Lösungen Aufgabenblatt 7

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Willi Beyer
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1 Ludwig Maximilians Uniersität München Fakultät für Physik Lösungen ufgabenblatt 7 Übungen E Mechanik WS 7/8 Dozent: Prof. Dr. Hermann Gaub Übungsleitung: Dr. Martin Benoit und Dr. es Jöhr Verständnisfragen i.) der Stoßparameter b repräsentiert in etwa der bstand zum zentralen Stoß. Je kleiner b wird, desto größer wird der blenkwinkel θ. ii.) Die Energie der Sonnenstrahlung stammt aus Kernfusionsprozessen. Dabei entstehen, Heliumkerne, die eine kleinere Masse als die Gesamtmasse der beiden ursprünglichen Wasserstoffkerne haben ( m = E c ). Wegen der Kernfusion auf der Sonne werden nicht nur massebehaftete Teilchen ins Weltall geschleudert (Neutrinos ect... Sonnenwind) sondern auch Photonen. In der Tat wird über Photonen der Löwenanteil (ca. 8%) des Masseerlustes der Sonne bestritten. Folglich nähme die Sonnenmasse also auch unter nnahme, dass ausschließlich Photonen emittiert würden, ab. iii.) Dann liegt die Zugrichtung immer oberhalb des Mittelpunktes und die olle kommt unter jedem Winkel unter dem Sofa heraus, wobei sich der Faden jedoch dabei abwickelt. Die Verlängerung on F ist immer hinter dem uflagepunkt, egal in welcher ichtung φ der Faden gezogen wird. 3

2 Übungen E Mechanik ufgabe (Inerse Lorentz-Transformation) (a) Die Matrix der inersen Lorentz-Transformation um muss, multipliziert mit der Matrix der Lorentz-Transformation um, die Einheitsmatrix ergeben. Dies trifft, wie wir sehen, zu: ( γ ˆL()ˆL( ) = c γ γ c γ ) ( γ c γ ) γ = c γ ( ) (chtung in der ngabe lautete das Matrixelement ˆL ( ) bis zum 5.. anstatt c!) (b) Die relatiistische Energie ist durch die Formel E = m c γ gegeben. Diese Gleichung stellen wir nach γ um: γ = E =, m c Gleichzeitig ist γ =. Diese beiden Formeln setzen wir gleich und lösen nach auf: c = c γ =, 859c =, m/s Jetzt kennen wir die Geschwindigkeit und können t ausrechnen: t = D = D = 58, 3s = 9min 4s c γ (chtung in der ngabe war bis zum 4.. D um einen Faktor zu groß!) ufgabe (elatiistische Energie) (a) Für die relatiistische Energie E eines Teilchens gilt: Daraus folgt E = m c und daher /c c = (m c ) E. c = ( (m c ) (b) Die ersten beiden Terme der Taylorenwicklung on f(x) = x um den Punkt a = sind gegeben durch: x x Damit gilt für die Entwicklung der Funktion aus (a): c = ( (m c ) E E ) / ) / = (m c ) E + ()

3 Übungen E Mechanik (c) Wir lösen Gleichung nach auf und setzen E kin =.5MeV ein:,5 = c (m c ) E E = c (E + E k in) = c ( + E k in/e ) = c ( ) + (, 5MeV)/(, 5MeV) ufgabe 3 (elatiistische Stöße) =, 866c. a) Wir bezeichnen die beiden einlaufenden Teilchen mit und und den Zwichenzustand mit einem Strich. Dann gelten die Erhaltungssätze für Impuls und Energie: Impuls : m γ = m γ () Energie : m γ c = m γ c + m c (3) Das sind zwei Gleichungen für die beiden Unbekannten m und des Zwichenzustands. (γ ist eine bekannte Funktion on.) Wir bestimmen durch Diision der beiden Erhaltungssätze: b) Es folgt m aus der Energieerhaltung: m = m γ + m γ = (m γ + m ) = m γ = m γ m γ + m (4) m γ (m γ + m ) c = (m γ + m ) m γ c (5) ( ) c + m m γ + m = m + m + m m γ (6) Für =, d.h. γ =, ist die Masse m des Zwichenzustands also m = m + m + m m γ = m + m (7) Sobald Teilchen aber mit on Null erschiedener Geschwindigkeit auf Teilchen trifft, ist γ > und daher auch m = m + m + m m γ > m + m (8) c) Wir können die in a) hergeleitete Formel für m erwenden und diese nach m γ auflösen: m = m + m + m m γ (9) aufgelöst nach m γ ergibt: m γ = m (m m m ) () 3

4 Übungen E Mechanik lso für das Elektron-Positron-eaktion: Die kinetische Energie des Positrons ist also: E e + = m e γ e +c = m e (m m )c () K e + = E e + m e c = (m 4m m )c e () = ( 5 kev (9 GeV c ) 4 (5 kev ) c ) c = 7, 9 6 GeV c (3) Zum Vergleich: Mit heutiger Technologie kann man Positronen und Elektronen auf Energien on etwa GeV beschleunigen. d) Wir gehen wieder on den Erhaltungssätzen aus, diesmal aber in der Form: Impuls : m γ = (4) Energie : m γ c = m e γc (5) Denn der Gesamtimpuls des kollidierenden e + e - Paares erschwindet, da sich beide Teilchen mit gleicher Energie (also wegen gleicher Masse mit gleicher Geschwindigkeit, als auch gleichem Impuls) in entgegengesetzte ichtung bewegen. Ihre Energien sind dann jeweils m e γc. us der Impulserhaltung ergibt sich sofort =, also γ =, und damit aus der Energieerhaltung: m e γc = m c (6) Die nötige Energie des Elektrons bzw. Positrons im Speichering ist also genau die Hälfte der uheenergie des zu erzeugenden Zwichenzustands, d.h. E e = E e + = 45GeV (7) Das ist ein sehr plausibles Ergebnis. Und es ist extrem iel weniger als die benötigte Energie bei ruhendem Target. Die kinetische Energie K on Elektron bzw. Positron ist sogar noch ein wenig kleiner, da man on E noch die uheenergie der Teilchen E = m e c = 5keV abziehen muss. Der Unterschied ist aber hier erschwindend gering. ufgabe 4 (Garnrolle) rollt weiter weg kommt zurück F (a) α r α (b) 4

5 Übungen E Mechanik F 4 x s F H r α a) Wir ersetzen im Folgenden den Winkel φ mit α. Der adius der Garnrolle sei, der Fadenabrollradius sei r. Der uflagepunkt legt die Tatsächliche Drehachse fest! Je nach Zugrichtung liegt die Verlängerung der Fadenlinie or oder hinter dem Drehpunkt (Bild ). Der Winkel, bei dem die olle durchdreht (Bild ) ist gegeben durch cos(α) = r b) Beschleunigung des Schwerpunkts: a S = ẍ S. Der Zug am Faden bewirkt eine horizontale Bewegung (Translation), aber auch eine otation der olle. Für die horizontale Beschleunigungskraft gilt: mẍ S = F cos(α) F H Dabei ist F H die aufgrund der Haftung horizontal entgegenwirkende Kraft. Sie ist noch unbekannt. Da wir also mit ẍ S und F H zwei Unbekannte haben, brauchen wir eine zweite Gleichung. Wir erhalten sie durch nwendung des Drehimpulssatzes bzgl. des Schwerpunktes: T = dl dt = I ω = I φ = I ẍs Hier benutzt man für die abgewickelte Strecke x S = φ. Minus Vorzeichen, da die olle im Uhrzeigersinn rollt. (Nach mathematischer Konention ist eine Winkeldrehung gegen den Uhrzeigersinn positi) Beim Gesamt-Drehmoment T = r F mit Betrag T muss beachtet werden, dass dem Drehmoment durch den Faden T F = T F aden = r F sin(9 ) das Drehmoment durch die Haftung T H = T Haftung = F H sin(9 ) entgegenwirkt. T = T F T H = F r F H F H = F r T mẍ S = F cos(α) F r+ I ẍs ẍ S = F (cos(α) r ) I +m Hier sieht man auch noch einmal, dass genau bei cos(α) = r ändert. = F r I ẍs die Beschleunigung ihr Vorzeichen c) Der Vektor r om Drehpunkt zum ngriffspunkt der Kraft ist allgemein gegeben durch: r sin φ r = r cos φ, die Kraft F durch F F cos φ = F sin φ Damit ergibt sich der Drehmoment zu: M = r F r sin φ F cos φ = r cos φ F sin φ 5

6 Übungen E Mechanik = = rf sin φ F cos φ + rf cos φ (r cos φ)f 6

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