Windsurfmechanik. Grundlagen zur Berechnung der Fahrleistungen. Dietrich Hanke

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3 Windsurfmechanik Grundlagen zur Berechnung der Fahrleistungen Dietrich Hanke 3

4 Dipl.-Ing Dietrich Hanke Abteilungsleiter Systemsimulation (i.r.) Institut für Flugsystemtechnik Deutsches Zentrum für Luft- und Raumfahrt e.v. (DLR) Braunschweig Jetzt: Firmengründer und CEO Maui Ultra Fins Windsurf-Finnen Design & Vertrieb Der Inhalt, die Bilder und Grafiken unterliegen dem Copyright. Alle Rechte, insbesondere die Übersetzung in andere Sprachen, sind vorbehalten. Kein Teil des Buches darf ohne schriftliche Genehmigung des Autors in irgendeiner Form durch Fotokopie, Mikroverfilmung oder irgendein anderes Verfahren reproduziert oder in eine von Maschinen, verwendbare Sprache übertragen oder übersetzt werden. 0. Juni 018 4

5 Übersicht Das Windsurfen hat sich seit seiner Einführung in den 70-iger Jahren rasant entwickelt und ist zu einem weit verbreiteten Wassersport geworden, der immer noch viele Menschen weltweit begeistert. Auch heute noch werden alle Windsurf-Komponenten ständig weiterentwickelt und verbessert. Nach wie vor ist es das Ziel, die Fahrleistungen zu erhöhen, die Eigenschaften zu verbessern und dem Fahrer oder Segler mehr Spaß auf dem Wasser zu bieten. Besonderes Augenmerk liegt in dem Erreichen hoher Fahrgeschwindigkeiten, mit dem Ziel, das schnellste Segelfahrzeug auf dem Wasser zu sein. Der derzeitige Weltrekord für Windsurfbretter über 500 m Strecke im nicht offenen Meer liegt knapp unter der 100 km/h Marke. Welche speziellen physikalischen Einflussgrößen beim Windsurfen eine Rolle spielen und wie die maximalen Geschwindigkeiten bei welchen Kursen und Windstärken zu erreichen sind, wird im folgenden anschaulich behandelt. Insbesondere werden die physikalischen Grenzen aufgezeigt. Dabei werden die dafür benötigten mathematischen Grundlagen der Mechanik, der Aerodynamik und der Hydrodynamik aufgezeigt. Für die Fahrleistungsberechnung wird ein Verfahren vorgestellt, bei dem durch Vorgabe einer konstanten Segelkraft alle Einflussgrößen in Abhängigkeit von der Windstärke, dem Kurs und der Fahrgeschwindigkeit, als unabhängiger Variablen, bestimmt werden können. In zahlreichen Beispielrechnungen werden die Leistungsmöglichkeiten diskutiert. 5

6 Nomenklatur Mechanik X =Kraft in x-richtung Y = Kraft in y-richtung Z = Kraft in y-richtung L = Moment um x-achse, Rollmoment M = Moment um y-achse, Nickmoment N = Moment um y-achse, Giermoment m = Masse g = Erdbeschleunigung V = Geschwindigkeit VS = Fahrgeschwindigkeit =Anströmgeschwindigkeit des Wassers VA = Geschwindigkeit des scheinbaren Windes = Anströmgeschwindigkeit der Luft VT = Geschwindigkeit des wahren Windes VLUV = Luvgeschwindigkeit = Fahrgeschwindigkeit gegen den Wind G = Gesamtgewicht GB = Gewicht Fahrer (Body) GR = Gewicht Rigg GH = Gewicht Board α = Anstellwinkel β = Schiebewinkel = Anstellwinkel Finne φ = Riggneigung, Pfeilwinkel γa= Kurswinkel zum scheinbarenwind, gesegelter Kurs γ = Kurswinkel zum wahren Wind Θ = Nickwinkel 6

7 Φ = Rollwinkel ψ = Gierwinkel h = vertikaler Abstand des Segeldruckpunktes zum Board a = Momentenhebelarm des Fahrergewichts Aerodynamik Segel F = Gesamtluftkraft des Segels FH = horizontale Komponente von F FK= Seitenkraft des Segels FV= Vortriebskraft des Segels, Schubkraft FA = vertikale Komponente von F L = Auftrieb CLα = Auftriebsgradient Segel D = Widerstand DS = schädlicher Widerstand DB = Widerstand des Fahrers Λ = Streckung, Seitenverhältnis Λeff = effektive Streckung, Seitenverhältnis εa = aerodynamischer Gleitwinkel E = Gleitzahl π = Kreiszahl, Pi ρa = Dichte Luft μa = Zähigkeit der Luft νa = kinematische Zähigkeit der Luft qa = Staudruck der Luft Re = Reynoldszahl 7

8 b = Spannweite b/ = Halbspannweite δ = Segeleinstellwinkel C L = Auftriebsbeiwert C D = Widerstandsbeiwert CM = Domentenbeiwert CF = Gesamtkraftbeiwert S = Bezugsfläche e = Korrekturfaktor L = Auftrieb D = Widerstand c = Profiltiefe d = Profildicke d/c = relative Profildicke f = Profilwölbung f/c = relative Profilwölbung lμ = mittlere Flügeltiefe DP = Segeldruckpunkt Hydrodynamik RH = hydrodynamische Gesamtkraft LH= hydrodynamische Seitenkraft DH= hydrodynamischer Widerstand DBG = hydrodynamischer Widerstand des Bretts LFN= Auftriebskraft der Finne = Finnenseitenkraft DFN= Widerstandskraft der Finne FFN= Gesamtkraft der Finne εh= hydrodynamischer Gleitwinkel 8

9 εfn = hydrodynamischer Gleitwinkel der Finne DPL = Lateraldruckpunkt, Brett αb = Anstellwinkel des Bretts Swetted = mit Wasser benetzte Fläche SFN = Bezugsfläche der Finne CLβ = Auftriebsgradient Finne ρh = Dichte Wasser qh = Staudruck des Wassers μh = Zähigkeit des Wassers νh = kinematische Zähigkeit des Wassers k = Rauigkeitshöhe pν = örtlicher Druck p = Dampfdruck Wasser σ = Kavitationszahl Indizes A = Aerodynamik H = Hydrodynamik g = geodätisch 9

10 Inhalt Übersicht 5 Nomenklatur 6 1.Einleitung 1. Besonderheiten des Windsurfens 1 3. Der relative Wind Das Winddreieck Fahrzustandsgleichungen Achsensysteme 0 4. Kräfte und Momente am Windsurfbrett Maximale Segelkraft Hydrodynamische Kräfte Gleichgewichtsbedingungen Ermittlung der Fahrgeschwindigkeit 8 5. Aerodynamik des Segels Auftrieb Widerstand Segelpolare Segeltwist Hydrodynamik Brettkräfte Finnenkräfte Oberflächenrauigkeit Kavitation Fahrleistungsberechnung 4 10

11 9.1 Berechnungsablauf Berechnungsbeispiel 1, Wind 0 kn; Kurs 10 Grad Ermittlung der maximalen Fahrgeschwindigkeit Erforderliche Segel- und Seitenkraft Erforderliches Fahrergewicht Auftriebsbeiwerte von Segel und Finne Berechnungsbeispiel, Wind 45 kn; Kurs 140 Grad Maximalgeschwindigkeit Erforderliche Segel- und Seitenkraft Auftriebsbeiwerte von Segel und Finne Maximal erreichbare Geschwindigkeiten Geschwindigkeitsrekorde von Segelfahrzeugen Widerstandsanteile Ergebnis aus Fahrversuch Zusammenfassung Schrifttum 55 11

12 1. Einleitung Für die Fahrleistungsberechnung eines Windsurfsystems werden die Grundlagen der Mechanik [6] (Kräfte und Momente, Gleichgewichtsbedingungen) und der Strömungsmechanik verwendet. Für alle Komponenten im Luftstrom ist das die Aerodynamik [1,,3] und für alle Komponenten im Wasser, die Hydrodynamik [3,4,5]. Zur Fahrleistungsberechnung reichen einfache physikalische Grundlagen aus, wie sie auch z.b. für die Leistungsberechnung von Yachten, Flugzeugen oder Fahrzeugen angewandt werden. Wie z.b. auch in der Flugmechanik mit Flugeigenschaften (Stabilität, Steuerbarkeit) und Flugleistungen (max. und minimale Geschwindigkeiten, Reichweite usw.) können wir die Bereiche Fahrleistungen auf das Windsurfen übertragen. Für die Berechnung der Bewegungen von Körpern im Raum bedienen wir uns der Newtonschen Prinzipien, die besagen, dass ein Körper sich nur unter dem Einfluss von auf ihn angreifenden Kräften bewegt. Sind alle Kräfte und hervorgerufenen Momente gleich groß und entgegengesetzt (heben sich in ihrer Wirkung auf) bewegt sich der Körper mit konstanter Geschwindigkeit, was als stationärer Fahrzustand bezeichnet wird. Aus den angreifenden aerodynamischen und hydrodynamischen Kräften und Momenten, die für einen stationären Fahrzustand im Gleichgewicht sein müssen, läßt sich die Fahrgeschwindigkeit bestimmen. Der im folgenden beschriebene Ansatz zur Berechnung der Fahrleistungen besteht in der unmittelbaren Berechnung aller Kräfte in Abhängigkeit der Fahrgeschwindigkeit als unabhängiger Veränderlichen, unter Vorgabe der Segelkraft, der Windstärke und dem gesegelten Kurs [7]. In der Literatur werden Fahrleistungsberechnungsverfahren von Segelschiffen und Yachten als VPPVerfahren (Velocity Prediction Programm) bezeichnet.. Besonderheiten des Windsurfens Das Besondere beim Windsurfen im Vergleich zum Segeln, liegt darin, dass hauptsächlich im Gleitzustand gefahren wird und nicht in der Verdrängerfahrt, wie bei Segelschiffen. Auf Grund des geringen Wasserwiderstand beim Gleiten sind sehr hohe Fahrgeschwindigkeiten möglich. Der Fahrer wählt seine Segel- und Brettgröße in Abhängigkeit der Windstärke und seinem Gewicht immer so aus, dass er den Gleitzustand bei den gegebenen Windbedingungen erreicht. Eine weitere Besonderheit im Vergleich zum Segeln ist, dass die feste Verbindung zwischen Mast und Bootskörper durch eine Gelenkverbindung (power joint) aufgehoben wird, so dass kein Krängungsmoment übertragen werden kann (Bild 1). Damit entfällt die Neigung von Segel und Bootskörper mit dem Wind. Die Segelneigung beim Windsurfen erfolgt gegen den Wind und dient ausschließlich dazu, das Momentengleichgewicht zwischen Segelkraft und Fahrergewicht herzustellen. 1

13 Bild 1: Vergleich Segeln - Windsurfen Dadurch werden viele Probleme, die durch eine starre Verbindung von Mast (Segel) und Bootskörper bei Segelschiffen oder Yachten entstehen (Überschlag, Krängung, Kentern), beim Windsurfen vermieden. Eine starre Verbindung von Segel und Bootskörper bedeutet, dass sich jede Änderung der Kräfte und Momente am Segel auf den Bootskörper auswirken und umgekehrt. Es handelt sich also um ein stark gekoppeltes System zwischen aerodynamischen und hydrodynamischen Einflüssen. Durch die Entkopplung von Segel und Brett beim Windsurfen ergeben sich ganz andere Fahrweisen und Fahrleistungen. Außerdem wird die Berechnung erheblich vereinfacht, da die aerodynamischen und die hydrodynamischen Kräfte nahezu unabhängig voneinander betrachtet und berechnet werden können. Beim Windsurfen im stationären Zustand befindet sich das Segel zu jeder Zeit mit dem Gewicht des Fahrers im Gleichgewicht, unabhängig davon, wie groß das Segel ist, wie schnell das Board fährt und wie stark der Wind ist. Der Fahrer stellt das Segel durch Gewichtsverlagerung (Ausreiten) und Segelanstellung zum Wind intuitiv so ein, dass der Gleichgewichtszustand eingehalten wird. Windböen werden durch Auswehen von Teilen des Segels im Top (Twist) kompensiert und durch Gewichtsverlagerung des Fahrers ausgeglichen ebenso alle Bewegungen des Boards durch auftreffende Wellen unabhängig von der Segelstellung durch Fußsteuerung. Der Segeltwist erlaubt das Segeln mit nahezu konstanter Segelkraft. Richtungsänderungen, wie Halsen im Gleitzustand, erfolgen durch Neigen des Bretts um die Längsachse, wobei sich das Brett wie ein Motorrad oder Snowboard in die Kurve legt. Dabei wird das Segel während des Halsens so eingestellt, dass es soweit wie möglich eine Vortriebskraft erzeugt und im richtigen Moment für die neue Fahrtrichtung umgeschlagen wird, so dass völlig durchglittene Halsen (Race Jibes) ohne grossen Fahrtverlust gefahren werden können. 13

14 3. Der relative Wind Bevor die angreifenden Kräfte und Momente bestimmt werden ist es wichtig, sich über die Bedingungen der Anströmungen des Windes auf Segel und Brett im Klaren zu werden, da die tatsächliche Anströmung (scheinbarer oder relative Wind) die aerodynamische Segelkraft bestimmt. Für jedes Fahrzeug, das sich gegenüber der Luft bewegt, ergibt sich ein Fahrtwind, der zur Fahrgeschwindigkeit entgegengesetzt gerichtet und der Größe der Fahrgeschwindigkeit entspricht. Bewegt sich das Fahrzeug unter Windeinfluss ergibt sich die aktuelle Anströmung in Größe und Richtung aus der vektoriellen Addition der Windgeschwindigkeiten von Fahrtwind und wahrem Wind. Die resultierende Anströmung der Luft ist der sogenannte scheinbare Wind in Richtung und Stärke. Die Definition der Kurse zum Wind und die entsprechenden Geschwindigkeitsvektoren sind in Bild dargestellt. Bild : Definition der Kurse zum Wind Für die unterschiedlichen Kurse ergeben sich je nach Geschwindigkeit unterschiedliche relative Windgeschwindigkeiten und Anströmwinkel Das Winddreieck Bei der Bewegung unter Windeinfluss lassen sich die Verhältnisse sehr anschaulich grafisch darstellen (Bild 3). Der Wind wird durch Vektoren nach Richtung (Winkel) und Größe (Länge) dargestellt. Die vektorielle Summe zweier Windkomponenten ergibt sich aus dem Schließen des Winddreiecks. 14

15 Bild 3: Das Winddreieck Berechnung des scheinbaren Windes ergibt sich zu (s. Bild 3): V A=V S +V T V S V T cos(180 γ) (1) mit cos (180 γ)= cos(γ) () folgt V A=V S +V T + V S V T cos(γ) (3) In gleicherweise für die Berechnung der Fahrgeschwindigkeit und der Windgeschwindigkeit: (4) (5) V S =V T +V A V T V A cos(γ γ a) V T =V A+V S V A V S cos(γ a) Die scheinbare Windgeschwindigkeit ist dann: V A= V A (6) V A= V S +V T + V S V T cos(γ) (7) Der Winkel des scheinbaren Windes zum gesegelten Kurs ergibt sich aus (5) zu: γ A =arccos ( V A+V S V T V A V S ) (8) Je nach Kurs und Geschwindigkeit des wahren Windes und dem Fahrtwind ergeben sich sehr 15

16 unterschiedliche Windwinkel und Windstärken des scheinbaren Windes. Für die Segelkraft ist die Geschwindigkeit des scheinbaren Windes VA von Bedeutung und für die Brett- und Finnenkraft, die Fahrgeschwindigkeit VS gegenüber dem Wasser. Für den Fall der Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit und Kurs mit zunehmender Windstärke (Geschwindigkeit des wahren Windes) vergrössert sich der Winkel des scheinbaren Windes. Bei konstantem wahren Wind, aber zunehmender Fahrgeschwindigkeit, wird der Winkel des scheinbaren Windes immer kleiner. Er fällt immer vorlicher ein. Der Winkel ist also abhängig vom Verhältnis der Fahrgeschwindigkeit zum wahren Wind VS/VT. Bei grossem Verhältnis ist der Winkel klein, bei kleinem Verhältnis groß. Diese physikalischen Verhältnisse sind unveränderlich und haben den entscheidenden Einfluss auf die Fahrleistungen eines mit Segeln oder Kites ausgerüsteten Fahrzeugs zu Wasser, Land oder Eis, da sie die vom Segel erzeugte Kraft unmittelbar beeinflussen. Die Fahrleistung ist damit vom gesegelten Kurs, der Fahrgeschwindigkeit und der Windstärke abhängig. Jede Änderung einer Komponente verändert die anderen Komponenten. Bild 4 zeigt das Verhältnis der scheinbaren Windgeschwindigkeit zur Fahrgeschwindigkeit VA/VS in Abhängigkeit von der Fahrgeschwindigkeit VS und für verschiedene Kurse von 60 bis 160 Grad (upwind bis downwind). Bild 4: Die Stärke des scheinbaren Windes in Abhängigkeit der Fahrgeschwindigkeit und des Kurses zum Wind. Bild 4 zeigt, dass der scheinbare Wind bis zu einem Kurs von 90 Grad immer größer und bei Kursen größer 90 Grad kleiner als die Fahrgeschwindigkeit werden kann. 16

17 Bild 5: Scheinbarer Windwinkel in Abhängigkeit des Verhältnisses von Fahrgeschwindigkeit zum Wind und dem gesegelten Kurs. Wie in Bild 5 gezeigt, nimmt der scheinbare Windwinkel mit der Fahrgeschwindigkeit stark ab, während eine Vergrößerung des Kurswinkels zu höheren scheinbaren Windwinkeln führt. Man erkennt, dass der scheinbare Windwinkel mit zunehmender Geschwindigkeit grundsätzlich abnimmt, also das Segelfahrzeug immer mehr von vorne angeströmt wird. Da der Auftrieb des Segels senkrecht auf der Anströmung steht, wird die Vortriebskomponente (Schubkraft) mit zunehmender Geschwindigkeit immer kleiner, was die maximal erreichbare Geschwindigkeit begrenzt. Damit ist eine natürliche Grenze erreicht, die sich u.a. aus der Geometrie der Geschwindigkeitskomponenten ergibt. In der Literatur findet man oft den Hinweis, dass zur Erzielung hoher Geschwindigkeiten ein kleiner scheinbarer Windwinkel anzustreben ist. Das ist nicht ganz korrekt. Ein kleiner scheinbarer Windwinkel ergibt sich aus der geometrischen Betrachtung der Windkomponenten. Für die tatsächlich erreichbare Fahrgeschwindigkeit sind aber die auftretenden Kräfte von Schub und Widerstand entscheidend. Wenn beide Kräfte im Gleichgewicht sind ergibt sich daraus der Windwinkel und nicht aus der Geometrie. Konstruiert man Winddreiecke, bei denen für jeden Kurswinkel der scheinbare Windwinkel gleich groß ist [3], lassen sich die Kurse für bestimmte Zielgeschwindigkeiten bestimmen. Konstruiert man einen Kreis, bei dem ein Sehnenabschnitt gleich dem Radius ist, ergibt sich für jeden Punkt auf dem Kreisbogen ein gleich großer Mittelpunktswinkel (Bild 6 ). 17

18 Bild 6: Ausgewählte Punkte im Geschwindigkeitsdreieck für konstanten scheinbaren Windwinkel Für die ausgewählten Punkte A, B, C, D und E gilt: Punkt V Kurs Vs/VT A Vmgmax π /4+γ A / sin (π /4 γ A /) sinγ A B VAmax π / 1/tanγ A C Vs=Va π /+γ A / 1 sinγ A / D Vsmax π /+γ A 1/ sinγ A E Vmgmin 3 /4π+γ A / sin (π /4+γ A /) sinγ A Der optimale Kurs zur Erreichung der maximalen Geschwindigkeit ergibt sich zu γ=90+γ A (9) 18

19 Der scheinbare Windwinkel γ A ergibt sich allerdings erst aus der Lösung der Gleichgewichtsbedingung Schub gleich Widerstand. Daher kann der optimale Kurswinkel nicht vorgegeben werden. Der optimale Kurswinkel γ zur Erzielung der maximalen Geschwindigkeit ergibt sich wie in Bild 7 dargestellt. Je kleiner das Verhältnis von VS/VT, desto größer muss der Kurswinkel werden. Bild 7: Optimaler Kurswinkel für maximale Fahrgeschwindigkeit in Abhängigkeit vom Verhältnis Fahrgeschwindigkeit zum wahren Wind. 4. Fahrzustandsgleichungen Das Windsurfbrett wird als starrer Körper aufgefasst, der sich auf der Wasseroberfläche unter der Einwirkung äußerer Kräfte und Momente bewegt. Er besitzt 6 Freiheitsgrade, drei translatorische, die die Bahn beschreiben und drei rotatorische, die die Dynamik beschreiben, Bild 8. Für die Leistungsberechnung befassen wir uns mit der stationären Bewegung, so dass die rotatorischen Vorgänge nicht berücksichtigt werden müssen. Bild 8: Freiheitsgrade beim Windsurfbrett 19

20 4.1 Achsensysteme Eingeführt wird ein rechtshändiges Achsensystem das parallel zur Erdoberfläche liegt, Bild 9. Bild 9: Definition der Bezugsachsen Für die Berechnung werden alle Kräfte auf das hydrodynamische Bahnachsensystem bezogen, das um den Schiebewinkel β gegenüber dem Brett festen Achsensystem in der Horizontalen verdreht ist. Das aerodynamische Achsensystem, in dem die Kräfte des Segels definiert sind, ist gegenüber dem Hydrodynamischen Achsensystem um den Winke γα in der Horizontalen verdreht 4. Kräfte und Momente am Windsurfbrett Am Brett treten die aerodynamisch erzeugten Kräfte auf. Das sind Kräfte, die durch das Segel, den Fahrer und alle Komponenten, die der Luftströmung ausgesetzt sind. Dann die hydrodynamischen Kräfte, die durch alle Komponenten, die sich im Wasser befinden und der Wasserströmung ausgesetzt sind und die Gewichtskräfte. Bild 10 zeigt die angreifenden Kräfte und die dazugehörigen Winkelbeziehungen in dem Bezugsachsensystem (Horizontalebene), das für die Rechnung verwendet wird. 0

21 Bild 10: Kräfte am Windsurfbrett und Kräftegleichgewicht Es gelten die Winkelbeziehungen: γ A =α+δ+ β (10) und γ A =ε A+ε Η (11) Die Gesamtsegelkraft ist die Vektorsumme aus Auftriebskraft, die senkrecht auf der Richtung der Anströmung steht und Widerstand in Anströmrichtung. Es gilt F =L +D (1) und damit F = L +D (13) Die horizontale Segelgesamtkraftkomponente bei Riggneigung φ ergibt sich zu: 1

22 F H =Fcosφ (14) und die vertikale Komponente zu F A =Fsin φ (15) Die horizontale Segelkraft kann zerlegt werden in die Vortriebskraft oder den Schub, FV in Richtung des gesegelten Kurses und die Seitenkraft FK oder Querkraft, senkrecht dazu. Es gilt für den Schub: F V =Lsinγ Α cosφ Dcosγ Α (16) und die Seitenkraft: F Κ =Lcosγ Α cosφ+dsinγ Α (17) Mit γ A =ε A+ε H (18) folgt ε H =γ A ε A (19) mit εh, dem hydrodynamischen Gleitwinkel aller hydrodynamischen Komponenten, wie Brett und Finne. Für den Schub gilt dann auch: F V =F H sin ε H (0) und die Seitenkraft F K =F H cos ε H (1) Oder mit (0): () F V =F H sin (γ A ε A ) und F Κ =F H cos(γ A ε A) (3) Der Schub hängt von der horizontalen Gesamtsegelkraft, dem scheinbaren Windwinkel und dem aerodynamischen Gleitwinkel ab. Der Gleitwinkel ist ein Maß für die aerodynamische Güte aller Komponenten, die dem Luftstrom ausgesetzt sind. Der Einfluß des Kurses bzw. des scheinbaren Windwinkels auf den Schub bei konstanter Segelkraft zeigt Bild 11.

23 Bild 11: Schubkraft in Abhängigkeit des gesegelten Kurses, Segelkraft konstant. Bild 11 verdeutlicht, dass der Schub unmittelbar vom gesegelten Kurs abhängt. Beim Am Wind Kurs (upwind) ist die Schubkomponente klein. Was eine niedrige Geschwindigkeit bedeutet. Mit zunehmenden Kurswinkel (raumer Kurs, downwind) wird der Schub immer größer und damit auch die Fahrgeschwindigkeit. Im Gleitwinkel sind alle Widerstandsanteile, die z.b. durch den Gabelbaum und insbesondere durch den Fahrer hervorgerufen werden, berücksichtigt. Der Gleitwinkel ist definiert als. ε a=arctan ( D ) L (4) CD ) CL (5) bzw. ε a=arctan ( (Siehe Abschnitt Aerodynamik des Segels). Für einen großen Vortrieb muss der scheinbare Windwinkel möglichst gross und der Gleitwinkel möglichst klein (niedriger aerodynamischer Widerstand) sein. Bei konstanter Segelkraft über der Fahrgeschwindigkeit muss der Auftriebsbeiwert CL des Segels quadratisch mit der scheinbaren Geschwindigkeit abnehmen. Damit wird der Gleitwinkel εa grösser und der Schub kleiner. Für den Fahrer bedeutet das, dass das Segel mit zunehmender Geschwindigkeit auf gefiert werden muss, um im Gleichgewicht mit dem Segel zu bleiben. 3

24 Die Schubkraft wird gleich Null, wenn (γ A ε A )=0 (6) also γ A =ε A (7) Die Geschwindigkeit, bei der die Schubkraft gleich Null wird, ist die maximale Geschwindigkeit, die erreichbar ist, wenn es keinen hydrodynamischen Widerstand gäbe. Die Vortriebskraft erreicht das Maximum, wenn γ A ε A=90 (8) wird, also mit γ A =90+ε A (9) dann ist F V =F H (30) der Schub ist dann gleich der horizontalen Komponente der Segelgesamtkraft. Wenn die Vortriebskraft das Maximum erreicht, also die gesamte horizontale Segelkraft gleich dem Schub ist, dann ist die Seitenkraft gleich Null. Für Winkel γ A =90+ε A wird der Kosinus des Winkels negativ und damit auch die Seitenkraft. 4.3 Maximale Segelkraft Die Gesamtsegelkraft F ergibt sich aus der Momentengleichung um die Bezugsachse gemäß Bild 1 4

25 Bild 1: Momentengleichgewicht von Segel und Fahrer Sie ist direkt proportional dem Gewicht des Fahrers G B und dem Hebelarm c, der sich mit der Segelneigung und unter Berücksichtigung der geometrischen Abmessungen des Fahrers verändern lässt. Der Segelneigungswinkel und der Segeleinstellwinkel werden intuitiv so eingestellt, dass der Fahrer mit dem Segel immer im Gleichgewicht ist. Das ist die Stabilitätsbedingung in der Rollachse für einen stationären Fahrzustand. Die maximal mögliche Segelneigung und Segeleinstellung bestimmen die maximale Segelkraft. Das Segelmoment muss im Gleichgewicht mit dem Gewichtsmoment sein. Also: G B c F h=0 (31) mit dem Hebelarm (3) c=sin(δ o+φ) d Daraus ergibt sich die Segelkraft, die auf das Board wirkt zu: 5

26 F= G B sin (δ o+φ)d h (33) Für den Vortrieb (Schub) ist nur die horizontale Komponente entscheidend. Mit der Riggneigung wird die Gesamtkraft in eine Horizontal- und eine Vertikalkraft zerlegt. Für die horizontale Komponente der Segelkraft gilt: F H =Fcos(φ) und für die vertikale Komponente: (34) (35) F A =F sin (φ) Durch die vertikale Auftriebskomponente wird das Gewicht, das das Board tragen muss etwas verringert. Da die Horizontalkraft durch die Riggneigung verringert wird, wird sich andererseits aber der Hebelarm mit der Riggneigung vergrößern. Daraus ergibt sich eine Neigung, bei der die horizontale Kraft ein Optimum hat. Dieser Zusammenhang ist im Bild 13 grafisch dargestellt. Man erkennt, dass das Maximum der horizontalen Segelkraft bei einem Riggneigungswinkel von 5 Grad liegt. Es beträgt das 1,4- fache der Segelkraft bei senkrecht stehendem Mast. Bild 13: Horizontale Segelkraft bezogen auf die Kraft bei senkrechter Mastposition in Abhängigkeit der Riggneigung (Momentengleichgewicht Segelkraft-Fahrergewicht) Um maximale Geschwindigkeiten zu erreichen, muss die horizontale Segelkraft so gross wie möglich sein. Sie wird durch das Körpergewicht des Fahrers und durch das Hebelarmverhältnis c/h bestimmt. Unter Berücksichtigung der Abmessungen eines Fahrers mit 1,80 m Körpergröße und dem Hebelarm bi 5 Grad Riggneigung sowie dem Hebelarm zum Auftriebsmittelpunkt des Segels beträgt die maximale haltbare Segelkraft ca. 56 % des Körpergewichts. Dabei entscheidend ist der Segelhebelarm. Das Segel sollte den Auftriebsmittelpunkt möglichst weit unten haben, um das Verhältnis c/h zu vergrößern. 6

27 Damit gibt es eine maximale Segelkraft, die absolut begrenzt ist und unabhängig ist von allen Einflussgrößen. Da sich das Segel mit dem Fahrer im aerodynamischen System im Gleichgewicht befindet, wird kein Nick- und Rollmoment auf das Brett übertragen. Das Giermoment aus Segelseitenkraft = Finnenseitenkraft und Nullmoment wird über die Fahrerposition, die die Segelkrafteinleitung mit der Mastfußposition bestimmt, kompensiert. 4.4 Hydrodynamische Kräfte Die hydrodynamischen Kräfte setzten sich zusammen aus den Kräften am Brett und den Finnenkräften. Das ist in der Horizontalebene die Finnenseitenkraft FFN, wobei wir davon ausgehen, dass das Brett waagerecht gefahren wird und die Seitenkraft nur über die Finne erzeugt wird. Die Finnenkraft entspricht dem Auftrieb der Finne und sie ist gleich groß und entgegengesetzt der Seitenkraft des Segels. Der Anstellwinkel der Finne ist der Schiebewinkel β. In der Segelliteratur wird dieser Winkel als Driftwinkel bezeichnet. Eine Drift ist allerdings ein seitlicher Versatz bezogen auf einen erdfesten Punkt, der im Falle einer seitlichen Wasserströmung auftreten kann oder aber, wenn die Seitenkraft des Schiffskörpers die Seitenkraft des Segels nicht kompensieren kann. Um die Drift zu kompensieren ist ein Vorhaltewinkel im Kurs einzustellen, das ist der Driftwinkel. Aus Gleichggewichtsgründen muss die Finne die Seitenkraft des Segels exakt kompensieren, somit tritt eine Drift beim Windsurfen nicht auf. Weitere Kräfte sind der Widerstand des Bretts und der Widerstand der Finne. Der hydrodynamische Gleitwinkel ergibt sich zu ε Η =arctan ( DH ) L FN (36) In der Vertikalebene sind das der hydrodynamische Auftrieb, den das Brett erzeugt und das Gesamtgewicht des Windsurfsystems mit Fahrer, den das Brett tragen muss. 4.5 Gleichgewichtsbedingungen Für einen stationären Zustand, also eine gleichförmige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit, muss die Summe aller Kräfte und Momente gleich Null sein. Damit sind alle Kräfte und Momente im Gleichgewicht und heben sich in ihrer Wirkung auf. Somit gilt für die Kräfte: X H =F v D H =0 (37) Y H =F k L H =0 (38) Z H =G ges F V L B =0 (39) 7

28 und für die Momente: LH =0 (40) M H =0 (41) N H =0 (4) Für den stationären Zustand gilt Gesamtauftrieb = Gesamtgewicht und aerodynamischer Vortrieb = hydrodynamischer Widerstand sowie Seitenkraft Segel = Seitenkraft Finne. Der aerodynamische Widerstand des Segels und des Fahrers sowie weiterer schädliche Widerstände sind im aerodynamischen Vortrieb berücksichtigt. Alle Momente werden zu Null angenommen, da sie durch Gewichtsverlagerung des Fahrers innerhalb der Fußschlaufenposition und der Mastposition für alle Achsen kompensiert werden können. Das bedeutet in der Horizontalebene: aerodynamischer Schub = hydrodynamischer Widerstand F V =D H (43) und aerodynamische Seitenkraft = hydrodynamische Seitenkraft. F K =L H (44) In der Vertikalebene: Hydrodynamischer Auftrieb des Bretts = Gesamtgewicht des Windsurfsystems. G ges =L B +F V (45) 4.6 Ermittlung der Fahrgeschwindigkeit Die Fahrgeschwindigkeit ergibt sich aus der Gleichgewichtsbedingung aerodynamischer Schub gleich hydrodynamischer Widerstand. Aus dieser Beziehung ergibt sich die Geschwindigkeit bei der beide Kräfte im Gleichgewicht sind.. Das ist die erreichbare Geschwindigkeit. Die absolut maximale Geschwindigkeit ergibt sich dann aus dem maximal möglichen Schub. Für jeden stationären Fahrzustand bei beliebiger Geschwindigkeit muss der Schub gleich dem Widerstand sein. F V =D H (46) Aus dieser Beziehung kann in Abhängigkeit der Fahrgeschwindigkeit die Gesamtsegelkraft bzw. das Körpergewicht bestimmt werden, das erforderlich ist, um den hydrodynamischen Widerstand auszugleichen. Das heißt, die erforderliche Segelkraft, bei der der Schub gleich dem Widerstand ist. Wir setzen 8

29 D H =Fcos (φ)sin (γ A ε A) (47) daraus ergibt sich die erforderliche Gesamtsegelkraft zu F Req = DH cos(φ)sin (γ A ε A) (48) Diese Gleichung ist eine Fundamentalgleichung für die Fahrleistung. Sie stellt den Gesamtzusammenhang zwischen den aero- und hydrodynamischen Kräften für eine stationäre Fahrt dar, bei der alle Kräfte im Gleichgewicht sind. Bild 14 zeigt beispielhaft die erforderliche Segelkraft und den Brettwiderstand für verschiedene Kurse. Da, wo die maximale Segelkraft (hier 500 N) auf Grund des Körpergewichts die Kurven schneidet, ist die maximale Geschwindigkeit erreicht. Gleichzeitig wird deutlich, wieviel höhere Segelkraft erforderlich wird, um höhere Geschwindigkeiten zu erreichen. Zum Beispiel, um bei gleichem Wind und Kurs von 40 auf 50 kn zu kommen, müsste die Segelkraft Faktor 1,9 größer sein. Bild 14: Erforderliche Segelkraft über der Fahrgeschwindigkeit für verschieden Kurse. Die erforderliche Segelkraft ist direkt proportional zum hydrodynamischen Widerstand des Bretts und umgekehrt proportional zum scheinbaren Windwinkel γα als Funktion der Windstärke, der Fahrgeschwindigkeit und des gesegelten Kurses. Weiterhin von der Güte εα der aerodynamischen Komponenten, d.h. dem Verhältnis des gesamten aerodynamischen Widerstands zum Auftrieb. Für den Fall, dass (γ A ε A )=0 wird, wird die erforderliche Segelkraft unendlich groß. 9

30 Da die Segelkraft mit dem Fahrergewicht im Gleichgewicht sein muss, ergibt sich unter Berücksichtigung der Hebelarme direkt das erforderliche Fahrergewicht. G BReq= DH h cos (φ)sin(γ A ε A )sin (φ0 φ) d (49) Damit ist die Fahrgeschwindigkeit in Abhängigkeit vom Fahrergewicht gegeben. Aus der Gleichgewichtsbedingung für die Seitenkraft FK = LH können wir analog die erforderliche Seitenkraft berechnen, die sich unter Berücksichtigung der Gleichgewichtsbedingung Schub = Widerstand ergibt. Geht man davon aus, dass die gesamte Seitenkraft über die Finne erzeugt wird, dann gilt: L FN =L H =F K =F H cos ε Η DH L FN = tan ε Η (50) (51) Mit ε Η =γ A ε A gilt L FN = DH tan (γ A ε A) (5) Damit sind die Segelkraft und die Seitenkraft der Finne bei gegebenem Kurs und Windstärke in Abhängigkeit des hydrodynamischen Widerstands des Bretts und dem Gleitwinkel des Segels für den gesamten Geschwindigkeitsbereich definiert. Aus den Kraftgleichungen lassen sich die dimensionslosen Auftriebsbeiwerte leicht berechnen. Durch Variation der Segel- und Finnenflächen können die Auftriebsbeiwerte in optimale Bereiche verschoben werden. Zum Beispiel, dass Segel und Finne für die maximale Geschwindigkeit flächenmäßig so ausgelegt werden, dass sie jeweils beim optimalen L/D arbeiten. 5. Aerodynamik des Segels Das Segel stellt einen Flügel mit gewölbten Profil dar. Die Kräfte und Momente, die es bei Anströmung durch die Luft erzeugt, lassen sich mittels der Physik der Aerodynamik berechnen. Die Segeleigenschaften werden durch zwei Anteile bestimmt, erstens durch die Profileigenschaften, was in der Profilaerodynamik behandelt werden und zweitens für den dreidimensionalen Flügel, die in der Flügelaerodynamik beschrieben wird. Siehe auch []. Die Profilaerodynamik liefert den Auftrieb, den Widerstand und das Moment für den dimensionalen unendlichen Flügel. Die Flügelaerodynamik gilt für den 3-dimensionalen endlichen Flügel mit Reibungseinflüssen. 30

31 5.1 Auftrieb Die Kraftkomponente senkrecht zur Anströmung eines Tragflügels bezeichnet man als Auftrieb. Für die Berechnung eines Segels gelten die gleichen Beziehungen, nur das das Segel senkrecht steht und die Auftriebskraft bezogen auf das Windsurfbrett eine Seitenkraft darstellt. Es gilt: L=q A S C L (53) mit C L dem Auftriebsbeiwert als Proportionalitätsfaktor, der Bezugsfläche S und dem Staudruck qa = ρa V a (54) aus Luftdichte und Anströmgeschwindigkeit. Der Auftriebsbeiwert ist abhängig vom Anstellwinkel und ergibt sich zu C L =C Lα α (55) für ein symmetrisches Profil. Für ein gewölbtes Profil gilt: C L =C Lα (α α 0 ) (56) mit dem Nullauftriebswinkel α 0,dem Anstellwinkel, bei dem C L =0 wird. Der maximale Auftriebsbeiwert C Lmax ist der Wert, bis zu dem der Auftrieb mit dem Anstellwinkel nahezu linear ansteigt und die Strömung anliegt. Nach Überschreiten von C Lmax fällt der Auftrieb infolge Strömungsablösung wieder ab (Bild 15). Eine Profilwölbung entspricht einer Verschiebung der symmetrischen Polare zu höheren C L Werten. 31

32 Bild 15: Auftriebspolare für symmetrisches und gewölbtes Profil. 5. Widerstand Die Kraftkomponente in Strömungsrichtung bezeichnet man als Widerstand. Analog zum Auftrieb gilt für den Widerstand: D=q A S C D (57) mit dem Widerstandsbeiwert C D. Der Widerstand wird aufgeteilt in den Nullwiderstand- dem Widerstand bei Nullauftrieb- und einem von Auftrieb abhängigen Anteil. Beim Nullwiderstand C D0 sind Reibungseffekte (Schubspannungswiderstand) maßgebend, die stark von der Reynoldszahl abhängen. Die Reynoldszahl ist definiert als R e= Vl ν (58) mit der Anströmgeschwindigkeit V, der Bezugslänge l und der kinematischen Zähigkeit ν des Strömungsmediums. Mit wachsender Reynoldszahl nimmt der Schubspannungswiderstand ab. Die Re-Zahl bestimmt 3

33 auch, ob die Grenzschicht der Strömung laminar oder turbulent verläuft [3], was einen wesentlichen Einfluss auf den Widerstand hat. Das bedeutet, dass das Widerstandsverhalten des Segels oder auch der Finne von der tatsächlichen Anströmgeschwindigkeit abhängt. Mit zunehmender Geschwindigkeit nimmt der Schubspannungswiderstand ab. Der Auftriebswiderstand oder auch induzierte Widerstand, hervorgerufen durch freie Wirbel, die einen Abwind am Tragflügel induzieren, also den Anstellwinkel verringern, ergibt sich zu C CD= L πλe (59) i Er ist also proportional zum Quadrat des Auftriebsbeiwerts und abhängig vom Flügelumriss (Streckung Λ). Für eine elliptische Auftriebsverteilung ist C D minimal. Der Korrekturfaktor e ist < 1 (0,85-0,95) für Abweichungen von einer elliptischen Verteilung. i 5.3 Segelpolare Für die Fahrleistungsberechnung benötigen wir die Daten des Segels hinsichtlich Auftrieb und Gesamtwiderstand. Die Eigenschaften werden durch die Segelpolare definiert, das ist die Auftragung des Auftriebs über dem Widerstand in Abhängigkeit des Anstellwinkels (Bild 16 ) Bild 16: Segelpolare, Auftriebs- und Widerstandsbeiwerte CL, CD als Funktion des Anstellwinkels α. Der gesamte Widerstand setzt sich aus dem Profilwiderstand, dem Auftriebswiderstand und den schädlichen Widerstandsanteilen zusammen. 33

34 C D=C D +C D +C D p s (60) i Für die Profilpolare gilt: C D =C Dp0 +k p (C L C Lp0 ) (61) p Dann gilt für den Gesamtwiderstandsbeiwert CL C D=C Ds +C Dp0 +k p (C L C Lp0 ) + πλe (6) und den Gesamtwiderstand D=q A S C D (63) Diese Daten können aus Windkanalversuchen vorliegen oder aber berechnet werden. Leider gibt es sehr wenig Windkanaldaten von Surfsegeln in Großausführung, weil Windkanalversuche extrem teuer sind und sich das für Segelhersteller nicht lohnt. Versuche werden in der Praxis durchgeführt und die Segel entsprechend optimiert. Für Rennyachten allerdings sind Wind- und Wasserkanaluntersuchungen die Regel und werden mit extrem hohen finanziellen Aufwand betrieben. Die resultierende Gesamtkraft bzw. der Gesamtkraftbeiwert CF ergibt sich zu C F =C L+C D (64) C F = C L +C D (65) Analog ist die Gesamtsegelkraft: F =q A S C F (66) mit ε A=arctan( D ) L (67) und α eff =α+α i (68) mit der Streckung Λ= b S (69) Segel und Finne entsprechen einem halben Flügel mit der Spannweite b/, damit ist die effektive Streckung 34

35 Λeff = Λ (70). Für den Fall, dass das Segel mit der Unterkante auf dem Brett aufliegend gefahren werden kann (close the gap), kann dort kein Druckausgleich wie im Top auftreten. Dann kann mit doppelter effektiver Streckung gerechnet werden: Λeff = Λ (71) Für den vom Fahrer erzeugten schädlichen Widerstand gilt: C D =D B B S SB qa (7) Damit ist die Gesamtsegelpolare festgelegt, wie sie in Bild 16 dargestellt ist. Für die Berechnung der Fahrleistung ist die maximale Segelkraft aus der Gleichgewichtsbedingung in der Rollachse bekannt. Aus der Gesamtkraft sind mit Hilfe der Polare, die die aerodynamischen Eigenschaften des Segels beschreibt, die Auftriebs- und Widerstandsanteile sowie der Gleitwinkel zu bestimmen. Diese Größen gehen unmittelbar in die Schubgleichung ein. Da das Segel nicht starr ist, sondern ein hochflexibles Gebilde, dass sich durch Trimmen des Vorliekstreckers in seiner Profilform und seinen Twisteigenschaften in weiten Bereichen ändern lässt, kann für die Berechnung nur ein Mittelwert verwendet werden. 5.4 Segeltwist Wie in Bild 17 dargestellt, ändert sich die Segeleinstellung zum scheinbaren Wind vom Gabelbaum bis zur Mastspitze nahezu linear. Das ist der Segeltwist. Die Segelspitze (Top) weht praktisch wie eine Windfahne aus und stellt sich auf den scheinbaren Windwinkel ein. Der Twist ergibt sich daraus, dass das Segel hinsichtlich seines Profils nur am Gabelbaum fixiert ist. Oberhalb der Gabel gibt es keine Vorrichtung, die die Position der Hinterkante des Segels bestimmt. Das Auswehen des Segels wird zusätzlich durch die Trimmung des Vorliekstreckers beeinflusst, der die Hinterkante lose macht (loose leach). Der Segeltwist entspricht einer geometrischen Schränkung eines Profils, d.h. einer Verdrehung gegenüber dem Profil an der Gabel. Zusätzlich ändert sich das Profil auf Grund der Lattenspannung in Richtung Flügelspitze. Die Wölbung nimmt ab und an der Spitze ist die letze Latte gerade. Dies entspricht einer aerodynamischen Schränkung, die eine Veränderung des Profils längs der Spannweite beinhaltet. Der Twistwinkel ist also gleich der Differenz zwischen Segeleinstellung am Top und an der Gabel bzw. dem scheinbaren Windwinkel im Top minus der Segeleinstellung an der Gabel. Da es noch einen Windgradienten gibt, was bedeutet, dass der Wind sich mit der Höhe ändert, erhöht sich der Twistwinkel noch um den vergrößerten scheinbaren Windwinkel am Top Das bedeutet, dass sich auch die Auftriebsverteilung entsprechend ändert und zum Top hin gleich Null wird(anstellwinkel gleich Null). Durch den Twist wird ein Großteil des Segels weniger wirksam im Vergleich zu einem starren Segel. Der Vorteil des Twists liegt darin, dass die Segelkraft 35

36 praktisch konstant bleibt, wenn das Segel durch Böen belastet wird und dass der Segeldruckpunkt weiter unten liegt und damit den Hebelarm des Rollmoments verkleinert, was eine größere Segelkraft erlaubt, die durch den Fahrer gehalten werden kann. Die geringere Auftriebsbelastung im Top bewirkt auch, dass der induzierte Widerstand, der durch den Druckausgleich am Top entsteht, verringert wird (Bild 18). Bild 17: Segeltwist Im Prinzip bedeutet das, dass das Segel beim Dichtholen sich um die ausgewehte Position dreht. Erhöht man den Segeleinstellwinkel am Gabelbaum erhöht sich auch der Twistwinkel. Bild 18: Twist- und Anstellwinkel Die sich aus dem Twist ergebene Auftriebsverteilung über dem Mast entspricht dem im Bild 19 dargestelltem Verlauf. 36

37 Bild 19: Auftriebsverteilung am Segel infolge Twist 6. Hydrodynamik Die hydrodynamischen Kräfte am Board sind einmal der Auftrieb des Boards, der das Gesamtgewicht tragen muss sowie der durch die Umlenkung des Wassers erzeugte Widerstand. Die im Bord senkrecht stehende Finne erzeugt durch den Schiebewinkel β eine Seiten- oder Querkraft, die die Seitenkraft des Segels kompensiert. Für die Finne gelten die gleichen aerodynamischen Gesetze wie für das Segel. Der einzige Unterschied liegt in der Verwendung eines symmetrischen Profils und in der höheren Dichte des Mediums Wasser, dessen Dichte ca. 840 mal so hoch ist, wie die Dichte der Luft. 6.1 Brettkräfte Die vom Board erzeugte Auftriebskraft und der Widerstand lassen sich wie folgt ableiten, siehe auch [8,9] und Bild 0: L B =q H S wetted c LB (73) Durch Umlenkung der Wasserströmung an der schräg angestellten Platte ergibt sich die Normalkraft N. Die Auftriebskraft senkrecht auf der Anströmung ist dann: L B =Ncos α B (74) und der Widerstand: D B =Nsin α B (75) bzw. D B =L B sin α B =L B tan α B cos α B (76) Für das Gleichgewicht in der Vertikalebene gilt Gewicht = Auftrieb, also: G=L B (77) 37

38 Damit ist D B =G tan α B (78) Der Brettwiderstand ist damit direkt proportional zum Gewicht und zum Anstellwinkel des Bretts gegenüber der Wasseranströmung. Bei konstanter Anstellung αb und bei konstantem Gewicht bzw. Auftrieb wird die benetzte Fläche automatisch mit zunehmender Geschwindigkeit kleiner, um den Auftrieb konstant zu halten. Zu addieren ist noch ein Reibungsanteil der benetzten Fläche und ein Sprayanteil (Wasserspray durch die Verdrängung). Beide werden durch einen entsprechenden Beiwert abgeschätzt. Dieser Anteil vergrößert sich proportional zum Staudruck des Wassers. Bild 0: Auftrieb und Widerstand einer gleitenden Platte (Brett) Damit gilt für den Gesamtwiderstand des Bretts, mit tan αb = αb, da αb klein: D BG =G α B+q H S wetted ( mit S wet = cf )+q H S wetted c spray cos α B (79) G q H c Lα α B (80) board gilt D BG =G (α B + cf cos α B c Lα board αb )+q H S wetted c spray (81) Für den hydrodynamischen Gesamtwiderstand gilt: D H = D BG +D FN (8) 38

39 mit DFN dem Finnenwiderstand (siehe Kapitel Finnenkräfte). Der hydrodynamische Gleitwinkel ergibt sich analog zum Segel zu ε H =arctan ( DH ) LH (83) Der Auftriebsbeiwert ergibt sich zu CL Board = L Board q H S wetted (84) Unter der Annahme, dass der Auftrieb immer gleich dem Gewicht sein muss, können wir die sich daraus ergebene benetzte Fläche bestimmen. S wetted = G q H c Lα board (85) αb 6. Finnenkräfte Die Finne entspricht einem senkrecht stehendem Flügel im Wasser (Bild 1), so wie das Segel in der Luft. Die Finne muss die durch das Segel erzeugte Quer- oder Seitenkraft kompensieren. Sie ist hinten am Brett an der Unterseite senkrecht zur Brettebene montiert. Das Profil ist symmetrisch, da die Finne in beiden Fahrtrichtungen die entsprechende Seitenkraft durch Schräganströmung erzeugen muss. Für Geschwindigkeitsversuche bei nur einer Fahrtrichtung kann auch ein gewölbtes Profil eingesetzt werden. Bild 1: Slalomfinne Der Auftrieb bzw. die Querkraft oder Seitenkraft ergibt sich zu: L FN =q H S FN C LFN (86) 39

40 mit C LFN =C Lβ β Der Schiebewinkel β entspricht dem Anstellwinkel der Finne. (87) Aus der Gleichgewichtsbedingung der Querkräfte gilt L LFN =F K (88) Daraus können wir den Schiebewinkel β berechnen: mit F K =q H S FN C Lβ β (89) folgt β= FK q H S FN C Lβ (90) Für den Finnenwiderstand gilt: D FN =q H S FN C DFN (91) C DFN =C DFN 0+ C LFN πλ FN e (9) Auch bei der Finne ist die effektive Streckungum den Faktor größer, da an der Brettunterseite kein Druckausgleich stattfinden kann. Damit sind alle Kräfte bestimmt, die für die Fahrleistungsberechnung benötigt werden. 7. Oberflächenrauigkeit Der Reibungswiderstand der Windsurfkomponenten hängt von der Oberflächenrauigkeit ab. Das gilt für die Aerodynamik und für die Hydrodynamik. Das ist insbesondere wichtig für die Brettunterseite und die Finne. Eine Oberfläche gilt als hydraulisch glatt, wenn Oberflächenunebenheiten innerhalb der Grenzschicht bleiben und nicht darüber hinausragen. Rauigkeiten oberhalb der zulässigen Rauigkeit erhöhen den Widerstand. Siehe auch [3]. Für Luft und Wasser ist die zulässige Rauigkeit definiert mit k zul < 100 ν VS (93) Für Wasser gilt k zul = 100 1, , = mm VS V s (kts ) (94) 40

41 und für Luft 100 1, ,8 (95) = mm VS V s (kts) Für Luft ist die zulässige Rauigkeit 14 mal größer als für Wasser. k zul = Auch für das Segel wäre denkbar, glattere Materialien im Bereich der Masttasche zu verwenden, um den Reibungswiderstand zu verringern. Der Widerstand ist von der Geschwindigkeit und der Länge des umströmten Körpers abhängig. Bild verdeutlicht die zulässige Rauigkeit über der Geschwindigkeit. Für Körper im Wasser sind die zulässigen Rauigkeiten extrem klein. So ist die zulässige Rauigkeit z.b. bei 50 kt Geschwindigkeit 4/1000 mm. Eine entsprechende Rauigkeit lässt sich aber durch Farbanstrich und Schleifen erreichen. Bild : Zulässige Oberflächenrauigkeit, Wasser 8.0 Kavitation Für die Finne stellt sich noch das Problem der Kavitation. Die Bezeichnung Kavitation wird für ein Phänomen verwendet, bei der das strömende Wasser auf Grund des niedrigen Drucks am Profil zu verdampfen beginnt (Dampfdruck des Wassers). Kavitation ist insbesondere ein Problem bei Schiffspropellern, da wegen der hohen Strömungsgeschwindigkeiten am Propellerprofil Kavitation auftreten kann. Dabei bilden sich Dampfblasen, die den Auftrieb verringern bzw. zusammenfallen lassen können und zusätzlich auch das Material zerstören können. Da beim Windsurfen sehr hohe Geschwindigkeiten erreicht werden können, ist es wichtig zu prüfen, ob Kavitation eintreten kann. Im Falle einer Kavitaion würde die Finne den Auftrieb verlieren und das Brett unkontrollierbar werden (Spin-out). Kavitation tritt auf, wenn der örtliche Druck an der Oberseite des Profils kleiner gleich dem Dampfdruck des Wassers ist. Hohe Unterdrücke entstehen bei hohen Anstellwinkeln bzw. hohen CLWerten. Deshalb ist die Finnenfläche so zu wählen, dass die erforderliche Seitenkraft mit kleinen Anstellwinkeln erreicht werden kann, also eine hohe Flächenbelastung. Die Kavitationszahl σ wird definiert als 41

42 σ= p p v qh (96) Das ist die Druckdifferenz zwischen örtlichem Druck und dem Dampfdruck des Mediums geteilt durch den Staudruck. Erreicht der örtliche Druck am Profil den Dampfdruck des Wassers tritt Kavitation auf (σ = Null). Bild 3 zeigt beispielhaft die Kaviationsgrenze und den Einfluß der Profildicke. Für Hochgeschwindigkeitsfahrten sind dünne Profile zu verwenden. Es gibt auch besondere Profilformen, die die Kavitation hinauszögern. Bei bisherigen Rekordversuchen mit über 50 kt hat es auch mit normalen dünnen Profilen keine Kavitationserscheinungen gegeben. Bild 3: Kavitationsgrenze für minimalen Druck am Profil und Fahrgeschwindigkeit 9. Fahrleistungsberechnung Die Berechnung der Fahrleistungen lässt sich verhältnismäßig einfach mittels einer Tabellenkalkulation oder einem iterativen Programmablauf durchführen. Unter der Vorgabe der maximalen Segelkraft aus dem Momentengleichgewicht zwischen Segelkraft und Fahrergewicht werden alle Größen als Funktion der Fahrgeschwindigkeit Vs, als unabhängiger Variablen, für die Aerodynamik und die Hydrodynamik berechnet. Aus den Gleichgewichtsbedingungen für Schub gleich Widerstand ergibt sich dann die maximale Geschwindigkeit. Aus der Gleichgewichtsbedingung der Seitenkräfte ergibt sich der Betriebspunkt bzw. der Anstellwinkel der Finne. 4

43 Eingangsgrößen: Typische Gewichte für ein Slalom Board: Gewichte N Board 70 Segel 55 Mast 30 Gabelbaum 30 Mastfuß + Verlängerung 10 Finne 5 Summe Board +Rigg 00 Fahrer Gesamtgewicht Rechenablauf: unabhängige Variable VS = Fahrgeschwindigkeit Berechnung der maximalen Segelkraft F aus Segelmomentengleichgewicht mit Fahrer Berechnung der scheinbaren Windgeschwindigkeit VA Berechnung des scheinbaren Windwinkels γα Berechnung des Segelkraftbeiwerts CF Ermittlung der Auftriebs- und Widerstandsbeiwerte CL- und CD aus der Segelpolare mittels Table-look-up oder aus einer Regressionsfunktion. 6. Berechnung des Gleitwinkels des Segels 7. Berechnung von Schub- und Seitenkraft des Segels 8. Berechnung des Brettwiderstandes 9. Berechnung des Auftriebsbeiwerts der Finne aus der Seitenkraft des Segels 10. Berechnung des Widerstands der Finne 11. Berechnung des Gesamtwiderstands von Brett und Finne 1. Bestimmung der Fahrgeschwindigkeit aus der Gleichgewichtsbedingung Schub gleich Widerstand 13. Berechnung der Sollsegelkraft und Sollfinnenseitenkraft für alle Geschwindigkeiten 14. Berechnung von Segelanstell-, Segeleinstell- und Schiebewinkel aus den Kräften und Winkelbeziehungen 9. Berechnungsbeispiel 1, Wind: 0 kn; Kurs: 10 Grad Eingabewerte: Wind, kn 0 Wind, m/s 10,9 Segelneigung, Grad Hebelarm ,88

44 Fahrergewicht, m Kurs, Grad 10 Hebelarm Segelkraft, m Segelgröße, m 6,5 CL0 Segel 0,4 Finnengröße, m 0,03 Clα Segel 3,5 Gewicht Fahrer, N 1100 CD0 Finne 0 Gewicht, Brett, N 80 αb Brett, deg 5 Gewicht, Rigg, N 150 CD Fahrer 0,7 Gesamtgewicht, N 1330 S, Fahrer, m 0,4 Segelkraft horiz, N Segelkraft max, N Luftdichte, kg/m 3 485,6 1,5 440,1 Segelkraft vertikal, N Wasserdichte, kg/m 3 05, 105 Den Verlauf des Schubes und der Seitenkraft bei konstanter maximaler Segelgesamtkraft zeigt Bild 4. Bild 4: Schub- und Seitenkraft über der Fahrgeschwindigkeit bei konstanter Segelkraft Mit zunehmender Fahrgeschwindigkeit nimmt die Schubkraft nahezu linear ab, während die Seitenkraft zunimmt. 9.3 Ermittlung der maximalen Fahrgeschwindigkeit Trägt man den Schub und den Widerstand bei maximaler konstanter Segelkraft über der Geschwindigkeit auf, so gibt es einen Schnittpunkt beider Kurven. Der Schnittpunkt stellt den Gleichgewichtszustand dar, also Schub gleich Widerstand und kennzeichnet die Geschwindigkeit, bei der dieser Zustand eintritt. Der ist die maximal erreichbare Geschwindigkeit, Bild 5. 44

45 Bild 5: Schub und Widerstand als Funktion der Fahrgeschwindigkeit. Wind: 0 kn, Kurs 10 Grad Die maximale Fahrgeschwindigkeit beträgt für den Fahrzustand 8 kn. Der Schubüberschuss ist ein direktes Maß für die Beschleunigung des Bretts. Dividiert man die Differenz durch die Masse des Gesamtsystems, erhält man die Beschleunigung, Bild 6. Sobald der Gleichgewichtszustand erreicht wird, ist die Beschleunigung gleich Null. Bild 6: Beschleunigung bei konstanter maximaler Segelkraft Um die Gleichgewichtsbedingung in der Rollachse zu erfüllen, darf das Segelkraftmoment nicht größer als das Gewichtsmoment des Fahrers werden. Das bedeutet, dass der Auftriebsbeiwert kleiner werden muss, also das Segel aufgefiert werden muss. Damit ändert sich der Betriebspunkt des Segels zu kleineren CL-Werten, wie in Bild 7 gezeigt. 45

46 Bild 7: Auftriebsbeiwert des Segels als Funktion der Fahrgeschwindigkeit. Für den Gleichgewichtszustand mit 8 kn ergibt sich ein CL von 0,7. Weiterhin wird deutlich, dass das Segel in der Lage ist, die maximale Kraft über den gesamten Geschwindigkeitsbereich zu erzeugen. Alle CL-Werte sind im zulässigen Bereich. 9.4 Erforderliche Segel- und Seitenkraft Nach Formel (48) ergibt sich die Segelgesamtkraft, die erforderlich ist, damit der aerodynamische Vortrieb mit dem hydrodynamischen Widerstand im Gleichgewicht ist. Das gilt für den gesamten Geschwindigkeitsbereich, Bild 8. Bild 8: Erforderliche Segelkraft zur Kompensation des hydrodynamischen Widerstands, Wind 0 kn, Kurs 10 Grad Diese Darstellung zeigt anschaulich, welche Segelkraft zur Erreichung einer bestimmten Geschwindigkeit erforderlich ist. Da die Segelkraft durch das Fahrergewicht absolut begrenzt ist, lässt sich auch die maximal erreichbare Geschwindigkeit ablesen. In diesem Beispielsfall ist die maximale Segelkraft 485 N, was genau die 8 kn Maximalgeschwindigkeit ergibt. Eine höhere 46

47 Geschwindigkeit lässt sich nur mit einer höheren Segelkraft = Fahrergewicht erreichen. Neben der erforderlichen Segelkraft kann auch die erforderliche Seitenkraft für jede Geschwindigkeit angegeben werden, Bild 9. Bild 9: Erforderliche Segel- und Seitenkraft der Finne, 0 kn Wind, 10 Grad Kurswinkel 9.5 Erforderliches Fahrergewicht Aus der erforderlichen Segelkraft läßt sich das Fahrergewicht unter Berücksichtigung eines Hebelverhältnisses direkt angeben, Bild 30. Bild 30 : Erforderliches Fahrergewicht als Funktion der Fahrgeschwindigkeit, Wind 45 kn, Kurs 150 Grad. Bis zu 30 kn hat das Fahrergewicht keinen großen Einfluß auf die Segelkraft. Für höhere Geschwindigkeiten steigt der Einfluß des Gewichts stark an. Der Gradient beträgt ca. kn/100 N. 47

48 9.6 Auftriebsbeiwerte von Segel und Finne Aus der erforderlichen Segelkraft lassen sich die Auftriebsbeiwerte für verschiedene Segel- und Finnengrößen (Bezugsflächen) angeben. Das ist insbesondere für die Überprüfung bzw. Auslegung der Segel und Finnenfläche wichtig, weil die Auftriebsbeiwerte den Betriebspunkt auf der Polare wiedergeben und damit helfen, den optimalen Betriebspunkt festzulegen, Bild 31. Bild 31: Erforderlicher Auftriebsbeiwert CL für Segel und Finne, Wind 0 kn, Kurs 10 Grad, Der Auftriebsbeiwert liegt im möglichen Bereich des Segels. Die Finne weist sehr kleine Auftriebsbeiwerte um 0,1 auf. Durch Variation der Segel- Finnengröße bzw. der Flächenbelastung kann der Auftriebsbeiwert zu gewünschten CL-Werten verschoben werden. 10. Berechnungsbeispiel, Wind: 45 kn; Kurs 140 Grad Eingabewerte: Wind, kn 45 Wind, m/s 3,15 Kurs, Grad 140 Segelneigung, Grad Hebelarm Fahrergewicht, m Hebelarm Segelkraft, m 5 0,88 Segelgröße, m 5 CL0 Segel 0,4 Finnengröße, m 0,0 Clα Segel 3,5 Gewicht Fahrer, N 1100 CD0 Finne 0 Gewicht, Brett, N 80 αb Brett, deg 5 Gewicht, Rigg, N 150 CD Fahrer 0,7 Gesamtgewicht, N 1330 S, Fahrer, m 0,4 Segelkraft horiz, N 440,1 Segelkraft max, N 485,6 Segelkraft vertikal, N 05, Luftdichte, kg/m3 1,5 Wasserdichte, kg/m

49 Bild 3: Schub- und Seitenkraft über der Fahrgeschwindigkeit bei konstanter Segelkraft. Wind 45 kn, Kurs 140 Grad. Dieses Beispiel für einen sehr raumen Wind zeigt, dass die Seitenkraft unter 30 kn Fahrgeschwindigkeit negativ ist. Das bedeutet, dass es dafür keine praktikable Lösung für einen stationären Zustand gibt. Das Windsurfbrett muss in dem Geschwindigkeitsbereich unter 30 kn mit einem geringeren Kurs als 140 Grad fahren. Erst ab 30 kn kann der Kurs auf 140 Grad erhöht werden Maximalgeschwindigkeit Bild 33: Schub und Widerstand als Funktion der Fahrgeschwindigkeit. Wind 45 kn, Kurs 140 Grad. Die maximale Fahrgeschwindigkeit beträgt 50 kn. 49

50 Bild 34: Auftriebsbeiwert des Segels als Funktion der Fahrgeschwindigkeit. Für den Gleichgewichtszustand mit 50 kn ergibt sich ein CL von 0, Erforderliche Segel- und Seitenkraft Bild 35: Erforderliche Segel- und Finnenkraft zur Kompensation des hydrodynamischen Widerstands, Wind 45 kn, Kurs 140 Grad 50

51 10.3 Auftriebsbeiwerte für Segel und Finne Bild 36: Erforderliche Auftriebsbeiwerte für Segel und Finne, Wind 45 kn, Kurs 140 Grad Der Finnenauftriebsbeiwert liegt trotz kleiner Finnenfläche von 150 cm² bei 0, Maximalgeschwindigkeit Die maximale Fahrgeschwindigkeit wird erreicht, wenn die maximale Schubkraft gleich dem Widerstand ist. Die maximale Schubkraft ist direkt von dem scheinbaren Windwinkel abhängig. Das bedingt, dass der gesegelte Kurs und die Windgeschwindigkeit möglichst groß sein müssen. um einen großen scheinbaren Windwinkel zu erreichen (siehe optimaler Kurs). Bild 37: Maximal erreichbare Geschwindigkeiten in Abhängigkeit der Windstärke unter Berücksichtigung des optimalen Kurses. 51

52 Es ist festzustellen, dass nur bei leichtem Wind Fahrgeschwindigkeiten größer als die Windgeschwindigkeit möglich sind. Das Verhältnis Fahrgeschwindigkeit/Windgeschwindigkeit VS/VT wird mit zunehmender Windgeschwindigkeit immer kleiner und nähert sich 1 an. Der Grund liegt im Widerstandsverhalten des Bretts, in der absoluten Begrenzung der Segelkraft durch das Fahrergewicht und in der Abnahme des scheinbaren Windwinkels mit der Fahrgeschwindigkeit. Anschaulich ist die Darstellung der maximal erreichbaren Fahrgeschwindigkeit in Polarendarstellung, Kurs und Windstärke, wie in Bild 38 angegeben. Bild 38: Fahrgeschwindigkeitspolare: Fahrgeschwindigkeit in Abhängigkeit vom gesegelten Kurs bei verschiedenen Windstärken, Fahrergewicht 1100 N, Segelgröße 5 m², Finnengröße 0,015 m², Anstellwinkel Brett: 5 Grad 11.1 Geschwindigkeitsrekorde von Segelfahrzeugen Das absolut schnellste Segelfahrzeug ist die Land Yacht Greenbird, mit der eine Geschwindigkeit von 109 kn bei ca 45 kn Wind erreicht wurden [10](Bild 39). Auf dem Wasser ist das bisher schnellste Fahrzeug die Sailrocket, die ca. 65 kn bei 8 kn Wind erreichte [11]. Höhere Geschwindigkeiten bei mehr Wind sind sicher möglich, jedoch sind die Probleme der Kontrollierbarkeit und die zunehmende Wellenhöhe bei stärkerem Wind die begrenzenden Faktoren. Mit Windsurfbrettern auf dem Eis wurden Geschwindigkeiten von 55 kn bei ca 5 kn Wind erreicht 5

53 [1]. Diese Ergebnisse sind direkt vergleichbar mit dem Windsurfen auf dem Wasser. Sie machen deutlich, wie viel geringer der Widerstand des Bretts auf dem Eis im Vergleich zum Wasser ist. Die Weltrekorde beim Windsurfen und Kiten liegen eng beieinander. Wobei der Kite Rekord bei ca. 58 kn [13] und der Windsurf Rekord bei 54 kn [14]liegt. Die RaceYachten, die im America's Cup verwendet werden, benutzen Hydrofoils. Hier wurden Geschwindigkeiten von 47 kn bei 8 kn Wind erzielt [15]. Höhere Geschwindigkeiten sind aber ebenfalls durch Steuerbarkeitsprobleme, hohe Wellen bei viel Wind, die quadratische Zunahme des Widerstands mit der Geschwindigkeit beim Foilen und die Kavitation begrenzende Faktoren. Bei allen Angaben sind die Werte für den wahren Wind vielfach nicht durch Messungen während der Fahrt belegt. Sie beruhen vielmehr auf Messungen an Land und der allgemeinen Windsituation. Leider werden in den Internet-Foren, die die Ergebnisse von Speedversuchen auflisten, keine Angaben zu den Windverhältnissen und Kursen zum Wind gemacht, was sehr hilfreich für die Analyse der Fahrleistungen wäre. Bild 39: Maximale Geschwindigkeiten verschiedener Segelfahrzeuge 11. Verteilung der Widerstände Für die Analyse, aber auch für den Entwurf der Komponenten ist es interessant, die Anteile der Größe der Widerstände zu kennen. Für das dargestellte Beispiel ergeben sich die Anteile wie in Bild 40 dargestellt. 53

54 Bild 40: Prozentuale Verteilung der Widerstände der Windsurfkomponenten Den größten Anteil von nahezu 50 % hat das Brett, ca. 30% wird durch den aerodynamischen Widerstand des Segels erzeugt, während der Widerstand von Fahrer und Finne mit je ca. 10 % des Gesamtwiderstands veranschlagt werden. 1. Ergebnis aus Fahrversuch Der Versuch wurde vom Autor durchgeführt. Die Richtung des scheinbaren Windes durch einen Schleppkegel (trailing cone), der durch einen Faden am Helm befestigt, gemessen wurde. Aus der Aufnahme lässt sich der Anströmwinkel optisch bestimmen. Aus den Bilddaten sind damit die Mittelachse des Bretts, die Richtung des gesegelten Kurses, die Segelbezugsachse, die Richtung der Segelkraft, die Richtung von Auftrieb und Widerstand, der Anstellwinkel des Segels, der Schiebewinkel des Bretts, der Winkel des scheinbaren Windes und der Segeleinstellwinkel bestimmbar. Die Ergebnisse sind in Bild 41 veranschaulicht. 54

55 Bild 41: Kraftverhältnisse und Winkelbeziehungen aus der Bildanalyse 13. Zusammenfassung Das dargestellte Verfahren zur Berechnung der Fahrleistung liefert hinreichende Ergebnisse über die maximalen Geschwindigkeiten, die beim Windsurfen erreicht werden können. Die Annahmen über die aerodynamischen und hydrodynamischen Kräfte basieren auf den klassischen Verfahren aus der Aero- und Hydrodynamik. Die Genauigkeit hängt von den verfügbaren Daten ab. In vorliegendem Fall wurden sie mit Hilfe der Profil- und Tragflügeltheorie berechnet und ebenso der Widerstand einer gleitenden Fläche aus der Hydrodynamik. Die Daten sind für eine Abschätzung der Fahrleistungen jedoch hinreichend und liefern insbesondere wichtige Hinweise zu den jeweiligen Einflüssen der äußeren Bedingungen, die den Fahrzustand festlegen, wie insbesondere Kurs, Wind und Fahrergewicht. Für die maximal erreichbare Geschwindigkeit sind die entscheidenden Einflussgrößen die Windstärke, der gewählte Kurs und das Fahrergewicht. Hohe absolute Geschwindigkeiten bedingen eine hohe Windstärke, um den erforderlichen Schub zur Überwindung des hydrodynamischen Widerstandes zu erzeugen. Der Schub nimmt mit der Geschwindigkeit ab und die maximale Segelkraft ist durch das Körpergewicht des Fahrers begrenzt. Das sind die Begrenzungsfaktoren. Die Berechnung hat keine zusätzlichen Widerstände durch die Wasseroberfläche, wie Wellen berücksichtigt. Deshalb werden Rekordversuche auch nur unter Bedingungen mit möglichst glatten Wasser gemacht, wie sie z.b. im Wasserkanal in Lüderitz, Namibia gegeben sind. 14. Schrifttum [1] Schlichting, H.; Truckenbrodt, E.: Aerodynamik des Flugzeugs, 1.Bd.,. Aufl. Berlin, Heidelberg, New York: Springer [] Schlichting, H.; Truckenbrodt, E.: Aerodynamik des Flugzeugs,.Bd.,. Aufl. Berlin, Heidelberg, New York: Springer [3] Marchaj, C.A.: Aerodynamik und Hydrodynamik des Segelns, Delius, Klasing & Co., Bielefeld, 198 [4] Fossati, F.: Aero-Hydrodynamics and the Performance of Sailing Yachts, Adlard Coles, Nautical, London: 009 [5] Püschl, W.: Physik des Segelns, Wiley-VCH Verlag GmbH & Co KgaA, 01 55

56 [6] Brüning, G.; Hafer, X.; Sachs, G.: Flugleistungen, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, London, Paris, Tokyo: 1986 [7] Hanke, D.: Wie schnell kann man Windsurfen Technologie, 014 [8] Sottorf, W.: Experiments with planing surfaces, Werft-Reederei-Hafen, November 7, 199 Translated March 193, NACA TM 661 [9] Savitsky, D., Brown, P.W.: Procedures for Hydrodynamic Evaluation of Planing Hulls in Smooth and Rough Water, Marine Technology, Vol. 13, No. 4, Oct. 1976, pp [10] [11] [1] [13] [14] [15] 56

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