Halbleiter im semiklassischen Nichtgleichgewicht: Driftstrom, Diffusionsstrom und Halbleitergleichungen

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1 Kaptel 9 Halbleter m semklassschen Nchtglechgewcht: Drftstrom, Dffusonsstrom und Halbleterglechungen 9.1 Zusammenfassung Im thermschen Glechgewcht werden de Ladungsträger n enem Halbletersystem durch de Fermvertelung beschreben. Wrd en Halbletersystem als Bauelement betreben, kommt ene externe Störung hnzu. Dese Störung kann ene enfallende elektromagnetsche Strahlung oder das Anlegen ener äußeren Spannung sen, de enen Strom als Reakton hervorruft. Durch dese externe Störung wrd de Fermvertelung aufgehoben. Be schnellen Intrabandprozessen können de entstehenden Nchtglechgewchtsvertelungen durch quas-fermenergen beschreben werden. In der semklassschen Näherung für de Dynamk von Ladungsträger-Wellenpaketen entsteht aus der Kontnutätsglechung m Phasenraum de Boltzmannglechung, de n lnearserter Form gelöst werden kann. Das Resultat snd Ausdrücke für den Drft- und den Dffusonsstrom. Unter Verwendung der quas-fermenergen können dese Ausdrücke zu den Halbleterglechungen verenhetlcht werden. De Halbleterglechungen werden n den folgenden Kapteln auf Standardbauelemente we de pn-dode, Solarzellen, Bpolartransstoren und Feldeffekttransstoren angewendet. De Darstellung der semklassschen Theore des Nchtglechgewchts n desem Kaptel geht auf de Mtschrft ener Vorlesung von Herrn Prof. Dr. H. Heyszenau an der Unverstät Hamburg zurück. 9.2 Telchendchte m Phasenraum und verallgemenerte Fermvertelung mt quas-fermenergen Im Glechgewchtszustand folgen de Elektronen m Krstall der Ferm-Vertelung 1 f (E) = exp( E µ (9.1) )

2 2 KAPITEL 9. DIE DRIFT-DIFFUSIONSGLEICHUNGEN Abbldung 9.1: (a) Zwedmensonaler Festkörper mt dem klenen Volumen V = L x L y = dxdy am Orte r. In enem nhomogenen Festkörper wrd deses klene Volumen als Telvolumen gedeutet, n dem der Festkörper als homogen angenommen werden kann (s. Gl. (9.20)). (b) Gtter der nach perodschen Randbedngungen erlaubten Wellenvektoren k mt Enhetszellengröße (2π) 2 /(L x L y ) (rot). Betrachtetes rechteckges Volumen m k-raum mt Grundsetenlängen dk x und dk y (cyanblau). De Anzahl der Gtterpunkte, d. h. de Anzahl der erlaubten Zustände st dk x dk y /[(2π) 2 /(L x L y )]. Es wrd also angenommen, dass 2π/L x < dk x < κ x und 2π/L y < dk y < κ y. Her snd κ x und κ y typsche Impulsraumlängen, auf denen en k-abhängger Integrand varert, über den we n Gl. (9.8) ntegrert werden soll. Mt Hlfe der Vertelungsfunkton f können wr Telchenzahlen berechnen: In enem homogenen System mt dem Ortsraumvolumen V ergbt sch mt E = E( k) für de Telchenzahl dn( k) m k-raumvolumen d 3 k dn( k) = f [E( k)]d k d 3 k = f [E( k)] V 4π 3 d3 k. (9.2) Her st D k de berets n Gl. (??) engeführte Zustandsdchte m k-raum, de nklusve Spnentartung mt perodschen Randbedngungen gegeben st durch 2V/(2π) 3 = (L x L y L z )/(4π 3 ) (s. Abb. 9.1 (b)). Für de Letungsbandelektronen glt n Effektfmassennäherung Für en parabolsches Letungsband n enem homogenen Halbleter E( k) = 2 k 2 + E L (9.3) 2m L mt der effektven Masse m L. Für enen n Abb. 9.1 (a) dargestellten klenen Festkörper mt dem Volumen V = d 3 r am Orte r lässt sch n Abwandlung von (9.2) formal schreben Her st dn( k) = f [E( k)] 4π 3 d 3 rd 3 k ρ( k)d 3 rd 3 k ρ(u)d 6 u. (9.4) dn( r, k, t) d 6 u = ρ(u, t) = ρ( r, k, t) (9.5) de Telchendchte m sechsdmensonalen Phasenraum u = ( r, k) mt dem Volumenelement d 6 u = d 3 rd 3 k, wobe zusätzlch ene Orts- und ene Zetabhänggket zugelassen haben. Im homogenen System m thermschen Glechgewcht glt mt (??) ρ(u, t) = ρ( k) = f [E( k)] 4π 3. (9.6)

3 9.2. PHASENRAUMDICHTE UND QUASI-FERMIENERGIEN 3 Durch externe Störungen wrd de Telchendchte m sechsdmensonalen Phasenraum. A. orts- und zetabhängg. Abbldung 9.2: Quasstatonärer Zustand be der Enstrahlung von Lcht, schnelle Intra-Band Relaxaton durch wederholte Phononenemsson. En typsches Bespel für de Störung des thermschen Glechgewchts st de Enstrahlung von Lcht (s. Abb. 9.2). Be Enstrahlung von Lcht werden Elektronen zunächst n höhere Bänder gehoben. Durch Abgabe der Energe z. B. an Gtterschwngungen können se weder herunterfallen (relaxeren). Be zetlch konstanter Lchtenwrkung gehen wr von ener konstanten Anregungsrate G (= Generatonsrate) der Elektronen-Lochpaare aus, so dass sch nach ener Enschwngphase mt zetabhängger Phasenraumdchte ρ( r, k, t) en statonäres Fleßglechgewcht enstellen wrd. Deses wrd durch ene zetunabhängge Telchendchte ρ( r, k) beschreben, de ncht der Glechgewchtsvertelung entsprcht. Be örtlch homogener Vertelung der Strahlung st ene ortsunabhängge Phasenraumdchte zu erwarten, ρ( r, k) = ρ( k). Im Allgemenen snd de Intrabandprozesse sehr schnell und de Interbandprozesse langsam. Be Intrabandprozessen st nämlch de Emsson von nederenergetschen Gtterschwngungsquanten (Phononen) möglch, be Interbandprozessen wegen der Größe der Bandlücke ncht. Wchtge Interbandprozesse snd strahlende Rekombnaton (Aussendung enes Photons), Auger-Rekombnaton (Anregung enes Elektrons) und Rekombnaton über Störstellen (Shockley-Read-Hall-Prozesse). Wegen der Schnellgket der Intrabandprozesse nehmen de Elektronen nnerhalb enes Bandes sehr schnell ene thermsche Vertelung an. Wegen der Langsamket der Interbandprozesse stmmt de Gesamtzahl der Elektronen weder m LB noch m VB mt derjengen m thermschen Glechgewcht überen. Im Nchtglechgewchtsfall kann daher angenommen werden, dass analog zu (9.5) de Phasenraumdchte durch ene Fermvertelungsfunkton bestmmt st, n der jedoch an Stelle von µ ene quas-ferm-energe µ n engesetzt wrd, ρ( r, k, t) ρ( r) = f n( k) 4π 3 mt f n [E( k)] = Be der so angesetzten Vertelung glt für de Ortsraumdchte n( r) nach Gl. (9.4) dn( r) n( r) = dn( r) d 3 r d 3 kdn( r, k) = d 3 r = d 3 kρ( r, k) = 1 4π 3 1 exp( E µ (9.7) n ) + 1. d 3 kρ( r, k) d 3 k f n [E( k)] = n. (9.8)

4 4 KAPITEL 9. DIE DRIFT-DIFFUSIONSGLEICHUNGEN Abbldung 9.3: Quas-Fermnveaus µ n und µ p m ntrnsschen Halbleter, n 0 = p 0 = n be statonärer, ortsabhängger Beleuchtung. Im thermschen Glechgewcht ohne Beleuchtung gelten n 0 = p 0 = n und µ n = µ p µ. Deser Ausdruck entsprcht dem berets behandelten Glechgewchtsfall mt µ µ n. Es wurde für en parabolsches Letungsband mt der Dsperson (9.3) hergeletet ( ) 1 n = de D(E) E L exp ( µn E L ) N E µ L exp. (9.9) n + 1 Her glt we n Gl. (??) gezegt d 3 k = D(E)dE (9.10) 4π3 mt der energeabhänggen Zustandsdchte n dre Dmensonen 2m D(E) = Nv L 3/2 (E E π 2 3 L ) 1/2 Θ(E E L ) (9.11) und de Valley-Entartung m Letungsband Nv L. Weterhn st nach Gl. (??) de effektve Zustandsdchte des Letungsbandes ( ) 3 N L = 2Nv L ml 2. (9.12) 2π 2 Das Ergebns (9.9) st dentsch mt dem berets abgeleteten Resultat m thermodynamschen Glechgewcht, wenn man µ n = µ setzt. Be gegebener Nchtglechgewchts-Elektronendchte m Letungsband berechnet sch das quas-fermenerge gemäß ( ) n µ n = E L + ln. (9.13) Für Löcher setzt man ene Nchtglechgewchtsvertelung f (E) = 1 1 N L exp( E µ p ) + 1 (9.14)

5 9.2. PHASENRAUMDICHTE UND QUASI-FERMIENERGIEN 5 an und erhält analog ( ) EV µ p p = N V exp ( ) p µ p = E V ln. (9.15) N V Im thermschen Glechgewcht gelten µ n = µ p = µ und n = n 0, p = p 0 ( ) ( ) n0 p0 µ = E L + ln = E V ln. (9.16) N L N V Somt erhalten wr mt (9.13) ( ) n µ n = µ + ln n 0 und ( ) p µ p = µ ln p 0 (9.17) be Beleuchtung. Das chemsche Potenzal µ m thermschen Glechgewcht spaltet dann we n Abb. (9.3) dargestellt, n zwe quas-fermenergen µ n und µ p auf, µ n µ p = ln np ( ) n = 2 ln (9.18) n 2 n 0 0 mt n = p. In Abbldung (9.3) st de Beleuchtung nhomogen und daher n = n( r) und ρ = ρ( k, r). De enfachste Berückschtgung deses Umstands st der Ansatz ( ) ( ) n( r) p( r) µ n µ n ( r) = µ + ln und µ p ( r) = µ ln. (9.19) n 0 Be nhomogener Beleuchtung treten jedoch wetere Phänomene we de laterale Ladungsträgerdffuson und laterale elektrsche Felder auf. Daher brauchen wr ene komplexere Theore zur Bestmmung der Nchtglechgewchts-Phasenraumdchte, de auf der m Folgenden dargestellten Boltzmannglechung beruht. p 0

6 6 KAPITEL 9. DIE DRIFT-DIFFUSIONSGLEICHUNGEN 9.3 Ladungsträger als quantenmechansche Wellenpakete mt semklassscher Dynamk Im Transportproblem wrd zwschen Sourcekontakt und Drankontakt ene Spannung V D angelegt. Es entsteht herdurch m Festkörper en elektrostatsches Potental U( r), welches enen Telchenstrom trebt, d. h. entsteht en offenes System. Für en solches System soll de statonäre Phasenraumdchte ρ( r, k) berechnet werden. Herzu wrd der Phasenraum n Zellen engetelt: Abbldung 9.4: (a) Ortsraum-Entelung ener n n-struktur n Telvolumen entlang der x-achse. In den n ++ -doterten Kontakten st de Letfähgket so hoch, dass φ n = φ p = φ S m Sourcekontakt und φ n = φ p = φ D m Drankontakt, wobe φ D = φ S ev D mt der angelegten Dranspannung V D. Durch de angelegte Spannung varert de Lage der Bänder E L/V ( r ). Aus dem Ansatz Gl. (9.54) zur Lösung der Boltzmannglechung folgen ortsabhängge quas-elektrochemsche Potenzale für Elektronen und Löcher. (b) Phasenraumentelung n Zellen der Brete dx und dk. In ener Phasenraumzelle se das Potenzal konstant. De Telchen werden durch m Orts- und Impulsraum mt den Breten l x und l k um das Zentrum be x und k lokalserte Wellenpakete (Krese n Magenta) repräsentert. Im vorlegenden Bespel snd n der Phasenraumzelle be u ver Wellenpakte lokalsert, de Phasenraumdchte beträgt daher ρ(u) = 4/(dxdk). We wr sehen werden, bewegen sch alle dese Wellenpakte mt derselben Geschwndgket w = (ẋ, k), de nur von u abhängt. 1. Zur Erfassung der ortsabhänggen Vertelungsfunkton wrd, we n Kaptel 6. Der pn-übergang m Glechgewcht (s. Abb.?? mt Ψ(x) U( r)), ene Ortsraum-Zerlegung n Telvolumen dxdydz

7 9.3. LADUNGSTRÄGER ALS WELLENPAKETE MIT SEMIKLASSISCHER DYNAMIK 7 d 3 r be den Orten r engeführt. Dese Telvolumen snd groß gegen de Gtterkonstante, aber klen gegen de typsche Länge der Potentalveränderung des äusseren Feldes. In jedem Telvolumen schreben wr we n Gl. (??) n Erweterung von (9.3) E L/V ( r) = E L/V ( r) = E L/V + U( r) (9.20) für de Bandkantenenergen. De quas-fermenerge geht m elektrschen Potenzal U über n zunächst unbekannte ortsabhängge quas-elektrochemsches Potenzale für Elektronen und Löcher µ n φ n ( r) µ p φ p ( r). (9.21) 2. Zusätzlch wrd der k-raum n Zellen d 3 k dskretsert. We n Abb. 9.3 (b) für ene Dmenson gezegt. wrd damt der Phasenraum n Zellen d 6 u = dxdydzdk x dk y dk z = d 3 rd 3 k engetelt. We n Gl. (9.2) st für jede Phasenraumzelle ene zu bestmmende Phasenraumdchte defnerbar mt dn( r, k, t) = ρ( r, k, t)d 3 rd 3 k = ρ(u, t)d 6 u. (9.22) Her st dn de Anzahl der Elektronen, de sch n der Phasenraumzelle um den Phasenraum-Ortsvektor m Volumenelement d 6 u befnden. u = ( r, k) = (x, y, z, k x, k y, k z ) = (r 1, r 2, r 3, k 1, k 2, k 3 ) (9.23) 3. De Telchen werden durch Wellenpakete beschreben, de nnerhalb ener Phasenraumzelle be u lokalsert snd, d. h. sowohl m Orts- we auch m Impulsraum mt den Breten l x und l k beschränkt snd. Es muss nach der Hesenbergschen Unschärferelaton für jedes Telchen (s. Paul-Prnzp) n allen Raumrchtungen gelten, we n x-rchtung l x l k > 2π. (9.24) Es sollen, we n Abb. 9.3 (b) dargestellt, n jeder Phasenraumzelle enge Telchen enthalten sen, was nach (9.24) bedeutet, dass dxdk 1. El wrd jedoch weterhn vorausgesetzt, dass de Phasenraumzelle dxdk klen genug st, dass sch alle Wellenpakte n ener Phasenraumzelle mt annähernd derselben Phasenraumgeschwndgket w = ( r, k) = (ẋ, ẏ, ż, k x, k y, k z ) = w(u) = u (9.25) bewegen, de dann nur von u abhängt. In Appendx 1 und 2 st gezegt, dass unter bestmmten Bedngungen de Dynamk enes quantenmechanschen Wellenpakets gegeben st durch w(u) = k m, F( r) (9.26) mt F( r) = U( r) = e E, wobe E das externe elektrsche Feld st. Glechung (9.26) beschrebt de Phasenraumdynamk. In Anhang 1 und Anhang 2 zu desem Kaptel wrd gezegt, dass für Wellenpakete we für klasssche Telchen de semklassschen Bewegungsglechungen r = v = p m = m k (9.27) und v = k = F (9.28) m gelten. In der Tat hat Boltzmann n der später behandelten Boltzmannglechung (9.50) klasssche Telchen behandelt.

8 8 KAPITEL 9. DIE DRIFT-DIFFUSIONSGLEICHUNGEN 9.4 Stromdchte und Kontnutätsglechung n Phasenraum Stromdchte Wr defneren m Phasenraum de Stromdchte j = ρw. (9.29) Deser Ausdruck lässt sch anhand der Bewegung n ener Dmenson x llustreren (s. Abb. 9.5 (a)): Es st u = (x, k) und w = (ẋ, k). Für de durch de blaue Begrenzungslne mt der Länge d f m Zetntervall dt laufende Telchenzahl glt Abbldung 9.5: Zur Stromdchte m Phasenraum. dn = ρ(u)wdtd f j = dn = ρ(w)w und vektorell j = ρw. (9.30) d f dt Her st w der Betrag von w. Weterhn steht das Lnenelement d f senkrecht auf w Kontnutätsglechung De Herletung der Kontnutätsglechung m Phasenraum erfolgt we n Abbldung 9.6 (a) gezegt: Es st sowe Sodann ergbt sch j x,en = j x (x dx 2, k) j x(x, k) dx 2 x j x(x, k) j x,aus = j x (x + dx 2, k) j x(x, k) + dx 2 x j x(x, k) (9.31) j k,en = j k (x, k dk 2 ) j k(x, k) dk 2 j k,aus = j k (x, k + dk 2 ) j k(x, k) + dk 2 k j k(x, k) k j k(x, k). (9.32) t N = dk( j x,en j x,aus ) + dx( j k,en j x,aus ) = dkdx j x x dkdx j k k. (9.33) Es folgt de Kontnutätsglechung m Phasenraum t ρ = j = ( ρw ) (9.34)

9 9.4. STROMDICHTE UND KONTINUITÄTSGLEICHUNG IN PHASENRAUM 9 Abbldung 9.6: (a) Zur Kontnutätsglechung m Phasenraum und (b) zur Telchendchte und Stromdchte n Ortsraum. mt dem sechskomponentgen Nablaoperator ( = x, y, z,,, k x k y k z ). (9.35)

10 10 KAPITEL 9. DIE DRIFT-DIFFUSIONSGLEICHUNGEN 9.5 Ortsraumgrößen durch Phasenraumdchte Durch de Boltzmannglechung wrd de Telchendchte m Phasenraum bestmmt. De Beschrebung von Halbleterbauelementen erfordert jedoch de Kenntns von Ortraumgrößen. Zur Herletung der Dchte n( r) m Ortsraum summeren wr, we n Abbldung 9.6 (b) dargestellt, sämtlche Rechtecke mt glechem x und unterschedlchem k k = dk auf. Mt dn dn wrd de Gesamttelchenzahl n allen Rechtecken dn(x, t) dn = dxdkρ(x, k, t) (9.36) Es folgt für de Dchte m Ortsraum n(x, t) dn(x, t) dx = dkρ(x, k, t). (9.37) Zur Herletung der Stromdchte m Ortsraum Aus Gl. (9.33) ergbt sch mt (9.37) N(x, t) t = N t = dkdx j x(x, k, t) x n(x, t) t = dk j x(x, k, t) x (9.38) Der zwete Summand n (9.33) entfällt, wel für zwe überenanderlegende Rechtecke glt j k,aus = j+1 k,en. Im Lmes dk 0 folgt dk j x(x, k, t) x dk j x x = x dk j x (x, k, t) = J. (9.39) x Her st de Stromdchte m endmensonalen Ortsraum J = dk j x (x, k, t) = dkρ(x, k, t) k m, (9.40) wobe m zweten Schrtt (9.29) und (9.26) angewendet wurden. Aus (9.38) und (9.39) folgt de Kontnutätsglechung m endmensonalen Ortsraum t n + J = 0. (9.41) x Der Ausdruck für de Stromdchte m Ortsraum Gl. (9.40) lässt sch n dre Dmensonen verallgemenern zu J( r, t) = d 3 kρ( r, k, t) k m. (9.42) Deses entsprcht der Projekton des sechsdmensonalen Stromdchteoperators m Phasenraum (9.29) auf de ersten dre Ortskomponenten.

11 9.6. DIE BOLTZMANNGLEICHUNG Boltzmannglechung zur Berechnung der Phasenraumdchte Zur Berechnung der ortsabhänggen Vertelungsfunktonen ρ gehen wr zunächst auf de berets behandelte Enveloppen-Näherung zurück, für de wr mt der effektven Masse m m Letungsband schreben ] (H E)ψ( r) = [ 2 2m + E L + U( r) E ψ( r) = 0. (9.43) Her st U( r) de potenzelle Energe ener negatven Ladung n enem extern angelegten elektrschen Feld, welches wr der Enfachhet halber als zetunabhängg annehmen. Im Telvolumen um r wrd das Potenzal als konstant angenommen, sodass de Egenfunktonen ψ( r) durch ebene Wellen mt der Wellenzahl k gegeben snd. In der Egenfunktonsdarstellung von H können daher ersetzen k 2 = k 2 x k 2 y k 2 z, sodass der Hamltonoperator ene enfache skalare Funkton wrd, H = 2 2m k2 + E L + U( r) = E( r, k). (9.44) mt E L ( r) = E L + U( r). Mt den semklassschen Bewegungsglechungen (9.27) und (9.28) glt für en n der Phasenraumzelle um ( r, k) lokalsertes Wellenpaket (s. Abb. 4 (b)) und r = k m = 1 H k (9.45) k = 1 F = 1 H r, (9.46) mt F = U( r) = e E, wobe E das externe elektrsche Feld st. In desen Grundglechungen snd de Koordnaten des sechsdmensonalen Entelchen-Phasenraums u = ( r, k) de Orts- und Impuls-Schwerpunktkoordnaten von Wellenpaketen. Mt (9.45) und (9.46) folgt für de Geschwndgket enes Telchens m 6-dmensonalen Phasenraum w = u = ( r, k) = 1 ( ) H k, H = w(u). (9.47) r Es glt daher w = 3 j=1 r j ṙ j + 3 j=1 k j k j = 3 j=1 r j k j H 3 j=1 k j r j H = 0. (9.48) Des bedeutet de Quellen- und Senkenfrehet des Geschwndgketsfeldes. Weterhn fnden wr w ρ = 6 j=1 w j ρ u j = 3 j=1 ṙ j ρ r j + 3 j=1 ρ k j = k r r ρ + k kρ. (9.49) j Mt j = ( ρw ) = w ρ(u, t) + ρ(u, t) w = w ρ(u, t) erhält man aus der Kontnutätsglechung (9.34) ρ/t = j de Boltzmannglechung t ρ( r, F( r) k, t) + v r ρ( r, k, t) + k ρ( r, k, t) = Q (9.50) zur Bestmmung der Nchtglechgewchtsvertelungsfunkton. Herbe gelten v = k m und für de negatv geladenen Elektronen F = U( r) = e E. (9.51)

12 12 KAPITEL 9. DIE DRIFT-DIFFUSIONSGLEICHUNGEN Auf der rechten Sete von (9.50) wurde en zusätzlcher Quellterm Q per Hand engeführt. Er repräsentert m Folgenden dskuterte zusätzlche Streuprozesse, heren oder haraus aus dem betrachteten Volumenelement d 6 u, deren Dynamk ncht vom Hamltonoperator n Gl. (9.44) und daher ncht von den Gln. (9.45) und (9.46) beschreben wrd.

13 9.7. LINEARISIERTE BOLTZMANNGLEICHUNG IN RELAXATIONSZEITNÄHERUNG: DRIFT- UND DIFFUSIONSTRO 9.7 Lnearserte Boltzmannglechung n Relaxatonszetnäherung: Drftund Dffusonstrom Für den Quellterm n der Boltzmannglechung nehmen wr an, dass er sch aus enem Kollsonsterm (Phononen und Verunrengungen) und enem Generatons/Rekombnatonsterm (Photonen) zusammensetzt, Q{ρ} = ρ( r, k, t) coll + G( r, k, t) R( r, k, t), (9.52) t wobe G de Generatonsrate und R de Rekombnatonsrate st. Für den Kollsonsterm machen wr weterhn den Relaxatonszet-Ansatz, d.h. de nelastschen Stöße treben das System mt ener konstanten Relaxatonszet τ auf en lokales thermsche quas-glechgewcht zu ρ( r, k, t) t coll = ρ( r, k, t) ρ 0 ( r, k). (9.53) τ De Zelphasenraumdchte ρ 0 ( r, k) wrd n enem zetunabhänggen externen elektrschen Feld als ebenfalls zetunabhängg angesetzt. Es wrd weterhn n Verallgemenerung von Gl. (9.7) angenommen, dass de Ladungsträger ener Sorte durch schnelle nelastsche Stöße entsprechend enem klenem τ n en lokales Fleßglechgewcht kommen, welches durch ortsabhängge quas-elektrochemsche Potentale φ beschreben wrd. Für de Elektronen m Letungsband nehmen wr daher analog zu (9.7) n Boltzmannnäherung an [ E( r, k) φ n ( r) ρ 0 ( r, k) = 1 1 4π 3 exp ] π 3 exp E( r, k) φ n ( r) wobe E( r, k) n Gl. (9.44) defnert st. Dann folgt aus der Boltzmannglechung ρ t + v rρ e E k ρ = ρ ρ 0 + G R τ, (9.54) ρ = ρ 0 + τ(g R) τ ρ } {{ t } 0 zetlche Veränderung von ρ und G R langsam auf τ-skala τ v r ρ + τ e E kρ. (9.55) Es erfolgt ene Lnearserung n τ, ndem rechts ρ 0 engesetzt wrd, ρ ρ 0 τ v r ρ 0 + τ e E k ρ 0 = ρ( r, k), (9.56) d. h. ρ unterschedet sch von ρ 0 nur durch ene klene Korrektur. Wegen der Vernachlässgung von ρ/t n (9.55) wrd ρ zetunabhängg, was m satonären Lmt exakt st. Mt der Phasenraumdchte ρ aus Gl. (9.56) können wr m Prnzp sämtlche nteresserende Erwartungswerte berechnen. Bespelswese glt für de Ortsabhänggket der Telchendchte nach (9.8) n führender Ordnung ( n( r) = d 3 kρ( r, k) d 3 kρ 0 ( r, k) = n 0 ( r) N L exp E ) L( r) φ n ( r), (9.57) wobe m letzten Schrtt we n Gl. (9.9) vorgegangen wurde mt µ n φ n ( r). Es st erschtlch, dass de Orstraumdchte n( r) m Fleßglechgewcht drekt dejenge st, de aus n 0 ( r) folgt. De elektrsche Ortsraum- Stromdchte m Letungsband J n kann mt (9.42) berechnet werden. Her verschwndet der Betrag des

14 14 KAPITEL 9. DIE DRIFT-DIFFUSIONSGLEICHUNGEN ρ 0 -Terms n führender Ordnung τ aus Symmetregründen, J n = e d 3 k vρ (9.58) e d 3 k vρ 0 +eτ d 3 k v [ ] e 2 v r ρ 0 τ d 3 k v [ E k ρ 0], } {{ } = 0, ρ 0 symmetrsch n k = eτ d 3 k ( v v ) [ ] r ρ 0 τ e2 d 3 k v k ρ 0 E. (9.59) Herbe benutzen wr de lecht zu verfzerende Identtät A( B C) = ( A B) C, wobe A B das dyadsche Produkt von A und B st, entsprechend der Matrx ( A B) j = ( A) ( B) j. Es resultert mt dem Dffusonstensor J n = e τ d 3 k v vρ 0 n e eτ d 3 k v ( k ρ 0) d3 kρ 0 n E d 3 kρ 0 } {{ }} {{ } ˆD n ˆµ n ( ˆD n ) j = τ 2 m 2 und dem Beweglchketstensor = e ˆD n n } {{ } Dffusonsstrom n d 3 kk k j ρ 0 = τ d3 kρ 0 (ˆµ n ) j = eτ m + eˆµ n n E } {{ } Drftstrom E, (9.60) d 3 kv v j ρ 0 d3 kρ 0 τ < 0 v v j 0 > τv v j (9.61) d 3 kk k j ρ 0 d3 kρ 0. (9.62) Zur Herletung des Drftstroms erwetern wr (9.59) mt n = d 3 kρ 0. Zur Herletung des Dffusonsstroms wurde der erste Summand auf der rechten Sete von (9.59) genähert d 3 k ( v v ) r ρ 0 d 3 k v v r ρ 0 = v v d 3 k r ρ 0 = v v r n( r). (9.63) Im ersten Schrtt wrd de k-abhängge Funkton v v m Integranden durch de über de Vertelungsfunkton gemttelte ( k-unabhängge) d 3 k v vρ 0 v v = = 1 d3 kρ 0 τ ˆD n (9.64) ersetzt. In den Übungen rechnen wr lecht nach, dass de m k-raum sotrope Dsperson (9.44) und der Normerungsnenner n (9.61) zu enem fundamentalen, ortsunabhänggen und dagonalen Tensor [ ] d 3 kk ( ˆD n ) j = τ 2 k j exp E( r, k) φ n ( r) d m 2 [ ] = τ 2 3 kk k j exp ( ) 2 k 2 2m ) = δ d3 k exp m 2, j D n (9.65) führen mt E( r, k) φ n ( r) D n = 2τ 3m 0 0 dee 5/2 e E dee 3/2 e E d3 k exp ( 2 k 2 2m = τk BT m. (9.66)

15 9.8. DIE HALBLEITERGLEICHUNGEN De Halbleterglechungen Glechungen für den Strom als Gradent des elektrochemschen Potenzals Mt der Boltzmannvertelung (9.54) und (9.44) glt wobe für das Letungsband und E k j = k j ρ 0 = ρ 0 E = ρ 0 2 k j k j E k j E m = k j ρ 0 2 m, (9.67) E L + U( r) + 2 2m ρ 0 E = [ 1 E 4π 3 e Ensetzen n (9.62) führt mt (9.61) auf (ˆµ n ) j = eτ m = Es folgt de Enstenrelaton j k 2 j ] E φn( r) = 1 d 3 kk k j ρ 0 = eτ 2 d3 kρ 0 m 2 e ( ˆD n ) j = = 2 2m 2k j δ j j = 2 m k j (9.68) j 1 E φn( r) 4π 3 e = 1 ρ 0. (9.69) d 3 kk k j ρ 0 = eτ d 3 k( v v) j ρ 0 d3 kρ 0 d3 kρ 0 e D nδ, j µ n δ, j. (9.70) D n = k BT e µ n. (9.71) Aus (9.66) erhält man temperturunabhängg und fundamental µ n = e τ m = eτ m. (9.72) Aus Gl. (9.60) ergbt sch aus der Dagonaltät und Isotrope von ˆD n und ˆµ n und der Enstenrelaton J n = e ˆD n n + eˆµ n n E = ed n n + eµ n n E = µ n (ne E + n). (9.73) Es glt weterhn nach (9.57) ( n( r) = N L exp E ) ( L( r) φ n ( r) = N L exp E ) L( r) φ n ( r) 1 [ EL ( r) φ n ( r) ] = n( r) [ φn ( r) E L ( r) ]. Wr fnden somt vermöge (s. Gl. (9.51)) de Bezehung E L ( r) = [E L + U( r)] = e E (9.74) J n = µ n n( r)e E + µ n n( r) = µ n n( r) E L ( r) + µ n n( r) [ φ n ( r) E L ( r) ] = µ n n( r) φ n ( r), (9.75) d. h. de trebende Kraft für den Strom st der Gradent des elektrochemschen Potenzals. Analog glt J p = µ p p φ p. (9.76)

16 16 KAPITEL 9. DIE DRIFT-DIFFUSIONSGLEICHUNGEN Glechungen für de Ladungsträgerdchte Für de Elektronen m Letungsband wurde hergeletet [ ( )] n( r) d 3 EL + U( r) φ n ( r) kρ 0 ( r, k) = N L exp Für de lokale Dchte der Löcher glt analog Possonglechung p( r) = N V exp Es wrd de Possonglechung für das elektrostatsche Potental aufgestellt, mt Randbedngungen und physkalschen Annahmen für N + D und N A Kontnutätsglechungen (9.77) [ φ ] p( r) E V + U( r). (9.78) U = e2 ɛ 0 ɛ e[p + N+ D n N A ] (9.79) De Kontnutätsglechung für den elektrschen Strom der Letungsbandelektronen lautet n t 1 e J n = G R, (9.80) wobe G R de Dfferenz der Generatons- und Rekombnatonsrate von Elektron-Lochpaaren st. Der durch Verunrengungen und Phononenstöße verursachte Kollsonsterm (ρ/t) col spelt her kene Rolle, da er de Elektronendchte m Ortsraum unverändert lässt. Für Löcher glt analog Zusammenfassung: p t + 1 e J p = G R. (9.81) Es legt mt den Stromglechungen Gln. (9.75) und (9.76), den Ladungsträgerglechungen (9.77) und (9.78), der Possonglechung (9.79) sowe den Kontnutätsglechungen (9.80) und (9.81) en vollständges Glechungssystem, de Halbleterglechungen, vor: 1. Vorgegeben werden de Beweglchketen µ n = eτ n /m n und µ p = eτ p /m p mt den ladungsträgerspezfchen Relaxatonszeten und effektven Massen. Weterhn müssen systemabhängge Annahmen für G, R, N D + und N A gemacht werden (s. folgende Bespele). 2. De Gln. (9.77) und (9.78) zegen, dass n = n(u, φ n ) und p = p(u, φ p ). 3. De Glechungen (9.75) und (9.76) können n de Kontnutätsglechungen engesetzt werden, um de Stromdchten zu elmneren. Man erhält m statschen Lmes (n)/t = 0 = p/(t) µ n e [n(u, φ µ p n) φ n ] = G R bzw. e [p(u, φ p) φ p ] = G R. (9.82) 4. Zusammen mt der Possonglechung U = e2 ɛ 0 ɛ e[p(u, φ p) + N + D n(u, φ n) N A ] (9.83) erhält man mt (9.82) dre gekoppelte Glechungen zur Bestmmung der dre unbekannten Felder U, φ n und φ p.

17 9.9. ANHANG 1: SEMIKLASSISCHE GESCHWINDIGKEIT VON WELLENPAKETEN Anhang 1: Semklasssche Geschwndgket von Wellenpaketen Wr gehen auf de Glechung (16) m Abschntt 3. Elektronenzustände m perodschen Potenzal deser Vorlesung zurück: 2 2m k V( r) u k ( r) = E( k)u k ( r), (9.84) wobe wr en gegebenes Band n voraussetzen und dann desen Index fortlassen. Vorscht: In Gl. (9.84) hat r de Bedeutung der mkroskopschen Ortskoordnate von der das schnell varerende Gtterpotenzal V( r) abhängt. Dagegen hat n Gl. (9.44), (9.45) und (9.46) das Symbol r de Bedeutung des Aufpunkts enes Telvolumens. Deswegen st n Gl. (9.84) de Egenenerge E( k) unabhängg von r. De n Gl. (9.44) defnerte Größe E( k, r) st daher zu dentfzeren mt E( k, r) = E( k) + U( r). (9.85) Wr wählen als Aufpunkt k 0 das Zentrum des Wellenpakets n Abb. 4 (b) und betrachten enen klene Varaton k = k 0 + q mt q << k 0. Für de Funkton E( k) können wr ene Taylorentwcklung schreben E( k) = E( k 0 ) + q k E( k) k 0. (9.86) Zur Bestmmung von k E( k) wenden wr ene Störungstheore für k = k 0 + q, q sehr klen (q << k 0 ) an. Wr schreben unter Vernachlässgung von Termen mt q 2 : 2 2m k q k V( r) u k ( r) = E( k)u k ( r). (9.87) In nullter Ordnung q: k = k 0 2 2m k V( r) u k 0 = E( k 0 )u k 0 ( r) (9.88) Störoperator H 1 = 2 m q( k 0 + ). (9.89) Durch de Energeänderung n erster Ordnung fnden wr m Verglech mt Gl. (9.86) 1 E( k) E( k 0 ) = d 3 r u ( r) 2 n k 0 m q k 0 + u k 0 ( r) mt Setze en: V GZ GZ k E( k) k 0 = 1 2 V GZ m GZ = q k E( k) k 0, (9.90) d 3 r u k 0 ( r) k 0 + u k 0 ( r). (9.91) ψ k 0 ( r) = ψ k 0 ( r) = 1 exp( k 0 r)u k V 0 ( r) 1 exp( k 0 r) k 0 + V u k 0. (9.92)

18 18 KAPITEL 9. DIE DRIFT-DIFFUSIONSGLEICHUNGEN E( k) k 0 = 2 N d 3 rψ ψ m k GZ 0 k 0 = d 3 rψ pψ m k V 0 k 0 = m p k 0 = v 0, (9.93) wobe N de Anzahl der Gtterzellen st. Es glt also v 0 = 1 m p k 0 = 1 k E( k) k0 (9.94) de mttlere Geschwndgket m Blochzustand k >, entsprcht der Geschwndgket enes Wellenpaketes mt Zuständen m Intervall um k. Anwendung de ebenen Wellenzustände m Telvolumen be r mt Gl. (9.44) erbrngt. [ v] = 1 E( k) = 1 E( k, r) = 1 H = k. (9.95) k k k m

19 9.10. ANHANG 2: SEMIKLASSISCHE BESCHLEUNIGUNG VON WELLENPAKETEN Anhang 2: Semklasssche Beschleungung von Wellenpaketen Legen wr z. B. ene Spannung an den Festkörper an oder setzen wr hn ener Strahlung aus, treten zusätzlch zu dem gtterperodschen Potental noch nchtperodsche Kräfte auf. Her betrachten wr den enfachsten Fall enes enfachen Zusatzpotentals ϕ( r), das z. B. durch ene externe Spannung erzeugt wrd. Für de semklasssche Theore st es ganz entschedend, das ϕ( r) auf der Skala der Gtterzelle nur schwach veränderlch st. Deses st be velen Bauelementen gegeben. Wr haben: Wr lösen formal de zetabhängge Schrödngerglechung: ψ t Ĥ = ˆp2 2m + V( r) eϕ( r). (9.96) } {{ } Ĥ 0 ( = Ĥψ ψ( r, t) = exp Ĥ ) t ψ( r, t = 0). (9.97) Betrachte de zetlche Entwcklung ener Wellenfunkton ψ k ( r, t), de zum Zetpunkt t = 0 m Blochzustand ψ k 0 ( r), d. h. m Egenzustand des Hamltonoperators mt V( r) ohne ϕ( r) vorlag (der Bandndex wrd der Enfachhet halber fortgelassen). ( ψ k ( r, dt) = exp Ĥdt ) ψ k ( r, t = 0) (1 Ĥdt)ψ k 0 ( r), wobe dt en nfntesmales Zetnkrement darstellt. Wr betrachten de Translatonsegenschaften des Zustandes nach dt, wobe a : en Gttervektor st. Weterhn ˆT a ψ k ( r, dt) = ˆT a (1 Ĥdt)ψ k 0 ( r) = (1 Ĥdt) ˆT a ψ k 0 ( r) dt[ ˆT a, Ĥ]ψ k 0 ( r) (9.98) [ ˆT a, Ĥ] = [ ˆT a, eϕ( r)] = e ˆT a ϕ( r) + eϕ( r) ˆT a = e ( ˆT a ϕ( r) ˆT 1 a } {{ } ) ˆT a + eϕ( r) ˆT a ϕ( r+ a) = e[ϕ( r + a) ϕ( r)] ˆT a e a ϕ ˆT a = +e a E ˆT a = a F ˆT a. (9.99) Wr setzen ene schwache Veränderlchket von φ m Berech der Ausdehnung des Wellenpakets voraus, sodass F ene Konstante st. Auch st a durch de Bedngung lmtert, dass a klener als de Ausdehnung der Wellenfunkton st. Man hat Insgesamt ( ˆT a ϕ( r) ˆT 1 a ) f ( r) = ˆT a ϕ( r) f ( r a) = ϕ( r + a) f ( r) ˆT a ϕ( r) ˆT 1 a = ϕ( r + a) (9.100)

20 20 KAPITEL 9. DIE DRIFT-DIFFUSIONSGLEICHUNGEN ˆT a ψ k ( r, dt) = [1 (Ĥ F a)dt] ˆT a ψ k 0 ( r) = exp( Ĥdt + F adt) exp( k 0 a)ψ k 0 ( r) (9.101) Jetzt wrd ausgenutzt, dass sowohl F a als auch k 0 a enfache Zahlen snd, de mt dem Operator Ĥ kommuteren. Dann st ˆT a ψ k ( r, dt) = exp[ k a] exp[ Ĥdt]ψ k 0 ( r) F mt k = k 0 + dt. Aus der letzteren Bezehung folgt (9.46) = exp[ k a]ψ k ( r, dt), (9.102) k = F. (9.103)