beispiele (3.1.1) a k := k + 4 k + 2 (reelle Folge) a k := 1 6 k+i (komplexe Folge) a k := ( k k 2 1, cos(k π), (1 2 )k ) T (Folge im R 3 ) f k (t) := t k, 0 t 1, (Funktionenfolge in C[0, 1]) V N : Menge aller Folgen in V, V N ist ein Vektorraum bzgl. (a k ) + (b k ) := (a k + b k ), α (a k ) := (α a k ) 62

2 Rekursive Definition von Folgen (3.1.2) a 0 gegeben, a k+1 := Φ(k, a k ), k N 0 Beispiel (3.1.3) Bisektion Gesucht: Nullstelle von f : [a, b] R (stetig) mit f(a) f(b) < 0. Algorithmus (3.1.4): (u 0, v 0 ) := (a, b), k := 0, while [ v k u k > (1 + u k ) eps ] : x := (u k + v k )/2; Falls (f(x) f(v k ) < 0) : u k+1 := x; v k+1 := v k ; Falls (f(x) = 0) : u k+1 := v k+1 := x, Sonst : u k+1 := u k ; v k+1 := x ; k := k + 1; end while 63

3 Für f(t) := t 2 2, a = 1, b = 2 erhält man die Tabelle: k u k v k Die Konvergenz ist relativ langsam! 64

4 Beispiele (3.1.5) Newton-Verfahren f : [a, b] R stetig differenzierbar, t 0 Näherung für Nullstelle t k+1 : Nullstelle der Tangente an f in (t k, f(t k )) t k+1 := t k f(t k) f, k = 0, 1, 2,... (t k ) Für das Beispiel: f(t) = t 2 2 und t 0 = 1 erhält man: Schnelle Konvergenz! k t k

5 Isaac Newton: Sir Isaac Newton wurde am in Woolsthorpe geboren und starb am in Kensington. Er war ein bedeutender Naturforscher mit überragenden Resultaten im Bereich der Physik (Gravitationsgesetz) und der Mathematik (Begründer der Differential- und Integralrechnung, neben Leibniz). Ab 1660 studierte Newton am Trinity College (Cambridge) und wurde dort 1969 Professor wurde Newton Mitglied der Royal Society und 1703 wurde er zu deren Präsident gewählt. 66

6 Definition (3.1.6) Es sei (a k ) k N eine Folge in V. a) Für 1 k 1 < k 2 < k 3 <... heißt (a kj ) j N eine Teilfolge von (a k ) k N. b) (a k ) beschränkt : C > 0 : k N : a k C. c) (a k ) konvergent mit Grenzwert (Limes) a V : ε > 0 : K = K(ε) N : k K : a k a < ε. Eine nicht konvergente Folge heißt divergent. d) (a k ) Cauchy Folge : ε > 0 : K = K(ε) N : k, l K : a k a l < ε. 67

7 Augustin Louis Cauchy: Augustin Louis Cauchy wurde am in Paris geboren und starb am in Sceaux (bei Paris). Seine zahlreichen Veröffentlichungen enthielten wichtige Ergebnisse u.a. zur der Entwicklung der Gruppentheorie und der Analysis, insbesondere auch der Funktionentheorie. Cauchy studierte ab 1805 an der École Polytechnique wurde er dort Professor. Nach der Revolution 1830 emigrierte Cauchy zunächst in Schweiz, dann nach Prag und kehrte erst 1838 nach Paris zurück. 68

8 Beispiele (3.1.7) a) (1, 1 2, 4 1, 1 8, 1 16,...) ist eine Teilfolge von ( 1 k ) k N, ( 1 2, 1, 8 1, 1 4, 1 32, 1 16,...) ist keine Teilfolge von (1 k ) k N. 1 b) a k := 2 + sin k, k N, ist beschränkt mit 3 1 a k 1, (a k ) ist aber nicht konvergent! 1 c) lim = 0, denn: Zu ε > 0 existiert nach (2.2.10) ein k K N mit 0 < K 1 < ε. k K: 0 < 1 k K 1 < ε. Satz (3.1.8) a) (a n ) konvergent (a n ) beschränkt. b) (a n ) konvergent (a n ) Cauchy Folge. c) Grenzwerte von konv. Folgen sind eindeutig bestimmt. 69

9 Bezeichnung: a = lim a k oder a k a (k ). Uneigentliche Konvergenz (3.1.9) lim a k = : C > 0 : K N : k K : a k > C, lim a k = : C > 0 : K N : k K : a k < C. Definition (3.1.10) Ein normierter Raum, in dem jede Cauchy-Folge konvergiert heißt Banach-Raum. Grenzwertsätze I (3.1.11) a) lim (a k + b k ) = lim a k + b) lim (α a k ) = α lim a k. lim b k 70

10 Stefan Banach: Stefan Banach wurde am in Kraków geboren und ist gestorben am in Lwów (Lemberg). Banach hat ab 1911 an der Polytechnischen Universität in Lwów studiert und wurde dort 1922 Professor. Banach hat wesentliche Ergebnisse in den Bereichen Fourier-Reihen, orthogonale Funktionen, Maxwell- Gleichungen und Maßtheorie erzielt. Grundlegend sind seine Beiträge zur Funktionalanalysis (Banach-Räume, Satz von Hahn- Banach, Banachscher Fixpunktsatz). 71

11 Beispiel (3.1.12) 2k + 7 lim 3k = lim ( ) n = 2 3. Definition (3.1.13) (Konvergenzgeschwindigkeit) a) a k a linear konvergent : C < 1 : k : a k+1 a C a k a b) a k a superlinear konvergent : C k > 0 : C k 0, k : a k+1 a C k a k a c) a k a quadratisch konvergent : C > 0 : k : a k+1 a C a k a 2 Beispiel: Die Folgen (u k ), (v k ) des Bisektionsverfahrens sind im Allg. nur linear konvergent, während das Newton-Verfahren quadratisch konvergiert! 72

12 3.2 Reelle Folgen (a k ) R N Definition (3.2.1) a) (a k ) monoton wachsend : k < l : a k a l b) (a k ) streng monoton wachsend : k < l : a k < a l c) (a k ) nach oben beschränkt : C : k : a k C Satz (3.2.2) (a k ) monoton wachsend und nach oben beschränkt (a k ) konvergent und lim a k = sup{a k : k N} Folgerung (3.2.3) (Intervallschachtelung) Sind (a k ), (b k ) reelle Folgen mit (a k ) monoton wachsend, (b k ) monoton fallend und k N : a k b k, so sind (a k ) und (b k ) konvergent! 73

13 Gilt zudem b k a k 0, (k ), so stimmen die Grenzwerte überein: ξ = lim a k = lim b k. a 1 a 2 a 3 ξ b 3 b 2 b 1 Fehlerabschätzung (3.2.4): a k ξ, b k ξ b n a n. Beispiel (3.2.5): Konvergenz des Bisektionsverfahren! Bernoullische Ungleichung (3.2.6) x 1, k N : (1 + x) k 1 + k x. 74

14 Jakob und Johann Bernoulli: Jakob und Johann sind die herausragenden Vertreter einer Baseler Mathematiker-Dynastie. Jakob lebte vom bis , sein jüngerer Bruder Johann von bis Jakob wurde 1687 Professor an der Universität Basel. Johann wurde 1695 zunächst Professor in Groningen und folgte dann Jakob nach dessen Tod auf dem Lehrstuhl in Basel nach. Beide Brüder befassten sich in ihren Arbeiten mit den Grundlagen der Analysis, der Wahrscheinlichkeitstheorie (Gesetz der großen Zahlen) und vor allem der Variationsrechnung (Problem der Brachstochrone). 75

15 Geometrische Folge (3.2.7) q > 1: q k = (1 + (q 1)) k 1 + k (q 1) (k ). q = 1: q k 1 (k ). 0 < q < 1: 0 < q k 1 = (1 + (1/q 1)) k k(1/q 1) 0. 1 < q 0: q k = q k 0 (k ). q = 1: (q k ) beschränkt, nicht konvergent q < 1: (q k ) alternierend, kein uneigentlicher Grenzwert! Arithmetisch-geometrisches Mittel (3.2.8) a 0 := a, b 0 := b, mit 0 < a < b für k = 0, 1, 2,... end k a k+1 := a k b k, b k+1 := 0.5 (a k + b k ), 76

16 (a k ), (b k ) bilden eine Intervallschachtelung; Konvergenz gegen einen gemeinsamen Grenzwert ξ =: agm (a, b), das arithmetisch geometrische Mittel von a und b. k a k b k Grenzwertsätze II (3.2.9) a) lim (a k b k ) = ( lim a k ) ( lim b k ) b) k : b k 0 lim b k 0 lim ( ) ak c) k : a k 0 n N lim n a k = n b k lim a k = lim b. k lim a k. 77

17 Beispiel (3.2.10) a k := k k + 1 k. a k = (k2 + 5 k + 1) k 2 k k k = k k + 1 k Damit folgt: lim a k = = 5 2. Satz (3.2.11) (Die n-te Wurzel) Zu x > 0 und n N existiert genau eine Zahl w > 0 mit w n = x. Diese Zahl heißt die n-te Wurzel von x und wird mit w = n x bezeichnet. 78

18 Beispiel (3.2.12) (Die Exponentialfunktion) Verzinsung eines Kapitals K 0 zum Jahreszinsfuß p 0: K 1 = K 0 (1 + p) bei jährlicher Verzinsung K 2 = K 0 (1 + p 2 )2 bei halbjährlicher Verzinsung K 4 = K 0 (1 + p 4 )4 bei vierteljährlicher Verzinsung usw., also allgemein: K k = K 0 (1 + p k )k. Zahlenbeispiel: K 0 = 100 e, p = 10%: K 1 = 110,, K 4 = 110, 38, K 12 = 110, 47, K 360 = 110, 52,... Grenzwert K := lim K k? a k := (1 + p k )k ist streng monoton wachsend und nach oben beschränkt, also ist (a k ) für jedes p > 0 konvergent! 79

19 Die Eulersche Zahl (3.2.13) lim ( k ) k = e = Hiermit lässt sich für alle p Q zeigen: lim (1 + p k )k = e p. Dies gilt - wie später gezeigt wird - sogar für alle p C. Satz von Bolzano und Weierstraß (3.2.14) Jede beschränkte reelle Folge (a k ) besitzt eine konvergente Teilfolge. 80

20 Bernard Bolzano: Bernard Bolzano wurde am in Prag geboren und starb dort am Er studierte ab 1796 an der Prager Karls- Universität und wurde dort 1806 zum Professor ernannt. Seine zentralen Ergebnisse liegen in den Grundlagen der Analysis. Karl Weierstraß: Weierstraß wurde am in Ostenfelde geboren und starb am in Berlin. Ab 1834 studierte Weierstraß in Bonn und Münster und wurde danach Gymnasiallehrer. Erst ab 1856 erhielt er eine Professur an der Friedrich-Wilhelm Universität Berlin. Weierstraß hat wesentliche Beiträge zur Analysis, Funktionentheorie, Differentialgeometrie und Variationsrechnung verfasst. 81

21 Definition (3.2.15) Grenzwerte konvergenter Teilfolgen von (a k ) heißen Häufungspunkte. Der kleinste Häufungspunkt heißt Limes inferior: der größte Häufungspunkt heißt Limes superior: Hier sind auch die Werte ± zugelassen. lim inf a k, lim sup a k. Satz (3.2.16) (Cauchysches Konvergenzkriterium) Jede reelle Cauchy-Folge ist konvergent! 8.3 Folgen in Vektorräumen Ist (V, ) ein normierter Raum, so ist Konvergenz einer Folge im Allg. von der Norm abhängig! 82

22 Beispiel (3.3.1) 1 x x k (t) x k C[0, 1], x k k, 0 1/k t x k = 1. Normäquivalenzsatz (3.3.2) Je zwei Normen und eines endlich dimensionalen Vektorraums V sind äquivalent, d.h., es gibt C 1, C 2 > 0 mit: v V : C 1 v v C 2 v. 83

23 Folgerungen (3.3.3) a) Konvergenz und Grenzwert einer Folge im R n sind unabhängig von der zugrunde gelegten Norm. b) Eine Folge (x (k) ) k N im R n konvergiert genau dann, wenn alle n Koordinatenfolgen (x (k) j ) k N, j = 1,..., n, konvergieren. Der Grenzwert der Folge lässt sich koordinatenweise berechnen. c) Für den R n gilt das Cauchysche Konvergenzkriterium sowie der Satz von Bolzano, Weierstraß. 3.4 Reihen Reihe a k : Folge der Partialsummen s n := n Ist die Reihe konvergent, so wird der Grenzwert ebenfalls mit a k bezeichnet. a k, n N 0. s = lim n n a k 84

24 Cauchysches Konvergenzkriterium (3.4.1) a k konvergent ε > 0 : N(ε) : n, m N : m a k k=n < ε. Notwendige Bedingung (3.4.2) a k konvergent lim a k = 0. Grenzwertsätze (3.4.3) (a k + b k ) = (α a k ) = α a k + a k. b k, 85

25 Gottfried Wilhelm Leipniz: Gottfried Wilhem Leibniz, geboren am in Leipzig und gestorben am in Hannover, wird oft als der letzte Universalgelehrte bezeichnet. Er war Philosoph, Mathematiker, Diplomat und Historiker und hat in all diesen Disziplinen wesentliches geleistet. Er studierte ab 1661 in Leipzig, Jena und Nürnberg. An mathematischen Erfolgen ist zunächst der Aufbau der Infinitesimalrechnung (unabhängig von Newton) zu nennen. Aber auch seine Entwicklung des Dualsystems ist für die heutige Computertechnik grundlegend. Leibniz baute 1672/73 eine eigene mechanische Rechenmaschine, die alle vier Grundrechenarten realisierte und führte diese an der Royal Society London vor. 86

26 Leibniz-Kriterium (3.4.4) Alternierende Reihen ( 1) k a k, a k 0, für die (a k ) eine monoton fallende Nullfolge bildet, sind konvergent, und es gilt die Fehlerabschätzung: 2n 1 Beispiele (3.4.5) ( 1) k a k Geometrische Reihe: ( 1) k a k 2n ( 1) k a k. q k = 1 + q + q 2 + q , q C konvergiert für q < 1, denn für die Partialsummen gilt: s n = n q k = 1 qn+1 1 q Für q > 1 ist die geometrische Reihe divergent. q k = 1 1 q. 87

27 1 Harmonische Reihe: k=1 k = ist divergent, denn man kann einen Reihenabschnitt nach unten abschätzen m k=n 1 k m k=n 1 m = m n + 1 m Damit ist das Cauchy Kriterium verletzt! 1 (m ). ( 1) k Alternierende harm. Reihe: k + 1 = ist wegen des Leibnizschen Kriteriums konvergent! Der Grenzwert lautet: ( 1) k = ln k

28 Definition (3.4.6) a k konvergiert. a k heißt absolut konvergent, falls Kriterien für absolute Konvergenz (3.4.7) a k absolut konvergent ( n a k absolut konvergent a k a k ) n 0 konvergent. beschränkt. Majorantenkriterium (3.4.8) a k b k b k konvergent a k abs. konv.. 89

29 Quotientenkriterium (3.4.9) a k 0, k k 0, 0 < q < 1. k k 0 : a k+1 a k Wurzelkriterium (3.4.10) k k 0 : Bemerkungen (3.4.11) k q < 1 a k q < 1 Das Quotientenkriterium ist erfüllt, falls lim Das Wurzelkriterium ist erfüllt, falls lim Gilt dagegen lim die Reihe a k+1 a k a k divergent. > 1 oder lim a k abs. konv.. a k abs. konv.. k a k+1 a k a k < 1. < 1. k a k > 1, so ist 90

30 Beispiele (3.4.12) a) b) k=1 n k=1 k=1 n k=1 1 k(k + 1) 1 k(k+1) = abs. konv. mit Grenzwert a k = 1, denn n k=1 1 kr, r N, r 2, 1 k r n k=1 ( 1k k+1 1 ) = 1 1 n+1 1 k 2 < 1 + n k=2 z k 1, n. abs. konv., denn nach a) gilt 1 k(k 1) < 2. c) z C : abs. konv., denn nach Quotientenkriterium k! a k+1 z a = k k+1 0 < 1, k. 91

31 d) z C, z < 1 : denn a k+1 a k = z 2 (2k+1) (2k+3) Umordnung von Reihen. Wann gilt: a k = Umordnungssatz (3.4.13) Ist die Reihe a k umgeordnete Reihe a k = a σk. ( 1) k z 2k+1 2k+1 = arctan z abs. konv., z 2 < 1. a σk für jede Bijektion σ : N 0 N 0? absolut konvergent, so ist auch jede a σk absolut konvergent, und es gilt 92

32 Produkt von Reihen. Kann man ein Produkt von Reihen ausmultiplizieren, ( ) ( ) a k b l = a k b l? l=0 k=l=0 In welcher Reihenfolge soll die rechte Reihe ausgewertet werden? Produktsatz (3.4.14) Sind die Reihen a k, b l absolut konvergent, so ist die Reihe aσk b µk für jede Numerierung der Indexpaare (σ, µ) : N 0 N 2 0 (Bijektion) absolut konvergent, und es gilt: a σk b µk = a k b k. 93

33 Erste Nummerierung: (n+1) σ k µ k a σk b µk = (a 0 + a a n ) (b 0 + b b n ) Zweite Nummerierung: σ k µ k

34 Cauchy-Produkt von Reihen (3.4.15) ( ) ( ) a k b l l=0 = n=0 ( n a k b n k ) = a 0 b 0 + (a 0 b 1 + a 1 b 0 ) + (a 0 b 2 + a 1 b 1 + a 2 b 0 ) + Beispiel: Funktionalgleichung der Exp-Funktion (3.4.16) exp(z) exp(w) = ( = n=0 = n=0 1 n! z k ) ( k! ( n l=0 ( n k w l ) l! ) = n=0 z k w n k ) n z k w n k k! (n k)! 1 n! (z + w)n = exp(z + w). qed 95