Modul: B-CG Grundlagen der Computergraphik. Bildrepräsentationen. Das Ziel der heutigen Vorlesung. optisch. Grundlagen des Digitalen Bildes

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1 Modul: B-CG Grundlagen der Computergraphik Grundlagen des Digitalen Bildes Professur für Graphische Datenverarbeitung Fachbereich Informatik und Mathematik () Bildrepräsentationen Symbolische Ebene: Merkmalsebene Abtastebene beliebige Datenstruktur Grafik- und Merkmals-Primitive Digitales Bild Text, Tabellen (Noten,.. Modelle (Kinematik, Dynamik, Verhalten) Geometrie & (visuelle) Merkmale Animation Festbild Digitalvideo Reiz- & Aktionsebene optisch B-CG V Das Digitale Bild Das Ziel der heutigen Vorlesung Charakteristika der drei Bildrepräsentationen Bildfunktionen Digitales Bild Geometrie- und Merkmalsbild verstehen und die Zusammenhänge erkennen! Schwerpunkt: Das Digitales Bild B-CG V Das Digitale Bild

2 Übersicht. Die Plenoptische Funktion kontinuierliche Bildfunktionen. Das Digitale Bild - Charakterisierung Austauschformate und Programmierschnittstellen. Das Computergraphik-Bild Austauschformate und Programmierschnittstellen. Abtastung / Rendering Anzeige (Rekonstruktion) Das Abtasttheorem: Die Theorie Ideale Abtastung und Rekonstruktion Reale Abtastung und Rekonstruktion Aliasing: Eine erste Charakterisierung der unvermeidbaren Fehler 5. Zusammenfassung 6. Ausblick Nächste Schritte B-CG V Das Digitale Bild Die Plenoptische Funktion Der Mensch ist ein Augentier. Die plenoptische Funktion beschreibt die für einen (menschlichen) Beobachter visuell erfassbaren Informationen an jedem Ort und zu jeder Zeit Idealisierung des potentiell Sichtbaren Modell des potentiell Sichtbaren 5 B-CG V Das Digitale Bild Die plenoptische Funktion P [Adelson, Bergen] P = f (θ, φ, I(λ), t, P b ) θ, φ Raumwinkel I (λ) Lichtintensität als Funktion der Wellenlänge t Zeit P b Position und Blickrichtung des Beobachters 6 Freiheitsgrade! 6 B-CG V Das Digitale Bild

3 Exkurs: Sehwinkel abstrahiert von Objektgröße und abstand für ein Bild auf der Retina Sehwinkel α = arctan h/s h s α Bild auf der Retina o Sehwinkel = ˆ, mm auf der Retina ' Sehwinkel = ˆ 5μm auf der Retina = ˆ Zapfenstär ke o Sehwinkel = ˆ,5 mm in 6 cm Abstand 7 B-CG V Das Digitale Bild Grundgrößen der visuellen Wahrnehmnung Der Mensch wertet die Parameter der Plenoptischen Funktion simultan aus: θ, φ durch die flächige Anordnung von Rezeptoren in der Retina (Fovea) Wahrnehmungsfähigkeiten FORMSEHEN TEXTURSEHEN I(λ) drei Abtastungen durch unterschiedliche Rezeptoren FARBSEHEN t Zeit P b Abtastungen zusätzlich sukzessiv durch Augen-, Kopf- und Körperbewegung BEWEGTBILDSEHEN STEREOSEHEN TIEFEN- und RAUMSEHEN 8 B-CG V Das Digitale Bild Spezialisierungen der plenoptischen Funktion technisch realisierbare Bilder Pb: eine Abtastung (Monokulares) Bild zwei Abtastungen Stereobild geführte Bewegung Film / Video freie Bewegung Virtual Reality t: wenige Abtastungen Bewegtbild eine Abtastung Festbild I(λ): Abtastungen, z.b. RGB Farbbild Abtastung Grauwertbild extrem quantisiert schwarz/weiß Bild Erkenntnis: Reize lassen sich stark reduzieren wir müssen uns mit den Wahrnehmungsfähigkeiten beschäftigen: kommt etwas später! 9 B-CG V Das Digitale Bild

4 Bildmodelle: Herleitung aus der plenoptischen Funktion P = f (θ, φ, I(λ), t, P b ) G = f ( θ, φ ) = f ( x, y ) F r(x,y) r = g(x,y) = g ( x, y ) b(x,y) b partielle kontinuierliche (analoge) Funktionen: Spezialisierung: Zeit t, Position und Richtung P b fest Graubild Farbbild ( x, y) X Y R R B-CG V Das Digitale Bild Beispiel: kontinuierliche D-Bildfunktion G(x,y) x G(x,y) 5 5 y x y B-CG V Das Digitale Bild Bildfunktion (auch Bildsignal) Ein einkanaliges Bild G (z.b. Grauwertbild) wird als reelle Funktion mit -dimensionalen Definitionsbereich G = f ( x, y ) mit x, y, G R/ modelliert. x,y i.d.r kartesische Ortskoordinaten manchmal auch Winkel, dann (x,y) (θ,φ) (θ Theta φ Phi) f(x,y) nennt man (kontinuierliche) Bildfunktion. B-CG V Das Digitale Bild

5 Bildfunktionen (Bildsignale) Oft haben wir es mit endlichen Bildern zu tun, d.h. es gilt zusätzlich: f ( x, y) nur für Lx x Lx Ly y Ly Auch der Wertebereich ist oft beschränkt: G = f ( x, y ) G max Für Grauwertbilder gilt dann i.d.r. folgende Entsprechung: : schwarz G max : weiß B-CG V Das Digitale Bild Bildfunktionen Multispektrale Bilder werden als Vektor repräsentiert, mit F( x, y ) F ( x, y ) M =... Fn ( x, y ) Farbbilder als dreidimensionaler Vektor, z.b. mit R( x, y ) F = G( x, y ) B( x, y ) B-CG V Das Digitale Bild Weitere Bildmodellierungen funktionales Bildmodell Theorie der linearen Systeme kontinuierliche Funktionen und lineare Transformationen Ortsbereich f (x,y) kann man transformieren in einen Frequenzbereich f (ξ,η) z.b. zur Analyse durch Fouriertransformation, Cosinustransformation, etc. (ξ,η) nennt man Ortsfrequenzen alternative Beschreibungsformen sind: fraktale Bildmodelle -- nichtlineare Systeme stochastische (statistische) Bildmodelle auch Erweiterungen sind möglich: Volumenbilder V = f ( x, y, z) Volumenrendering G= f ( x, y) 5 B-CG V Das Digitale Bild 5

6 Zusammenfassung: Bildfunktionen Bilder können durch (partielle) kontinuierliche Funktionen (Signale) mit reellen Variablen (Ortskoordinaten und Bildwerte) beschrieben werden beschreiben Bilder als optisches (oder auch elektrisches) Signal Damit steht uns die Theorie der Funktionen als Handwerkszeug zur Verfügung: insbesondere die lineare Signaltheorie Alternative Beschreibungen sind möglich Frequenztransformationen Ortsfrequenzen fraktale Bildbeschreibungen (nichtlineare Signaltheorie) stochastische Bildbeschreibungen 6 B-CG V Das Digitale Bild Aus der letzten Vorlesung Bildmodelle Merkmalsebene Rendering Grafik- und Merkmals-Primitive Abtastebene Anzeige (Display) Reiz- & Aktionsebene Digitales Bild (Aufnahme)??? (Bild-) (Bild-)funktion 7 B-CG V Das Digitale Bild Das Digitale Bild Bei der Aufnahme wird ein kontinuierliches Bild (reelle Bildfunktion) diskretisiert (abgetastet) (Ortskoordinaten x,y) x,y sind Integer, z.b. [,] quantisieren DIGITALES BILD (Signalamplitude G(x,y)) G (x,y( x,y) ) ist Integer, z.b. [,55] Sonderfall: analoges Videosignal Vertikal abgetastet (diskkret), d.h. in Bildzeilen zerlegt; horizontal nur in elektrische kontinuierliche Signale gewandelt oder auch: Pixelbild, Rasterbild Bitmap, Pixmap 8 B-CG V Das Digitale Bild 6

7 Ein Beispiel mit erkennbaren Qualitätsproblemen Eine 6x6 Pixel Character Box: x,y [,5] G(x,y) [,]; : schwarz, : weiß Auf einem 7 -Bildschirm: 9 dots per inch 8 dots per inch 6 dots per inch 7 dots per inch 9 B-CG V Das Digitale Bild Charakterisierung des Digitalen Bildes am Beispiel Lena Digitales Bild = D Array aus Abtastwerten (Pixeln) in z.b. 8 Bit Integer übrigens: Lena oder Lenna ist eines der bekanntesten Testbilder der Community, weitere siehe: zur Auswahl dieses Bildes (Bild-Ausschnitt des Playmate des Monats November 97) gibt es eine ganze Story: mit amerikanischer Krorrektheit: WARNING this picture contains nudity. B-CG V Das Digitale Bild Weitere sehr bekannte Testbilder Girl Tree House alle 56x56x bit B-CG V Das Digitale Bild 7

8 Mandrill (a.k.a. Baboon) 5x5xbit B-CG V Das Digitale Bild Peppers 5x5xbit B-CG V Das Digitale Bild Abtasten, was heißt das genauer? Betrachten wir einen Ausschnitt aus Lena Die Kreuzungspunke der Linien sind die Abtast - punkte und markieren z.b: den Pixelmittelpunkt quadratische Apertur Pixelwerte bei idealer und realer Abtastung Ideale Abtastung: Mit einer unendlichen dünnen Meßspitze wird der Bildfunktionswert am Abtastpunkt genau bestimmt. Reale Abtastung: In einem Gebiet, z.b. Quadrat, Rechteck, Kreis (der endlichen Apertur) um den Abtastpunkt, werden die Bildfunktionswerte (ggf. gewichtet) aufintegriert und ein Mittelwert gebildet. B-CG V Das Digitale Bild 8

9 Die Gewichtung der Bild-Funktionswerte im Pixel muss bei der realen Abtastung nicht einheitlich sein, ist aber oft symmetrisch zum Pixelmittelpunkte Rechteck Box CCD-Abtaster Dreieck Tent Glockenkurve Gaussian Flying Spot-Abtaster, Kameraröhre u.v.a.m. aber kann ein Nadelimpuls sein ideale Abtastung 5 B-CG V Das Digitale Bild Beispiel: diskretes Bild Zentraler Begriff: Pixel (abstrakt für Abtastwert) Kunstwort abgeleitet von picture element in der Gerätetechnik manchmal auch Pel (konkret, z.b. auf dem Display) oder dot B-CG V Das Digitale Bild Beispiel: quantisiertes diskretes Bild Digitales Bild (Rasterbild, Pixelbild ) Oft werden Pixelwerte nur durch ein 8 Bit Integer repräsentiert! 7 B-CG V Das Digitale Bild 9

10 Die wichtigsten Parameter (Metadaten) eines Digitalen Bildes Pixelzahl (horizontal und vertikal), z.b. 5x5 Achtung: manche Autoren nennen das Auflösung: streng FALSCH! Auflösung wäre etwas wie Pixel/mm, dots/inch, Linien/mm,... Interpretation der Indexwerte: Wo ist G(,)?, üblich oben links und z.b. 7 Index-Incremente entsprechen inch: 7 dots/inch Auflösung Wertebereich und Interpretation, z.b. = schwarz = weiß weitere Parameter zur Interpretation: Gamma, Abtastparameter, was ist schwarz?, was ist weiß, kommt später. Codierung, meist Integer: Byte pro Pixel ( Byte = 8 Bit) Grauwertbild oder Byte pro Pixel RGB für ein Farbbild 8 B-CG V Das Digitale Bild Speicher- und Austauschformate für Digitale Bilder Kompression und Kodierung Speichern Austauschen Format: Kodierung Kompression Syntax und Semantik einer Sprache, Struktur des Headers mit den Metadaten Abbildung der Pixelwerte auf ein Alphabet und Art der Serialisierung Reduzierung der Datenmenge (verlustbehaftet oder verlustfrei) 9 B-CG V Das Digitale Bild Beispiele für Austausch- und Speicherformate Digitale Bilder (Rasterfiles) BMP Windows Bitmap Format Microsoft Fax Group oder Fax Group CCITT (ITU) GIF Graphics Interchange Format JFIF JPEG File Interchange Format ISO/IEC PBM Portable Bitmap PNG Portable Network Graphics (gesprochen ping ) TGA Targa File Format TIFF Tag Image File format u.v.a.m., insbesondere proprietäre Produktformate B-CG V Das Digitale Bild

11 Beispiele für Austausch- und Speicherformate Digitalvideo = Folge von Einzelbildern CCIR 6 Basis des Digitalfernsehen (CCIR) ITU H.6 Videokonferenzstandard (CCITT) ITU M-JPEG Motion JPEG ISO/IEC/ITU MPEG Motion Picture Expert Group ISO/IEC/ITU QT Quicktime Apple AVI Microsoft Details in Multimedia und Animation oder B-CG V Das Digitale Bild Beispiele zur Bildkompression, hier JPEG Geringe Kompressionsrate / Beste Qualität 8KB file Mittlere Kompressionsrate und Qualität 8KB file Sehr hohe Kompressionsrate / Schlechte Qualität 6KB file aus B-CG V Das Digitale Bild Weitere Informationen zu Fileformaten Übersicht zu Graphics File Formats Mehr als verschiedene Formate werden vorgestellt. Links zu Format-Spezifikationen. Viele praktische Hinweise zur Formatwandlung und Problemlösungen. Leider seit 997 nicht mehr aktualisiert. aktuellere Infos unter : Wotsit's Format, the complete programmer's resource on the net B-CG V Das Digitale Bild

12 Probleme und Fragen Wie hängen kontinuierliche Bilder und Digitale Bilder zusammen? Abtastung (Diskretisierung) <==> Rekonstruktion Das Abtasttheorem: Die Theorie Ideale Abtastung und Rekonstruktion Reale Abtastung und Rekonstruktion Charakterisierung und Bewertung der unvermeidbaren Fehler... später, noch in dieser Vorlesung Quantisierung: Welche Effekte entstehen unter Umständen B-CG V Das Digitale Bild Geometrie und Merkmalsebene Beschreibt ein Bild (D) oder eine Szene (D) durch Ensemble von geometrischen Objekten (Punkte, Linien, Flächen, Körper) in einem Koordinatensystem Erscheinungsattribute der Objekte (Farbe, Struktur, Textur, Parametern von Beleuchtungsmodellen, Betrachtungsbedingungen (Ausschnittsbildung, Skalierung in D oder Virtuelle Kamera und Beleuchtung in D) 5 B-CG V Das Digitale Bild Geometrie und Merkmalsebene Wichtige Unterscheidung Koordinatensystem: D oder D y D: ggf Ausschnitt darstellen: streng: Window (Teilmenge des Definitionsbereichs) Viewport (Teil des Bildschirms) Window-Viewport Transformation D: Szene wird durch virtuelle Kamera (Viewing Transformationen, perspektivische Transformation) auf D abgebildet y z -z x x 6 B-CG V Das Digitale Bild

13 Beispiele für Austauschformate Geometrie und Merkmalsebene D Vector Files Zeichnungen, CAD HPGL HP Graphics Language (Plottersprache) Hewlett-Packard DXF Drawing exchange Format Autodesk (original D später auf D erweitert) Metafiles (Raster & Vektorgraphik) CGM Computer Graphic Metafile ISO/IEC Page Description Language (Seitenbeschreibungssprachen) PS (EPS) (Encapsulated) PostScript PDF Portable Document Format Adobe 7 B-CG V Das Digitale Bild Beispiele für Austauschformate Geometrie und Merkmalsebene D CAD Formate IGES Initial Graphics Exchange Specification STEP Standard for the Exchange of Product Data Szenen- und Objektbeschreibungssprachen VRML Virtual Reality Modeling Language ISO/IEC RIB Renderman Interface Bytestream Animation FLT MultiGen Flight OBJ Wavefront Object Alias (Wavefront) MAX D Studio Max Kinetix 8 B-CG V Das Digitale Bild Programmierschnittstellen JAVA D Performer (SGI) Open SG (Open) GL Direct X Direct D Display List oder Szenegraph API: Application Programmers Interface 9 B-CG V Das Digitale Bild

14 Übersicht. Die Plenoptische Funktion kontinuierliche Bildfunktionen. Das Digitale Bild - Charakterisierung Austauschformate und Programmierschnittstellen. Das Computergraphik-Bild Austauschformate und Programmierschnittstellen. Abtastung / Rendering Anzeige (Rekonstruktion) Das Abtasttheorem: Die Theorie Ideale Abtastung und Rekonstruktion Reale Abtastung und Rekonstruktion Aliasing: Eine erste Charakterisierung der unvermeidbaren Fehler 5. Zusammenfassung 6. Ausblick Nächste Schritte B-CG V Das Digitale Bild Aus der letzten Vorlesung plus neue Terminologie, insbesondere aus der Signal- und Abtasttheorie Rendering: speziell das Rasterisieren Abtastebene Anzeige (Display) Rekonstruktion Reiz- & Aktionsebene Digitales Bild D array of integer Aufnahme: Abtastung (Bild-)funktion B-CG V Das Digitale Bild Ein kleiner Ausflug in die Systemtheorie Ziel: Wir wollen das Abtasten mathematisch fassen, um so den Vorgang besser zu verstehen und um die optimalen Abtast-Bedingungen zu erkennen zu erkennen, wann wir welche Fehler machen um ggf. auftretende Fehler qualitativ und quantitativ beschreiben zu können Ideen zur Minimierung dieser Fehler zu bekommen unsere Lösungen zu bewerten Vollständig geht das in dieser Vorlesung leider nicht! Aber: Wir wollen die Grundzüge verstehen, dann ist ggf. ein Selbststudium möglich! Oder in der Veranstaltung DBV (Mester) wird dieses intensiv behandelt! B-CG V Das Digitale Bild

15 Eine spezielle Funktion : Der Diracsche Deltaimpuls nach Paul Dirac 9 wird über seine Haupteigenschaften definiert: δ ( x) : = für x δ ( x, y ) : = für x, y δ ( x) dx = δ ( x, y ) dxdy = δ ( x, y ) = δ ( x ) δ ( y ) Streng: Es gibt keine klassische Funktion δ mit diesen Eigenschaften. δ ist streng genommen eine Distribution (verallgemeinerte Funktion). andere Namen Diracfunktion, Deltafunktion, Nadelimpuls B-CG V Das Digitale Bild Der Diracsche Deltaimpuls Die Deltafunktion läßt sich auch als Grenzwert einer Familie von Funktionen definieren, z.b: δ ( x, y) lim rect a b a, b a, b ( x, y) mit a b rect a, b für x a und y b ( x, y) = sonst a b anschaulich: eine Rechteckfunktion mit unendlich kleiner Impulsbreite und unendlicher Impulshöhe im Ursprung Nadelimpuls B-CG V Das Digitale Bild Die Ausblendeigenschaft (Siebeigenschaft, sifting property) der Deltalfunktion: + f ( x) δ ( x x ) dx = f ( x ) Dieses Integral blendet an der Stelle x den Funktionswert f(x ) aus: f(x ) f (x) x x 5 B-CG V Das Digitale Bild 5

16 Ideale Abtastung eines Bildes erfolgt durch S(x,y) Diracfeld = D Feld von Nadelimpulsen (δ-impulsen) S( x, y) Δx y Δy x S ( x, y ) = + + m = n= δ ( x m Δx, y nδy ) 6 B-CG V Das Digitale Bild Ideale Abtastung Wir definieren als abgetastetes Bild fs: f = f ( x, y) s( x, y) s = f ( x, y) δ ( x mδx, y nδy) mn, = = f ( x, y) δ ( x mδx, y nδy) mn, = f x y für x m x y n y = f m x n y = (, ) = Δ, = Δ ( Δ, Δ ) sonst 7 B-CG V Das Digitale Bild Zwischenruf: Fouriertransformation als Integraltransformation Operationen nach ihrer Schwierigkeit geordnet: Addition und Subtraktion Multiplikation und Division Differentiation und Integration Allgemeine mathematische Strategie oder ein Trick : Durch Transformationen lassen sich ggf. Schwierigkeiten reduzieren: Logarithmieren: Multiplikation Addition Integraltransformationen: Differentiation Multiplikation Mit Hilfe der Fouriertransformation lassen sich diverse Probleme der Signaltheorie elegant lösen 8 B-CG V Das Digitale Bild 6

17 ,5,5 -,5 - -, Fouriertransformation D j( ux+ uy ) F ( u, v) = f ( x, y) e dxdy (Hin-)Transformation j( ux + vy ) (Rück-)Transformation f ( x, y) = F ( u, v) e dudv π j( ux+ uy) e = cos( ux + uy) + j sin( ux + uy) Ortsraum Ortsfunktion f(x,y) i.d.r. reell Frequenzraum Frequenzspektrum F(u,v) i.d.r. komplexwertig, d.h. besteht aus Amplitudenspektrum (Betrag) und Phasenspektrum 9 B-CG V Das Digitale Bild Eigenschaften der D-Fourriertransformation Es sei f(x, y) die Funktion der Intensität im Punkt (x, y) und unter der Voraussetzung, dass die Integrale der Transformationsgleichungen existieren, dann sind ξ,ξ die zugehörigen Ortsfrequenzen von f(x, y). Zwischen den stetigen Funktion f(x, y) und F ( ξ,ξ ) besteht eine eineindeutige Beziehung. Die Transformation einer Sinusfunktion ergibt ein Linienspektrum: ξ Die Transformation des Deltaimpulses ergibt : δ ( x, y) 5 B-CG V Das Digitale Bild Transformation weiterer Funktionen Δx. Δx Δx rect Δ xx Δx ξ ξ sinc sinc( ξ ) x ξ y ξ x Δx. Δx Δx tri Δ xx Δx ξ sinc ξ sinc ξ x ξ y ξ x Δx.. x sinc Δx Δx Δx ξ ξ rect rect( ξ ) x ξ y ξ x 5 B-CG V Das Digitale Bild 7

18 Beispiel: Abtastung der Funktion f(x,y) f(x,y) f S ( x, y) y x y Δy x Δx f ( x, y) für x = mδx, y = nδy f s ( x, y) = f ( mδx, nδy) = sonst Eine systematische Untersuchung der Eigenschaften von ( x, y) zeigt u.a.: f S 5 B-CG V Das Digitale Bild Abtasttheorem nach Shannon (): Abtastung Ein b u, b v bandbegrenztes Bild f(x,y), das orthogonal mit Abtastintervallen Δ x, Δ y ideal abgetastet wird, kann fehlerfrei rekonstruiert werden, wenn die Abtastfrequenzen u s, v s größer als die Nyquist-Frequenzen b u und b v sind. = u > b, = v > b Δx Δy mit s u s v F ( ξ, η) =, ξ > b, η > b u v 5 B-CG V Das Digitale Bild Abtasttheorem (): Rekonstruktion Ein diskretes Bild f x y d lässt sich mit Hilfe eines (idealen) Tiefpasses mit der Übertragungsfunktion H ( u, v) = Δ xδ y rect ( u, v) m it T P ξη b < ξ < Δ u b u n d b v < η < Δ v b u u v h ( x, y ) = Δ x Δ y sin c ( x ξ ) sin c ( y η ) T P rekonstruieren, so dass dieses mit dem ursprünglichen Signal identisch ist. Das rekonstruierte Bild ist dann f ( x, y ) = x y sin( m ) π sin( n) π (, ) x Δ y f m Δ x nδ y Δ x y ( m ) π ( n ) π Δx Δ y m= n= 5 B-CG V Das Digitale Bild 8

19 ,5,75,5,5 -,5 -,5 -,75 - -,5,5,5 -,5 - -, Eine wunderschöne Theorie! - Aber Erfüllung des Abtasttheorems: ein bandbegrenztes Bildsignal ist Voraussetzung! in der Praxis oft nicht gegeben! einen idealen Abtaster (Nadelimpuls) gibt es nicht! Rekonstruktion auch nicht ideal möglich (sinc-funktion: negatives Licht, unendlich ausgedehnt!) unvermeidbare Fehler können nur minimiert werden (dann bestenfalls unsichtbar): Diese sind Aliasing. Art: Abtastfehler: Moiree, Scintillation,... Aliasing. Art: Rekonstruktionsfehler: Treppenstufen,..., Auflösungsverlust 55 B-CG V Das Digitale Bild Aliasing. Art: Veranschaulichung im D Ortsraum Frequenzraum b u Bandgrenze Nyquistfrequenz 56 B-CG V Das Digitale Bild Aliasing. Art: Unterabtastung Ortsraum u s Abtastfrequenz Frequenzraum b u Bandgrenze u s Abtastfrequenz Nyquistfrequenz 57 B-CG V Das Digitale Bild 9

20 Aliasing. Art: Veranschaulichung im D,5 Ortsraum,75,5,5 -,5 -,5 -,75 - -,5 Die beiden Sinusfunktionen ergeben abgetastet die gleichen Werte: Es gibt einen ALIAS = Doppelgänger Bei der Rekonstruktion wird die niederfrequente Funktion erzeugt! 58 B-CG V Das Digitale Bild Effekt : Moiree niederfrequente Muster, dort wo man ein einheitliches Grau erwarten würde! 59 B-CG V Das Digitale Bild Effekt : Szintilation bei Bewegung zu kleiner Objekte führt dieses zum Aufblitzen 6 B-CG V Das Digitale Bild

21 ,5,75 5 -,5,5 Aliasing. Art - Maßnahmen Bandbegrenzung des abzutastenden Bildes durch z.b. bei der Aufnahme optische Unschärfe einfach, adhoc einsetzbar wenig effektiv, weil Filterflanken nicht steil genug erfordert Abtastraten deutlich über Nyquistfrequenz deutlich sichtbare Unschärfe endliche Abtastapertur hat Tiefpaßwirkung beim Rendering sehen wir später! 6 B-CG V Das Digitale Bild Reale Bildrekonstruktion - Anzeige Ideale Rekonstruktion mit sinc-funktion ist praktisch nicht realisierbar praktische Lösungen: Rechteckausgaben (zero-order hold) Artifakte: Treppenstufen Ameisenkrabbeln (ant crawling) nur im Bewegtbild in der Praxis auf CRT teilweise gemildert durch: horizontal: Tiefpaßwirkung des Videoverstärkers vertikal: Gaußfunktion des Elektronenstrahls hochfrequentes Rauschen durch Lochrastermaske auf LCDs deutlich sichtbar! 6 B-CG V Das Digitale Bild Das Rekonstruktionsdilemma Wenn man nicht mit einer sync-funktion rekonstruiert, dann sind Auflösungsfehler Unschärfe und Interpolationsfehler Treppenstufen unvermeidlich. Im Frequenzraum sind die Fehler deutlich erkennbar: Vergleich der idealen Rekonstruktion mit einer Rechteck-Rekonstruktion Ideal Sync-Funktion im Ortsbereich Rechteck im Frequenzbereich Auflösungsfehler Rechteck im Ortsbereich Sync im Frequenzbereich Interpolationsfehler 6 B-CG V Das Digitale Bild

22 Rekonstruktion auf LCD-Displays = Rechteck! Auflösungsverlust: minimal!!! Interpolationsfehler: maximal!!! Treppenstufen Ameisenkrabbeln Theoretisch ist Verbesserung möglich durch eine entsprechende optische Filterung (Mattscheibe kein idealer TP!) Glücklicherweise ist das Visuelle System auch ein wirksamer Tiefpaß 6 B-CG V Das Digitale Bild Rekonstruktion auf CRT-Displays Vergleichsweise gute Annäherung an Sinc-Funktion im Zentralimpuls = Rechteck in der Fouriertransformierten Auflösungsverlust fast so gering wie bei LCD-Display Interpolationsfehler geringer friedlich Notwendig: korrekte Strahlfokussierung 65 B-CG V Das Digitale Bild Zusammenfassung (Reale kontinuierliche) Bilder lassen sich unter bestimmten Bedingungen (Shannonsche Abtasttheorem) durch Digitale Bilder = diskretisierte (abgetastete) und quantisierte Bilder ersetzen. Das ist oft unproblematisch (Digitale Fotografie), aber insbesondere das Aliasing bedarf unserer Aufmerksamkeit: Fehler beim Abtasten Fehler bei der Rekonstruktion (Anzeige) Die lineare Systemtheorie liefert die Werkzeuge um die Phänomene zu beschreiben und zu beherrschen, aber man kann sie in der Praxis nicht vollständig vermeiden! 66 B-CG V Das Digitale Bild

23 Fragen und (hoffentlich) Antworten 67 B-CG V Das Digitale Bild Ausblick... am nächsten Mittwoch Wir wenden uns unserem Hauptthema, der Graphikebene, zu und untersuchen zunächst, wie die Geometrie der Objekte repräsentiert werden kann.... und, danke für Ihre Aufmerksamkeit! 68 B-CG V Das Digitale Bild