Flächen r = const. Eberhard Mittermayer, Berlin. 2 Der Ortsvektor. 1 Einleitung

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1 Eberhard Mittermayer, Berlin Eine weitere Parameterdarstellung der biharmonischen Flächen r = const. In Mittermayer (2000) wurde zur differentialgeometrischen Betrachtung der biharmonischen Flächen r = const. eine Parameterdarstellung (r, q) eingeführt. Wird die Mercator-Breite q durch die geographische Breite ersetzt, erhalten wir eine weitere Parameterdarstellung (r, ) dieser Flächen. 2 Der Ortsvektor Wir beginnen mit dem Ortsvektor, dargestellt durch Kugelkoordinaten P(r, λ, φ). (5) Mit der geographischen Breite φ und der geographischen Länge λ mit (1), (4) folgt die Parameterdarstellung der Flächen (6) also, (7) 1 Einleitung Im Beitrag Mittermayer (2000) wurden die differentialgeometrischen Eigenschaften der biharmonischen Flächen y = r l = const. (1) in der Parameterdarstellung mit dem r-abhängigen Einheitsvektor (8) (2) (9) betrachtet. Hierbei sind q die isotherme Mercator- Breite und l die isotherme Mercator-Länge. Eine weitere Parameterdarstellung dieser Flächen (1) in Verbindung mit der geographischen Breite φ wird eingeführt. Es gelten die Transformationen sowie bez. der geographischen Länge λ (3) l = λ. (4) Es sei darauf hingewiesen, daß die Transformation (3) lediglich eine Umnumerierung der r-linien q = const. in φ = const. bedeutet. und dem Betrag des Ortsvektors (8) Mit dem Parallelhalbmesser und der z-koordinate folgt der Meridian r = const. (φ-linie), der in der Meridianebene liegt; Abb. 1.. (10) (11) (12) (13) 94 AVN 3/2000

2 Abb. 1: Der Meridian r = const. ( -Linie) und den Meridianen r = const. in. (20) In den weiteren Abbildungen sehen wir die biharmonische Fläche (18) in (19) und den Meridianen r = const. bez. einer Drehung der Meridianebene von λ = 2π. In Abhängigkeit von r dreht sich die Meridianebene. (14) Mit der absoluten Zeit t und der Beziehung (15) erkennen wir eine Kinematik der rotierenden Meridianebene mit der Winkelgeschwindigkeit Abb. 3: Fläche y = 1 in 2 5 r 2 (16) und der Winkelbeschleunigung (17) siehe hierzu Mittermayer (1999). Als Beispiel betrachten wir die biharmonische Fläche, (18) siehe ebenso in Mittermayer (2000). Die Abb. 2 zeigt die biharmonische Fläche (18) in (19) Abb. 4: Fläche y = 1 in 1 3 r 1 In den folgenden Abbildungen Abb. 5 bis Abb. 11 gilt die allgemeine Formel bez. der Meridiane r = const. mit y = 1. n = 1, 2, 3, (21) Abb. 2: Biharmonische Fläche y = 1 Abb. 5: Fläche y = 1 in 1 4 r 2 1 (n = 1) AVN 3/

3 Abb. 9: Fläche y = 1 in 1 40 r 1 (n = 19) 38 Abb. 6: Fläche y = 1 in 1 6 r 1 (n = 2) 4 Abb. 10: Fläche y = 1 in 1 r 1 (n = 249) Abb. 7: Fläche y = 1 in 1 10 r 1 (n = 4) Abb. 11: Fläche y = 1 in r ( ) (10 10 ) (n = ) Betrachten wir die radiale Differenz aus (21) bez. der biharmonischen Fläche y = 1, (22) Abb. 8: Fläche y = 1 in 1 20 r 1 (n = 9) 18 so folgt für n der Grenzwert, (23) eine Nullfolge. Man erkennt für r 0 eine Folge von 96 AVN 3/2000

4 Bildern der biharmonischen Fläche y = 1, deren Anzahl mit n über alle Grenzen wächst. In den Abbildungen wird sichtbar, daß die Fläche y = 1 für n bzw. r 0 sich der Kugelform nähert. Für r = 0 folgt der Punkt dem Ursprung des Koordinatensystems. Betrachten wir nunmehr r-linien φ = const. der biharmonischen Fläche y = 1. Die Abb. 12 zeigt die r-linie φ = 0, die in der (x, y)-ebene liegt. Aus dem Ortsvektor (8) folgt die Parameterdarstellung Wir erhalten drei Projektionen dieser r-linie φ = π/3 a) die Projektion P in die (x, y)-ebene (32) mit dem Grenzverhalten. (33) (24) mit (25) und. (26) Abb. 13: Projektion P in die (x, y)-ebene b) die Projektion P in die (x, z)-ebene Wir erkennen das Grenzverhalten dieser r-linie. (27) Mit dem Verhältnis. (34) (35) und dem Grenzwert (36) Abb. 12: Die r-linie = 0 Diese Abb. 12 siehe ebenso als Titelbild des VL-Skriptes Die Kugel Mittermayer (1998). Als weiteres Beispiel betrachten wir die r-linie φ = π/3 in der Parameterdarstellung aus dem Ortsvektor (8) (28) erkennen wir das asymptotische Verhalten der Projektion P, nämlich die Asymptote z = 3 x. (37) Allgemein gilt die Asymptote. (38) Abb. 14: Projektion P in die (x, z)-ebene mit, (29), (30). (31) AVN 3/

5 c) die Projektion P in die (y, z)-ebene mit den partiellen Ableitungen (39) mit dem Grenzverhalten. (40) Abb. 15: Projektion P in die (y, z)-ebene b) an die φ-linie (r = const.) (Meridian) (44) mit den partiellen Ableitungen erhalten wir die Gaußschen Fundamentalgrößen 1. Art als Skalarprodukte der Tangentenvektoren (43) und (44) 3 Die Gaußschen Fundamentalgrößen 1. Art Gegeben ist der Ortsvektor der Fläche y = const. 0 (8) mit den Flächenparametern r, φ (45) (46). (41). (47) Für das Linienelement im Quadrat ds 2 gilt die quadratische Form Es folgt die differentialgeometrische Größe mit dem Ergebnis (48) (42) mit den Gaußschen Fundamentalgrößen 1. Art E, F, G. Ausgehend von den Tangentenvektoren a) an die r-linie (φ = const.) (Spirale, ebenso in der Kegelfläche φ = const. liegend) (43). (49) Betrachten wir den Winkel α zwischen dem Tangentenvektor an die r-linie (43) und dem Einheitsvektor e 1 (9) in Richtung des Ortsvektors (8), so folgt die allgemeine Formel. (50) 98 AVN 3/2000

6 Mit dem bemerkenswerten Skalarprodukt (51) (56) und dem Skalarprodukt (45) erhalten wir die Rechenformel für den Winkel α bez. beliebiger biharmonischer Flächen y = const. 0. (52) Mit der Umformung erkennen wir für φ = const. π /2 die Grenzwerte bzw. (53). (54) (57) Die Abb. 16 zeigt die Funktion (52) bez. der Fläche y = 1. und (58) Abb. 16: Die Funktion cos [ (r, φ)], Mit der Transformation zwischen der geographischen Breite und der Mercator-Breite (3), eingesetzt in (52), folgt der Winkel α als Funktion von r, q die Formel (31) in Mittermayer (2000)., (55) 4 Die Gaußschen Fundamentalgrößen 2. Art Wir bilden die zweiten partiellen Ableitungen des Ortsvektors (8) Die Gaußschen Fundamentalgrößen 2. Art L, M, N folgen aus (59) (60), (61) AVN 3/

7 Mit den Volumenprodukten mit (62). (72) (63) (64) und der Größe W (49) erhalten wir als Ergebnis die Gaußschen Fundamentalgrößen 2. Art Damit folgt die Gaußsche Krümmung K, (73) Formel (67). Die Abb. 17 zeigt die Gaußsche Krümmung K bez. der biharmonischen Fläche y = 1 längs der r-linien φ = const., nämlich für die diskreten r-linien. (74). (65) 5 Die Gaußsche Krümmung K Die Gaußsche Krümmung K einer Fläche, auch Flächenkrümmung genannt, folgt aus den Gaußschen Fundamentalgrößen 1. und 2. Art (66) mit dem Ergebnis Es folgt eine zweite Herleitung der Gaußschen Krümmung K (67) mit dem Theorema egregium (Gauß), hier mit den Gaußschen Fundamentalgrößen 1. Art E (45) und G (47) sowie der Größe W (49). Wir erhalten als Zwischenergebnisse die partiellen Ableitungen und. (67) (68) (69) (70) Abb. 17: Die Gaußsche Krümmung K (r, ) Betrachten wir nunmehr die Formel der Gaußschen Krümmung der biharmonischen Flächen y = const. in der Darstellung mit der Ortsfunktion Wir erkennen im Ursprung des Koordinatensystems r = 0 für φ = const. π / 2 beliebiger biharmonischer Flächen y = const. 0 den Funktionswert Mit der Umformung (75). (76). (77) im weiteren (71) (78) 100 AVN 3/2000

8 folgt für r und (y = const. 0, φ = const.) der Grenzwert. (79) Die Abb. 18 zeigt die Ortsfunktion (76) bez. der Fläche y = 1 längs der diskreten r-linien φ = const. (74). mit dem erwarteten Ergebnis, (84) denn es gilt der Zusammenhang, (85) siehe Formel (49). Damit erhalten wir als Ergebnis den Flächennormaleneinheitsvektor (86) mit den Komponenten (87) Abb. 18: Die Ortsfunktion F (r, ) Mit der Transformation (3), eingesetzt in (67), folgt die Gaußsche Flächenkrümmung der biharmonischen Flächen y = const. als Funktion von r, q die Formel (45) in Mittermayer (2000). 6 Die Flächennormale, (80) Die Flächennormale N der Fläche y = const. folgt als Vektorprodukt der Tangentenvektoren (43) und (44) und den Ortsfunktionen (82). Als Projektion des Flächennormaleneinheitsvektors in die (x, y)-ebene erhalten wir mit der Kontrolle (88) (89). (90) Die Abb. 19 zeigt die Komponenten des Flächennormaleneinheitsvektors im Quadrat bez. der Fläche y = 1 längs der r-linie φ = π/3. (81) mit den Ortsfunktionen. (82) Es folgt der Betrag der Flächennormale (83) Abb. 19: Die Komponenten e 2 als Funktion von r i Für r = 0 und φ = π/3 folgt aus (89) (91) AVN 3/

9 und aus (87) Mit der Umformung siehe Abb. 19., (92) (100) 7 Die Krümmung der r-linien Die Krümmung κ der r-linien φ = const. biharmonischer Flächen y = const. 0 folgt aus der allgemeinen Formel. (93) folgt für r und (y = const. 0, φ = const.) der Grenzwert. (101) Die Abb. 20 zeigt die Ortsfunktion (98) bez. der biharmonischen Fläche y = 1 längs der r-linie φ = π/3. Mit den ersten und zweiten partiellen Ableitungen des Ortsvektors (43), (56) folgt das Vektorprodukt (94) und im weiteren der Betrag. (95) Dieses Ergebnis (95) folgt ebenso zur Kontrolle aus der Beziehung. (96) Mit dem Betrag des Tangentenvektors an die r-linie φ = const. aus (45) (97) und dem Betrag (95) folgt gemäß (93) die Rechenformel für die Krümmung der r-linien φ = const. beliebiger biharmonischer Flächen y = const. 0 Abb. 20: Die Ortsfunktion A(r) 8 Die Windung Die Windung τ der r-linien φ = const. biharmonischer Flächen y = const. 0 folgt aus der allgemeinen Formel. (102) Mit der dritten Ableitung des Ortsvektors (103) mit der Ortsfunktion. (98) Wir erkennen im Ursprung des Koordinatensystems r = 0 für φ = const. beliebiger Flächen y = const. 0 den Funktionswert. (99) und den Ableitungen (43), (56) folgt das Volumenprodukt. (104) 102 AVN 3/2000

10 Mit dem Volumenprodukt (104) und dem Betrag (95) erhalten wir gemäß (102) die Rechenformel für die Windung der r-linien φ = const. beliebiger biharmonischer Flächen y = const. 0 Wir erkennen im Ursprung des Koordinatensystems r = 0 für φ = const. beliebiger Flächen y = const. 0 eine Anfangswindung und für r den Grenzwert Die Abb. 21 zeigt die Windung der r-linie φ = π/3 bez. der biharmonischen Fläche y = 1. Abb. 21: Die Windung τ (r) Literatur. (105). (106) BAULE, B. (1979): Die Mathematik des Naturforschers und Ingenieurs, Teil 2 (Band VII, Differentialgeometrie). Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt/M. MITTERMAYER, E. (1998): Die Kugel (im Oktober 1998). Wissenschaft und Technik Verlag Dr. Jürgen Groß, Berlin, Dresdner Str. 26 (2. erweiterte Auflage, 507 S., 162 Abb.). MITTERMAYER, E. (1999): Kinematik der geographischen Länge und geographischen Breite (Mercator). Allgemeine Vermessungsnachrichten, S MITTERMAYER, E. (2000): Differentialgeometrische Betrachtungen der biharmonischen Flächen r l = const. Allgemeine Vermessungsnachrichten, S Anschrift des Verfassers: Dr.-Ing. EBERHARD MITTERMAYER, Univ.-Prof., TU Berlin, Institut für Geodäsie und Geoinformationstechnik, Sekr. H12, Straße des 17. Juni 135, Berlin Zusammenfassung Mit der geographischen Breite wird eine zweite Parameterdarstellung der biharmonischen Flächen r = const. eingeführt. Die Flächenparameter sind (r, ). Der Übergang von der Mercator-Breite q zur geographischen Breite bedeutet eine Umnumerierung der r-linien q = const. in = const. Die Gaußsche Krümmung dieser biharmonischen Flächen wird angegeben und ihr Verhalten für r und r 0 betrachtet. Formeln zur Berechnung der Krümmung und Windung der r-linien = const. werden hergeleitet. Als Beispiel wird eine r-linie = const. in drei Projektionen betrachtet. Mit der Beziehung r = ct und t als absolute Zeit erkennen wir einen Zusammenhang zur Kinematik. Summary Using the geographical latitude one more parametric representation of the biharmonic surfaces r = const. is introduced. The parameters of the surface are (r, ). The transformation from the Mercator latitude q to the geographical latitude means just a change of numbering of r-lines from q = const. to = const. The Gaussian curvature of biharmonic surfaces r = const. is derived and its behaviour for r and r 0 considered. Formulas to calculate the curvature and torsion of the r-lines = const. are derived. As an example, r-line = const. is considered in three projections. From the relation r = ct with t as absolute time, a connection to kinematics is vi- Norwegens komplettes Straßennetz bald digital von Tele Atlas Tele Atlas wird in Zukunft auch das komplette Straßennetz von Norwegen anbieten. Dazu hat Tele Atlas einen Vertrag mit dem norwegischen Unternehmen Transport Telematikk geschlossen, das die umfassende digitale Straßendatenbank ELVEG in die Kooperation einbringt. Tele Atlas konvertiert diese Daten und kann dann als einziger Hersteller digitale Straßenkarten von Norwegen, Dänemark und Schweden in einem einheitlichen Format anbieten. Erste Produkte (zum Beispiel eine Navigations-CD) auf dieser Basis werden zur Jahresmitte 2000 verfügbar sein. Weitere Informationen durch: Lutz Cleffmann, Thomas C. Knodt DiKom Redaktionsservice, Düsseldorf Tel. ( ) , Fax ( ) info@dikom.de, oder Hans-Jörg Lindner Tele Atlas BV, Hildesheim Tel. ( ) , Fax ( ) hans-joerg.lindner@teleatlas.com AVN 3/