Institut für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I - Lösung 2

Transkript

1 Aufabe 6 Eine Zylinder-Kolben Kombination, die ich im Flüikeitbad eine Thermotaten befindet, enthält Luft bei der Temperatur t = 60 C. Um wieviel Prozent nimmt da Volumen der Luft zu, wenn die Temperatur de Bade bei leichbleibendem Außendruck auf den doppelten Wert t = 0 C einereelt wird? Hinweie: Luft kann al ideale Ga betrachtet werden mit R L = 87 J Molmae M L = 8,953 k kmol Geeben: R L = 87 J M L = 8,953 k kmol t = 60 C T = 333,5 K t = 0 C T = 393,5 K Luft al ideale Ga V = unbekannt V = V + V Geucht: V V = eamte relative Volumenänderun = V V V = V V Rechnun: p V = m R T V = m R T V T p } {{ } cont V V = T T = 393,5 K 333,5 K =,8 V V = 0,8 ˆ= 8 %

2 Aufabe 7 Ein Heißluftballon (Sportballon mit V B = 000 m 3 ) enthält Luft mit der Betriebtemperatur von t B = 70 C und dem jeweilien Umebundruck p U (z). Die Mae von Ballonhülle, Korb, Zubehör und Fahrer beträt m B = 370 k. Ihr Volumen kann eenüber dem Volumen der Heißluft (ideale Ga, R L = 87 J ) vernachläit werden. Die Temperatur der Atmophäre oll al kontant zu t U = 0 C anenommen werden, ihr Druck beträt am Boden p U (0) = bar. Geeben: V B = 000 m 3 t B = 70 C T B = 343,5 K m B = 370 k R L = 87 J t U = 0 C T U = 73,5 K Aufbau der Atmophäre p U (0) = bar = 0 5 Pa a ) Welcher Druck p(z GGW ) herrcht in der Höhe, in welcher der Ballon erade nicht mehr teit? Zur Funktionweie de Heißluftballon: Der Heißluftballon erhält einen Auftrieb durch heiße Luft - im Geenatz zum Gaballon, deen Fülla Waertoff oder Helium, leichter al Luft it. Steien erreicht man beim Heißluftballon durch weitere Erwärmen der Luft im Inneren de Ballon mittel eine Brenner. Sinken leitet man mit Hilfe de Parachute ein. Dieer lät ich in Hülleninnere ziehen, wodurch heiße Luft autrömen kann.

3 E reifen folende Kräfte am Ballon an: - Gewichtkraft der verdränten Umebunluft, F LU = m LU - Gewichtkraft der Heißluft im Ballon, F LB = m LB - Gewichtkraft von Ballonhülle, Korb und Zubehör, F B = m B Definitionemäß, entpricht die Auftriebkraft der Gewichtktaft de verdränten Fluid. Wann teit der Ballon nicht mehr? Der Ballon teit nicht mehr, wenn die reultierende Kraft F re leich Null it. F A = F LU F B F LB = 0 F LU = m LU = p V F B = m B F LB = m LB = p V R T B m B = p V R ( T U T B ) p = m B R V T U T B = 370 k 87 J ( ) 000 m 3 73,5 K 343,5 K = 7095 Pa = 0,7 bar b ) Welche Höhe z G erreicht der Ballon dabei, wenn der Druck der barometrichen Höhenformel dp = ρ(z) dz it. Zur Löun bildet man da Kräfteleichewicht am infiniteimal dünnen Luftvolumenelement. d d d 3

4 p(z) A = p(z +dz) A+m p(z) A = p(z +dz) A+ρ(z) A dz p(z) = p p(z +dz)= p+dp p = p + dp+ ρ(z) dz Berechnun der Höhe z G : dp = ρ(z) dz dp = p(z) dz dp p(z) = dz p(z) p 0 p dp = z G ρ(z) = V = p(z) R T z 0 dz ln( p(z) p 0 ) = (z G z 0 ) iotherme Atmophäre T U = cont Trennun der Variablen mit z 0 = 0 m z G = ln( p(z) p 0 ) ) = ( 87 J 73,5 K 9,8 m ln ( ) 0,7 0 5 Pa 0 5 Pa = 75,7 m Aufabe 8 Ein Luftpeicherbehälter mit einem Volumen von 7 m 3 oll von einem Kompreor bei einem Luftdruck von bar auf einen Druck von 8 bar epumpt werden. Die Anfan- und die Endtemperatur beträt 0 C. Der Volumentrom de Kompreor beträt 40 m3 h mit einer Temperatur von 0 C. Wieviel Minuten mu der Kompreor laufen, um den eforderten Druck zu erreichen? Hinwei: Die Gakontante der Luft beträt R L = 87 J. Zutand Zutand 4

5 Geeben: p = bar = 0 5 Pa p = 8 bar = Pa V = 7 m 3 V = 40 m3.löunwe h = 0,0667 m3 R L = 87 J t = 0 C T = 93,5 K Die Temperatur vor und nach der Verdichtun ind leich iotherme Zutandänderun. p V = m R T T = p V m R T = T p V m R = p V m R mit m = m, da echloene Sytem p p = V V Die im Behälter nach der Verdichtun einechloene Luft (Zutand ) hat vor der Verdichtun da Volumen V : V = V p p = 7 m Pa 0 5 Pa = 56 m 3 Hiervon waren vor der Verdichtun bereit 7 m 3 im Behälter vorhanden. Vom Komperor it alo noch folende Mene zu fördern: V Ko = V V = (56 m 3 7 m 3 ) = 49 m 3 Die Laufzeit de Kompreor eribt ich damit zu: τ = V Ko V = 49 m3 0,0667 m3 = 735 min+5. Löunwe Bei dieem Löunwe wird die Luftmae im Behälter beim Zutand (8 bar, 0 C) und beim Zutand ( bar, 0 ) ermittelt. Der Unterchied it vom Kompreor zu liefern. DieErrechnunderLuftmaeerfoltnachderZutandleichunpV = mrt.davolumen it in beiden Fällen V = 7 m 3 bei 0 C. m Ko = m m = p V R T p V R T = (p p ) V R T = (8 ) 05 Pa 7 m 3 87 J 93,5 K = 58,40 k 5

6 Der eförderte Luftmaentrom de Kompreor it: ṁ = p V R T = 05 Pa 0,0667 m3 87 J 93,5 K = 0,0794 k Die Laufzeit de Kompreor eribt ich damit zu τ = m Ko ṁ = 58,4 k 0,0794 k = 735 Aufabe 9 In einer konventionellen Kartoffelkanone wird ein Gemich au Haarpray und Luft ezündet, um einen Überdruck zu erzeuen und da Kartoffelecho zu bechleunien. Um einen Reichweitenvorteil eenüber dem Feind zu erzielen, wird die Kartoffelkanone tattdeen an einen Druckluftbehälter mit p B = 5 bar anechloen, der den Druck während der Bechleuniunphae aufrecht erhält. Nach Öffnen de Ventil wird eine Kartoffel (m K = 00 ) in einem PVC Rohr mit dem Durchmeer d = 45 mm und einer Läne l = 600 mm bechleunit. Der Umebundruck betrae p U = bar. Hinwei: Die Kartoffel oll näherunweie al eine Kuel mit dem Durchmeer de Kartoffelrohre betrachtet werden. Die Wurfweite x max kann mit folender Formel berechnet werden: x max = v 0 in(α). Die Verlute durch den Luftwidertand der Kartoffel ollen für beide Aufabenteile 30 % betraen. Die Widertandkräfte im Rohr werden vernachläit. 6

7 Geeben: p B = 5 bar = Pa m K = 00 = 0, k d = 45 mm = 0,045 m l = 600 mm = 0,6 m p u = bar = 0 5 Pa a ) Betimmen Sie die maximale Steihöhe der Kartoffel bei einem enkrechten Schu in die Luft. Sytem Körper: () (). Hauptatz de kin dτ + de pot dτ + du = Q i + }{{} dτ i j } {{ } 0, T=cont 0, adiabat Ẇ j de kin + de pot = δw Arbeit am Sytem: δw = d( F ) = d(fz) F = (p B p U ) A ( d ) = (p B p U ) π [ ) ] δw = d (p B p U )( d π z ( ) = (p B p U ) d π dz ( ) W = (p B p U ) d π (z z ) } {{ } l de kin + de pot = δw (E kin, E kin, ) + (E pot, E pot, ) = W E kin = m v E pot = m z 7

8 m K(v v ) + m( z z }{{} }{{} ) = (p }{{} B p U )( d ) π ( z z }{{} ) }{{} 0 l 0 l 0 m k v + m l = (p B p U )( d ) π l [ ] (p U p B )( d ) π mk v = = m K l ( ) ] 0,k 0,6m [(5 ) 05 Pa 0,045m π 0,k 9,8 m = 87,306 m = 34,30 km h () (3). HS de kin + de pot = 0 (E kin,3 E kin, ) + (E pot,3 E pot, ) = 0 ( 0 ) m K v 3 v + m K (z 3 z ) = 0 v + (z 3 z ) = 0 z max = v 70 % + z wobei z = l und 70 % der maximalen Reichweite = (87,306m ) 9,8 m 0,7 + 0,6m = 7,549 m b ) Betimmen Sie die maximale Schuweite x max und den dazuehörien Winkel α, unter dem die Kartoffelkanone abefeuert werden mu. mit η LW = 70 %, aufrund de Luftwidertande x max = v 0 in(α) η LW Maximale Reichweite bei α = 45! x max = v 0 in( 45 ) 70 % = (87,306m ) 9,8 m in( 45 ) 0,7 = 543,898 m 8